Lineare Funktionen Anwendungen

Transkript

1 Lineare Funktionen Anwendungen 1. Die Erzieherinnen und Erzieher im Kindergarten Kunterbunt trinken gerne Kaffee. Die Vorratsdose enthält momentan 1,8 kg Kaffeebohnen. Wöchentlich werden 350 g für die Kaffeemaschine benötigt. (a) Stellen Sie die Funktionsgleichung V(x) auf, die den Inhalt der Vorratsdose in Abhängigkeit von den Wochen angibt.. (b) Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Kaffeevorrat aufgebraucht ist. (c) Kaffee soll nachbestellt werden, wenn die Vorratsdose nur noch 400 g enthält. Geben Sie an, wann das der Fall sein wird. (d) Zeichnen Sie den Funktionsgrafen in ein geeignetes Koordinatensystem. 2. In den USA misst man die Temperatur in Grad Fahrenheit. 0 C entsprechen 32 F, 100 C entsprechen 212 F. (a) Geben Sie eine Gleichung für die Umrechnung von Celsius (T C ) in Fahrenheit (T F ) an und stellen Sie den Zusammenhang grafisch dar. (b) Wie viel F entsprechen (i) 20 C, (ii) -10 C? (c) Wie viel C entsprechen (i) 0 F, (ii) 100 F? (Daniel Fahrenheit wählte als Nullpunkt seiner Skala die tiefste Temperatur des strengen Winters 1708/1709 in seiner Heimatstadt Danzig; 100 F entsprach seiner eigenen Körpertemperatur.) 3. Der Schnellimbiss MC-Pommes benötigt für die Fritteusen täglich 19 kg frisches Fett. Momentan sind noch 250 kg im Lager vorhanden. (a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die den Zusammenhang zwischen dem Fett im Lager und den Tagen angibt und zeichnen Sie den Grafen in ein geeignetes Koordinatensystem. (b) Bei einem Lagerbestand von 95 kg soll der Filialleiter nachbestellen. Berechnen Sie, nach wie viel Tagen die Bestellung erfolgen muss. (c) Wie lange reicht das Fett, wenn nicht nachbestellt wird? (d) Geben Sie eine Formel für jene Anzahl der Tage, zu der nachbestellt werden muss, wenn bei einem Lagerbestand von B kg nachbestellt werden soll. 4. Die Pferdeställe auf dem Ponyhof Robinson müssen in bestimmten Zeitabständen ausgemistet und mit frischem Stroh versorgt werden. Dabei fallen täglich 2,5 m³ Mist an. Der Misthaufen hat momentan ein Volumen von 11 m³. Maximal können 50 m³ Mist gelagert werden. (a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die die Größe des Misthaufens in Abhängigkeit von der Zeit angibt, und zeichnen Sie den dazugehörigen Grafen in ein geeignetes Koordinatensystem. (b) Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Mist abgefahren werden muss. (c) Berechnen Sie, vor wie viel Tagen das letzte Mal Mist abgefahren wurde.

2 5. Holger und Ali haben die Vertragskonditionen für ihre Handys nie gelesen. Beide behaupten, sie hätten jeweils den günstigsten Vertrag und stützen sich dabei auf folgende Daten: Holger zahlt 10,10, wenn er im Monat 30 Minuten telefoniert und 13,70 bei 60 Minuten. Ali zahlt 10,80, wenn er im Monat 40 Minuten telefoniert und 15,20 bei 80 Minuten. (a) Stellen Sie für beide Verträge die Funktionsgleichungen auf. (b) Zeichnen Sie beide Grafen in ein geeignetes Koordinatensystem. (c) Begründen Sie, wer von den beiden den günstigeren Vertrag hat. 6. Zur Versorgung der Futterautomaten im Streichelzoo Koalabär benötigt die Tierpflegerin täglich 7,5 kg Tierfutter. Zwölf Tage nachdem das Futterlager zum letzten Mal aufgefüllt wurde, befinden sich dort noch 250 kg. (a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die den Zusammenhang zwischen dem Inhalt des Futterlagers und den vergangenen Tagen beschreibt, und zeichnen Sie den dazugehörigen Grafen in ein geeignetes Koordinatensystem. (b) Berechnen Sie, auf welche Menge das Futterlager vor zwölf Tagen aufgefüllt wurde. (c) Bei einem Lagerbestand von 50 kg wird der Bestand wieder auf die unter b) berechnete Menge aufgestockt. Berechnen Sie, wann das erforderlich ist. 7. Der Telefondienst Handybillig (HB) bietet an: Jede Gesprächsminute kostet 0,06 bei einer monatlichen Grundgebühr von 8,50. Die Konditionen von Handypreiswert (HP) lauten: Jede Gesprächsminute kostet 0,08 bei einer monatlichen Grundgebühr von 5. (a) Ihnen stehen 25 monatlich zum Telefonieren zur Verfügung. Erklären Sie, welchen Dienst Sie wählen und wie lange Sie bei dem gewählten Anbieter telefonieren können. (b) Stellen Sie die Ergebnisse von a) im Koordinatensystem dar. 8. In einem großen Hotel erfolgt die Warmwasserbereitung für Badezimmer elektrisch mittels Durchlauferhitzer. Pro Jahr entstehen Kosten für elektrische Energie. Die Umrüstung auf Fernwärme kostet einmalig Die danach anfallenden Energiekosten betragen nur noch 5000 pro Jahr. Geben Sie an, nach welcher Zeit sich die Investition rentiert. Wie hoch sind die Kosten zu diesem Zeitpunkt? 9. Aus 80 kg Zuckerrohr lassen sich 8,5 kg Zucker herstellen. Eine Funktion f(x) beschreibt, wie viel kg Zucker man aus x kg Zuckerrohr erhält. (a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x). (b) Berechnen Sie f(100); f(250); f(x) = 25. (c) Interpretieren Sie die Zahlen aus b). 10.In eine zylinderförmige Regentonne mit 1 m² Grundfläche fließen 80 Liter pro Stunde. Beschreiben Sie die Füllhöhe h in Abhängigkeit von der Zeit t, wenn zu Beginn (t = 0) 150 Liter in der Tonne waren.

3 11.Die Blutalkoholkonzentration (BAK) kann mit folgender Formel abgeschätzt werden: c= V e ρ m r Dabei bedeutet: c: Alkoholkonzentration im Blut in Promille V: Volumen des Getränks in ml e: Alkoholvolumenanteil ρ = 0,8: Dichte von Alkohol m: Masse der Person in kg r: Reduktionsfaktor (Männer: 0,7, Frauen: 0,6) Pro Stunde nimmt sie um 0,1 bis 0,2 ab. (a) Ein 75 kg schwerer Mann trinkt 1,5 l Bier (5 % Alkohol). Wie viel Alkohol hat er direkt danach im Blut? (b) Geben Sie die BAK nach t Stunden als Funktion an, wenn pro Stunde 0,15 abgebaut werden. Skizzieren Sie den Funktionsgraphen. (c) Wann darf der Mann wieder ein Fahrzeug lenken (BAK höchstens 0,5 )? 12.Ein Tarifmodell eines Energieversorgers setzt sich aus einer monatlischen Grundgebühr G und den Verbrauchskosten p pro kwh zusammen. Dabei entsteht ein linearer Zusammenhang K(x) = px + G. Folgende Tarife stehen zur Verfügung: Tarife monatliche Grundgebühr in Preis pro kwh in Tarif I 11,80 0,157 Tarif II 9,00 0,172 Tarif III 14,40 0,135 Tarif IV 18,50 0,125 (a) Stellen Sie für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf. (b) Ermitteln Sie für den monatlichen Verbrauch von 800 kwh einer Durchschnittsfamilie den günstigsten Anbieter. (c) Welche Bedeutung haben die Schnittpunkte der Funktionen? 13.Eine Brauerei rechnet für die Auslieferung seiner Getränkekisten mit dem eigenen Verkaufsfahrzeug 0,80 pro Kiste bei monatlichen Fixkosten von 840. (a) Erstellen Sie einen Term für die Kosten der Auslieferung von x Kisten. Welche Kosten entstehen für die Auslieferung von 2500 Kisten? (b) Ein Logistikunternehmen bietet die Auslieferung von Getränkekisten für 1,15 pro Kiste an. Erstellen Sie einen Term für die kosten der Auslieferung von x Kisten. Für welche Auslieferungszahlen ist das Logistikunternehmen kostengünstiger? (c) Unterbreiten Sie der Brauerei ein Angebot, sodass die Kosteneinsparung bei einem Absatz von 4000 Kisten 680 beträgt.

4 14.Ein Eisenträger hat die Länge I 0 = 85 m und einen Ausdehnungskoeffizienten α= K 1. Ein Funktionsterm I(Δ t)=i 0 +α I 0 Δ t beschreibt die Länge des Eisenträgers in Abhängigkeit von der Temperaturänderung Δ t in K (Kelvin). (a) Geben Sie den Funktionsterm für die Länge dieses Eisenträgers an. (b) Berechnen Sie die Länge des Eisenträgers für folgende Temperaturänderungen: 30 K; 60 K; 40 K. (c) Wie lang müsste ein Eisenträger sein, der bei einer Temperaturerhöhung um 25 K eine Längenänderung von 25 mm erfährt? 15.Der elektrische Widerstand eines Leiters verursacht einen Spannungsabfall. Die Spannung U, die dem Kunden zur Verfügung steht, wird mit folgender Formel berechnet: U(I)=U 0 R I Daten: U 0 = 2000 V; R = 1,17 Ω U 0 Generatorspannung in Volt R Leistungswiderstand in Ohm I Stromstärke in Ampere U V =R I Spannungsabfall in Volt (a) Welche Spannung steht dem Verbraucher bei einem Strom von 25 A zur Verfügung? Wie hoch ist der Spannungsabfall? (b) Welche physikalische Bedeutung hat die Nullstelle von U? Wie groß muss dafür der Strom sein? 16.Eine Firma produziert Laufräder für Kinder. Für Maschinen, Löhne, Miete und dergleichen werden monatliche Fixkosten von gerechnet. Die Kosten pro Stück betragen 21,50. Die Räder kommen und 80 in den Großhandel. (a) Modellieren Sie die Funktionsgleichung der Kostenfunktion K(n) und der Erlösfunktion E(n). (K(n), E(n) in Euro und n in Stück) (b) Ermitteln Sie, bei welcher Anzahl an verkauften Rädern der Erlös erstmals die Kosten deckt. (c) Stellen Sie die Gleichung der Gewinnfunktion auf. (d) Berechnen Sie, bei welcher Anzahl an verkauften Rädern ein Gewinn von 1000 erzielt wird. 17.In der Glasmanufaktur werden in einem Monat Gläser produziert. Die Fixkosten betragen , die Produktionskosten pro Glas betragen 1,50. (a) Stellen Sie die Kostenfunktion auf und berechnen Sie die Gesamtkosten bei voller Auslastung ( Gläser). (b) Wie hoch sind die durchschnittlichen Kosten pro Glas, wenn man von voller Auslastung der Kapazität ausgeht? Runden Sie auf zwei Nachkommastellen! (c) Wie hoch sind die durchschnittlichen Kosten, wenn man nur mit 60% Auslastung rechnen kann? Runden Sie auf zwei Nachkommastellen! 18.Verwenden Sie die Angaben aus 17): Die Gläser sollen nun verkauft werden. Die Glasmanufaktur verlangt pro Glas einen Preis von 4. (a) Wie hoch ist der Gewinn, wenn alle Gläser verkauft werden können? (b) Wie hoch ist der Gewinn, wenn bei 70% der Auslastung alle Gläser verkauft werden? (c) Wie viel Stück muss der Betrieb produzieren und zu 4 verkaufen, um alle Kosten zu decken? (d) Zu welchem Preis muss das Unternehmen ein Glas verkaufen, wenn es bei einem Verkauf von Gläsern einen Gewinn in der Höhe von machen möchte?

5 19.Die Orte A und B sind 12 km voneinander entfernt. (a) Martina geht mit gleichbleibender Geschwindigkeit von 4 km/h von A Richtung B. Geben Sie eine Funktion s M an, die ihre Entfernung von A nach t Stunden beschreibt. (b) Julian geht zur gleichen Zeit von B weg und kommt nach 2 Stunden in A an. Stellen Sie seine Entfernung von A als Funktion s J dar. (c) Stellen Sie beide Funktionen grafisch dar und lesen Sie aus der Zeichnung ab, wann und wo Martina und Julian einander treffen. 20.Autofahrer A fährt um 8:00 Uhr von Hamburg in Richtung München los.. Gleichzeitig fährt Autofahrerin B in München Richtung Hamburg los. Die Autobahnentfernung von Hamburg nach München beträgt 750 km. Fahrer A fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 120 km/h, Fahrerin B mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 150 km/h. (a) Erstellen Sie für A und B jeweils eine Weg-Zeit-Funktion, die die Entfernung der Autos von Hamburg angibt. (b) Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch, wann und wo sich beide Autos treffen. 21.Ein Fahrzeug hat die Geschwindigkeit 30km/h und fährt um 12 Uhr beim Punkt A vorbei. Ein zweites Fahrzeug fährt mit 90km/h und passiert A 20 Minuten später. (a) Erstellen Sie für beide Fahrzeuge eine Funktion, die die jeweilige Entfernung des Fahrzeuges vom Punkt A angibt. (b) Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch, wann und wo ein Fahrzeug das andere überholt. 22.Zwei Fahrzeuge A und B kommen mit den Geschwindigkeiten 40 km/h und 60 km/h von zwei Orten P und Q, die 50 km voneinander entfernt sind, einander entgegen. Dabei fährt das zweite 30 Minuten nach dem ersten ab. (a) Erstellen Sie für A und B jeweils eine Weg-Zeit-Funktion, die die Entfernung der Fahrzeuge von P angibt. (b) Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch, wann und wo sich beide Autos treffen. 1. a) V(x) = 350x b) nach 5 Tagen c) nach 4 Tagen 2. a) T F = 1,8 T C + 32 b) 68 F, 14 F c) 18 C, 38 C 3. a) F(x) = 19x b) nach 8 Tagen c) 13 Tage d) x = (250 B)/19 4. a) M(x) = 2,5x + 11 b) nach 15 Tagen c) 4 Tage zuvor 5. a) H(x)= 0,12x + 6,5; A(x) = 0,11x + 6,4 c) Ali, da sowohl Grundgebühr als auch Anstieg niedriger 6. a) F(x) = 7,5x b) 340 kg c) in 27 Tagen 7. a) mit HB 275 Minuten, bei HP 250 Minuten 8. nach 2,5 Jahren, bis dahin f(x) = 17/160 x b) 10,63; 26,56; x = 235,29 c) aus 100 kg/250 kg Zuckerrohr kann man 10,63 kg/26,56 kg Zucker herstellen; für 25 kg Zucker benötigt man 235,29 kg Zuckerrohr 10. h(t) = 0,8t + 1,5 11. a) 1,14 b) BAK(t) = 1,14 0,15t c) 4,27 Stunden 12. a) K I (x) = 0,157x + 11,8; K II (x) = 0,172x + 9; K III (x) = 0,135x + 14,4; K IV (x) = 0,125x + 18,5 b) K IV (118,50 ) c) Punkte, an denen Kosten bei gleichem Verbrauch gleich hoch 13. a) A(x) = 0,8x b) A(x) = 1,15x, bei weniger als 2400 Kisten c) 0,84 pro Kiste 14. a) I( t) = ,00102 t b) 85,03 m; 85,06 m; 85,04 m c) 2,45 m 15. a) 1970,75 V; 29,25 V b)1709,4 A; kein Strom kommt beim Verbraucher an 16. a) K(n) = 21,5n ; E(n) = 80n b) bei 684 verkauften Rädern c) G(n) = 58,5n d) bei 701 Rädern 17. a) K(x) = 1,5x ; b) 3,17 c) 4, a) b) 3750 c) Gläser d) 4, a) s M (t) = 4t b) s J (t) = 12 6t c) nach 1,2 Stunden 4,8 km von A entfernt 20. a) A(t) = 120t; B(t) = t b) 2 h 47 min; 333 km von Hamburg entfernt 21. a) F 1 (t) = 30t; F 2 (t) = 90(t 1/3) = 90t 30 b) nach 30 min überholt Fahrzeug 2 Fahrzeug 1 15 km von Punkt A entfernt 22. a) A(t) = 40t; B(t) = 50 60(t 0,5) = 80 60t b) nach 0,8 Stunden 32 km von P entfernt