Funktionale Zusammenhänge - Übungen

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1 Funktionale Zusammenhänge - Übungen 1. Die Temperatur in Grad Fahrenheit (T F ) kann aus der Temperatur in Grad Celsius (T C ) mit folgender Formel berechnet werden: T F = 1,8 T C + 32 a) Wieviel Grad Fahrenheit entsprechen 25 C? b) Wieviel Grad Celsius entsprechen 167 F? c) Geben Sie eine Formel zur Umrechnung von Grad Fahrenheit in Grad Celsius an. 2. Eine Badewanne enthält 600 l Wasser. 4 Minuten nach dem Öffnen des Abflusses sind noch 200 l in der Wanne. a) Wie viel Wasser rinnt pro Minute aus? b) Geben Sie die restliche Wassermenge als Funktion der Zeit t seit dem Öffnen des Abflusses (in Minuten) an und skizzieren Sie den Graphen dieser Funktion. c) Wann ist die Badewanne leer? 3. Die Mitgliederzahl eines Vereins t Jahre nach der Gründung wird durch die Funktionsgleichung M(t) = 50t beschrieben. Argumentieren Sie, welche Aussage(n) zutrifft (zutreffen): Der Verein hatte bei der Gründung 50 Mitglieder, jedes Jahr treten 250 Personen ein. Der Verein hatte bei der Gründung 250 Mitglieder, jedes Jahr treten 50 Personen ein. Der Verein hatte bei der Gründung 250 Mitglieder, jedes Jahr steigt die Mitgliederzahl um 50 %. 4. Eine Stadt hat Einwohner; die Einwohnerzahl nimmt jedes Jahr um 2,5 % zu. Welche der folgenden Funktionsgleichungen beschreibt (beschreiben) diese Zunahme? N(t) = ,5t N(t) = ,025 t N(t) = ,025 t N(t) = e 0,0247 t 5. Die Anzahl der Fische in einem Teich wird durch die Funktionsgleichung N(t) = 00 0,8 t beschrieben (t: Zeit in Jahren). Welche der folgenden Aussagen trifft (treffen) zu? Die Anzahl der Fische nimmt pro Jahr um 80 % ab nimmt pro Jahr um 20 % ab nimmt pro Jahr um 200 ab nimmt pro Jahr um ein Fünftel ab.

2 6. Die Orte A und B sind 12 km voneinander entfernt. a) Martina geht mit gleichbleibender Geschwindigkeit von 4 km/h von A Richtung B. Geben Sie eine Funktion s M an, die ihre Entfernung von A nach t Stunden beschreibt. b) Julian geht zur gleichen Zeit von B weg und kommt nach 2 Stunden in A an. Stellen Sie seine Entfernung von A als Funktion s J dar. c) Stellen Sie beide Funktionen grafisch dar und lesen Sie aus der Zeichnung ab, wann und wo Martina und Julian einander treffen. 7. Der Anhalteweg eines Fahrzeugs setzt sich aus Reaktionsweg und Bremsweg zusammen. In der Fahrschule lenrt man folgende Faustregeln: Reaktionsweg = Geschwindigkeit 3 Bremsweg = Geschwindigkeit Geschwindigkeit Schreiben Sie beide Regeln als Funktionsgleichungen an (v: Geschwindigkeit) und erklären Sie den wesentlichen Unterschied zwischen den beiden Funktionen. Wie ändert sich der Reaktionsweg bzw. der Bremsweg, wenn die Geschwindigkeit verdoppelt wird? 8. Semsi erzählt: Heute früh bin ich zuerst langsam in die Schule gegangen. Auf dem Weg habe ich meine Freundin getroffen. Wir sind einige Minuten stehen geblieben und haben miteinander geredet. Dann mussten wir schnell weitergehen, um noch rechtzeitig in die Schule zu kommen. a) Argumentieren Sie, welche der nebenstehenden Skizzen zu Semsis Erzählung passt. b) Lesen Sie aus der Skizze ab, wie lang Semsis Schulweg ist, mit welcher Geschwindigkeit sie allein gegangen ist und wie schnell sie mit ihrer Freundin unterwegs war.

3 9. Der Body-Mass-Index (BMI) wird nach folgender Regel ermittelt: Gewicht in kg BMI = (Körpergröße in m) 2 Eine Person mit einem BMI zwischen 19 und 25 gilt als normalgewichtig. a) Geben sie je eine Funktion für das Mindest- und Höchstgewicht an, mit dem eine Person mit einer Körpergröße von x Meter im Normalbereich liegt. b) In welchem Bereich liegt das Normalgewicht für eine 1,65 m große Frau? c) Ein 80 kg schwerer Mann ist normalgewichtig. Was können Sie über seine Größe sagen?. a) Nach einer Party hat eine Person einen Blutalkoholwert von 1,89 (entspricht 6 Bier und 2 Drinks). Pro Stunde nimmt dieser Wert um 0,1 ab. Stellen Sie den Funktionsterm auf, der den Blutalkoholwert nach t Stunden angibt. Wie hoch ist der Blutalkoholwert nach 4 Stunden? Wann ist die Person nach österreichischer Gesetzeslage wieder fahrtüchtig, d.h. der Blutalkoholwert ist unter 0,5? b) Der Nachweis eines Drogenkonsums (Cannabis) erfolgt durch den THC-Wert. Konsumiert eine Person an 2 aufeinanderfolgenden Tagen Drogen, so beträgt dieser THC-Wert 190. Pro Tag werden % des THCs im Körper abgebaut. Stellen Sie die Abbaufunktion auf, die den THC-Wert nach t Tagen angibt. Einfache Drogentests können einen THC-Wert über 50 erkennen. Wie viele Tage müssen mindestens vergehen, damit die Person bei einer Polizeikontrolle mit einem solchen einfachen Test nicht auffällig wird? c) Beschreiben Sie die wesentlichen Unterschiede der Abbauvorgänge aus Aufgabe a und b! Um welche Arten von Funktionen handelt es sich? 11. Aus einem Artikel über die Haltbarkeit von Milch: Anfangs ist die Zahl der Keime noch gering, doch ab einer kritischen Menge wird die Milch schlecht. In einem Liter frisch auf dem Bauernhof gemolkener Milch finden sich bei Eintreffen in der Molkerei bereits rund 20 Millionen Keime. Durch das Pasteurisieren nimmt ihre Zahl schlagartig ab, doch die verbliebenen Keime vermehren sich rasch wieder. Bei 30 Grad Celsius verdoppelt sich die Anzahl der Keime innerhalb einer halben Stunde. Kälte bremst diesen Vorgang. Nach fünf Tagen hat sich die Keimzahl in einem ungeöffneten Milchpackerl im Kühlschrank versechzehnfacht... (Profil, ) a) Aus welchem Satz im Artikel geht hervor, dass sich die Keime exponentiell vermehren? Welche Eigenschaft von exponentiellem Wachstum wird hier angesprochen? b) Um wieviel Prozent vermehren sich die Keime im Kühlschrank pro Tag? Wie lange dauert es, bis sich ihre Anzahl verdoppelt?

4 12. Ein Autofahrer fährt mit 72 km/h. als er ein Hindernis auf der Fahrbahn bemerkt. 40 m vor dem Hindernis steigt er auf die Bremse. Der Weg, den er ab diesem Zeitpunkt zurücklegt, wird durch die Funktionsgleichung s(t) = 20t - 2t² beschrieben (t: Zeit in Sekunden, s: Weg in Meter). Nach 5 Sekunden kommt das Auto zum Stehen. a) Schafft es der Autofahrer, noch vor dem Hindernis anzuhalten? b) Welcher der folgenden Graphen gehört zu dieser Funktion? Weitere Übungen zum Zuordnen von Graphen:

5 Ergebnisse: 1. a) 77 F b) 75 C c) T C = T 32 F 1,8 bzw. T C = 5 9 (T F 32) 2. a) 0 l b) N(t) = 600-0t c) nach 6 Minuten 3. Der Verein hatte bei der Gründung 250 Mitglieder, jedes Jahr treten 50 Personen ein. 4. N(t) = ,025t; N(t) = e 0,0247 t 5. Die Anzahl der Fische nimmt pro Jahr um 20 % bzw. um ein Fünftel ab. 6. a) s M (t) = 4t b) s J (t) = 12-6t c) nach 1,2 h, 4,8 km von A entfernt 7. r (v) = 3v ( ) ; b (v)= v Der Reaktionsweg ist eine lineare, der Bremsweg eine quadratische Funktion. Bei doppelter Geschwindigkeit wird der Reaktionsweg doppelt so lang, der Bremsweg vier mal so lang. a) links unten (Steigung = Geschwindigkeit ist zuerst niedriger, der waagrechte Abschnitt entspricht der Zeit, in der sie gestanden sind, dann wird die Steigung höher) b) Schulweg: 2 km; Geschwindigkeit allein: 4 km/h, mit Freundin: 6 km/h a) y min = 19x², y max = 25x² b) 51,7 kg bis 68,1 kg c) Er ist zwischen 1,79 m und 2,05 m groß. a) f(t) = 1,89 0,1 t; nach 4 Stunden 1,49 Promille; nach ca. 14 Stunden fahrtüchtig b) d) N(t) = 190 0,9t; nach ca. 13 Tagen c) Alkoholabbau: Lineare Funktion, immer gleiche Abbaumenge pro Zeiteinheit Drogenabbau: Exponentialfunktion, Abbaumenge am Beginn höher, wird dann immer geringer, dadurch länger nachweisbar. a) Bei 30 Grad Celsius verdoppelt sich die Anzahl der Keime innerhalb einer halben Stunde. Bei exponentiellem Wachstum ist die Verdopplungszeit konstant. b) 74 %; 1,25 Tage 12. a) Nein, der Bremsweg beträgt 50 m. b) Bild x² - 4x 3x² - 3 x/3-1 -x² + 2x x² + x - 2-3x + 3