Wiederholung Prozentrechnung

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1 SEITE 1 VON 8 Wiederholung Prozentrechnung VON HEINZ BÖER Ausgeführt wird die Prozentrechnung hier nach der wiederholenden Einführung in 1.1 und 1.2 am Thema Wachstum (Zu- bzw. Abnahme) als Vorbereitung auf die Exponentialfunktion (siehe Thema 6 dieser Wiederholung). 1. Regeln und Beispiele 1.1 Bedeutung des Prozentzeichens Das Prozentzeichen "%" dient dazu, kleine Zahlen besser übersichtlich zu machen. Zudem kann man mit ihnen Anteile direkt vergleichbar machen. Dabei bedeutet: 1 1 % = = 0,01. Beispiele: % = = = 0,20; % = = 1;170 % = = 1,7 5 Auswendig sollte man wissen: = 50 % = 0,5; = 25 % = 0, 25; = 20 % = 0, 2; = 12,5 % = 0,125; = 10 % = 0,1; = 33, 3 % = 0, und Vielfache davon wie 3 = 75 % = 0,75; 3 = 150 % = 1,5 usw Aufgabentypen in der Prozentrechnung Preissäule Prozentsäule Grundwert: 800 Euro %: Prozentsatz, entspricht dem Grundwert Prozentwert: 200 Euro 25 %: Prozentsatz, entspricht dem Prozentwert

2 SEITE 2 VON 8 Die drei Grundaufgaben der Prozentrechnung: a) Der Prozentwert ist gesucht. Ein Schrank kostet 800. Das Material macht 25 % aus. Wie teuer ist das Material? Oder: Wie viel ist 25 % von 800? Die Daten der Prozentsäule sind bekannt, Daten der Preissäule sind gesucht. Ergebnis im Bild: 25 % entspricht 200. Rechnung: % = 800 0,25 = 200 Allgemein: Ausgangswert * Faktor = Endwert b) Der Prozentsatz ist gesucht. Der Material für einen Schrank macht vom Endpreis von 800 nur 200 aus. Wie hoch liegen die Materialkosten prozentual? Oder: Wie viel Prozent ist 200 von 800? Die Daten der Preissäule sind gegeben, Daten der Prozentsäule sind gesucht. Ergebnis im Bild: 200 entspricht 25 %. Rechnung: = 0,25 = 25 % Die Gleichung in a) wird durch 800 dividiert. Allgemein: Man startet mit der Gleichung in a und löst sie auf nach dem Faktor. c) Der Grundwert ist gesucht. Das Material für einen Schrank kostet 200. Das entspricht 25 % des Verkaufspreises. Wie teuer ist der Schrank? Oder: Wie viel entspricht %? Die Daten der Prozentsäule sind bekannt, Daten der Preissäule sind gesucht. Ergebnis im Bild: % entspricht 800 Euro. Rechnung: 640 0,25 = 800 Die Gleichung in a) wird durch 0,25 dividiert. Allgemein: Man startet mit der Gleichung in a und löst sie nach dem Ausgangswert.

3 SEITE 3 VON Zu- und Abnahmen a) Ein Schrank hat einen Nettopreis von 596. Zusätzlich ist die Mehrwertsteuer von 19 % zu bezahlen. Wie teuer wird der Schrank für den Kunden? Der Preis, von dem aus gerechnet wird ( %), ist bekannt. Gesucht ist der Wert, der 119 % = 1,19 entspricht. Die Aufgabe passt zum Aufgabentyp a oben, der Prozentwert ist gesucht. Rechnung: Ausgangswert * Faktor = Endwert. Rechnung: 596 1,19 = 709,24 Der Schrank kostet für den Kunden rund 709. b) Bei einem Waschmittelpaket wird auf der Verpackung groß notiert die Füllmenge um 0,6 kg vergrößert. Es enthält jetzt 5,6 kg. Um wie viel (und auf wie viel) Prozent wurde die Waschmittelmenge erhöht? Die Ausgangsmenge ( %) betrug 5 kg, die geänderte Menge ist 5,6 kg. Die Aufgabe passt zum Aufgabentyp b oben, der Prozentsatz ist gesucht. In der Gleichung aus a muss der Endwert durch den Ausgangswert dividiert werden. Rechnung: 5 Faktor = 5,6 bzw. Faktor = 5,6 5 = 1,12 = 112% Die Waschmittelmenge wurde um 12 % erhöht auf 112 %. c) Die Bevölkerungszahl einer Stadt hat in einem Jahr um 8 % auf zugenommen. Wie groß war sie zu Anfang des Jahres? Die Ausgangszahl entspricht %. Die Bevölkerung umfasst im Vergleich zum Vorjahr dann 108 % = 1,08. Die Aufgabe passt zum Aufgabentyp c oben, der Ausgangswert A (das ist der Grundwert, der % entspricht) ist gesucht. In der Gleichung aus a muss der Endwert durch den Faktor dividiert werden. Rechnung: A 1,08 = bzw. A = ,08 = Vor einem Jahr wohnten Menschen in der Stadt.

4 SEITE 4 VON Wachstumsfaktoren und -prozentsätze in der Prozent- und Zinsrechnung a) Für ein Kapital von 550 erhält man 3,5 % Jahreszinsen. Wie viel liegt nach einem Jahr auf der Bank? Zu Beginn hat man % (das gesamte Kapitel als Ausgangswert), nach einem Jahr erhält man 3,5 % mehr, also 103,5 % = 1,035. Der Wachstumsprozentsatz beträgt 3,5 %, der Wachstumsfaktor 1,035. In der Gleichung "Ausgangswert * Faktor = Endwert" ist der Endwert gesucht: Als Kapitel nach einem Jahr ergibt sich: 550 1,035 = 569,25. b) Eine Bevölkerung nimmt in einem bestimmten Zeitraum von 82 Millionen auf 75 Millionen ab. Um wie viel Prozent? In der Gleichung "Ausgangswert * Faktor = Endwert" ist der Faktor gesucht: Endwert 75Mio = Ausgangswert 82Mio 0,915 = 91,5 % = % - 8,5 % Der Ausgangswert ( % bzw. 82 Mio.) ist auf 91,5 % gefallen. Er hat um 8,5 % von ursprünglich % abgenommen. c) Der Bruttostundenlohn hat in den letzten drei Jahren um 8 % zugelegt und beträgt jetzt 25,70. Wie hoch lag er vor drei Jahren? Der Lohn hat vom Ausgangswert ( %) um 8 % zugenommen auf 108 % = 1,08. In der Gleichung "Ausgangswert * Faktor = Endwert" ist der Ausgangswert gesucht: Endwert 25,70 = 23,80 Faktor 1,08 Vor drei Jahren betrug der Bruttolohn 23,80. d) Wegen der Inflation nimmt der Wert des Geldes im Jahr um 3,5 % ab. Wie viel sind 250 nach einem Jahr noch wert? Der Ausgangswert ( %) nimmt um 3,5 % ab; es bleibt nach einem Jahr nur 96,5 % = 0,965 übrig. In der Gleichung "Ausgangswert * Faktor = Endwert" ist der Endwert gesucht: 250 0,965 = 241,25 Nach einem Jahr kann man nur noch Waren kaufen, die 241,25 wert sind.

5 SEITE 5 VON 8 e) Allgemein: Der Prozentsatz p wird je nach Zu- oder Abnahme zu % addiert oder davon subtrahiert, um den Faktor a zu erhalten: a = % + p %. Beispiele: p % = 5 % (Zunahme), also a = % + 5 % = 105 % = 1,05 p% = - 4,5 % (Abnahme), also a = % - 4,5 % = 95,5 % = 0,955 f) Aus dem Faktor a kann man entsprechend sofort den Änderungsprozentsatz entnehmen. Beispiele: a = 1,12 = 112 % = % + 12 %, also p % = 12 % (Zunahme) a = 0,75 = 75 % = % - 25 %, also p % = -25 % (Abnahme) g) Steigt oder fällt eine Größe mehrmals nacheinander, so dürfen die Änderungsprozentsätze nicht addiert werden, da sie sich auf verschiedene Grundwerte beziehen. Aber die Faktoren dürfen multipliziert werden. Beispiel I: Ein Kapital von 500 wird im ersten Jahr mit 3,2 % verzinst, im zweiten Jahr mit 3,7 %. Wie viel Geld liegt nach zwei Jahren auf dem Konto, wenn zwischendurch nichts abgehoben wurde? 500 1,032 1, ,09 Nach zwei Jahren stehen auf dem Konto rund 535,09. Beispiel II: Die deutsche Wirtschaft ändert sich in drei Jahren um +2,1, -2,6 % und +0,5 %. Hat sie insgesamt zu- oder abgenommen? 1,021 0,974 1,005 0,9994 Insgesamt hat die Wirtschaft knapp abgenommen, ist aber in etwa wieder auf dem Ausgangsniveau.

6 SEITE 6 VON 8 2. Übungen 2.1 Bedeutung des Prozentzeichens Ergänzen Sie die Tabelle. Prozentzahl 60 % 30 % 12,5 % 250 % Bruch (Hundertstel) Dezimalzahl 0,6 0,45 0,75 Gekürzter Bruch Aufgabentypen der Prozentrechnung Notieren Sie die Rechnung in der Weise: Ausgangswert * Faktor = Endwert, stellen Sie um, falls nötig, und beantworten Sie die Fragestellung aus dem Ergebnis. 1. Der Preis für ein Kleid von 75 wird im Sommerschlussverkauf auf 60 % gesenkt. Wie teuer ist es noch? 2. Der Preis für Schuhe wird von 85 auf 60 gesenkt. Wie viel Prozent beträgt der neue Preis noch? 3. Eine Schultasche kostet nach Schulbeginn nur noch 70 %, und zwar 56. Wie teuer war die Tasche vorher?

7 SEITE 7 VON Zu- und Abnahmen 1. Insgesamt ernteten Hessens Bauern in diesem Jahr 1,94 Millionen Tonnen Getreide, zehn Prozent weniger als im letzten Jahr und sechs Prozent weniger als vor fünf Jahren. a) Wie viel Getreide wurde 2001, wie viel 1997 in Hessen geerntet? b) Um wie viel Prozent stieg die Getreideernte von 1997 auf 2001? Frankfurter Rundschau, Der Staat raucht mit Wie haben sich die Steuereinnahmen des Bundes von 1999 bis 2004 geändert? Schätzen Sie zunächst. Quelle: Frankfurter Rundschau, Landleben nicht mehr angesagt Immer weniger Menschen leben auf dem Land. Im Jahr 2003 waren es in Deutschland noch 12,7 Millionen (15,4 Prozent) das waren 2,5 Millionen weniger als 1994, teilte das Statistische Bundesamt in Wiesbaden mit. Vor gut zehn Jahren betrug der Anteil der ländlichen Bevölkerung somit noch 18,7 Prozent. Immer beliebter wurden dagegen die so genannten halbstädtischen Regionen. Westfälische Nachrichten, Wie viele Menschen lebten 2003 und 1994 a) auf dem Land, b) insgesamt in Deutschland, c) in der Stadt?

8 SEITE 8 VON Wachstumsfaktoren und prozentsätze in der Prozent- und Zinsrechnung 1. Bestimmen Sie den Wachstumsfaktor bzw. den Wachstumsprozentsatz. a) p % = 7 % b) p % = -4 % c) a = 1,025 d) a = 0,997 e) Notieren Sie eine Formel für den Zusammenhang von Wachstumsfaktor und -prozentsatz. 2. Bestimmen Sie den Wachstumsprozentsatz bzw. Wachstumsfaktor. a) Ein Kapital wird mit 4,2 % pro Jahr verzinst. b) Eine Pflanze nimmt von Jahr zu Jahr jeweils auf das 1,5-fache zu. c) Eine radioaktive Substanz zerfällt mit 0,8 % pro Tag. d) Wegen der Inflation nimmt der Geldwert pro Jahr auf rund 97 % ab. e) Beschreiben Sie: Wie erkennen Sie am Wachstumsfaktor, ob die beschriebene Größe zuoder abnimmt? 3. "Das Niveau von 2007 haben die Maschinenbauer inzwischen wieder überschritten, da die Zuwächse den Negativschub übersteigen: 6,0 + 8,8 + 10,0 = 24,8 und 24,8 > 24,6." Kommentieren Sie die Behauptung. Frankfurter Rundschau, Um wie viel Prozent lag die Maschinenproduktion 2003 höher als 1998, obwohl es drei Abnahme- und nur zwei Zunahmejahre gab? 5. Vergleichen Sie die Produktion 2011 mit der von 1994.