4. Bei einem Versuch zur Vermehrung von Wasserlinsenkeimlingen wurde diese Tabelle angelegt: B(t) Anzahl der Keimlinge

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1 1. Ein Geheimnis breitet sich aus Armin vertraut Bettina ein Geheimnis an. Obwohl Bettina versprach, das Geheimnis nicht weiterzuerzählen, erzählt sie es am folgenden Tag ihren Freunden Peter und Sabine. Jeder der beiden erzählt es am nächsten Tag zwei weiteren Freunden, die es bisher nicht kannten. Jeder, der das Geheimnis auf diese Weise erfährt, erzählt es einmal - und zwar am Tag darauf - zwei weiteren Personen, denen es bisher unbekannt war. Wie viel Tage vergehen, bis das Geheimnis a) 20 Personen b) 200 Personen kennen? 2. Das Bakterium Escherichia Coli. das auch kurz als E. Coli bezeichnet wird, verrichtet seine "Arbeit" im menschlichen Darm und ist so klein, dass man es mit bloßem Auge nicht sehen kann. Bei diesen Einzellern gibt es keine Männchen und Weibchen. Sie vermehren sich auf eine besondere Art. Jede einzelne Zelle wächst bis zu Ihrer doppelten Größe und teilt sich dann. Dabei bilden sich zwei völlig identische Tochterzellen. Unter günstigen Bedingungen teilen sich die Coli - Bakterien alle 20 Minuten. a) Stellen Sie die Vermehrungsrate eines Coli - Bakteriums grafisch dar. Berechnen Sie dazu die Anzahl der Bakterien, die nach 20, 40, 60, 80, 100 Minuten aus einem Bakterium entstanden sind und tragen Sie Ihre Daten in ein Koordinatensystem ein. Auf der x-achse wird dabei die verstrichene Zeit in Minuten und auf der y-achse die Anzahl der jeweils vorhandenen Coli - Bakterien dargestellt! b) Erstellen Sie die Funktionsgleichung! 3. Kaninchen sind sehr vermehrungsfreudig. Unter günstigen Bedingungen kann ein Weibchen 5- bis 7-mal im Jahr 4 bis 6 Junge bekommen. Jährlich werden also von einem Elternpaar durchschnittlich 30 Junge geboren. Damit beträgt die Geburtenrate jährlich 15 Geburten pro Individuum. Aus zwei Kaninchen (n 0 = 2) entwickelt sich also nach einem Jahr eine Population von n 1 = = 2 (1 + 15) = 2 16 = 32. Die Population hat sich also in einem Jahr versechszehnfacht. a) Berechnen Sie die Größe der Population nach 4, 5 und 6 Jahren! b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion, die diesen Wachstumsprozess beschreibt! c) Berechnen Sie die Populationsentwicklung, wenn von jedem Elternpaar vier Kaninchen pro Jahr sterben! d) Bestimmen Sie für diese Modellpopulation eine Exponentialfunktion, die das Wachstum beschreibt! e) Wann beträgt die Population 1000 Kaninchen? 4. Bei einem Versuch zur Vermehrung von Wasserlinsenkeimlingen wurde diese Tabelle angelegt: t Tage nach Versuchsbeginn B(t) Anzahl der Keimlinge a. Zeichnen Sie ein Schaubild. Nach welchem Gesetz wächst die Zahl derkeimlinge? b. Berechnen Sie die Anzahl nach 9 und 30 Tagen. c. Nach wie vielen Tagen gibt es 1 Million Keimlinge? Exponentialfunktion Seite 1 von 10

2 5. Das Bevölkerungswachstum der Erde wird durch folgende Tabelle beschrieben: Jahr T B(t)=Bev-Zahl (Mrd) 2,68 3,78 5,36 a Bestimmen Sie den Verdopplungszeitraum. b. Wie viele Menschen leben voraussichtlich im Jahr 2012 auf der Erde? c. Wann leben voraussichtlich zehnmal so viele Menschen wie 1956? d. Wie viele Menschen leben voraussichtlich im Jahr 2000, 2020, 2036 auf der Erde, wenn das Wachstum so wie jetzt weitergeht? 6. Eine Mäusekolonie vermehrt sich in einem Beobachtungszeitraum von 3 Monaten so, dass ihr Bestand jede Woche um 11 % zunimmt. Zu Beginn sind 1300 Mäuse vorhanden. a. Beschreiben Sie das Wachstum mit einer Exponentialfunktion. b. Wann hat sich die Zahl der Mäuse verdoppelt? c. Wie viele Mäuse sind nach 13 Wochen vorhanden? 7. Skizzieren Sie die Graphen zu den folgenden Funktionen mit Hilfe einer Wertetabelle von x=-2 bis x=2 (Schrittweite 0,5): a. f(x) = 1 2 ex + 1 b. f(x) = - e x + 1 c. f(x) = e x d. f(x) = 0,2 e 1 x - x 8. Am 14. August sind 36 m 2 eines Sees mit Seerosen bedeckt, am 15. August sind es 72 m 2, am 16. August bereits 144 m 2, usw. (a) Wie heißt die Funktion, die Fläche der Seerosen ab dem 14. August beschreibt? A(t) = 36 2 t (b) Wie groß ist die Fläche der Seerosen am 20. August, am 25. August bzw. wie groß war die Fläche am 11. August? (c) An welchem Tag ist erstmals mehr als 1 km2 des Sees mit Seerosen bedeckt? (Das Problem kann näherungsweise durch geschicktes Probieren mit dem Taschenrechner gelöst werden). (d) Wie ist die Genauigkeit dieses Modells in der Realität zu beurteilen? 9. Ein Kapital in einer Höhe von Euro wird auf einer Bank mit dem festen Zinssatz von 6 % langfristig verzinst. Die anfallenden Zinsen werden dem Kapital am Jahresende hinzugefügt. (a) Wie hoch ist das Kapital nach einem, nach zwei bzw. nach fünf Jahren? (b) Welche Funktion beschreibt das Anwachsen des Kapitals? K(t) = ,06t (c) Wie hoch ist das Kapital nach 20 Jahren? (d) Wann wird das Kapital erstmals Euro übersteigen? 10. Bei einem radioaktiven Präparat werden mit einem Geigerzähler 22,2 Zerfälle pro Minute festgestellt. Nach 4 Tagen sind es nur noch 7,4 Zerfälle pro Minute, also genau ein Drittel der ursprünglichen Intensität. (a) Welche Funktion beschreibt das Nachlassen der Radioaktivität? Z(t) = 22,2 3 - t/4 (b) Wie viele Zerfälle pro Minute sind nach 2, nach 10 bzw. nach 20 Tagen zu erwarten? Nach wie viel Tagen werden erstmals weniger als 2 Zerfälle pro Minute beobachtet? Seite 2 von 10 Exponentialfunktion

3 11. Jahr t in Jahren Bevölkerung (Mio) ,8 a) Um welchen Faktor nahm die Bevölkerungszahl Ägyptens von 1960 bis 1972 zu? Welche Faktoren würde man damit für 6 Jahre und für 3 Jahre erhalten? b) Berechne mit dem Faktor für 3 Jahre eine Wertetabelle im Intervall [-15;24]. Die Beobachtung soll im Jahr 1960 mit t=0 beginnen. c) Zeichne das Schaubild der Wachstumsfunktion. Überprüfe, ob die Bevölkerungszahl des Jahres 1947 exponentielles Wachstum bestätigt. d) Bestimme den Wachstumsfaktor für jährliche Beobachtung und gib die Wachstumsfunktion an. 12. Ein Taucher interessiert sich zwecks Unterwasseraufnahmen dafür, welche Helligkeit in verschiedenen Tiefen herrscht. Helligkeitsmessungen in einem bestimmten See haben ergeben: Mit jedem Meter nimmt die Helligkeit um 7% ab. a) Wie lautet das Gesetz für die Abnahme, wenn an der Oberfläche eine Beleuchtungsstärke von 1000 Lux herrscht? Stelle eine Tabelle auf. b) Berechne den Helligkeitswert in 3m, 10m, 1,7m Tiefe. c) In welcher Tiefe beträgt der Helligkeitswert noch 1% (1 ) des Ausgangswerts? 13. Ein radioaktives Präparat zerfällt so, dass sich die Substanz nach jeweils 3 Tagen halbiert. Zur Zeit t=0 sind 5mg vorhanden. a) Bestimme das Zerfallsgesetz B(t)=c a t b) Wie viel Substanz ist nach 6 Tagen (1 Tag, 3 Wochen) noch vorhanden? 14. In einem zylindrischen Gefäß wird der Zerfall von Bierschaum untersucht. Die Höhe des Schaums verringert sich alle 15 Sekunden um 9%. a) Gib den Faktor für 15 Sekunden an und ermittle mit seiner Hilfe eine Wertetabelle, wenn zu Beginn der Beobachtung die Schaumhöhe 10cm betrug. Zeichne das Schaubild, wähle dazu auf der t-achse als Einheit 1mm. b) Man spricht von "sehr guter Bierschaumhaltbarkeit", wenn die Halbwertszeit des Schaumzerfalls größer als 110 Sekunden ist. Überprüfe am Schaubild, ob bei diesem Bier sehr gute Bierschaumhaltbarkeit vorliegt lebten auf der Erde ca. 4 Mrd. Menschen. Von 1970 bis 1976 stieg die Erdbevölkerung jährlich um 1,9%. a) Bestimme den Wachstumsfaktor für 1 Jahr. b) Bestimme mit Hilfe dieses Faktors eine Tabelle der Schrittweite 5 im Intervall [-10;35]. Die Beobachtung soll 1976 mit t=0 beginnen. Zeichne das Schaubild. Vergleiche mit der tatsächlichen heutigen Bevölkerung. c) Bestimme den Verdopplungszeitraum. 16. Mexiko hatte 1970 (t=0) 50 Millionen Einwohner. a) Gib die Wachstumsfunktion an, wenn die Bevölkerung jährlich um 3,5% wuchs. b) Heute leben knapp 100 Mio. Einwohner in Mexiko. Welches prozentuelle Wachstum liegt im Durchschnitt der 30 Jahre vor? Exponentialfunktion Seite 3 von 10

4 17. Einem Patienten wird durch eine Infusion kontinuierlich ein Medikament zugeführt, welches durch Nieren und Leber teilweise wieder ausgeschieden wird. Die nach t Minuten im Körper des Patienten vorhandene Menge m des Medikaments in Gramm erfüllt die Funktionsgleichung m(t) = 5 (1 e - 0,1 t ) a) Ermitteln Sie m(0), m '(0) und lim m(t). t Zeichnen Sie den Graphen von m für die erste Stunde und beschreiben Sie die Zunahme der im Körper des Patienten vorhandenen Menge des Medikaments in Worten. b) Zeigen Sie: m '(t) = 0,5-0,1 m(t) Wie viel Gramm des Medikamentes werden dem Patienten pro Minute durch die Infusion zugeführt und wie viel Prozent der im Körper vorhandenen Menge des Medikamentes werden pro Minute ausgeschieden? c) Nach wie viel Minuten wären im Körper des Patienten 5 g des Medikamentes enthalten, wenn es nicht teilweise ausgeschieden würde? Wie kann die Zunahme der im Körper des Patienten vorhandenen Menge des Medikaments in diesem Fall graphisch dargestellt werden? 18. Eine Flüssigkeit, deren Temperatur höher ist als die ihrer Umgebung und der keine Wärme zugeführt wird, kühlt ab. Bei einer Raumtemperatur von 25 C ist die in C gemessene Temperatur T(t) eines Getränkes nach t Minuten gegeben durch die Funktionsgleichung T(t) = e - 0,276 t a) Welche Temperatur hatte das Getränk zum Zeitpunkt '0'? b) Wie lange braucht das Getränk, um auf 40 ºC abzukühlen? c) Nach welcher Zeit halbiert sich der Unterschied zwischen Getränke- und Raumtemperatur? d) Zeigen Sie T '(t) = a- (25 - T(t)) und berechnen Sie die Konstante a Formulieren Sie die Aussage dieser Gleichung in Worten e) Ermitteln Sie lim T(t). Was bedeutet dieser Wert? t f) Erstellen Sie mit der angegebenen Funktionsgleichung eine Wertetabelle für die Getränketemperatur in der ersten halben Stunde mit einer Schrittweite von 5 Minuten. Stellen Sie den Temperaturverlauf anhand dieser Tabelle in einem geeigneten Maßstab graphisch dar. g) Zeichnen Sie in das Koordinatensystem zu f) die Asymptote und die Tangente im Ordinatenschnittpunkt ein. Geben Sie die Gleichungen dieser beiden Geraden an und berechnen Sie ihren Schnittpunkt. Welche Bedeutung hat der Abszissenwert dieses Schnittpunktes? 19. Die Entwicklung der Weltbevölkerung in den ersten 2000 Jahren nach Chr. Kann angenähert 240 durch die Funktion mit der Gleichung w(x) = beschrieben werden. Dabei ist x das X Jahr nach Chr. und w(x) die Anzahl der Erdbewohner in Milliarden. a) Erstellen Sie mit der angegebenen Funktionsgleichung eine Wertetabelle für die Weltbevölkerung der ersten zwei Jahrtausende mit einer Schrittweite von 200 Jahren. Stellen Sie die Entwicklung der Weltbevölkerung anhand dieser Tabelle in einem geeigneten Maßstab graphisch dar. b) Um wie viel Prozent hat die Weltbevölkerung bei Gültigkeit der angegebenen Gleichung innerhalb des ersten bzw. des zweiten Jahrtausends nach Chr. zugenommen? c) Wie viele Erdbewohner wird es bei Gültigkeit der angegebenen Gleichung im Jahr 2020 geben? d) Zeigen Sie w '(x) = k [ w(x) ] 2 und berechnen Sie k. Formulieren Sie die Aussage dieser Gleichung in Worten e) Ermitteln Sie lim w(x) x 2036 Was bedeutet dies für die künftige Entwicklung der Weltbevölkerung und die Gültigkeit der angegebenen Funktionsgleichung? Seite 4 von 10 Exponentialfunktion

5 20. Die Höhe einer Pflanze(in Meter) zurzeit t (in Wochen seit dem Beginn der Beobachtung) soll zunächst durch eine Funktion h 1 mit h 1 (t) = 0,02 e kt näherungsweise beschrieben werden. a) Wie hoch ist die Pflanze zu Beginn der Beobachtung? Hierzu muss man nur seine Bedingung überlegen und merkt schnell das der Anfang mathematisch t=0 entspricht Also h 1 (0) = 0,02 e k0 = 0,02. Also ist die Pflanze zu Beginn 2 cm hoch. b) Bestimmen sie k, wenn die Höhe der Pflanze in den ersten 6 Wochen der Beobachtung um 0,48m zugenommen hat. c) Wie hoch müsste demnach die Pflanze 8 Wochen nach dem Beginn der Beobachtung sein? Die Pflanze ist nach 8 Wochen tatsächlich nur 1,04 m hoch. Die Höhe wird deshalb für t 6 beschrieben und durch die Funktion h 2 mit h 2 (t) = a - b e -0,536 t d) Bestimmen Sie a und b aus den beobachteten Höhen nach 6 und 8 Wochen. e) Berechnen die limh 2 ( t) t f) Welche Bedeutung hat dieser Wert für die Pflanze? 21. Die Bevölkerung eines Staates wachse entsprechend der Funktion N mit N(t) = N 0 e a(t-t 0) Dabei ist No= 120* die Anzahl der Einwohner im Jahr 2005, t o = 2005 und a = 0,03 Jahr die Wachstumsrate. a) Wie groß wird die Bevölkerungszahl im Jahre 2010 sein? b) Vor wie viel Jahren war die Bevölkerungszahl halb so groß wie im Jahre 2005? c) Um wie viel % nimmt die Bevölkerungszahl jährlich zu? Vergleichen sie mit der Wachstumsrate! 22. Eine Bakterienkultur wird um 9 Uhr sich selbst überlassen. Ihr Wachstum wird durch die Gleichung b(t) = 4000 e 0,5 t beschrieben, wobei b(t) die Anzahl der Bakterien ist und die Zeiteinheit von t Stunden (h) ist. a) Wie viele Bakterien sind um 9 Uhr vorhanden? b) Wie viele Bakterien sind es um 13 Uhr 30? c) Zu welchem Zeitpunkt hat sich der Bestand verdoppelt? d) Wie viele Bakterien entstehen in der 3. Stunde? e) Um wie viel Prozent wächst die Bakterienkultur pro Stunde? f) Zeigen Sie b '(t) = 0,5 b (t) Welche Bedeutung hat diese Gleichung? 23. Setzt man in einen Zuchtteich junge Forellen ( Setzlinge") ein und beobachtet das Wachstum, so lässt sich die durchschnittliche Länge L der Fische während der Aufzucht mit der Funktion beschreiben: L(t) = e -0,164 t (L = Länge in cm, t = Zeit in Monaten) Länge in cm Zeit in Monaten 23.1 Welche Durchschnittsgröße haben die Setzlinge beim Einsetzen in den Zuchtteich? 23.2 Welche Durchschnittsgröße haben die Forellen nach einem Jahr? Exponentialfunktion Seite 5 von 10

6 23.3 Berechnen Sie die durchschnittliche Größe einer ausgewachsenen Forelle! (Hinweis: Asymptote) 23.4 Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Fische 98 % ihrer maximalen Durchschnittsgröße erreicht haben! 23.5 Beantworten Sie unter Zuhilfenahme des Funktionsgraphen: Zu welchem Zeitpunkt ist die Längenzunahme am größten? Begründen Sie kurz Ihre Antwort! 23.6 Berechnen Sie diese größte Längenzunahme! 23.7 Welche Gleichung hat die Tangente an den Funktionsgraphen zu diesem Zeitpunkt? 23.8 Nach wie vielen Monaten wären die Fische ausgewachsen, wenn diese Längenzunahme während der ganzen Wachstumsphase konstant gewesen wäre? Lösungen: 1. f(x) = 2 x x = Tage a) 20 = 2 x ln ln 20 = ln(2 x ) = x ln 2 ln 20 ln 200 x = ln 2 = 4,32 Tage b) x = ln 2 = 7,644 Tage 2. E(x) = 2 x 1 x = einmal 20 min f(20) = 2 1 = 2 f(40) = 2 2 = 4 f(60) = 2 3 = 8 f(80) = 2 4 = 16 f(100) = 2 5 = K(x) = 2 16 x x = Jahre 16 = Wachstumsrate a) f(4) = = Kaninchen f(5) = = Kaninchen f(6) = = Kaninchen b) K(x) = 2 16 x c) Wachstumsrate = 14 d) K(x) = 2 16 x e) 1000 = 2 16 x : = 16 x ln ln 500/ln16 = 2,24 Jahre t 2 4. a) B(t) = 10 2 b) B(9) 226; B(30) = c) t 33 t 5. a) Verdopplungszeitraum ca. 32 Jahre, B(t) = 2, b) für 2012 ist t=56, B(56) 9,01Mrd c) B 106,3 Jahr 2062 d) 2000: 6,95Mrd 2020: 10,72Mrd 2036: 15,16Mrd e) 2052 f) Der Ansatz 2, t 32 2 =2 führt auf t Von 1956 aus zurückgerechnet ergäbe dies das Jahr 986 n. Chr. Das bedeutet: 1. Das Bevölkerungswachstum kann nicht immer so stark gewesen sein wie heute. 2. Das mathematische Modell, die Funktion B(t), taugt nur für den zu Grunde gelegten Zeitraum, Berechnungen, die weit darüber hinausgehen (auch in die Zukunft!) sind nicht sinnvoll. 6. a) M(t) = ,11 t b) t = 6,64 c) B = 5048 Seite 6 von 10 Exponentialfunktion

7 7. 8. (a) A(t) = 36 2 t, wobei t die Zeit in Tagen nach dem 14. August angibt und A(t) die Fläche des Sees in m 2 zu jedem beliebigen Zeitpunkt. (b) Am 20.08: A(6) = 2304 m August: A(11) = m August: A(-3) = 4,5 m 2 (c) Die Fläche Seerosen überschreitet nach 15 Tagen, also am 29. August erstmals die Grenze von 1 km 2. (d) Diese Modellrechnung ist natürlich mit großen Ungenauigkeiten behaftet. Unberücksichtigt bleiben z. B. Witterungslage, Temperatur, Wasserqualität und Vieles mehr. Außerdem ist die Größe des Sees nicht unbegrenzt. Je weiter also der Termin vom 14. August entfernt ist, desto größer ist die Unsicherheit bei der Rechnung. 9. (a) Im 1. Jahr: K(1) = Im 2. Jahr: K(2) = Im 5. Jahr: K(5) = ,51 (b) Allgemein erhält man: K(t) = ,06 t (c) Nach 20 Jahren: K(20) = ,71 (d) Nach 16 Jahren wird erstmals die Euro-Grenze überschritten. 10. (a) Z(t) = 22,2 3 -t/4 (b) Z(2) = 12,8 Zerfälle/Minute Z(10) = 1,42 Zerfälle/Minute Z(20) = 0,09 Zerfälle/Minute (c) Nach 9 Tagen werden erstmals weniger als 2 Zerfälle pro Minute gemessen. 11. a) a=1,338 für 12 Jahre b) a=1,1569 für 6 Jahre c) a=1,0756 für 3 Jahre d) a=1,02459 für 1 Jahr 12. a) H(t) = ,93 t b) 3m: 804Lux, 10m: 484Lux, 1,7m: 883Lux c) t=63,458 t a) B(t) = 5 2 b) B(6) = 1,25 B(1) = 3,968 B(21) = 0,039 t 14. a) a = 0,91 15 BS(t) = 10 0,91 b) Halbwertszeit t = 110,244 > 110. Ja, das Bier erfüllt gerade so die Vorschriften. 15. a) a = 1,019 für 1 Jahr b) a=1,098 für 5 Jahre c) t=36,8 16. a) B(t)=50 1,035 t b) ca. 2,34% Exponentialfunktion Seite 7 von 10

8 17. a) m(0) = 0 m' (t) = 0,5 e - 0,1 t m '(0) = 0,5 lim m(t) = 5 f(x) = 5 (1- e -0,1x ) t Von zunächst 0 g steigt die Menge des Medikamentes im Körper des Patienten streng monoton an und kommt 5 g beliebig nahe, wobei dieser Wert nach etwas über 45 Minuten schon fast erreicht ist. Da der Graph der Funktion rechtsgekrümmt ist, nimmt die Geschwindigkeit, mit der die Menge ansteigt, vom Ausgangswert 0,5 g/min an streng monoton ab. b) Einsetzen liefert: m '(t) = 0,5-0,1 m(t) vgl. a) Dem Patienten werden pro Minute durch die Infusion 0,5 Gramm des Medikamentes zugeführt und 10 % der im Körper vorhandenen Menge des Medikamentes werden pro Minute ausgeschieden. c) Wenn das Medikament nicht teilweise ausgeschieden würde, so würde gelten m '(t) = 0,5 und m(0) = 0 und damit m(t) = 0,5 t. Nach 10 Minuten wären also im Körper des Patienten 5 g des Medikamentes enthalten. Die Zunahme der im Körper des Patienten vorhandenen Menge des Medikamentes könnte in diesem Fall durch die Tangente im Ordinatenabschnitt graphisch dargestellt werden? 18. a) T(0) = 80 Das Getränk hat zum Zeitpunkt '0' eine Temperatur von 80 C. c) b) T(t) = e - 0,276 t = 40 t 4,71 Das Getränk braucht knapp 4,7 Minuten, um auf 40 C abzukühlen. T ( t + t ) 1/ 2 25 = e 0,276 t1/2 = 1 t( t) 25 2 t 1/2 2,51 Nach etwas über 2,5 Minuten halbiert sich der Unterschied zwischen Getränke- und Raumtemperatur. d) T ' (0) = -0, e - 0,276 t = 0,276 (25 T(t)) Die Abkühlgeschwindigkeit des Getränkes zurzeit t ist proportional zum Unterschied zwischen Raum- und Getränketemperatur zurzeit t. Die momentane Abnahme der Getränketemperatur pro Minute zurzeit t ist das 0,276-fache des Unterschiedes zwischen Raum- und Getränketemperatur zu diesem Zeitpunkt. e) lim T(t) = 25 t Wenn man lange genug wartet (für hinreichend großes t), kommt die Getränketemperatur der Raumtemperatur beliebig nahe. f) t T(t) 80 38,84 28,48 25,88 25,22 25,06 25,0 1 Seite 8 von 10 Exponentialfunktion

9 f(x) = e -0,276 x g) Asymptote: a(t) = 25 Tangente im Ordinatenschnittpunkt: g(t) ,18 t +80 g(τ) - -15,18 τ +80 = 25 τ 3,62 Schnittpunkt: (3,62 25) Der Abszissenwert des Schnittpunktes ist die Zeit in Minuten, nach das Getränk auf Raumtemperatur abkühlen würde, wenn die anfängliche Abkühlgeschwindigkeit (zum Zeitpunkt '0' nicht abnähme, sondern konstant bliebe. 19. a) x w(x) 0,118 0,131 0,147 0,167 0,194 0,232 0,287 0,377 0,55 1,017 6,667 f(x) = x b) w(1000) w(0) = w(2000) = 1,965 w(1000) = = 28,778 Bei Gültigkeit der angegebenen Gleichung hat die Weltbevölkerung innerhalb des ersten Jahrtausend um 96,5 % und innerhalb des zweiten Jahrtausends um 2777,8 % zugenommen. c) W(2020) = = 15 Bei Gültigkeit der angegebenen Gleichung wird es im Jahr 2020 etwa 15 Milliarden Erdbewohner geben. d) w '(x) = 240 ( x) 2 = x = {w(x)}2 Die Wachstumsgeschwindigkeit der Weltbevölkerung zurzeit x ist proportional zum Quadrat der Anzahl der Erdbewohner zur Zeit x. Der Proportionalitätsfaktor ist 1/240, wenn die momentane Zunahme an Menschen in Milliarden pro Jahr und der Bestand in Milliarden angegeben wird. Exponentialfunktion Seite 9 von 10

10 e) lim w(x) =, d.h. die Weltbevölkerung übersteigt jede positive Zahl, wenn man dem x 2036 Jahr 2036 nahe genug kommt. Damit kann die angegebene Funktionsgleichung nicht mehr zutreffen, wenn man dem Jahr 2036 nahe genug kommt (erst recht nicht mehr in späteren Zeiten). 20. h(t) = 0,02 e kt a) t= 0 h(0) = 0,02 m = 2 cm b) h(6) = 0,5 m 0,5 = 0,02 e 6k 0,5 :0,02 0,02 = e6k ln ln25 = 6k ln e (ln e = 1!!) ln25 6 = k k = 0,5365 c) h(8) = 0,02 e 0, = 1,46 m aber tatsächlich ist die Pflanze nur 1,04 m groß, deshalb gilt: h 2 (t) = a -b e t d) 0,5 = a - b e -0, = a - b e -0,536 8 b e -0, ,5 = a = b e -0, b ( e e - 4,288 ) = 0,54 b ( 0,0401-0,0137) = 0,54 b = 20,468 a = b e -0, ,5 = 20,468 0, ,5 a = 1,3208 e) lim h 2 (t) = a = 1,3208 m t f) Die Pflanze wird maximal 1,32 m groß. 21. N(t) = N 0 e a(t - t 0) N 0 = t 0 = 2005 Δt = t - t 0 = Jahre a = 0,03 /Jahr a) N(5) = e 0,03 5 = ,1618 = ,2 Einwohner b) N(t) = = e 0,03 Δt : = e 0,03 t ln ln 0,5 = 0,03 Δt (ln e = 1!!) Δt = ln 0,5 0,03 = Jahre - 24 Jahre vor c) N(1) = e 0,03 = ,1 ΔN/a = ,1 Einwohner ,1 100 % = 3,046 % 22. b(t) = 4000 e 0,5 t 22.1 b(0) = 4000 e 0 = b(4,5) = 4000 e 0,5* 4,5 = 4000 * 9,488 = = 4000 e 0,5t 2 = e 0,5t ln 2 = 0,5 t 2 ln 2 = t = 1,386 h 10 Uhr b(2) = 4000 e 0,5 * 2 = 4000 e 1 = b(3) = 4000 e 0,5 * 3 = 4000 e 1,5 = Δb = = b(1) = 4000 e 0,5 = 6594,9 6594, = 2594,9 2594, * 100% = 64,9 % Wachstum pro Stunde 64,9 % 4.6 b '(t) = 4000 * 0,5 e 0,5 t = 0,5 b(t) Die Wachstumsgeschwindigkeit b '(t) zurzeit t ist proportional zur Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt t. 0,164t lim = t = 0 L = 3 cm 23.2 t = 12 L 21 cm 23.3 (24 21e ) t 23 x Monate zum Zeitpunkt t 0 Steigung (= Wachstum) ist dort am größten f ' (t) = 3,44 e -0,164 t f ' (0) = 3,44 (cm pro Monat) T(t) = 3,44 t T(t) = 24 3,44 t + 3 = 24 t 6,1 nach etwa 6,1 Monaten Seite 10 von 10 Exponentialfunktion