Ganzrationale Funktion

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1 Zur Übung Funktinenklassen Ganzratinale Funktin Expnentialfunktin Integratin Integratinsmethden Riemannsummen MnteCarlMethde Ausschneiden Auszählen Integratinsregeln Summenregel Faktrregel Partielle Integratin Substitutin Besndere Ableitungen Expnentialfunktin Ln-Funktin Umkehrfunktin Differentialgleichungen Linear 1. Ordnung hmgen Linear 1. Ordnung inhmgen Ppulatinsdynamik

2 Ganzratinale Funktin Der Graph einer ganzratinalen Funktin f dritten Grades hat im Ursprung des Krdinatensystems die Steigung 144. P(8 128) ist der Wendepunkt des Graphen. Bestimmen Sie den zugehörigen Funktinsterm mit Hilfe eines geeigneten Gleichungssystems. Benutzen Sie im Flgenden f (t) t³ -24t²+144t. Berechnen Sie die Krdinaten der Achsenschnittpunkte und die relativen Extrempunkte des Graphen vn f. Die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in einem Stausee einer Bergregin lässt sich in den ersten 12 Stunden nach sehr starken Regenfällen näherungsweise durch die bige Funktin f, deren Graph abgebildet ist, beschreiben. [t : Zeit in Stunden (h), f (t ): Zuflussgeschwindigkeit in m³/h] Beschreiben Sie, was in biger Skizze dargestellt wird und geben Sie das Ergebnis kurz an Begründen Sie mit Hilfe des Graphen und geeigneter Funktinswerte, dass der Zeitraum, in dem die Zuflussgeschwindigkeit mindestens 120 m³/h beträgt, länger als 7 Stunden ist. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph vn f mit der t-achse zwischen t 0 und t 12 einschließt. Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. Berechnen Sie die Wassermenge, die innerhalb der ersten 2 Stunden zufließt. Bestimmen Sie das zwei Stunden umfassende Zeitintervall, in dem die größte Wassermenge zufließt. Ermitteln Sie dazu einen rechnerischen Ansatz, mit dem das gesuchte Intervall bestimmt werden kann. Beschreiben Sie (kurz) den Lösungsweg. Eine Durchführung der Rechnungen ist nicht erfrderlich.

3 Ganzratinale Funktin Um die Wasserstände eines Flusses vrherzusagen, kann man versuchen, die Durchflussgeschwindigkeit des Wassers an einer bestimmten Stelle des Flusses mit Hilfe geeigneter Funktinen zu beschreiben. Slche näherungsweise Beschreibungen der Durchflussgeschwindigkeiten seien z. B. gegeben durch die Funktinenschar fa mit Dabei gibt fa(t) die Durchflussgeschwindigkeit in 10 6 m³/mnat (Millinen Kubikmeter pr Mnat) und t die verstrichene Zeit in Mnaten seit Beginn der Vrhersage (t 0) an. Die Funktinen fa berücksichtigen, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrcknet. Berechnen Sie abhängig vm Parameter a, zu welchen Zeitpunkten gerade kein Wasser durch den Fluss fließt. Ermitteln Sie in Abhängigkeit vn a, zu welchen Zeitpunkten die Durchflussgeschwindigkeit ein relatives Maximum bzw. Minimum annimmt, und berechnen Sie diese Funktinswerte. Ermitteln Sie in Abhängigkeit vn a, wann die Durchflussgeschwindigkeit besnders stark absinkt, Beschreiben Sie, was in biger Skizze dargestellt wird und geben Sie das Ergebnis kurz an Begründen Sie, warum kein Punkt der Funktinsgraphen vn fa im Bereich t 0 unterhalb der t-achse liegt und inwiefern dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar ist. Geben Sie das Verhalten vn fa für t gegen unendlich an und begründen Sie, b die Funktinen auch nach den ersten 8 Mnaten nch eine sinnvlle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern. Ermitteln Sie für a 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Mnaten durch den Fluss fließen. Betrachten Sie nun zwei verschiedene Funktinen fa1 und fa2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt t0, zu dem für beide Funktinsannahmen (seit t 0 ) genau gleich viel Wasser durch den Fluss geflssen wäre.

4 Expnentialfunktin Gegeben ist die Funktin f mit Ein Teil des Graphen vn f ist für 0 t <=15 abgebildet. Zeigen Sie, dass der Graph vn f punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Bestimmen Sie rechnerisch die lkalen Extremstellen und Wendestellen vn f. Geben Sie zudem die Krdinaten der Extrempunkte an. Bestimmen Sie mit Hilfe eines geeigneten Integratinsverfahrens eine Stammfunktin vn f. [Zur Kntrlle und weiteren Verwendung: ( ) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vn der t-achse, dem Graphen vn f und der Geraden mit t 10 eingeschlssen wird. Für 0 <=t <=15 beschreibt f (t) mdellhaft die mmentane Sauerstffprduktin einer Buche an einem Smmertag mit 15 Stunden Snnenscheindauer ab dem Snnenaufgang (t 0), wbei man t in Stunden und f (t) in m³ pr Stunde angibt. Beschreiben Sie, was in biger Skizze dargestellt wird Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen vn f in diesem Sachzusammenhang unter Verwendung biger Ergebnisse. Interpretieren Sie den ben berechneten Flächeninhalt in diesem Sachzusammenhang. Bestimmen Sie, wie viele Snnenstunden vergangen sind, bis die Buche insgesamt 20 m³ Sauerstff prduziert hat. Eine Funktin g sll nun die mmentane Sauerstffprduktin in m³ pr Stunde an einem snnigen Herbsttag beschreiben. Die Snnenscheindauer beträgt 12 Stunden und die Intensität der auf die Blätter treffenden Strahlung ist geringer als an einem Smmertag. Damit verbunden ist eine geringere Sauerstffprduktin. Das Maximum wird nach 4 Stunden (t 4) erreicht, als 4 Stunden nach Snnenaufgang (t 0). Skizzieren Sie den Graphen einer möglichen Funktin g in die ben abgebildete Zeichnung. Begründen Sie, wie man den Funktinsterm vn f verändern kann, damit man den Term einer möglichen Funktin g erhält.

5 Integratin Stellen Sie die unterschiedlichen Verfahren zur Bestimmung vn Flächen gegenüber Riemannsummen MnteCarlMethde Ausschneiden Auszählen Fläche zwischen 2 Kurven Integratinsregeln Summenregel Faktrregel Partielle Integratin Substitutin Hier überall Beispiele selber im Buch suchen und lösen Besndere Ableitungen Expnentialfunktin Ln-Funktin Umkehrfunktin Hier Beispiele selber suchen und lösen Differentialgleichungen Linear 1. Ordnung hmgen Linear 1. Ordnung inhmgen Ppulatinsdynamik Diskutieren Sie unterschiedliche Mdelle, die die Bevölkerungsentwicklung vn Bakterien beschreiben könnten und stellen Sie die entsprechenden Differentialgleichungen auf und lösen Sie sie (wie im Unterricht und auf AB zur Ppulatinsdynamik).