Potenz- & Exponentialfunktionen

Transkript

1 Potenz- & Exponentialfunktionen 4. Kapitel aus meinem Lehrgang ANALYSIS Ronald Balestra CH St. Peter [email protected] 8. Februar 2009

2 Überblick über die bisherigen ANALYSIS - Themen: 1 Funktionen (Grundlagen) 1.1 Einführung 1.2 Definitionen 1.3 Darstellungsmethoden 1.4 Ein Beispiel aus dem Aktienmarkt 1.5 Mengentheoretische Betrachtungen im & am Graphen 2 Affine Funktionen 2.1 Einführung - Ein Leitprogramm 2.2 Die gegenseitige Lage affiner Funktionen 2.3 Abstandsprobleme 3 Quadratische Funktionen 3.1 Repetition 3.2 Der Graph einer quadratischen Funktion 3.3 Mini-Maxi-Satz & Symmetrieeigenschaften 3.4 Die quadratische Funktion und ihre Nullstellen 3.5 Eine Aufgabe 3.6 Kubische Gleichungen/ Gleichungen dritter Ordnung I

3 Inhaltsverzeichnis 4 Potenz- & Exponentialfunktionen Der Graph einer quadratischen Funktion (Rep.) Die Potenzfunktionen Exponential- & Logarithmusfunktionen Die Umkehrfunktion Der graphische Zusammenhang zwischen Funktion & zugehöriger Umkehrfunktion Das Bestimmen der Funktionsgleichung einer Umkehrfunktion: Wachstums- & Zerfallsprozesse Zinseszinsformel Exponentielles Wachstum Radioaktiver Zerfall Links: II

4 4 Potenz- & Exponentialfunktionen Wir werden in diesem Kapitel zwei weitere Funktionstypen kennenlernen: Die Potenzfunktionen Die Exponentialfunktionen Den algebraischen Hintergrund haben wir schon kennengelernt, in Kapitel 4 der ALGEBRA - Theorie: Potenzen, Wurzeln & Logarithmen und somit sind die folgenden Begriffe und Zusammenhänge uns schon bekannt: Potenzen & Exponenten, Potenzgesetze, Potenz- & Exponentialgleichungen und deren Lösungsverfahren, Logarithmus und seine Gesetze. Wir werden uns insbesondere mit den Graphen der Potenz- & Exponentialfunktionen beschäftigen und hierfür den Taschenrechner und das freeware- Programm geogebra (zu finden unter zur Anwendung bringen. Weiter werden wir uns ein erstes Mal mit den Begriffen Symmetrieeigenschaften, Monotonieverhalten und Beschränktheit einer Funktion auseinandersetzen, anhand deren Graphen, und die Umkehrfunktion einführen. Abschliessend werden wir noch den (exponentielle) Wachstumsprozess und Anwendungsbeispiele diskutieren. 92

5 4.1 Der Graph einer quadratischen Funktion (Rep.) Um uns wieder mit dem Begriff des Graphen einer Funktion vertraut zu machen, beginnen wir mit einer Repetitionsaufgabe. Aufgaben : Bestimme die Funktionsgleichung einer beliebigen quadratischen Funktion f(x) und stelle sie im Folgenden graphisch dar und 2. bestimme... (a) die Nullstellen und den Achsenabschnitt, (b) das Minimum und das Maximum, (c) {x D(f) f(x) > 0} Löse die Aufgabe von Hand und kontrolliere deine Resultate mit dem Tachenrechner und mit geogebra. 93

6 4.2 Die Potenzfunktionen Def.: Eine Funktion f : D(f) R W(f) R heisst eine Potenzfunktion : f(x) = x a, a R. Wir unterscheiden die folgenden Fälle: Natürlicher Exponent f(x) = x n, n N { n gerade, n ungerade. Negativer Exponent f(x) = x n, n N { n gerade, n ungerade. Rationaler Exponent f(x) = x 1 n, n N Aufgaben : Mach dir ein Bild vom Verlauf der zugehörigen Graphen. Hinweise: 94

7 1. Fall: Natürlicher Exponent 95

8 2. Fall: Negativer Exponent 96

9 3. Fall: Rationaler Exponent 97

10 Zusammenfassung: 98

11 4.3 Exponential- & Logarithmusfunktionen Def.: Eine Funktion f : D(f) R W(f) R heisst eine Exponentialfunktion : f(x) = a x, a R >0 \{1}. Aufgaben : Untersuche den Einfluss des Parameters a auf den Verlauf des zugehörigen Graphens und diskutiere das Symmetrie- und Monotonieverhalten und die Beschränktheit. Mit Hilfe der obigen Diskussion lassen sich nun Definitions- und Wertebereich genauer spezifizieren: D(f) = W(f) = 99

12 Def.: Eine Funktion f : D(f) R W(f) R heisst eine Logarithmusfunktion : f(x) = log a x, a R >0 \{1}. Aufgaben : Untersuche den Einfluss des Parameters a auf den Verlauf des zugehörigen Graphens und diskutiere das Symmetrie- und Monotonieverhalten und die Beschränktheit. Mit Hilfe der obigen Diskussion lassen sich auch hier Definitions- und Wertebereich genauer spezifizieren: D(f) = W(f) = 100

13 4.4 Die Umkehrfunktion Die Umkehrfunktion, oder die Inverse einer gegebenen Funktion f ist die Funktion f 1, die jedem Bildpunkt von f genau sein Urbildpunkt zuordnet, d.h. für die Verknüpfung von Funktion und zugehöriger Inversen gilt: f 1 (x) f(x) =... Wir wollen und dies kurz veranschaulichen: Die Bedingung, dass eine Umkehrfunktion selber eine Funktion ist und somit auch dessen definierte Eigenschaften erfüllen muss, führt dazu, dass nicht jede uns bekannte Funktion auch eine Umkehrfunktion besitzt. Wir wollen dies an dem uns bekannten Beispiel der Normalparabel betrachten: Wir können auf folgende wichtige EIgenschaft schliessen: Eine Funktion f hat eine Umkehrfunktion f 1, wenn

14 4.4.1 Der graphische Zusammenhang zwischen Funktion & zugehöriger Umkehrfunktion Wir werden uns an folgendem Beispiel mit der geometrischen Konstruktion der Umkehrfunktion beschäftigen: 102

15 Aufgaben : Wir betrachten die folgende Funktion: f(x) = 2 x Skizziere den Graphen von f und konstruiere den Verlauf der zugehörigen Umkehrfunktion. 103

16 4.4.2 Das Bestimmen der Funktionsgleichung einer Umkehrfunktion: Die Umkehrfunktionen einiger Funktionstypen kennen wir schon: f(x) =... f 1 (x) =... denn: über: Wir wollen nun die Funktionsgleichung der Inversen zu folgender affinen Funktion bestimmen: f(x) = 0.5x

17 Zur Herleitung der Funktionsgleichung von f 1 (x): Mit Hilfe geometrischer Betrachtungen: Algebraische Herleitung: Kontrolle. 105

18 Aufgaben : Wir betrachten die folgende Funktion: f(x) = x 2 + x Skizziere den Graphen von f, Konstruiere den Verlauf der zugehörigen Umkehrfunktion, Bestimme die Funktionsgleichung von f

19 4.5 Wachstums- & Zerfallsprozesse Wir werden in diesem Abschnitt das exponentielle Wachstum und den exponentiellen Zerfall besprechen. Das sind Prozesse, mit der folgenden Eigenschaft: In gleich grossen (Zeit-)Intervallen ändert sich der Funktionswert um den gleichen Faktor Zinseszinsformel Wir beginnen mit einem klassischen Beispiel: Beispiel Die Zinseszinsformel Wir gehen von der folgenden Situation aus Startkapital: K 0 = Fr Jahreszins: p = 15% und wollen die Entwicklung des Kapitals in den nächsten Jahren untersuchen: nach 1 Jahr: nach 2 Jahren: nach 3 Jahren: nach 4 Jahren: nach 10 Jahren:. nach n Jahren: 107

20 Was haben wir nun eigentlich bestimmt/ gefunden? Wir haben eine Funktionsgleichung , die das Wachstum des Kapitals beschreibt, d.h.: und exponentiel ist, d.h.: und folgende graphische Darstellung hat: 108

21 Weitere Anwendungen der Zinseszinsformel: Wir gehen von einem Startkapital von K 0 = Fr und einem jährlichen Zinsatz von p = 1, 75% aus. 1. Bestimme das Kapital nach (a) 5 Jahren, (b) 20 Jahren. 2. Nach wie vielen Jahren ist das Kapital auf Fr. angewachsen? 3. Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt? 4. Wie hoch müsste der jährliche Zinssatz sein, damit wir nach 10 Jahren Millionäre sind? 5. Wie gross müsste das Startkapital sein, damit wir mit dem ursprünglichen Jahreszins in 20 Jahren Millionäre sind? 109

22 Aufgaben : Löse das vorherige Beispiel in dem du dieses mal den Lösungsansatz mathematisch herleitest: Wir gehen von einem Startkapital von K 0 = Fr und einem jährlichen Zinsatz von p = 1, 75% aus. 1. Bestimme das Kapital nach (a) 5 Jahren, (b) 20 Jahren. 2. Nach wie vielen Jahren ist das Kapital auf Fr. angewachsen? 3. Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt? 4. Wie hoch müsste der jährliche Zinssatz sein, damit wir nach 10 Jahren Millionäre sind? 5. Wie gross müsste das Startkapital sein, damit wir mit dem ursprünglichen Jahreszins in 20 Jahren Millionäre sind? 110

23 4.5.2 Exponentielles Wachstum Bevor wir uns mit dem allgemeinen Funktionstyp des exponentiellen Wachstums beschäftigen, noch ein weiteres Beispiel: Beispiel Wir untersuchen eine Bakterienkultur, welche heute morgen um 08:00 aus 1000 Bakterien bestand und deren Anzahl sich jede Stunde verdoppelt. 1. Bestimme eine Funktionsgleichung, welche den Wachstumsprozess dieser Kultur beschreibt. 2. Bestimme die Anzahl Bakterien (a) um 12:00, (b) um 13:00, (c) um 13:30, (d) um 14: Wann hat die Bakterienkultur die er Grenze erreicht? 4. Wann bestand die Kultur (a) aus 750, (b) aus 500, (c) aus 0 Baktereien. 111

24 Auf Grund unserer bisherigen Erfahrungen können wir für die Dastellung des exponentiellen Wachstum Folgendes formulieren: Die Funktionsgleichung für das exponentielle Wachstum und den exponentiellen Zerfall ist von der folgenden Form: f(t) = a b t mit Wir wollen unsere Vermutung noch beweisen. Dazu müssen wir verifizieren, dass der Funktonstyp exponentielles Verhalten aufweist, d.h.... Beweis: Da wir nun den Funktionstyp kennen, der das exponentielle Wachstum beschreibt, lässt sich die Funktionsgleichung für den Prozess leicht bestimmen, denn um die zwei Unbekannten zu bestimmen brauchen wir nur zwei (voneinander unabhängige) Eigenschaften des Prozesses zu kennen. 112

25 Beispiel % der Oberfläche eines Teiches sind mit Algen bedeckt. Innerhalb von drei Tagen vervierfacht sich der Algenteppich. 1. Wie gross war der algenbedeckte Anteil des Teichs nach zwei Tagen? 2. Wie gross ist der algenbedeckte Anteil des Teichs nach 5,5 Tagen? 3. Wie gross war der algenbedeckte Anteil des Teichs vor 6 Stunden? 4. In wie vielen Tagen ist der Teich zur Hälfte mit Algen bedeckt? 5. In wie vielen Tagen sind 50% des Teichs algenfrei? 6. In wie vielen Tagen ist der ganze Teich algenbedeckt? 7. Vor wie vielen Tagen war keine Alge auf dem Teich? 8. Bestimme den Wachstumsfaktor so, dass der Teich bei gleichen Anfangsbedingungen nach fünf Tagen vollständig mit Algen bedeckt ist. 113

26 4.5.3 Radioaktiver Zerfall Wir schliessen dieses Kapitel mit einer Anwendung aus der Physik/ Chemie: dem radioaktiven Zerfall Unter Radioaktivität verstehen wir die Fähigkeit gewisser Kernarten, sich unter Aussenden von Strahlung umzuwandeln. Bei der Radioaktivität können wir drei Arten von Strahlung unterscheiden: Bevor wir den radioaktiven Zerfall besprechen, einige Erläuterungen zum Aufbau einen Atoms: ( Bohr sches Atommodell ) 114

27 Das Periodensystem: 115

28 Zwei Zerfallsarten: Der α - Zerfall tritt bei Kernen mit hoher Massezahl (> 200) auf. Da ein He 4 2 Teilchen ausgeschleudert wird, muss die Massezahl um 4 und die Kernladungszahl um 2 abnehmen. Bsp.: 1. Ra Rn He Po Der β - Zerfall tritt bei Kernen mit relativem Elektronenüberschuss auf. Das ausgeschleuderte Elektron entsteht bei der Umwandlung eines Neutrons in ein Proton. Bsp.: 1. Sr Y e 2. Pb Die γ-strahlung/ Röntgenstrahlung ist eine energiereiche Begleiterscheinung des α- oder β- Zerfalls. Bei diesen Zerfällen vollzieht sich im Kern ein Umwandlungsprozess, wobei der Kern aus einem angeregten Zustand in einen energieämeren Zustand übergeht. Dieser Zerfall folgt folgendem Gesetz: mit N 0 = N(t) = t = λ = e = N(t) = N 0 e λt Aus dem Zerfallsgesetz lässt sich ein Zusammenhang zwischen der Halbwertszeit (= ) und der Zerfallskonstante λ herstellen, der u.a. eine praktische Anwendung in einer archäologischen Altersbestimmung findet. 116

29 Bestimmung der Halbwertszeit: Wir gehen von folgendem Ansatz aus: N 0 e λt = N0 2 e λt = 1 2 ln e λt = ln 1 2 λt = ln 1 2 t = ln 1 2 λ t = ln 2 λ =: T 1/2 Eine praktische Anwendung: Bei einer u.a. in der Archäologie verwendeten Methode zur Altersbestimmung wird die C 14 -Konzentration von einem lebenden Oganismus mit jener des Fundes verglichen. Da die Halbwertszeit des C 14 -Isotopes bekannt ist, lässt sich mit der Beziehung zwischen Zerfallskonstante und Halbwertszeit und der Gleichung für den exponentiellen Zerfall das Alter des Fundes bestimmen. ( Die Methode beruht auf der Annahme, dass das Verhältnis zwischen dem normalen Kohlenstoff C 12 und dem radioaktiven Isotop C 14 in der Atmosphähre zeitlich konstant bleibt (C 14 zerfällt einerseits laufend, wird aber andererseits laufend durch die kosmische Strahlung neu erzeugt.) Lebewesen (Tiere, Pflanzen,...) nehmen also C 12 und C 14 in einem kostanten Verhältnis auf. Mit dem Tod endet diese Aufnahme und das Verhältnis von C 12 zu C 14 ändert sich, da C 14 zerfällt. ) Beispiel Bei Ausschachtungsarbeiten wurden Speisereste gefunden, deren C 14 -Radioaktivität 90% der Aktivität von lebenden Pflanzen betrug. Bestimme das Alter der Speisereste. 117