Lineare Gleichungssysteme

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Benedikt Burgstaller
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1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mathematik und Naturwissenschaften Arbeitsblatt Mathematik 3 (Diverses) Dozent: - Brückenkurs Mathematik / Physik 2016 Lineare Gleichungssysteme Modul: Physik Datum: 2016 Lineare Gleichungssysteme (hier für ein 2 x 2- (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten) und 3 x 3-System) lassen sich mit der Cramer schen Regel lösen 12. a { 11x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 L = D1 D, D } b 1 a 12 2 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 = D a, 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 L = { D1 D, D 2 D, D } 3 = D b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a Aufgabe Bestimmen Sie für die folgenden linearen Gleichungsystem die Lösungsmengen:, a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (a) (b) (c) (d) x + 2y = 1 2x + 3y = 3 x 2y = 1 2x + 4y = 2 x + 2y = 1 2x + 4y = 3 2x + 5y = 2 9x 8y = 70 (e) 5x 8y = 34 4x + 9y = 19 (f) 3x 2y = 11 6x + 7y = 55 1 zweireihige Determinante: a b c d = ad bc a b c 2 dreireihige Determinante: d e f = aei + bfg + cdh afh bdi ceg g h i

2 2. Aufgabe Bestimmen Sie von den Gleichungssystemen der letzten Aufgabe die Lösungsmengen grafisch. 3. Aufgabe Bestimmen Sie für die folgenden linearen Gleichungsystem die Lösungsmengen: (a) (b) x + y + z = 2 2x y 2z = 2 3x + 3y + z = 0 x 2y + 3z = 4 2x y z = 2 x + y + 2z = 1 (c) x + y + z = 2 x + 2y z = 6 2x + 4y 2z = 6 4. Aufgabe Gleichungssysteme mit Parametern: (a) (b) y = m 1x + h y = m 2 x h ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1 Seite 2 / 8

3 Ungleichungen Liegt eine Ungleichung als Produkt ungleich Null vor, so reicht es den Term auf sein Vorzeichen zu prüfen. Hierzu ein kleines Beispiel: (x + 3) (x 1) (x 4) 0 x+3 : x 1 : x 4 : n.d. x L = [ 3, 1] (4, ) 5. Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Ungleichungen: (a) (b) (c) (d) (e) 1 x > 1 x 2 4x 5 0 x x 2 > 1 x x 1 4 x x 4 1 < 5x 2 5 (f) x > 1 x x Seite 3 / 8

4 Exponentielles Wachstum Viele Wachstumsprozesse in der Technik und Wirtschaft werden durch Exponentialfunktionen beschrieben. Dabei unterscheidet man verschiedene Darstellungsformen: Wachstumsrate: Liegt ein prozentualer (z.b. jährlicher) Zuwachs um p statt, so kann die Population B (t) folgendermassen beschrieben werden (B 0 = B (0) sei die Anfangspopulation): ( B (t) = B p ) t 100 Vervielfachung: Findet im Zeitintervall T a eine Verfielfachung um den Faktor a statt, so kann die Population B (t) folgendermassen beschrieben werden (B 0 = B (0) sei die Anfangspopulation): B (t) = B 0 a t Ta Allgemein: Oft wird ein solches Wachstum mit der Exponentialfunktion mit Basis e (Euler sche Zahl) beschrieben. Für die Population B (t) gilt (B 0 = B (0) sei die Anfangspopulation): B (t) = B 0 e bt Nachfolgende Tabelle ermöglicht eine einfache Umrechnung für die Parameter der verschiedenen Darstellungsformen: p T a b p = 100 ( Ta a 1) 100 ( e b 1 ) T a = b = ln(a) ln(1+ p 100) ln ( 1 + p 100 ) T a ln(a) 6. Aufgabe Ein Pilz an einer Kellerwand wächst so stark, dass sich die befallene Fläche alle 3 Monate verdoppelt. Als der Pilz entdeckt wird (t = 0) beträgt die befallene Fläche 0.4 m 2. (a) Bestimmen Sie die Wachstumsfunktion. (b) Wie gross ist (theoretisch) die Fläche nach einem Jahr? 7. Aufgabe In einem 800 m 2 grossen Teich vermehrt sich eine Algenart sehr schnell: Die bedeckte Fläche verdreifacht sich jede Woche. (a) Bestimmen Sie die Wachstumsfunktion, wenn zum Zeitpunkt t = 0 eine Fläche von A 0 = 2.4 m 2 bedeckt ist. (b) Zeichnen Sie den Graphen der Wachstumsfunktion. ln(a) b (c) Nach welcher Zeit ist der ganze Teich mit Algen bedeckt? Seite 4 / 8

5 8. Aufgabe Die Anzahl Keime in Kuhmilch wächst exponentiell. Zwei Stunden nach dem Melken enthielt 1 cm 3 Milch 8000 Keime, nach einer weiteren Stunde waren es schon Keime. (a) Bestimmen Sie die Wachstumsfunktion. (b) Wie viele Keime enthielt die Milch unmittelbar nach dem Melken, 10 min nach dem Melken, einen Tag nach dem Melken? (c) in welcher Zeit verdoppelt bzw. verdreifacht sich die Anzahl der Keime? 9. Aufgabe Waldbestände wachsen näherungsweise exponentiell, wenn kein Holz geschlagen wird. Ein Bestand, der zur Zeit auf m 3 geschätzt wird, wächst jährlich um 2.5%. (a) Bestimmen Sie die Wachstumsfunktion. (b) Wie gross ist der Bestand in 10 Jahren? (c) Wie gross war der Bestand vor 5 Jahren? (d) In welcher Zeit verdoppelt sich der Waldbestand? 10. Aufgabe Ein Auto verliert im Laufe eines Jahres etwa 18% an Wert. (a) Bestimmen Sie die Funktion W (t) für den Wert des Autos, wenn der Neuwert Franken beträgt. (b) Bestimmen Sie den Wert nach 5 Jahren. (c) In welcher Zeit halbiert sich der Wert des Autos? (d) Ein (anderes) Auto hat heute einen Wert von 2400 Franken. Welchen Wert hatte das Auto vor 8 Jahren? 11. Aufgabe Beim radioaktiven Zerfall nimmt die Masse m einer radioaktiven Substanz exponentiell mit der Zeit ab. Bestimmen Sie für nachfolgende Substanzen jeweils: die Funktionsgleichung m (t), die Halbwertszeit T 1. 2 (a) Wismuth hat eine Zerfallsrate von 13% pro Tag. Zum Zeitpunkt t = 0 sind m 0 = 10 g Wismuth vorhanden. (b) Für bestimmte Untersuchungen verwendet man in der Medizin radioaktives Jod. Von anfänglich 4 mg sind nach einer Stunde noch 3 mg übrig. (c) Von einer gewissen Menge des Kohlenstoffisotops C14 sind nach 100 Jahren noch g übrig, nach 1000 Jahren noch g. Seite 5 / 8

6 12. Aufgabe Um wie viel Prozent nimmt der Wert einer Maschine jährlich ab, wenn ihr Wert nach 3 Jahren auf die Hälfte des Neuwerts gesunken ist? Seite 6 / 8

7 Harmonische Schwingung Harmonische Schwingungen sind wichtige Funktionen in der Technik: h sin (t) = A sin (ω t + ϕ 0 ) + x 0 = A sin (ω ( t t 0 )) + x 0 h cos (t) = A cos (ω t + ϕ 0 ) + x 0 = A cos (ω ( t t 0 )) + x 0 Die Kenngrössen harmonischer Schwingungen sind: A: Amplitude der Schwingung - maximale Auslenkung aus der Ruhelage. x 0 : Linearer Mittelwert - Verschiebung der Kurve in vertikaler Richtung. ω: Kreisfrequenz der Schwingung - Anzahl Schwingungen in der Zeitspanne 2 π. f: Frequenz der Schwingung - Anzahl Schwingungen in der Zeitspanne 1. Es gilt f = ω 2π T : Periodendauer einer Schwingung - Zeitdauer bis sich die Schwingung wiederholt. Es gilt T = 1 f = 2π ω ϕ 0 : Phasenverschiebung - Winkeloffset zum Zeitpunkt t = 0. t 0 : Zeitliche Verschiebung der Schwingung - Zeitpunkt für den Start der Grundschwingungen Sinus oder Kosinus. Es gilt t 0 = ϕ 0 ω Sinusschwingung (in der Grafik ist die Funktion h (t) = 2 sin ( 3 2 t + π 4 ) 2 dargestellt): Kosinusschwingung (in der Grafik ist die Funktion h (t) = 3 cos ( 2t π 3 ) + 1 dargestellt): Seite 7 / 8

13. Aufgabe Bestimmen Sie alle Kenngrössen der folgenden harmonischen Schwingungen und skizzieren Sie die Graphen: (a) f 1 (t) = 311 sin (2 π 50 t) (b) f 2 (t) = 2 sin ( ) 4t π 3 + 1 (c) f 3 (t) = 1

8 13. Aufgabe Bestimmen Sie alle Kenngrössen der folgenden harmonischen Schwingungen und skizzieren Sie die Graphen: (a) f 1 (t) = 311 sin (2 π 50 t) (b) f 2 (t) = 2 sin ( ) 4t π (c) f 3 (t) = 1 cos ( ) t + π 4 (d) f 4 (t) = sin ( t + 0.1) 2 (e) f 5 (t) = cos (1 t) (f) f 6 (t) = 1 sin (3t + π) Aufgabe Wie lauten die Funktionsgleichungen der dargestellten harmonischen Schwingungen? Seite 8 / 8

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