Vergleichsklausur 12.1 Mathematik vom Am Rande eines Naturschutzgebietes befindet sich ein kleineres Regenrückhaltebecken.

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1 Ohne CAS S./4 Aufgabe : Das Regenrückhaltebecken Am Rande eines Naturschutzgebietes befindet sich ein kleineres Regenrückhaltebecken. Dieses ist mit m Wasser bis zur Unterkante eines seitlich gelegenen Ablaufrohres teilweise gefüllt. Durch das Rohr kann das Wasser in einen nahe gelegenen Fluss abfließen. Bei einem plötzlich einsetzenden Platzregen steigt der Wasserstand im Becken, da das Ablaufrohr die Wassermassen nicht bewältigen kann. Die nachfolgende Grafik zeigt die Zuflussrate/Abflussrate in m 3 pro h in Abhängigkeit von der Zeit in h. Zuflussrate in m 3 /h Zeit in h a) Geben Sie die Zeitintervalle an, in denen Wasser zuläuft und die Intervalle, in denen Wasser abläuft. b) Begründen Sie, warum 5 Stunden nach Beginn des Platzregens die Wassermenge im Becken größer ist als vorher. c) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt das Becken am stärksten gefüllt ist und begründen Sie Ihr Ergebnis. d) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die größte Zulaufrate vorliegt und begründen Sie Ihr Ergebnis. e) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die größte Ablaufrate vorliegt und begründen Sie Ihr Ergebnis. f) Begründen Sie anschaulich, dass 9 Stunden nach Beginn des Platzregens in etwa der alte Wasserstand erreicht ist. g) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die maximale Änderung der Zulaufrate vorliegt und begründen Sie Ihr Ergebnis.

2 Ohne CAS S.2/4 Aufgabe 2 Start einer Silvesterrakete Eine Silvesterrakete wird senkrecht vom Erdboden in den Nachthimmel geschossen. Der Treibsatz brennt in 4s (Sekunden) ab, d.h. die Rakete wird in diesem Moment nicht mehr beschleunigt. Nachdem der Treibsatz ausgebrannt ist, nimmt die Geschwindigkeit der weiterhin senkrecht aufsteigenden Rakete innerhalb von 2s linear auf im höchsten Punkt ab. m 0 s Der gesamte Geschwindigkeitsverlauf für den Aufstieg der Rakete ist im nebenstehenden Diagramm idealisiert dargestellt. a) Bestimmen Sie anhand des Diagramms, wann die Rakete ihre maximale Geschwindigkeit und wann sie ihre maximale Flughöhe erreicht. Geben Sie begründet einen ungefähren Wert für die maximale Flughöhe an. b) Ermitteln Sie Funktionsterme zur Beschreibung der Raketengeschwindigkeit für die beiden Zeitabschnitte 0s t 4s und 4s t 6s. c) Bestimmen Sie rechnerisch in welche maximale Höhe über dem Erdboden die Rakete aufsteigt.

3 Ohne CAS S.3/4 Aufgabe 3 Alternative: Ganzrationale Funktionen Berliner Bogen Das Gebäude in den Abbildungen heißt Berliner Bogen und steht in Hamburg. Ein Architekt in Shanghai möchte gerne das gewölbte Glasdach für einen Neubau kopieren. Die Dachkonstruktion soll ähnliche Maße wie das Original haben: Es soll eine Höhe von 36 m haben und unten doppelt so breit sein wie es hoch ist. Die Länge am Boden (Tiefe des Baus, ohne die überstehenden Teile des Dachs) soll40 m betragen. a) Erklären Sie, inwiefern die quadratische Funktion f mit den Bogen modelliert. f x 36 2 ( ) = x + 36 b) Unter dem Glasdach soll ein quaderförmiges Bürogebäude eingebaut werden (siehe Skizze). Ermitteln Sie dessen Maße so, dass der Rauminhalt dieses Bürogebäudes maximal wird. [Zur Kontrolle: Die Breite beträgt ungefähr 40 m.] c) Zwischen dem Glasdach und dem quaderförmigen Bürogebäude sollen im Erdgeschoss Pflanzen und Sitzgruppen aufgestellt werden. Auf dem Dach des Bürogebäudes ist eine Cafeteria geplant. Bestimmen Sie, wie viel Raum (in m 3 ) insgesamt zwischen Glasdach und Gebäude dafür frei bleibt.

4 Ohne CAS S.4/4 Aufgabe 3 Alternative: Exponentialfunktionen Krankheitsverlauf In Folge einer schweren Lebensmittelvergiftung liegt Franz schon seit einigen Tagen im Krankenhaus. Nach Erfahrung der Mediziner lässt sich der Verlauf des Fiebers ungefähr gemäß 0,2 2,9 ( ) 2x e x 2 e T x = + modellieren, wobei x für den Zeitraum in Tagen seit dem Verzehr der verdorbenen Mahlzeit steht. Bearbeiten Sie die folgenden Probleme mit Mitteln der Differentialrechnung! a) Zeigen Sie, dass Franz unmittelbar nach dem Genuss des verdorbenen Essens erkrankt, d.h., dass die Temperatur sofort ansteigt. b) Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Temperatur steigt und den maximalen Wert der Temperatur. c) Berechnen Sie den Wendepunkt des Graphen von T und untersuchen Sie das Verhalten der Funktion für sehr große x. d) Skizzieren Sie den Graphen und interpretieren Sie die Ergebnisse innerhalb des oben dargestellten Kontextes. e) Als Franz Krankenbesuch von seinem Freund Fritz erhält, will dieser ihn trösten und erzählt, ihm sei es vor einigen Monaten genauso gegangen. Nach 4 Tagen aber sei er wieder völlig gesund gewesen. f) Prüfen Sie diese Aussage unter der Annahme, dass sich das Fieber bei Fritz damals auch gemäß T ( x) entwickelt hat.

5 Mit CAS S./5 Aufgabe : Das Regenrückhaltebecken Am Rande eines Naturschutzgebietes befindet sich ein kleineres Regenrückhaltebecken. Dieses ist mit m Wasser bis zur Unterkante eines seitlich gelegenen Ablaufrohres teilweise gefüllt. Durch das Rohr kann das Wasser in einen nahe gelegenen Fluss abfließen. Bei einem plötzlich einsetzenden Platzregen steigt der Wasserstand im Becken, da das Ablaufrohr die Wassermassen nicht bewältigen kann. Die nachfolgende Grafik zeigt die Zuflussrate/Abflussrate in m 3 pro h in Abhängigkeit von der Zeit in h. Zuflussrate in m 3 /h Zeit in h a) Geben Sie die Zeitintervalle an, in denen Wasser zuläuft und die Intervalle, in denen Wasser abläuft. b) Begründen Sie, warum 5 Stunden nach Beginn des Platzregens die Wassermenge im Becken größer ist als vorher. c) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt das Becken am stärksten gefüllt ist und begründen Sie Ihr Ergebnis. d) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die größte Zulaufrate vorliegt und begründen Sie Ihr Ergebnis. e) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die größte Ablaufrate vorliegt und begründen Sie Ihr Ergebnis. f) Begründen Sie anschaulich, dass 9 Stunden nach Beginn des Platzregens in etwa der alte Wasserstand erreicht ist. g) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die maximale Änderung der Zulaufrate vorliegt und begründen Sie Ihr Ergebnis.

6 Mit CAS S.2/5 Aufgabe 2 Start einer Silvesterrakete Eine Silvesterrakete wird senkrecht vom Erdboden in den Nachthimmel geschossen. Der Treibsatz brennt in 4s (Sekunden) ab, d.h. die Rakete wird in diesem Moment nicht mehr beschleunigt. Nachdem der Treibsatz ausgebrannt ist, nimmt die Geschwindigkeit der weiterhin senkrecht aufsteigenden Rakete innerhalb von 2s linear auf im höchsten Punkt ab. m 0 s Der gesamte Geschwindigkeitsverlauf für den Aufstieg der Rakete ist im nebenstehenden Diagramm idealisiert dargestellt. a) Bestimmen Sie anhand des Diagramms, wann die Rakete ihre maximale Geschwindigkeit und wann sie ihre maximale Flughöhe erreicht. Geben Sie begründet einen ungefähren Wert für die maximale Flughöhe an. b) Ermitteln Sie Funktionsterme zur Beschreibung der Raketengeschwindigkeit für die beiden Zeitabschnitte 0s t 4s und 4s t 6s. c) Bestimmen Sie rechnerisch in welche maximale Höhe über dem Erdboden die Rakete aufsteigt. 2 d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt zu dem die Rakete eine Höhe von6 3 m erreicht.

7 Mit CAS S.3/5 Aufgabe 3 Alternative: Ganzrationale Funktionen Berliner Bogen Das Gebäude in den Abbildungen heißt Berliner Bogen und steht in Hamburg. Ein Architekt in Shanghai möchte gerne das gewölbte Glasdach für einen Neubau kopieren. Die Dachkonstruktion soll ähnliche Maße wie das Original haben: Es soll eine Höhe von 36 m haben und unten doppelt so breit sein wie es hoch ist. Die Länge am Boden (Tiefe des Baus, ohne die überstehenden Teile des Dachs) soll40 m betragen. a) Erklären Sie, inwiefern die Graphen der quadratischen Funktion 2 f mit f ( x) = x + 36 und der Funktion g vom Grad 4 mit g x 36 den Bogen modellieren ( ) = x Zeichnen Sie die Graphen beider Funktionen mit ihrem CAS und übertragen Sie eine Skizze in Ihre Klausurunterlagen. Begründen Sie kurz, welche der beiden Funktionen den Bogen besser modelliert. b) Nehmen Sie an, man würde das Gebäude gemäß der Modellierungen mit den Graphen der Funktionen f oder g bauen. Geben Sie an, welches der beiden Gebäude den größeren vom Glasdach umbauten Raum besäße. Bestimmen Sie, wie viel Kubikmeter der Volumenunterschied beträgt.

8 Mit CAS S.4/5 c) Dem Architekten gefällt die Form des Graphen von g nicht. Deshalb wählt er einen zweiten Ansatz mit einer allgemeinen Polynomfunktion 4. Grades. c) Begründen Sie mit den oben angegebenen Maßen, dass für diese Funktion gilt: fa ( x) = ax ( + 36 a) x c2) Zeichnen Sie den Graphen für a = 0,000[Fenster: 50 x + 50; 50 y + 50 ] und übertragen Sie eine Skizze in Ihre Klausurunterlagen. Begründen Sie, inwiefern dieser Graph zur Modellierung des Bogens nicht geeignet ist. c3) Verkleinern Sie a schrittweise zwischen 0,0000 und 0,0000und beobachten Sie die Veränderungen am Graphen. Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen. Leiten Sie eine Bedingung her, mit der man berechnen kann, ab welchem a das Problem aus c2) behoben ist.

9 Mit CAS S.5/5 Aufgabe 3 Alternative: Exponentialfunktionen Krankheitsverlauf In Folge einer schweren Lebensmittelvergiftung liegt Franz schon seit einigen Tagen im Krankenhaus. Nach Erfahrung der Mediziner lässt sich der Verlauf des Fiebers ungefähr gemäß 0,2x 2,9 ( ) T x = 2x e + 2 e modellieren, wobei x für den Zeitraum in Tagen seit dem Verzehr der verdorbenen Mahlzeit steht. Bearbeiten Sie die folgenden Probleme mit Mitteln der Differentialrechnung! a) Zeigen Sie, dass Franz direkt nach dem Genuss des verdorbenen Essens erkrankt, d.h., dass die Temperatur sofort ansteigt. b) Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Temperatur steigt und den maximalen Wert der Temperatur. c) Als Franz Krankenbesuch von seinem Freund Fritz erhält, will dieser ihn trösten und erzählt, ihm sei es vor einigen Monaten genauso gegangen. Nach 4 Tagen aber sei er wieder völlig gesund gewesen. Prüfen Sie diese Aussage unter der Annahme, dass sich das Fieber bei Fritz damals auch gemäß T ( ) x entwickelt hat. d) Skizzieren Sie den Graphen von T mit Angabe des Zeichenbereichs. In einem anderen Modell wird der Verlauf des Fiebers bei einer solchen Infektion beschrieben durch die Funktion T2 mit T2 x x x x x ( ) = (, ) e) Skizzieren Sie den Graphen von T2 und vergleichen Sie mit dem Graphen von T : In welchem Bereich verläuft die Fieberkurve grundsätzlich anders als beit? Erläutern Sie, in welchen Grenzen die Modellierung durcht 2 überhaupt nur sinnvoll ist.