Aufgaben. zu Inhalten der 6. Klasse

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1 Aufgaben zu Inhalten der 6. Klasse Universität Klagenfurt, Institut für Didaktik der Mathematik (AECC-M) November 2010

2 Aufgaben vom Typ 1

3 Potenzen und Wurzeln Die folgende Tabelle enthält in jeder Zeile jeweils dieselbe Zahl in zwei verschiedenen Darstellungen. Vervollständigen Sie die Tabelle! Darstellung in Potenzschreibweise Darstellung in Wurzelschreibweise a 5 1 b 4

4 Ungleichung Gegeben ist die Ungleichung x 1 < 2x + 2. Lösen Sie die Ungleichung und stellen Sie die Lösungsmenge auf einer Zahlengeraden dar!

5 Umformen Die Anzahl N bestimmter Bakterien entwickelt sich im Laufe der Zeit t gemäß der Formel: Drücken Sie die Variable t aus der gegebenen Gleichung aus! t =

6 Logarithmus Gegeben ist die Gleichung 0. Für welches x ist die Gleichung erfüllt? x =

7 Normalvektor Gegeben sind die Punkte P(2/1/4) und Q(3/0/2). Bestimmen Sie die fehlende Koordinate des Vektors so, dass ein Normalvektor von ist!

8 Geraden Gegeben sind die Punkte A(2/1/1), B(4/3/0) und C(8/y/z). Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten des Punktes C so, dass alle drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen! y = z =

9 Rollende Kugel Eine Kugel mit dem Radius r = 2 cm rollt (auf der xy-ebene) längs einer Geraden, die durch die beiden Punkte A(5/1/0) und B(1/13/0) bestimmt ist (Längeneinheiten in cm). Geben Sie die Gleichung jener Geraden an, längs der sich der Mittelpunkt der Kugel bewegt!

10 Normalvektor und Gerade Gegeben ist ein Vektor im R 3 : Geben Sie eine Gleichung einer Geraden an, auf die dieser Vektor normal steht!

11 Punkte auf einer Geraden Gegeben sind die drei Punkte A (1 0 2), B(5 2 4) und C(7 3 5). Überprüfen Sie, ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen!

12 Dreieck Gegeben ist das Dreieck ABC. A (4 1 3), B (2 3 0), C (5 6 2) Aufgabenstellungen: Weisen Sie einen rechten Winkel nach! Berechnen Sie die Länge einer Seite!

13 Monotonie und Extrema Gegeben ist der Graph einer Funktion: 5 f(x) x Aufgabenstellungen: Beschreiben Sie das Monotonieverhalten im dargestellten Bereich! Geben Sie alle lokalen und globalen Extrema im Intervall [ 8; 8] an!

14 Eigenschaften einer Funktion Gegeben sind verschiedene Eigenschaften E1, E2, E3 und E4 für eine Funktion f. Für welchen Funktionstyp gelten welche Eigenschaften? Kreuzen Sie Zutreffendes an! Lineare Funktion f ( x) = a x + b a, b R Exponentialfunktion f ( x) = a b a R, x b R + weder noch E1: f x + 1) = f ( x) + a ( E2: f ( x 1) = a f ( x) + E3: f x + 1) = f ( x) + b ( E4: f ( x 1) = b f ( x) +

15 Holzbestand Ein Waldbesitzer entnimmt seinen Aufzeichnungen, dass der Holzbestand in seiner Waldparzelle innerhalb der letzten 10 Jahre von ursprünglich fm auf fm zugenommen hat. Die Forstbehörde nimmt eine lineare Zunahme für die nächsten 10 Jahre an. Er selbst meint, dass eine exponentielle Modellierung angemessener wäre. Hinweis : fm ( Festmeter ) ist die in der Forstwirtschaft gebräuchliche Bezeichnung für m³. Aufgabenstellungen: Berechnen Sie, um wie viel sich die beiden Prognosewerte unterscheiden! Welche Modellierung würden Sie wählen? Begründen Sie Ihre Entscheidung!

16 Funktion: Graph und Term Gegeben ist der Graph einer Funktion f vom Typ 2 f ( x) = a x + b mit den Parametern a, b R. Ermitteln Sie die Parameter a und b! a = b =

17 Funktionstyp Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Welcher Funktionstyp liegt vor? Kreuzen Sie an! 3 f ( x) = a x + b 2 f ( x) = a x + b 1 f ( x) = a x + b 2 f ( x) = a x + b 3 f ( x) = a x + b

18 Eine passt nicht Im Folgenden sehen Sie verschiedene Beschreibungen derselben Funktion doch eine davon passt nicht zu den übrigen. 1 x f(x) 3 0, , undef ,25 3 0, x f(x) 100 0, , undef , , f (x) = 1 2 x Jeder reellen Zahl x wird der Kehrwert ihres Quadrats zugeordnet. Jeder reellen Zahl x wird das Quadrat ihres Kehrwerts zugeordnet. Welche Beschreibung passt nicht zu den übrigen?

19 Zerfall Von einer radioaktiven Substanz zerfallen 1% dieser Substanz pro Zeiteinheit. Ermitteln Sie die Halbwertszeit der Substanz! Hinweis: Die Halbwertszeit gibt an, wie lange es dauert, bis nur mehr die Hälfte der Ausgangssubstanz vorhanden ist.

20 Temperatur In einem Labor wird zwischen 8:00 Uhr und 14:00 Uhr ein Experiment durchgeführt. Im Zuge dieses Experiments wird die Temperatur beginnend bei 10 Celsius so erhöht, dass sie pro Stunde um 4% steigt. ϑ(t) gibt die Temperatur zum Zeitpunkt t an, wobei die Zeit in Stunden (gerechnet ab 8:00 Uhr) angegeben wird. Aufgabenstellungen: a) Stellen Sie die Funktion ϑ im gegebenen Zeitintervall in der Form ϑ(t) = a b t dar! ϑ(t) = b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion im gegebenen Zeitintervall! ϑ(t) t

21 Bakterienwachstum Unter optimalen Bedingungen verdoppelt sich die Anzahl der Kolibakterien (Escherichia coli) alle zwanzig Minuten. Zu Beginn eines Experimentes werden in einer Bakterienkultur 100 Bakterien gezählt. Wie viele Bakterien gibt es unter optimalen Bedingungen nach einer bzw. nach zwei Stunden? Kontext-Info: Bakterien können tatsächlich einzeln ausgezählt werden. Die Anmerkung unter optimalen Bedingungen ist notwendig, da die Bakterienkultur nur in der so genannten log- Phase exponentiell wächst. [Quelle

22 Winkelfunktion Graph? Gegeben ist die Funktion f: R R: Zeichnen Sie den Graphen der Funktion im dargestellten Koordinatensystem ein! y π 6 π x -2-3

23 Finden einer Funktionsgleichung Gegeben ist der Graph einer Funktion. y x Kreuzen Sie an, welche der gegebenen Funktionsgleichungen zum skizzierten Funktionsgraphen passt! f(x) = sin(x) f(x) = sin(x 1) f(x) = sin(x+1) f(x) = cos(x)

24 Winkelfunktion Parameter? Im Folgenden sehen Sie den Graphen einer Sinusfunktion mit f(x) = a sin (b x + c). Sie hat eine Nullstelle bei x = π. 4 Geben Sie die Werte der Parameter a, b und c für die dargestellte Funktion an! a = b = c =

25 Differenzenquotient Gegeben sei eine reelle Funktion f, die im Intervall [a; b] nicht monoton ist. Skizzieren Sie einen entsprechenden Graphen für a = 4 und b = 8, in dem der Differenzenquotient negativ ist! f(x) x

26 Geschwindigkeit v(t) gibt die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t an. Kreuzen Sie die zutreffenden Interpretationen des Ausdrucks an! Der Ausdruck gibt an, um wie viel sich die Geschwindigkeit im Intervall [t 1 ; t 2 ] ändert. Der Ausdruck gibt die durchschnittliche Beschleunigung zwischen den Zeitpunkten t 1 und t 2 an. Der Ausdruck gibt an, um wie viel sich die Geschwindigkeit im Mittel im Intervall [t 1 ; t 2 ] ändert. trifft zu trifft nicht zu

27 Test Sieben Schüler absolvieren einen Test. Das arithmetische Mittel, über alle von den Schülern erreichten Punktwerte, ist 11. Ein achter Schüler, welcher während der ersten Testung krank war, schreibt den Test nach. Nimmt man den von ihm erreichten Punktwert dazu, erhöht sich das arithmetische Mittel über alle acht Punktwerte auf 12. Geben Sie an, wie viele Punkte der neue Schüler im Test erreicht hat!

28 Erdölprodukte In den beiden Liniendiagrammen ist der selbe Datensatz dargestellt, die optische Wirkung ist aber sehr unterschiedlich. Verbrauch an Erdölprodukten in Österreich 13 Verbrauch an Erdölprodukten in Österreich Mill. t Mill. t Welche Merkmale der linken Grafik wurden wie verändert, um die rechte Grafik zu erzeugen?

29 Aufgaben vom Typ 2 (Wahlaufgaben)

30 (Wahlaufgabe) Druck Im Laufe eines 8-minütigen Experiments verändert sich der Druck in einem mit Gas gefüllten Behälter. Die Funktion f mit p = f(t) ordnet der seit Beginn des Experiments vergangenen Zeit t (in Minuten) den im Behälter gegebenen Druck p (in bar) zu. Man weiß: Am Beginn beträgt der Druck 2 bar, innerhalb der ersten beiden Minuten beträgt die mittlere Änderungsrate des Drucks 3 bar. Der Änderungsfaktor 1 des Drucks bezogen auf das Zeitintervall [2; 3] ist 0,5. Der Zeitpunkt t = 5 ist eine lokale Maximumstelle der Funktion f. Im Zeitraum zwischen dem Beginn der vierten und dem Ende der siebten Minute ist die Funktion f weder durchgehend monoton steigend, noch monoton fallend. Am Ende des Experiments beträgt der Druck 4 bar. Skizzieren Sie im abgebildeten Koordinatensystem den möglichen Verlauf des Grafen der Funktion f! Nehmen Sie insbesondere eine angemessene Beschriftung der Achsen vor! Der Änderungsfaktor gibt an, mit welchen Wert f(x) multipliziert werden muss, um f(x+1) zu erhalten.

31 (Wahlaufgabe) Fremdenverkehrs-Nächtigungen Die Grafik zeigt die Entwicklung der Nächtigungen in Österreichs Fremdenverkehr in den Jahren 1995 bis 2008: 130 Fremdenverkehr Österreichs 125 Nächtigungen in Millionen y = 0,9011x Aufgabenstellungen: a) Der Trend der Entwicklung wird von einer Funktion (Graph und Gleichung im Diagramm) beschrieben. Mit welcher Funktion wird hier modelliert? Welche Annahme liegt dieser Modellierung zugrunde? b) Das Softwareprogramm EXCEL verwendet alle Daten zur Berechnung des Trends. Das Ergebnis passt optisch nicht besonders gut, weil die ersten beiden Ausreißer -Punkte die Gerade links hinaufziehen. Wenn man nur die Daten ab 1997 verwendet, müsste die Trendgerade steiler ausfallen. Zeichnen Sie eine Gerade nach Gefühl ein, die den Trend der Entwicklung ab 1997 zeigt! Ermitteln Sie für diese Trendgerade nach Gefühl den Anstieg! c) Berechnen Sie für beide Trendfunktionen jeweils den Prognosewert für das Jahr 2015!

32 (Wahlaufgabe) Trainingslager Ein Sportler absolviert einen Trainingslehrgang. Vor bzw. nach dem Lehrgang führt er je 8-mal einen bestimmten Schnelligkeitstest durch. Die Testergebnisse liegen in Form von Punkten vor, je höher die Punktezahl, desto besser ist die erbrachte Leistung einzuschätzen. Ergebnisse der Leistungsfeststellungen vor dem Lehrgang Ergebnisse der Leistungsfeststellungen nach dem Lehrgang Aufgabenstellungen: a) Inwieweit unterscheiden sich die vor bzw. nach dem Trainingslehrgang gemessenen Leistungen des Sportlers im Schnelligkeitstest? Argumentieren Sie auf Basis statistischer Kennzahlen, wie z.b. Mittelwert, Streuungsmaße, Median oder Perzentile! b) Kann aufgrund des vorliegenden Datenmaterials gefolgert werden, dass der Trainingslehrgang einen Einfluss auf die Leistung des Sportlers im betreffenden Schnelligkeitstest hatte? Begründen Sie Ihre Antwort!