MATHEMATIK 3 STUNDEN

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1 EUROPÄISCHES ABITUR 01 MATHEMATIK 3 STUNDEN DATUM : 11. Juni 01, Vormittag DAUER DER PRÜFUNG : Stunden (10 Minuten) ZUGELASSENE HILFSMITTEL : Prüfung mit technologischem Hilfsmittel 1/5 DE

2 AUFGABE B1 ANALYSIS Seite 1/ a) Die Funktion f ist gegeben durch f ( x) a e bx, wobei a und b reelle Zahlen sind. Zeigen Sie, dass für f (0) 4 und f (0) gilt: f( x) 4 e. 1 x b) Geben Sie die Formel an, mit der der Inhalt der Fläche berechnet wird, die durch das Schaubild von f, die Koordinatenachsen und die Gerade x begrenzt wird. Berechnen Sie diesen Flächeninhalt. c) Die Bogenlänge L des Schaubilds von f zwischen und x ist gegeben durch die Formel: x1 x L 1 ( f ( x)) dx x1 Für x und x verwenden Sie Ihren Rechner, um L auf zwei 1 0 Dezimalstellen zu bestimmen. /5

3 AUFGABE B ANALYSIS Seite / In einer Langzeitstudie wird die Wachstumsrate von zwei Insektenkolonien A und B untersucht. Die Kolonie A startet mit einer Populationsgröße von 100 Insekten und die Anzahl der Insekten verdoppelt sich jeden Tag. Die Kolonie B startet mit einer Populationsgröße von 0 Insekten und die Anzahl der Insekten wird jeden Tag mit dem Faktor von,5 multipliert. a) Geben Sie für jede Kolonie eine Gleichung an, die die Anzahl der Insekten N A (t) und N B (t) beschreibt, wobei t die Zeit der verstrichenen Tage seit Beginn der Studie ist. b) Verwenden Sie den Rechner, um die folgenden Fragen zu beantworten. Für welchen Wert von t sind die beiden Populationen gleich groß? Wie viele Insekten enthalten sie zu diesem Zeitpunkt? Von der Zeit t = 8 an ändert sich die Wachstumsrate der Kolonie A, und zwar wird dann die Größe der Population Pt () durch die folgende Gleichung beschrieben: P( t), t e t. c) Verwenden Sie den Rechner und bestimmen Sie N A (9) und P(9). Vergleichen Sie diese beiden Werte und geben Sie eine Interpretation. d) Wie viele Insekten enthält die erste Kolonie am Ende dieser Langzeitstudie? 3/5

4 AUFGABE B3 WAHRSCHEINLICHKEIT Seite 3/ Verwenden Sie Ihren Rechner für die Rechnungen in a), b) und c). 5 % der Golfbälle, die die Firma Golfygreen produziert, sind defekt. a) Der Produktion werden zufällig 1 Golfbälle entnommen. Geben Sie die Art der verwendeten Wahrscheinlichkeitsverteilung an und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau der Golfbälle defekt sind. Geben Sie Ihr Ergebnis auf 3 Dezimalstellen an. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Stichprobe von 50 Bällen kein Ball defekt ist. Geben Sie Ihr Ergebnis auf 6 Dezimalstellen an. Punkte c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Stichprobe von 50 Bällen die Zahl der defekten Bälle größer als 10 ist. Geben Sie Ihr Ergebnis auf 3 Dezimalstellen an. Golfygreen benutzt eine Maschine zum Testen der Bälle. Diese Maschine klassifiziert 99 % der defekten Bälle korrekterweise als defekt, während % der nicht defekten Bälle fälschlicherweise als defekt klassifiziert werden. d) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm, das alle relevanten Informationen zeigt. e) Golfygreen betrachtet die Maschine als zuverlässig, wenn der prozentuale Anteil der falsch klassifizierten Bälle den Wert von % nicht übersteigt. Ist diese Maschine zuverlässig? 4/5

5 AUFGABE B4 STATISTIK Seite 4/ Verwenden Sie den Rechner für alle Rechnungen in dieser Aufgabe. Die folgende Tabelle zeigt die Produktion von Erdbeeren in einer bestimmten Gegend und ihren Verkaufspreis in den letzten 8 Jahren: x (Tonnen) y ( /kg) 3,00,75,58,4,30,0,1,05 a) Zeichnen Sie ein Streudiagramm mit den Daten dieser Tabelle. Punkte b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Regressionsgerade mit y als Funktion von x. c) Bestimmen Sie den linearen Korrelationskoeffizienten zwischen x und y. d) Bestimmen Sie eine Gleichung der Gerade von Mayer, indem Sie die Daten der ersten vier Jahre gruppieren und ebenfalls die Daten der letzten vier Jahre. e) Das Streudiagramm legt nahe, dass ein exponentielles Modell besser geeignet sein könnte als ein lineares Modell. Deshalb betrachten wir die Variable z ln( y). Bestimmen Sie eine Gleichung der Regressionsgerade mit z als Funktion von x. Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten zwischen x und z. f) Schätzen Sie den Preis pro kg Erdbeeren für eine Produktion von 3000 Tonnen für jedes der drei Modelle in den Teilaufgaben von b), d) und e). Kommentieren Sie kurz die Ergebnisse. 5/5