a) f(5) = 82,0 repräsentiert die Einwohneranzahl in Deutschland im Jahr Also 82 Millionen Einwohnerzahl.

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1 Hausaufgabenlösungen Lambacher Schweizer Mathematik Qualifikationsphase Leistungskurs / Grundkurs Nordrhein-Westfalen ISBN Seite 12 Aufgabe 1 a) f(5) = 82,0 repräsentiert die Einwohneranzahl in Deutschland im Jahr Also 82 Millionen Einwohnerzahl. Der Ausdruck f(6) f(5,5) 0,1 gibt die durchschnittliche Änderungsrate (also die 6 5,5 durchschnittliche Geschwindigkeit) zwischen das 5,5. und das 6. Jahr an. In diesem Zeitraum hat sich die Einwohnerzahl um 0,1 Millionen Einwohner pro Jahr verringert. b) T (1) = 25 bedeutet, dass nach einer Minute die Temperatur 25 Grad beträgt nach zehn Minuten (f(10)= 1) 1 Grad. = 1 gibt die durchschnittliche Änderungsrate von der. bis zur 5. Minute Der Ausdruck T(5) T() 5 an. Demnach steigt die Temperatur in diesem Zeitraum um einen Grad Celsius pro Minute an. c) v(5) = 25 gibt die Geschwindigkeit von 25 Meter pro Sekunde in der fünften Sekunde an. v (8) = 16 gibt die Beschleunigung von 16 Meter pro Quadratsekunde in der achten Sekunde an. Aufgabe 2 a) Skizze: b) f(x) = 0,25 x 2 (x 2)(x + 1) + 1 f(x) = ( 0,25 x + 0,5x 2 )(x + 1) + 1 f(x) = 0,25 x + 0,5x 0,25x + 0,5x f (x) = x + 0,75x 2 + x + 1

2 Seite 1 a) (A) () ; (B) (); (C) (1); (D) (2) b) (A) f(x) = x + 8 x2 1 f (x) = x x (B) f(x) = (x + 1) f (x) = 2x + 2 (C) f(x) = 2 cos(x) f (x) = 2 sin(x) (D) f(x) = 11 5 x x2 + 1 f (x) = 5 x x Aufgabe a) f(x) = 2x f (x) = x = x Ι : 1 = x b) g(x) = x x 1 g (x) = x 2 = x 2 Ι + 8 = x 2 Ι 8 = x2 Ι

3 8 = x = x 2 Aufgabe 5 a) f(x) = 2 x 2 6x + 6,5 f (x) = x 6 g(x) = x 8x x g (x) = x 2 16x + 16 h(x) = x 5x 2 + h (x) = x 10x b) 0 = x 6 Ι = x Ι 6 = x f ( 6 ) = 2 (6 ) 2 6 ( 6 ) + 6,5 = 2 E ( 6 ; 2) 0 = x 2 16x + 16 Ι 0 = x 2 16 x + 16 x 1,2 = 8 ± ( 8 ) 2 x 1 = 16 x 2 = g ( ) = ( ) 8 ( 2 ) + 16 ( ) = g () = () 8 () () = 0 E 1 ( ; )

4 E 2 ( ; 0) 0 = x 10x 0 = x (x 2 10) x 1 = 0 und x 2 10 = 0 Ι + 10 x 2 = 10 Ι x 2 = 10 Ι x 2 = 10 x = 10 2 h ( 10 ) = ( 10) 5 ( 10 ) + = 9 2 h ( 10 ) = ( 10 ) 5 ( 10 ) + = 9 E 1 ( 10 ; 9 ) E 2 ( 10 ; 9 ) c) GTR nutzen Aufgabe 6 a) Falsch. Nur Nullstellen der ersten Ableitung sind potentielle Extremstellen der Funktion. b) Richtig. Da die Ableitungsfunktion an der Stelle 2 eine Nullstelle hat und die Steigung vor und nach der Nullstelle im positiven Bereich ist, handelt es sich hier um einen Sattelpunkt. c) g hat eine Extremstelle und einen Sattelpunkt. d) Richtig. Mit wachsendem x wächst auch f(x) oder bleibt gleich. e) g hat einen Tiefpunkt und einen Sattelpunkt.

5 Aufgabe 7 a) f(t) = 0,01 t + 0,2 t 2 2,08 t + 6,8 f (t) = 0,0 t 2 + 0,6 t 2,08 1 = 0,0 t 2 + 0,6 t 2,08 Ι 1 0 = 0,0 t 2 + 0,6 t,08 0 = t 2 6 t + 08 Ι ( 0,0) x 1,2 = 2 ± ( 2 2 ) 08 x 1 = 1 x 2 = 22 Um 1 Uhr und um ca. 7 Uhr steigt die Temperatur um einen Grad Celsius pro Stunde. b) 0 = 0,0 t 2 + 0,6 t 2,08 Ι ( 0,0) 0 = t 2 6 t x 1,2 = 2 ± ( 2 2 ) 208 x 1 = 52 x 2 = f ( 52 ) = 0,01 (52 ) + 0,2 ( 52 2 ) 2,08 ( ) + 6,8 = 27 f() = 0,01 () + 0,2 () 2 2,08 () + 6,8 = Höchste Temperatur um ca. 17 Uhr mit 1,85 Grad Celsius Tiefsttemperatur um Uhr mit Grad Celsius. Seite 1 Aufgabe 8 a) f(x) = x + 1 b) f (x) = x 2 Aufgabe 11

6 a) f(x) = 1 x x 2 + 8x + 1 f (x) = x 2 6x + 8 f () = 2 6 () + 8 = 0 b) = x 2 6x + 8 Ι 0 = x 2 6x + 5 x 1,2 = ± 2 5 x 1 = 5 x 2 = 1 f(5) = 1 (5) (5) (5) + 1 = 2 f(1) = 1 (1) (1) (1) + 1 = 19 P 1 (5 ; 2 ), P 2 ( 1 ; 19 ) c) f (x) = x 2 6x + 8 Ι Quadratische Ergänzung f (x) = x 2 6x f (x) = x 2 6x f (x) = (x 2 6x + 2 ) f (x) = (x ) = (x ) 2 1 Ι = (x ) 2 Ι ±1 = x Ι + x 1 = und x 2 = 2 Außerhalb des Intervalls [2; ] haben besitzt die Funktion eine positive Steigung. Aufgabe 12 Die Funktionen sind parallel zu einander. Aufgabe 1 a) Falsch. Die Werte sollten positiv sein. b) Richtig. Es handelt sich nämlich um eine Parabel. c) Das gilt nicht immer.

7 d) Das gilt nicht immer. Es könnte sich auch um einen Sattelpunkt handeln. e) Richtig. f) Das gilt nicht immer. Die Nullstellen der ersten Ableitung sind nur potentielle Extremstellen. Aufgabe 1 a) m = T(2) T(0) 2 m = m = ,5 In den ersten beiden Stunden sind die Temperatur mit einer Geschwindigkeit von,5 Grad Celsius pro Stunde. b) Mit GTR Seite 15 Aufgabe 15 a) Mit GTR b) m 1 = r(1) r(0,5) 0,5 π 8π m 1 = 0,26 0,5 m 2 = r(1,5) r(1) 0,5 9 8π π m 2 = 0,18 0,5 Im ersten Intervall wächst der Radius um 0,26 Meter pro Liter und im zweiten Intervall wächst der Radius um 0,18 Meter pro Liter. c) Mit GTR Aufgabe 16 a)

8 f(t) = 0,000t 0,02t + 0,605t 2 f (t) = 0,0012t 0,072t 2 + 1,21t f (t) = 0,006t 2 0,1t + 1,21 f (t) = 0,0072t 0,1 0 = 0,006t 2 0,1t + 1,21 Ι 0,006 0 = t 2 0t t 1,2 = 20 ± t 1 28 t 2 12 f (28) = 0,0072 (28) 0,1 = f (12) = 0,0072 (12) 0,1 = höchst Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 12 Sekunden erreicht. b) m = f(0) f(20) 20 m = c) GRT Aufgabe 17 a) Alles trifft zu. b) Alles trifft zu. = 5,1 5,1 m s 1,2 km h c) Der blaue Graph trifft nicht zu. Aufgabe 18 a) (1) Die Extremstelle sollte bei 0 sein und es müsste ein Hochpunkt sein, weil die Steigung zu erst positiv ist und anschließend negativ. (2) Die Extremstellen sollten bei -1 und 1 sein. Bei -1 sollte der Tiefpunkt sein und bei 1 der Hochpunkt.

9 () Die Extremstellen sollten bei -2 und 0 sein. Bei -2 sollte der Hochpunkt liegen und bei 0 der Tiefpunkt. b) Skizze Aufgabe 19 Individuelle Lösung Seite 17 Aufgabe 1 a) [- ; -2] rechtsgekrümmt ; [-2; 1] linksgekrümmt; [1;,5] rechtsgekrümmt; [,5; ] linksgekrümmt b) [- ; ] linksgekrümmt c) [- ; 1] linksgekrümmt; [1; ] rechtsgekrümmt; [;6] linksgekrümmt; [6 ; 8] rechtsgekrümmt; [8 ; ] linksgekrümmt Aufgabe 2 a) linksgekrümmt x 1 ; x, rechtsgekrümmt x ; x 5, linksgekrümmt x 5 ; x 7 b) f(x) = 1 12 x 9 8 x2 f (x) = 1 x 9 x f (x) = x 2 9 f ( ) = ( ) 2 9 = 27 linksgekrümmt im Intervall f ( 1) = ( 1) 2 9 = 5 rechtgekrümmt im Intervall f (2) = (2) 2 9 = 7 linksgekrümmt im Intervall Aufgabe a) f(x) = x 2 + 2x + f (x) = 2x + 2 f (x) = 2 Funktion ist rechtgekrümmt. b)

10 f(x) = x x f (x) = x 2 1 f (x) = 6x [ ; 0] rechtsgekrümmt, [0 ; ]linksgekrümmt c) f (x) = x x 2 9x 5 f (x) = x 2 6 x 9 f (x) = 6x 6 [ ; 1] rechtsgekrümmt, [1 ; ]linksgekrümmt d) f(x) = x + x 2 f (x) = x + 2x f (x) = 12x linksgekrümmt e) f(x) = x 6x 2 f (x) = x 12x f (x) = 12x = 12x 2 12 x 1 = 1 ; x 2 = 1 [ ; 1] linksgekrümmt, [ 1,1] rechtsgekrümmt, [1; ]linksgekrümmt f) f(x) = 1 x + x 2 2 f (x) = x + 6x f (x) = x = x linksgekrümmt g) f(x) = 1 x6 20x 2 f (x) = 2x 5 0x f (x) = 10x 0 0 = 10x 0 x 1 = 2; x 2 = 2 [ ; 2] linksgekrümmt; [ 2; 2] rechtsgekrümmt; [2; ]linksgekrümmt h) f(x) = 1 20 x x + 2 x f (x) = 1 x + 2x x2

11 f (x) = x + 6x 2 + 9x 0 = x + 6x 2 + 9x 0 = x(x 2 + 6x + 9) x 1 = 0 und x 2 + 6x + 9 = 0 x 1,2 = ± ( ) 2 9 x 1,2 = [ ; ] linksgekrümmt, [ ; ]rechtsgekrümmt i) f(x) = (x + 2) 2 (x 1) 2 [ ; 1,5]rechtsgekrümmt, [ 1,5; 0,25]linkgekrümmt, [0,25; ]rechtsgekrümmt siehe GTR Aufgabe a) Erste Ableitung positiv, zweite Ableitung negativ b) Erste Ableitung negativ, zweite Ableitung positiv c) Erste Ableitung negativ, zweite Ableitung positiv Seite 18 Aufgabe 6 a) A: f(x) negativ; f (x) positiv; f (x) positiv B: f(x) 0; f (x) positiv; f (x) positiv C: f(x) positiv; f (x) positiv; f (x) positiv b) A: f(x) negativ; f (x) positiv ; f (x) negativ B f(x) 0; f (x) positiv; f (x) negativ C: f(x) positiv; f (x) 0; f (x) negativ D: f(x) positiv; f (x) negativ; f (x) 0 E: f(x) 0; f (x) 0; f (x) positv F: f(x) positiv; f (x) positiv; f (x) positiv c) A: f(x) negativ; f (x) positiv; f (x) negativ B: f(x) negativ; f (x) 0 ; f (x) negativ C: f(x) 0; f (x) positiv; f (x) 0 D: f(x) positiv; f (x) positiv; f (x) positiv

12 Aufgabe 7 a) An x 2 am kleinsten und x am größten b) x 1 am kleinsten und x 6 am größten c) Bei der zweiten Ableitung handelt es sich um eine Parabel Aufgabe 8 Siehe GRT Aufgabe 9 a) Wenn f eine Funktion zweiten Grades ist und f eine lineare Funktion. b) Nein x kein auch Null annehmen. c) Nein. Beispiel Sattelpunkt. Aufgabe 10 a) Lösung suchen Seite 20 Aufgabe 1 a) f(x) = x x 2 Notwendige Bedingung f (x) = 0 f (x) = x 2 6x 0 = x 2 6x 0 = x(x 6) 0 = x 1 0 = x 6 Ι +6 6 = x Ι 2 = x 2 Hinreichende Bedingung f (x E ) 0 f (x) = 6x 6 f (0) = 6(0) 6 = 6 < 0 HP f (2) = 6(2) 6 = 6 > 0 TP Punktberechnung f (0) = (0) (0) 2 = 0 HP (0; 0)

13 f (2) = (2) (2) 2 = 6 TP (2; 6) b) f(x) = x 12x Notwendige Bedingung f (x) = 0 f (x) = x = x 2 12 Ι = x 2 Ι = x 2 Ι 2 = x 1 und 2 = x 2 Hinreichende Bedingung f (x E ) 0 f (x) = 6x f (2) = 6(2) = 12 > 0 TP f ( 2) = 6( 2) = 12 < 0 HP Punktberechnung f ( 2) = ( 2) 12( 2) = 16 HP ( 2; 16) f (2) = (2) 12(2) = 16 TP (2; 16) c) f(x) = 1 x 2 x2 + 1 Notwendige Bedingung f (x) = 0 f (x) = x 2 x 0 = x 2 x 0 = x(x ) 0 = x 1 0 = x 0 = x Ι + = x 2 Hinreichende Bedingung f (x E ) 0 f (x) = 2x

14 f (0) = 2(0) = < 0 HP f () = 2() = > 0 TP Punktberechnung f (0) = 1 (0) 2 (0)2 + 1 = 1 HP (0; 1) f () = 1 () 2 ()2 + 1 = 16 TP (; 7 2 ) d) f(x) = x + 6x 2 Notwendige Bedingung f (x) = 0 f (x) = x x 0 = x x 0 = x( x + 12) 0 = x 1 0 = x + 12 Ι = x Ι ( ) = x 2 Hinreichende Bedingung f (x E ) 0 f (x) = 6x + 12 f (0) = 6(0) + 12 = 12 > 0 TP f () = 6() + 12 = 12 > 0 HP Punktberechnung f (0) = (0) + (0) 2 = 0 TP (0; 0) f () = () + 6() 2 = 2 TP (; 2) e) f(x) = 1 6 x + 2x Notwendige Bedingung f (x) = 0 f (x) = 1 2 x2 + 2

15 0 = 1 2 x2 + 2 Ι 2 2 = 1 2 x2 = x 2 Ι ( 2) Ι 2 = x 1 und 2 = x 2 Hinreichende Bedingung f (x E ) 0 f (x) = x f (2) = (2) = 2 < 0 HP f ( 2) = ( 2) = 2 > 0 TP Punktberechnung f (2) = 1 6 (2) + 2(2) = 8 HP (2; 8 ) f ( 2) = 1 6 ( 2) + 2( 2) = 8 TP ( 2; 8 ) f) f(x) = 1 x + x 2 9x Notwendige Bedingung f (x) = 0 f (x) = x 2 + 8x 9 0 = x 2 + 8x 9 x 1,2 = ± () x 1 = 1 und x 2 = 9 Hinreichende Bedingung f (x E ) 0 f (x) = 2x + 8 f (1) = 2(1) + 8 = 10 > 0 TP f ( 9) = 2( 9) + 8 = 10 < 0 HP Punktberechnung f (1) = 1 (1) + (1) 2 9(1) = 1 TP (1; 1 ) f ( 9) = 1 ( 9) + ( 9) 2 9( 9) = 162 HP ( 9; 162) Aufgabe 2

16 a) Nullstellen f(x) = x x 2 + x 0 = x x 2 + x 0 = x(x 2 x + ) 0 = x 1 x 2, = 2 ± (2) 2 x 2 = und x = 1 Hoch- und Tiefpunkte f (x) = x 2 8x + f (x) = 6x 8 Notwendige Bedingung 0 = x 2 8x + Ι 0 = x 2 8 x + 1 x 1,2 = ± ( ) 2 1 x 1 = und x 2 = 7 9 Hinreichende Bedingung f ( + 7 ) = 2 7 Tiefpunkt 9 f ( 7 ) = 2 7 Hochpunkt 9 Punktberechnung f ( ) 2,11 TP ( ; 2,11) f ( 7 9 ) 0,6 HP ( 7 9 ; 0,6) b) Nullstellen

17 f(x) = x + x 2 x 0 = x + x 2 x 0 = x( x 2 + x ) 0 = x 1 x 2, = 1 ± ( )2 keine weiteren Nullstellen Hoch- und Tiefpunkte f (x) = x 2 + 2x f (x) = 6x + 2 Notwendige Bedingung 0 == x 2 + 2x Ι ( ) 0 = x 2 2 x + 1 x 1,2 = 1 ± ( 1 ) 2 1 keine Hoch oder Tiefpunkte vorhanden c) Nullstellen f(x) = x x 2 0 = x x 2 0 = x 2 (x 2 ) 0 = x 1,2 0 = x 2 Ι + = x 2 Ι x = 2 und x = 2 Hoch- und Tiefpunkte f (x) = 16x 8x f (x) = 8x 2 8 Notwendige Bedingung 0 = 16x 8x 0 = x(16x 2 8) 0 = x 1

18 0 = 16x 2 8 Ι = 16x 2 Ι = x2 Ι x 1 = 1 2 und x 2 = 1 2 Hinreichende Bedingung f (0) = 8 Hochpunkt f ( 1 ) = 16 Tiefpunkt 2 f ( 1 ) = 16 Tiefpunkt 2 Punktberechnung f ( 1 2 ) = 1 TP ( 1 2 ; 1) f ( 1 2 ) = 1 TP ( 1 2 ; 1) f(0 ) = 0 HP (0 ; 0) d) Nullstellen f(x) = 1 x 1 x x 2 0 = 1 x 1 x x 2 0 = x 2 ( 1 x2 1 x 1) 0 = x 1,2 0 = 1 x2 1 x 1 Ι 0 = x 2 x x 2, = 1 2 ± ( 1 2 )2 +

19 x 2 = und x = Hoch- und Tiefpunkte f (x) = x x 2 2x f (x) = x 2 2x 2 Notwendige Bedingung 0 = x x 2 2x 0 = x ( x2 x 2) 0 = x 1 0 = x2 x 2 Ι 0 = x 2 x 2 x 2, = 8 ± ( 2 8 ) + 2 x 1 = und x 2 = Hinreichende Bedingung f (0) = 2 Hochpunkt f ( ) 1,66 Tiefpunkt 6 f ( ) 0,91 Hochpunkt 6 Punktberechnung f ( ) 1,75 TP ( ; 1,75) f ( ) 0,5 HP ( ; 0,5) f(0) = 0 HP (0; 0)

20 e) Nullstellen f(x) = ( x 2) 0 = (x 2) Ι ( 1) 0 = (x 2) Ι 0 = x 2 Ι = x 1 Hoch- und Tiefpunkte f (x) = ( x 2) 2 f (x) = 6(x 2) Notwendige Bedingung 0 = ( x 2) 2 Ι ( ) 0 = ( x 2) 2 Ι 0 = x 2 Ι = x 1 Hinreichende Bedingung f (2) = 0 Sattelpunkt Punktberechnung f(0) = 0 SP (0; 0) f) Nullstellen f(x) = (x 2 1) 2 0 = (x 2 1) 2 Ι 0 = x 2 1 Ι = x 2 Ι 1 = x 1, 1 = x 2 Hoch- und Tiefpunkte f (x) = x (x 2 1) f (x) = 12x 2 Notwendige Bedingung

21 0 = x (x 2 1) = x x 0 = x x 0 = x(x 2 ) 0 = x 1 0 = x 2 Ι + = x 2 Ι 1 = x 2 Ι 1 = x 2 und x = 1 f (0) = > 0 HP f (1) = 8 < 0 TP f ( 1) = 8 < 0 TP Punktberechnung f(0) = 1 HP(0; 1) f(1) = 0 TP(1; 0) f( 1) = 0 TP ( 1; 0) g) f(x) = (x 2 2)(x 2 ) Nullstellen 0 = (x 2 2) (x 2 ) 0 = x 2 2 ± 2 = x 1,2 0 = x 2 ±2 = x 2, Hoch- und Tiefpunkte f(x) = (x 2 2)(x 2 ) f(x) = x 6x f (x) = x 12x f (x) = 12 x 2 12 Notwendige Bedingung 0 = x 12x

22 0 = x(x 2 12) 0 = x 1 0 = x 2 12 Ι = x 2 Ι = x 2 Ι = x 2 und = x Hinreichende Bedingung f (0) = 1 < 0 HP f ( ) = 2 > 0 TP f ( ) = 2 > 0 TP Punktberechnung f(0) = 8 HP (0; 8) f( ) = 1 TP ( ; 1) f( ) = 1 TP ( ; 1) h) f(x) = x (x 2 ) Nullstellen 0 = x (x 2 ) 0 = x 1 0 = x 2 Ι + = x 2 Ι 2 = x 2 und 2 = x Hoch- und Tiefpunkt f(x) = x x f (x) = x 2 f (x) = 6x Notwendige Bedingung 0 = x 2 Ι +

23 = x 2 Ι = x2 Ι = x 1 und = x 2 Hinreichende Bedingung f ( ) = 6 > 0 TP f ( ) = = 6 ( ) < 0 HP Punktberechnung f ( ),08 HP ( ;,08) f ( ),08 TP ( ;,08) i) f (x) = x (x + 6)( x 1) Nullstellenberechnung 0 = x (x + 6)( x 1) x 1 = 0, x 2 = 6, x = 1 Hoch- und Tiefpunkte f(x) = (x 2 + 6x)( x 1) = x x 2 + 6x 2 6x = x + 5x 2 6x f (x) = x x 6 f (x) = 6x + 10 Notwendige Bedingung 0 = x x 6 Ι 0 = x x 2 x 1,2 = 5 ± ( 5 ) x 1 0,52 ; x 2,85

24 Hinreichende Bedingung f (0,52) = 1,12 > 0 TP f (,85) = 1,1 < 0 HP Punktberechnung f(0,52) 1,6 TP(0,52 ; 1,6) f(,85) 0,15 HP (,85; 0,15) Aufgabe f(x) = 0,25t 12t 2 + 1t 0 = 0,25t 12t 2 + 1t 0 = t(0,25t 2 12t + 1) 0 = t 1 0 = 0,25t 2 12t + 1 Ι 0 = t 2 8t x 2, = 2 ± (2) x 2, = 2 f (x) = 0,75t 2 2t + 1 f (x) = 1,5 t 2 0 = 0,75t 2 2t + 1 Ι: 0,75 0 = t 2 + 2t x 1,2 = 16 ± (16) x 1 = 8 und x 2 = 2 f (8) = 12 < 0 HP f (2) = 12 > 0 TP f(8) = 512 HP (8; 512) f(2) = 0 TP (2; 0) Die Nullstellen gegeben an, wann kein Wasser mehr in den Stausee zufließt. Einmal zum Zeitpunkt Null, also am Anfang der Messung und am Ende der Messung zum Zeitpunkt 2. Die Extremstellen geben die höchste bzw. niedrigste Zuflussgeschwindigkeiten an. Die Höchste Zuflussgeschwindigkeit ist zum Zeitpunkt 8 erreicht und beträgt 512 m Zuflussgeschwindigkeit ist am Ende der Messung erreicht und beträgt 0 m h. h die niedrigste

25 Aufgabe a) richtig. Zwischen den x-werten 0 und 1 sowie 1 und 2 kann man Vorzeichenwechsel registrieren. b) falsch. Die zweite Ableitung wäre eine Geradenfunktion hätte somit höchstens nur eine Nullstelle. c) Meines Erachtens falsch. Es müsste f (0) < 0 gelten d) falsch. An der Stelle x = 0 hat der Graph eine Nullstelle. Seite 21 Aufgabe 5 a) f (x) negativ, Gerade mit negativer Steigung ; f (x) negativ Parallele zur x Achse b) f (x) positiv, nach oben geöffenete Parabel ; f (x) positiv, Gerade mit positiver Steigung c) f (x) positiv, nach oben geöffnete Parabel; f (x) positiv, Gerade mit positiver Steigung Aufgabe 8 a) Die Extremstellen der Funktion f sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Im Intervall [ ; 2] ist die Funktion linksgekrümmt und im Intervall [ 2; ] rechtsgekrümmt. b) Mit GTR lösen Aufgabe 9 a) f(x) = 0,25x x und g(x) = 0,2x 5 0,75x f (x) = x x 2 0 = x x 2 0 = x 2 (x ) 0 = x 1 0 = x Ι + = x 2 g (x) = x x 0 = x (x ) 0 = x 1

26 0 = x Ι + = x 2 b) f (x) = x 2 6x f (0) = 0 Sattelpunkt f () = 9 Tiefpunkt g (x) = x 9x 2 g (0) = 0 Sattelpunkt g () = 27 Tiefpunkt c) Mit GTR lösen Aufgabe 10 a) f(x) = x 2 b) f(x) =? c) f(x) = x d) f(x) = sin (x) e) Mit dem GTR Aufgabe 11 a) Richtig, weil es sich um eine Parabel handelt. b) Richtig c) Richtig d) Das gilt aber nicht immer. Seite 22 Aufgabe 12

27 Seite 187 Aufgabe a) Überprüfung der Richtungsvektoren: 2 6 ( 1 ) = k ( ) 1 2 = 6k Ι ( 6) 1 = k Ι ( ) 1 = k Ι 1 = k 1 = k 1 = k Somit sind die Geraden parallel zueinander oder identisch Überprüfung ob die Geraden parallel sind: ( 0) = ( 1) + t ( ) Ι ( 1) ( 1) = t ( ) 1 2 = 6t Ι ( 6) 1 = t Ι ( ) 1 = t Ι 1 = t 1 = t 1 = t Da die Skalare Größen nicht übereinstimmen sind die Geraden parallel. b) Überprüfung der Richtungsvektoren: 2 0 ( 0) = k ( 1 ) = 0 0 = k 1 = k Somit schneiden sich die Geraden oder sind windschief zueinander. Überprüfung ob sich die Geraden schneiden: s ( 0) = ( ) + t ( 1 ) Ι t ( 1 ) s ( 0) t ( 1 ) = ( ) 1 1 I. 2 s = 2 Ι (2) II. t = Ι ( 1) III. s + t = t = und s = 1 in III. einsetzen III. 1 + ( ) = 2 = Widerspruch Somit sind die Geraden windschief zueinander.

28 c) Überprüfung der Richtungsvektoren: 1 2 ( 0) = k ( 1) = 2k 0 = k 1 = k Somit schneiden sich die Geraden oder sind windschief zueinander. Überprüfung ob sich die Geraden schneiden: ( 1) + s ( 0) = ( 2) + t ( 1) Ι t ( 1) Ι ( 1) s ( 0) t ( 1) = ( 2) ( 1) I. s 2t = II. t = 1 Ι ( 1) III. s t = t = 1; t in III. einsetzen: II. s ( 1) = Ι 1 s = 2 t und s in III. einsetzen I. 2 2( 1) = = = Somit schneiden sich die Geraden. Berechnung des Schnittpunktes t in Gerade h einsetzen: 2 2 h: x = ( 2) + ( 1) ( 1) = ( 1) 1 Der Schnittpunkt lautet S (2/1/) d) Überprüfung der Richtungsvektoren: 1 0,5 ( 2) = k ( ) 1 = 0,5 k Ι ( 0,5) 2 = k 2 = k 0 = 0 k Somit schneiden sich die Geraden oder sind windschief zueinander. Überprüfung ob sich die Geraden schneiden: ,5 0,5 5 ( 5) + s ( 2) = ( 15) + t ( 1 ) Ι t ( 1 ) Ι ( 5)

29 1 0,5 5 5 s ( 2) t ( 1 ) = ( 15) ( 5) I. s + 0,5t = 10 II. 2s t = 20 Ι + 2 I III. 0 = 0 2s + 2s t + t = s = 0 Ι s = 10 s in II. einsetzen. II. 2 ( 10) t = t = 20 Ι + 20 t = 0 t = 0 t und s in I. einsetzen II ,5 0 = = 10 Somit schneiden sich die Geraden. Berechnung des Schnittpunktes t in Gerade h einsetzen: 5 0,5 5 h: x = ( 15) + 0 ( ) = ( 15) 1 Der Schnittpunkt lautet S (-5/-15/1) S.188 Aufgabe 1 a) Entfernung von Punkt A und C: ΙAC Ι = (10 2) 2 + (15 5) 2 + (1) 2 ΙAC Ι = (8) 2 + (10) 2 + (1) 2 = ,85 Der Punkt C 12,85 km vom Startplatz A entfernt. b) Überprüfung der Richtungsvektoren. Zuerst muss man jedoch den Richtungsvektor des Ballons aufstellen. 2 AB = ( 8 5) 1

30 2 AB = ( ) 1 Überprüfung der Richtungsvektoren: 0 2 ( 60) = k ( ) = 2k Ι 2 60 = k Ι 60 = k 15 = k 20 = k 60 = k Somit schneiden sich die Geraden oder sind windschief zu einander. Also es könnte zu einer Kollision kommen. Überprüfung ob sich die Geraden schneiden: ( 5) + s ( ) = ( 15) + t ( 60) Ι t ( 60) Ι ( 5) s ( ) t ( 60) = ( 15) ( 5) s ( ) t ( 60) = ( 10) I. 2s + 0t = 8 II. s + 60t = 10 III. s 60t = 1 II. + III. s = 11 Ι s = 11 s in III. einsetzen: t = 1 Ι 60 t = 1,75 Ι ( 60)

31 t = 7 20 s und t in I. einsetzen: = = 8 Somit sind die Geraden windschief zu einander. Die Flugobjekte werden nicht kollidieren. c) Die Koordinaten sind in Kilometer angegeben und die Veränderung der Positionen wurde in Stunden gemessen. Die Geschwindigkeit wird dann Kilometer pro Stunde (km/h) angeben. Länge des Richtungsvektors des Ballons: ΙAB Ι = (2) 2 + () 2 + (1) 2 = 1,7 Der Ballon fliegt mit meiner Geschwindigkeit von,7 km/h. Länge des Richtungsvektors des Flugzeugs: Ιu Ι = ( 0) 2 + ( 60) 2 + (60) 2 = 8100 = 90 Das Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h. Seite 22 Aufgabe 6 a) Aufstellen einer Geradengleichung: 9 g AB : x = ( 5) + t ( 7 5) g AB : x = ( 5) + t ( 2) 7 0 b) Aufstellen einer Ebenengleichung: 6 2 E: x = ( 5) + t ( 2) + s ( 6) 7 0 c) Überprüfung der Spanvektoren:

32 6 2 ( 2) ( 6) = ( 6) + 0 ( ) = 0 0 Da das Skalarprodukt Null ist, sind die Spanvektoren rechtswinklig zu einander. Mit anderen Worten, die Eimerketten und die Fahrtrichtung des Baggers sind senkrecht zu einander. d) 6 2 E: x = ( 5) + t ( 2) + s ( 6) 7 0 Anpassung des Vektors der Fahrtrichtung: 6 18 ( 2) = ( 6 ) 0 0 Länge des Vektors u : Ιu Ι = (2) 2 + ( 6) 2 + ( ) 2 = 7 LE Anpassung des Vektors der Eimerketten: ( 6) = ( 0) E 1 : x = ( 5) + t ( 6 ) + s ( 0) Für t = 1 und s = 1 erhält man die Längen des Ebenenstücks. Seite 2 Aufgabe 1 0 a) E: x 2 + x = 0 n = ( ) Für Punkt A gilt dann: 0 g A : x = ( 1) + t ( ) 7 in E einsetzen: ( 1 + t) + ( 7 + t) = 0 + 9t t = 0

33 t = 0 Ι 25 Ι 25 t = 1 Lotfußpunkt (F) berechnen: 0 g A : x = ( 1) + ( 1) ( ) = ( ) 7 Berechnung des Abstandes Punkt / Ebene: ΙAF Ι = ( ) 2 + ( + 1) 2 + ( 7) 2 = 5 LE Für Punkt B gilt: Ι ( p b ) n 0 Ι = d Berechnung des Einheitsvektors der Normale: Ιn Ι = (0) 2 + () 2 + (5) 2 = 5 n 0 = Punkt P auf der Ebene als Ortsvektor: 2 ( ) ( ) Berechnung des Abstandes Punkt zur Ebene: 2 6 [( ) ( 8 )] = d [( 12)] ( ) = d ( ) Ι Ι = 20 = d 5 Für Punkt C gilt:

34 Berechnung des Abstandes Punkt zur Ebene: 2 [( ) ( )] = d ( ) 5 [( 1)] = d ( ) = 5 = d b) Berechnung des Einheitsvektors der Normale: Ιn Ι = (12) 2 + (6) 2 + ( ) 2 = 16 n 0 = 8 1 Punkt auf der Ebene berechnen: ( ) 1 12 [x ( 2,5)] ( 6 ) = 0 x = ( 0,5),5 6,5 Für Punkt A:

35 2 [( 0,5) ( 0 )] 6,5 8 1 = d ( ) 5 [( 0,5)],5 8 1 = ,5 8,5 = 9 16 = d ( ) Für Punkt B: 1 [( 0,5) ( 8,5 )] 6,5 0, = [( 8 )] = = Ι 12Ι = 12 = d ( ) ( ) Für Punkt C: [( 0,5) ( 20 )] 6,5 1, = [ ( 20,5 )] 7, = , ,75 = 29 8 = d ( ) ( ) c) Normale berechnen mit dem Kreuzprodukt der Spannvektoren: n = ( 1 ( 1) + 5 0) = ( 1 ) ( 1) 5 n 0 = ( 26)

36 6 Punkt auf der Ebene mit s= 1 und r = 1 ( 6 ) Für Punkt A gilt dann: 6 2 [( 6 ) ( )] = [ ( 2 )] 5 16 ( 26) ( 26) = = = d Für Punkt B gilt dann: 6 8 [( 6 ) ( 6 )] ( 26)