Arbeitsblatt Woche 20 (v 0) 1 Bestimmen Sie die Steigungswinkel der Graphen der folgenden Funktionen. 1. f(x) = 1x f(x) = 1. 3.

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Robert Klein
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1 1 Bestimmen Sie die Steigungswinkel der Graphen der folgenden Funktionen 1. f(x) = 1x f(x) = 1 3. f(x) = 2x tan(322π) f(x) = 1 5. Der Graph der linearen Funktion geht durch die Punkte P (2 1) und Q(4 5). 2 Steigungswinkel einer linearen Funktion Ein Graph einer linearen Funktion f mit dem Steigungswinkel α = 135 geht durch den Punkt A( 3 3). Bestimmen Sie f. 3 Fahren über einen Hügel Welcher max. Steigungswinkel muss beim Fahren über den Hügel bewältigt werden? 1

2 4 Straÿen Zwei Straÿen kreuzen sich. Im Bereich der Kreuzung können die Straÿen durch folgende Funktionsgleichungen dargestellt werden: f(x) = 0, 5x + 2 g(x) = 0, 5x 3 + 0, 3x 2 + 0, 2 Berechnen Sie den Schnittwinkel der beiden Straÿen. 5 Rutsche In der unteren Abbildung ist die Seitenansicht einer Rutsche gegeben. Finden Sie die Funktion f, die den Verlauf der Rutsche beschreibt. f ist dabei eine zur y-achse symmetrische Parabel. Wir wissen der Punkt P = ( 1, 5 21 ) liegt auf der Rutsche! Berechnen 16 Sie den Winkel der Rutsche wo die Steigung am gröÿten ist! 6 Weidendom Es soll ein 22 Meter breiter und elf Meter hoher Dom aus Weiden (Abbildung 1) gebaut werden, der die Form eines Paraboloids hat. 1. Erstellen Sie eine passende Funktionsgleichung für die Kuppel des Weidendoms. 2. Erklären Sie, wie man mithilfe von Funktionsgleichungen den Neigungswinkel der Weidenzweige am Boden des Doms berechnen kann und berechnen Sie diesen. 2

Das Brett ist laut Skizze am linken Endpunkt horizontal eingespannt, im rechten Endpunkt P hat der Graph die Krümmung null. (Siehe Abbildung 2) Abbildung 2: Abbildung zu Beispiel 7 1.

3 Abbildung 1: Abbildung zu Beispiel 6 7 Sprungbrett Wenn eine Person am Ende eines Sprungbretts steht, so biegt es sich nach unten. Die Form des durchgebogenen Bretts kann durch einen Abschnitt einer Polynomfunktion angenähert werden. Das Brett ist laut Skizze am linken Endpunkt horizontal eingespannt, im rechten Endpunkt P hat der Graph die Krümmung null. (Siehe Abbildung 2) Abbildung 2: Abbildung zu Beispiel 7 1. Begründen Sie, warum der Verlauf des unter Belastung stehenden Bretts mit den genannten Eigenschaften zumindest eine Polynomfunktion 3. Grades sein muss. 2. Durch das Gewicht des Springers biegt sich das Brett so nach unten, dass der Endpunkt P die Koordinaten (2 0, 3) erreicht. Stellen Sie das Gleichungssystem auf, das die Bedingungen für die Koezienten a, b, c, d der Polynomfunktion f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d festlegt und ermitteln Sie die Funktionsgleichung. 3

4 3. Durch das Gewicht eines anderes Springers ergibt sich die Form des Bretts nach der Funktionsgleichung f(x) = 0, 02x 3 0, 12x 2. Der Endpunkt P hat die Koordinaten (2 y) Berechnen Sie den Winkel, den die Tangente im rechten Endpunkt P mit der Richtung des unbelasteten Bretts einschlieÿt. 8 Tunnel Zwischen zwei gleich hoch gelegenen Orten A und B, die 7, 2km auseinander liegen, soll eine geradlinige Eisenbahnlinie gebaut werden. Auf dieser Strecke soll zwischen den Punkten C und D ein gerader Tunnel gebaut werden. D ist von B 4 km entfernt. (Siehe Abbildung 3) Abbildung 3: Abbildung zu Beispiel 8 1. Es werden im Ort M Vermessungen der Winkel α und β vorgenommen. AM bildet mit der Strecke AB einen rechten Winkel. Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Länge des Tunnels in Abhängigkeit von α und β. 2. Für 1 Kilometer Tunnellänge inklusive der Schienenverlegung sind Euro Kosten veranschlagt. Für 1 Kilometer Schienenverlegung auÿerhalb des Tunnels rechnet man mit Euro Berechnen Sie die projektierten Gesamtkosten bei einer Tunnellänge von 900 m. Es wird behauptet, dass sich bei einem Aufschub 4

5 des Tunnelbaus um 12 Jahre bei einer Kostenerhöhung um 6 % pro Jahr die Gesamtkosten mindestens verdoppeln würden. Argumentieren Sie, ob das zutrit. 9 Erlösfunktion Die Herstellung und der Verkauf einer Ware werden in Bezug auf Kosten, Erlös und Gewinn untersucht. Der Verkaufserlös kann durch die folgende Funktionsgleichung dargestellt werden: E(x) = 0, 4x , 8x Wobei x... Verkaufsmenge in Mengeneinheiten (ME) E(x)... Erlös bei einem Verkauf von x(me) in Geldeinheiten (GE) Berechnen Sie jene Verkaufsmenge, bei der der Erlös maximal wird. Geben Sie den maximalen Erlös an. 10 Umgehungsstraÿe Um den Ortsteil Ebersdorf E der ostthüringischen Stadt Saalburg-Ebersdorf und einige weitere Gemeinden soll eine Umgehungsstraÿe gebaut werden. Die bisherige Straÿenführung verläuft von Q über E nach P. Ein Vorschlag für die Umgehungsstraÿe ist die Strecke P Q. (Der Sachverhalt wird in Abbildung 4 in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dargestellt.) 1. Berechnen Sie die Länge QR eines Teils der Umgehungsstraÿe mit α = 45! 2. Der Mittelpunkt M der Strecke QR ist der Punkt der Umgehungsstraÿe, der von E den kleinsten Abstand besitzt. Eine Bürgerinitiative fordert für die Entfernung dieser Straÿe vom Ort E einen Mindestabstand von einem Kilometer. Zeigen Sie, dass diese Forderung mit dem Projekt für die Umgehungsstraÿe bei α = 45 nicht erfüllt ist. 3. Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Streckenlänge ER in Abhängigkeit des Winkels α. 5

6 Abbildung 4: Abbildung zu Beispiel Krankheitsverlauf In Folge einer schweren Lebensmittelvergiftung liegt Hubert schon seit einigen Tagen im Krankenhaus. Nach Erfahrung der Mediziner lässt sich der Verlauf des Fiebers näherungsweise durch folgende Funktionsgleichung modellieren: T (x) = 2xe 0,2x + 2e 2,91 Wobei T (x)... Temperatur in grad Celsius in Abhängigkeit der Zeit x in Tagen seit dem Verzehr der verdorbenen Mahlzeit x... Anzahl der Tage seit dem Verzehr der verdorbenen Mahlzeit 1. Berechnen Sie die Temperatur mithilfe der Funktionsgleichung zum Zeitpunkt x = 0. Interpretieren Sie das Ergebnis von T(0). 2. Ermitteln Sie den Zeitraum, in dem die Temperatur steigt und den maximalen Wert der Temperatur. 3. Beschreiben Sie das Verhalten der Funktion für sehr groÿe x. Begründen Sie bezüglich des Zusammenhangs Körpertemperatur und Lebensmittelvergiftung das 6

Verhalten der Funktion für sehr groÿe x. 4. Erklären Sie, wieso der Graph nicht durch eine Exponentialfunktion folgender Form modelliert werden kann: T (x) = T 0 e λx. 12 Skatepark 1.

7 Verhalten der Funktion für sehr groÿe x. 4. Erklären Sie, wieso der Graph nicht durch eine Exponentialfunktion folgender Form modelliert werden kann: T (x) = T 0 e λx. 12 Skatepark 1. Folgende Grak zeigt den Entwurf einer Halfpipe im Querschnitt: - Erstellen Sie eine Formel für die Berechnung des Flächeninhalts A der grauen Fläche (Querschnittsäche) aus a, b, h und r. Die Halfpipe soll aus Beton gefertigt werden. Die Dichte von Beton wird häug in den Einheiten Tonnen pro Kubikmeter (t/m 3 ) oder Gramm pro Kubikzentimeter (g/cm 3 ) angegeben. - Zeigen Sie, dass sich bei der Umwandlung von t/m 3 in g/cm 3 die Maÿzahl nicht verändert. 2. Die Geschwindigkeit einer Skaterin in Abhängigkeit von der Zeit lässt sich näherungsweise mithilfe der Funktion v beschreiben. Der Graph dieser Funktion ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt. 7

8 - Ermitteln Sie grasch die mittlere Änderungsrate im Intervall [0,0.2] - Beschreiben Sie die Bedeutung von v (0.3) im gegebenen Sachzusammenhang. 3. Der zurückgelegte Weg eines Skaters in Abhängigkeit von der Zeit lässt sich näherungsweise mithilfe der Funktion s beschreiben. Der Graph dieser Funktion ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt. - Ermitteln Sie die mittlere Geschwindigkeit zwischen t = 0, 6 s und t = 1, 2 s 4. Im Skatepark steht Trinkwasser zur Verfügung. An einer Wand ist ein Wasserauslass montiert, aus dem unter einem Tiefenwinkel von 80 ein Wasserstrahl austritt. Der Verlauf des Wasserstrahls kann näherungsweise durch den Graphen einer Funktion f dargestellt werden: f(x) = ax 2 + bx + c 8

9 x... horizontale Entfernung von der Wand in Zentimetern (cm) f(x)... Höhe an der Stelle x in cm Der Graph der Funktion f ist im nachstehenden Diagramm dargestellt: Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Koezienten a, b und c der Funktion f ermittelt werden können. Verwenden Sie dabei die Punkte A und B sowie den angegebenen Winkel. 9

13 Verdopplungszeit von Bakterien 1. Die Masse eines Escherichia-coli-Bakteriums beträgt 10 12 g. Die Verdoppelungszeit des Bakteriums beträgt unter bestimmten Voraussetzungen 17 Minuten.

10 13 Verdopplungszeit von Bakterien 1. Die Masse eines Escherichia-coli-Bakteriums beträgt g. Die Verdoppelungszeit des Bakteriums beträgt unter bestimmten Voraussetzungen 17 Minuten. - Berechnen Sie die Masse in Tonnen, die durch Zellteilung aus einem Bakterium dieser Art nach 17 Stunden (theoretisch) entstanden ist. 2. Eine Menge von 100 Lactobacillus-acidophilus-Bakterien vermehrte sich innerhalb von 6 Stunden auf eine Anzahl von Bakterien. - Ermitteln Sie aus dieser Angabe die genaue Verdoppelungszeit in Minuten. 3. Die Verdoppelungszeit des Streptococcus-lactis-Bakteriums beträgt 26 Minuten. Zu Beginn (t = 0) sind 100 Bakterien vorhanden. - Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Funktion, die das exponentielle Wachstumsverhalten dieser Bakteriumart beschreibt, mit folgenden Parametern: t... Zeit in Minuten B(t)... Anzahl der Bakterien - Skizzieren Sie im nachstehenden Diagramm das exponentielle Wachstumsverhalten von 100 Streptococcus-lactis-Bakterien. 4. In einer bestimmten Wachstumsphase kann man die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit näherungsweise durch eine Exponentialfunktion B beschreiben: B(t) = B 0 e λt mit t 0 10

11 t... Zeit in Minuten, t = 0 ist Beobachtungsbeginn B(t)... Anzahl der Bakterien zur Zeit t B 0... Anzahl der Bakterien zur Zeit t = 0, B 0 > 0 λ... Konstante, λ > 0 - Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht. 11

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