Quadratische Funktionen

Transkript

1 Quadratische Funktionen ANALYSIS Kapitel 3 MNProfil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH Zürich Februar 2016

2 Überblick über die bisherigen Analysis - Themen: 1 Funktionen (Grundlagen) 1.1 Einführung 1.2 Definitionen 1.3 Darstellungsmethoden 1.4 Ein Beispiel aus dem Aktienmarkt 1.5 Funktionen & EXCEL 1.6* Das Auffinden von Nullstellen 1.7 Funktionen & GeoGebra 1.8 Mengentheoretische Betrachtungen im & am Graphen 2 Affine Funktionen 2.1 Einführung - ein Leitprogramm 2.2 Die gegenseitige Lage affiner Funktionen 2.3 Abstandsbestimmungen 2.4 Wer kann s erklären? I

3 Inhaltsverzeichnis 3 Quadratische Funktionen Repetition Der Graph einer quadratischen Funktion Kurzeinführung in GeoGebra Der Einfluss der Parameter Der Mini-Maxi-Satz & Anwendungen Die Symmetrieeigenschaft Die quadratische Funktion und ihre Nullstellen Eine Aufgabe II

4 3 Quadratische Funktionen In diesem Kapitel wirst du einen weiteren Funktionstyp kennenlernen: Die quadratische Funktion. Im ersten Abschnitt werdet ihr die im Zusammenhang mit Funktionen schon besprochenen Begriffe und Definitionen repetieren und in einigen Aufgaben zur Anwendung bringen. Im zweiten Abschnitt werden wir uns mit dem Graphen der quadratischen Funktion beschäftigen, insbesondere mit dem Einfluss der Parameter auf die Form des Graphen. Im dritten Abschnitt werden wir den Mini-Maxi-Satz und die Symmetrieeigenschaft einer quadratischen Funktion kennenlernen und die ersten Extremalaufgaben lösen. Im vierten Abschnitt dieses Kapitels werden wir dann die quadratische Gleichung & die quadratische Funktion in Zusammhang bringen und die Nullstellen diskutieren. Anschliessend folgt eine etwas grössere Aufgabe, in welche wir unser bisheriges Wissen und einge geometrische Überlegungen einbrigen werden. 3.1 Repetition Wir beginnen mit der Wiederholung der wichtigsten Begriffe & Definitionen und werden in einem zweiten Teil an einigen Beispielen und Anwendungen die Begriffe vertiefen. Erkläre/ definiere die folgenden Begriffe: f : A B heisst eine Funktion :... A heisst... und wird abgekürzt durch... B heisst... und wird abgekürzt durch... 1

5 Sei f : A B eine Funktion. Was ist ein Argument? Was ist eine Nullstelle? Was ist der Achsenabschnitt? Gib ein Beispiel einer Funktionsgleichung :... Bestimme die zugehörige Funktionsvorschrift :... Bestimme den Funktionswert an der Stelle x = 5 :... Berechne f( 5) :... Eine Funktion f : A B heisst affin :... Welche Eigenschaften einer affinen Funktion lassen sich direkt aus der Funktionsgleichung ablesen: Für die graphische Darstellung einer Funktion f : A B benötigen wir und zum Schluss eine sehr wichtige Definition: graphf :=... 2

6 Wir kommen nun zu einigen Aufgaben und Anwendungen: Die UNITED NATIONS POPULATION DIVISION liefert das folgende Zahlenmaterial über die Bevölkerungsentwicklung in Europa: Stelle die Tabelle auf der folgenden Seite graphisch dar und mache eine Prognose für die Entwicklung der Bevölkerungszahlen im Jahr 1982, im Jahr 1940, im Jahr

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8 Wir werden wieder etwas mathematischer: Gegeben sind die folgenden Funktionen: f : R 0 R, x 1 2 x3 42, g : R R <0, x 5x h : R R, x x 2 9x + 20 Bestimme die folgenden Funktionswerte/ -gleichungen: ( Die Funktionsgleichungen sind ohne Berücksichtung von Definitions- und Wertebereich zu erstellen.) 1. f(1) = 2. g(2) = 3. f g( 3) = 4. g f(4) = 5. f g(x) = 6. g f(x) = 7. g f g(x) = und weiter 8. die Nullstellen von h, 9. den Achsenabschnitt von f, 10. den Schnittpunkt von g und h. 5

9 Bestimme mit Hilfe der folgenden graphischen Darstellung der Funktion f(x) den Achsenabschnitt von f, 2. die Nullstellen von f, 3. f(4), 4. {x R f(x) = 2}, 5. {x R f(x) < 2}, 6. {(x/y) y = f(x)}, 7. {(x/y) x = 3}, 8. {(x/y) y = 12}. Verifiziere so weit wie möglich Deine Resultate mit der folgenden Funktionsgleichung für f: f(x) = 0.1x x 3 1.5x x 2.1 6

10 Stelle die folgende Situation graphisch dar: f(x) = 2x 1, g(x) = 0.5x + 2, P = (4/5) 1. Bestimme den Schnittpunkt S von f mit g. 2. Bestimme den Abstand von S zur Geraden f, zur x-achse, zur Geraden g, zur y-achse. 3. Bestimme {x f(x) = g(x)} 7

11 4. Bestimme den Abstand von P zum Ursprung, zur Geraden g 5. Bestimme die Funktionsgleichung einer Geraden/ affinen Funktion, die... (a) parallel zu f verläuft, (b) parallel zu f und durch P verläuft, (c) f schneidet, (d) f schneidet und g nicht schneidet, (e) g schneidet und die x-achse nicht schneidet, (f) beide Koordinatenachse schneidet und durch den Punkt P geht, (g) f und g schneidet und nicht durch P geht, 6. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, mit A = P, B = (NS(f)/0) und C = (6/..) C graph(g) 8

12 7. Stelle die Funktionen f(x) und g(x) und den Punkt P nochmals graphisch dar und skizziere die folgenden Mengen in Deiner graphischen Darstellung : (a) {(x/y) d((x/y), P ) = 4} (b) {(x/y) d((x/y), ( 1/3)) 1, 5} (c) {(x/y) d((x/y), x-achse) > 5} 8. Beweise, dass die Geraden f und g senkrecht zueinander stehen. 9

13 Zusammenfassung: 10

14 3.2 Der Graph einer quadratischen Funktion Bevor wir uns mit dem Gaphen einer quadratischen Funktion beschäftigen müssen wir diese noch definieren: Def.: Eine Funktion f : A B heisst quadratisch : Die zugehörige Funktionsgleichung ist von der folgenden Form: mit a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c Bem.: Um uns mit dem Verlauf des Graphen einer quadratischen Funktion und dem Einfluss der Parameter a, b und c vertraut zu machen, werden wir die folgende freeware verwenden: GeoGebra welche unter zu finden ist. 11

15 3.2.1 Kurzeinführung in GeoGebra GeoGebra ist eine kostenlose dynamische Mathematiksoftware, die für SchülerInnen aller Altersklassen geeignet ist und auf allen Betriebssystemen läuft. GeoGebra verbindet Geomterie, Algebra, Tabellen, Zeichnungen, Statistik und Analysis in einem einfach zu bedienenden Softwarepaket, das bereits mehrere Bildungssoftware Preise in Europa und den USA gewonnen hat. Wir werden uns im Folgenden nur mit den Möglichkeiten von GeoGebra befassen, welche sich in den grundlegenden Arbeiten mit Funktion anwenden lassen. Der Download: Die Startseite: 12

16 Eingabe von Funktionsgleichungen und hilfreiche Befehle: 1. Funktionswerte, 2. Bestimmung von NS, 3. Schnittpunkte, 4. Bestimmung von Stellen, 5. Extremas. 13

17 Bearbeitungsmöglichkeiten: unter Bearbeiten - Eigenschaften... unter Einstellungen - Zeichenblatt/ Schriftgrösse... auf der Menuleiste - Texteingabe... kopieren, speichern & drucken 14

18 Aufgaben : Wir betrachten die folgenden Funktionen: f(x) = x, g(x) = e x, h(x) = x 2 + 2x + 8 Stelle die Funktionen in einem Koordinatensystem graphisch dar, dabei sollen folgende Einstellungen vorgenommen werden: Alle Graphen sollen die gleiche Linienstärke 5 und aber verschiedene Linienarten haben, Der Graph von f(x) soll blau und in der gleichen Farbe fett und kursiv mit graph(f) beschrieben sein, Das gleiche für den Graphen von g(x) in violett und den Graphen von h(x) in grün, Die Achsen sind anzuschreiben und die Einheiten in einem Abstand von 2 zu setzen, Das Koordinatengitter mit einem Abstand von 2 (in x und y Richtung) soll sichtbar sein, Die Funktionsgleichungen aller Funktionen sollen in der Darstellung vorkommen. Abschliessend soll die graphische Darstellung in ein Exceldokument eingeführt werden, in welchem eine Wertetabelle zu den drei Funktionen schon vorkommt. (Einen sinnvollen Bereich für die Argumente in der Wertetabelle soll nach der graphischen Darstellung selber gewählt werden.) 15

19 Aufgaben : Stelle die folgenden Funktionen graphisch dar: f(x) = x x 3 4.5x 2 2x + 2 g(x) = 0.5x und bestimme weiter (auf 3 Kommastellen genau) 1. die Schnittpunkte von f mit g: 2. die Nullstellen von f: 3. den Achsenabschnitt von g: 4. die folgenden Funktionswerte: f(2) =..., f( 1.5) =..., f(3) =... g(2) =..., g( 4) =..., g(0) = die lokalen Extremas von f(x): 6. die Stellen, an welcher g(x) ein Minimum hat, 7. die Stellen, an welchen f(x) den Wert -1 hat. Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 0 (Zugehörige Lösungen) 16

20 Arbeiten mit Parameter und Schieberegler: Um den Einfuss von Parametern (sog. Formvariablen) auf den Graphen zu untersuchen, gibt es bei GeoGebra den praktischen Schieberegler, welchen wir an einem und schon bekannten Beispiel einführen werden: mit a = b = f(x) = ax + b 17

21 3.2.2 Der Einfluss der Parameter Wir verwenden für unsere ersten Untersuchungen natürlich den Schieberegler von GeoGebra: Aufgaben : Stelle die Funktion f(x) = x 2 graphisch dar und untersuche den Einfluss der Parameter in den folgenden Funktionsvorschriften x ax 2, x x 2 + n, x (x m) 2 x (x m) 2 + n, x a(x m) 2 + n auf den Verlauf der Graphen, im Vergleich zu graph(f) und fasse in eigenen Worten den Einfluss der Parameter a, m und n auf den Graphen der Normalparabel zusammen: Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 1 (Zugehörige Lösungen) 18

22 Wir wollen nun den Graphen einer allgemeinen quadratischen Funktion diskutieren und den folgenden Fragen nachgehen: f(x) = ax 2 + bx + c hat was für eine F orm? was für eine Lage? Auf Grund unserer Vorarbeit kennen wir die Form und Lage von folgendem Funktionstyp: f(x) = a (x m) 2 + n Durch Termumformungen und Koeffizientenvergleich werden wir nun den Einfluss der Parameter a, b und c auf den Graphen der allgemeinen quadratischen Funktion bestimmen: f(x) = = = = ax 2 + bx + c = f(x) Zusammengefasst gilt: 19

23 Aufgaben : 1. Gegeben ist f(x) = 3x 2 5x Bestimme (a) die Form, (b) den Scheitelpunkt, (c) das Maximum, (d) das Minimum. 2. Gegeben ist g(x) = 2x 2 + 3x Bestimme (a) das Maximum, (b) das Minimum, (c) die Nullstellen. 3. Bestimme eine eigene quadratische Funktion: h(x) =... und (a) die Form, (b) den Scheitelpunkt, (c) das Maximum, (d) das Minimum, (e) den Definitionsbereich, (f) den Wertebereich, (g) die Nullstellen, (h) den Achsenabschnitt. 20

24 Aufgaben : Bestimme die charakteristischen Grössen der folgenden Funktionen f(x) = 2x 2 + x + 5 g(x) = 0.25x + 3 h(x) = 0.5x und skizziere die zugehörigen Graphen: Kontrolliere deine Lösungen mit GeoGebra. Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 2 (Zugehörige Lösungen) 21

25 Aufgaben : Beweise, dass wenn mit unseren Bezeichnungen a, b und m bekannt sind, die Funktionsgleichung noch nicht eindeutig bestimmbar ist. 22

26 3.3 Der Mini-Maxi-Satz & Anwendungen Wir wollen uns in diesem Kapitel theoretisch mit zwei Eigenschaften der quadratischen Funktion beschäftigen, die wir praktisch schon verwendet haben: Die y-koordinate des Scheitelpunktes ist gleich dem Maximum/ Minimum der zugehörigen quadratischen Funktion: Der Graph einer quadratische Funktion ist achsensymmetrisch: 23

27 Satz.: (Der Mini-Maxi - Satz) Eine quadratische Funktion f(x) = ax 2 + bx + c hat 1. mit a > 0 das Minimum c b2 4a (an der Stelle x = b 2a ) 2. mit a < 0 das Maximum c b2 4a (an der Stelle x = b 2a ) Beweis : Wir werden die Beweise für 1. und 2. indirekt führen, dass heisst, wir gehen davon aus, dass die Aussage des Satzes falsch ist und werden dann zeigen, dass dies nicht sein kann. 1. Wir nehmen also an, dass c b2 4a Minimum von f(x) ist. nicht das y W(f) : y = f(x) < c b2 4a x D(f) : ax 2 + bx + c < c b2 4a a(x + b 2a )2 + c b2 4a < c b2 4a a(x + b 2a )2 < 0 2. Beweis selbständig die zweite Aussage des Mini-Maxi - Satzes : 24

28 Anwendungen : 1. Die Flugbahn einer Kanonenkugel ist eine Parabel. Der Scheitelpunkt der Flugbahn hat die Koordinaten S = (400m/675m), der Abschusspunkt liegt in einer Felswand bei A = (200m/375m). (a) Berechne die Gleichung der Flugbahn in der Form f(x) = ax 2 +bx+c. (b) Bei welcher x-koordinate fällt die Kugel ins Meer? (c) Die Flugbahn wird parallel zur y-achse soweit nach oben verschoben, bis der Auftreffpunkt im Meer bei x = 800m liegt. Berechne die Hohe h des neuen Abschusspunktes A. (d) Stelle die beiden Flugbahnen in einem Koordinatensystem graphisch dar. 25

29 2. Wir betrachten die folgende Funktion: f(x) = x 2 + x 6 Bestimme das Maximum und das Minimum und die zugehörigen Argumente von für x D(f), mit (a) D(f) = R (b) D(f) = [0, 4] (c) D(f) = [0, 4[ (d) D(f) =] 5, 1 2 [ (e) D(f) = [ 5, 5[ Bestimme weiter einen Definitionsbereich für f, so dass f (a) kein Maximum und kein Minimum, (b) ein Maximum und kein Minimum, (c) kein Maximum und ein Minimum Bestimme in der Intervallschreibweise: (a) {x D(f) f(x) > 0} (b) {x D(f) f(x) < 0} (c) {x D(f) f(x) = 0} hat. 26

30 3. Wir gehen von folgender Situtation aus und betrachten die Rechtecke OQP R, wobei die Ecke O im Ursprung, die Ecke P auf dem graph(g) und das ganze Rechteck im 1. Quadranten liegen soll. (a) Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks OQP R, wenn der Punkt P die Koordinaten i. (3 /?) ii. (2.5 /? ) iii. (x /?) hat. (b) Für welche Lage von P auf dem Graphen von g wird der Flächeninhalt am grössten? 27

31 (c) Verallgemeinere die Situation und beweise, dass die Stelle für den gesuchten Punkt immer in der Mitte zwischen dem Ursprung und der Nullstelle liegt. 28

32 Wir wollen diese Anwendung noch etwas ausbauen und verwenden dazu die folgende graphische Darstellung einer quadratischen Funktion f: (a) Bestimme die Nullstellen von f. (b) Zeichne ein Rechteck im 1. Quadranten mit dem Ursprung als ein Eckpunkt, unterhalb des Graphen von f liegend und einem weiteren Eckpunkt auf dem Graphen von f ein. (c) Bestimme den maximalen Flächeninhalt für ein solches Rechteck. (d) Bestimme die Längen, für welche der Flächeninhalt des Rechtecks gleich 50 ist. (e) Bestimme die Längen, für welche der Flächeninhalt des Rechtecks gleich 20 ist. 29

33 4. Für welche zwei Zahlen, von denen die eine um 2 grösser ist als die andere, ist das Produkt am kleinsten? 5. Aus einer dreieckigen Marmorplatte soll eine rechteckige Platte herausgesagt werden. (a) Zeige mit Hilfe des Strahlensatzes, dass fur die Lange l und die Breite b des Rechtecks folgendes gilt: 5l + 7b = 350cm (b) Wie müssen Lange und Breite gewahlt, damit man die rechteckige Platte den grosstmöglichen Flacheninhalt erhält? Wie gross ist dieser? 30

34 Aufgaben : Bestimme die Funktionsgleichung einer nach unten geöffneten, breiten Parabel mit dem Scheitelpunkt im 1. Quadranten. Bestimme nun den maximalen Flächeninhalt des im 1. Quadranten (wie in den vorherigen Aufgaben) eingepassten Rechtecks. Stelle weiter die Parabel und die Flächenfunktion in einem Koordinatensystem dar, interpretiere die Situation und formuliere eine eigene Frage, welche Du an einen Mitschüler stellen und von diesem auch beantworten lassen sollst. Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 3 (Zugehörige Lösungen) 31

35 Aufgaben : Geizige und Snobs beim Einkaufen Zu einer Sportmesse werden k 0 = Besucher erwartet. Der Autor Mike Velo stellt sein neues Buch Fit ohne Chemie? vor. Mike möchte den Preis x des Buches so kalkulieren, dass seine Einnahmen E maximal werden. Dazu verwendet er die Funktion k : x k(x), die angibt, wie viele Besucher der Messe sein Buch kaufen. (a) Zuerst nimmt Mike an, dass k bis zur Nullstelle eine lineare Funktion ist, für x = 0 jeder das Buch nimmt und für x 50F r keiner mehr sein Buch kauft. Für welches x = x 0 ist E maximal und wie gross sind seine maximalen Einnahmen? (b) Mikes Frau gibt zu bedenken, dass nicht nur Geiz-ist-geil-Kunden die Messe besuchen, sondern auch einige Snobs darunter sind, die eine Ware nur dann schätzen, wenn sie auch teuer genug ist. Gemeinsam entwickeln sie folgende Käuferfunktion: k(x) = k 0 ax b x mit a = F r und b = Für welches x = x 1 ist jetzt E maximal und wie gross sind die maximalen Einnahmen? Vergleiche E(x 1 ) mit E(x 0 ). Zeichne die Grafen der Funktionen k(x) und E(x) in geeigneten Einheiten. Welche Definitionsmenge ist für k nur sinnvoll? (c) Versuche zu bestimmen, welche Annahmen der Käuferfunktion aus Teilaufgabe (b) zugrunde liegen. 32

36 ... 33

37 Aufgaben : Ein rechtekiges Grundstück mit einer Fläche von A = 1 026m 2 hat den Umfang U = 130m. 1. Berechne die Länge & Breite des Grundstückes. 2. Optimiere Länge & Breite so, dass bei gleichem Umfang der Flächeninhalt maximal/minimal wird. 3. Vermutung einer Verallgemeinerung? 34

38 3.4 Die Symmetrieeigenschaft Wir wollen nun noch die schon im letzten Abschnitt erwähnte Eigenschaft der Symmetrie beweisen: Satz: (Symmetrieeigenschaft) Eine quadratische Funktion f(x) = ax 2 + bx + c ist symmetrisch bzgl. der Achse x = b 2a. 35

39 3.5 Die quadratische Funktion und ihre Nullstellen Wir wollen in diesem Abschnitt unsere Kenntnisse aus den Kapiteln Lösen von Gleichungen Grundlagen der Funktionen mit den Erkenntnissen, welche wir in diesem Kapitel Die quadratische Funktion schon gewonnen haben, zusammentragen, um uns ein Bild von einer quadratischen Funktion und der Lage und Anzahl ihrer Nullstellen zu machen. Wir gehen aus, von der quadratischen Funktion f(x) = : x D(f) heisst eine Nullstelle von f : wir suchen somit die Lösungen von welcher Gleichung? also einer Gleichung von welchem Typ: die wir lösen können mit und die zugehörige Lösungsmenge welche Mächtigkeit haben kann? unter welchen Bedingungen: und verteilt sind diese Lösungen 36

40 Graphischer & algebraischer Zusammenhang: 37

41 Aufgabe : Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den entsprechenden Graphen zu: f(x) = 2x 2 + 2x + 12 g(x) = (x + 2)(x 3) h(x) = (x 2)(x + 3) i(x) = (x 1) 2 j(x) = ( x + 1) 2 38

42 Zusammenfassung: Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 4 (Zugehörige Lösungen) 39

43 3.6 Eine Aufgabe Hausaufgabe : Bereite die folgenden Fragen und Aufgabenstellungen vor, d.h.:... überlege, ob Du die Frage/ Aufgabe verstanden hast,... schreibe auf, was Du nicht verstanden hast,... notiere was zu tun ist, um Deine Unklarheiten zu beseitigen,... formuliere einen Lösungsansatz, einen Lösungsweg. Gegeben sind die Parabel f(x) = 2x 2 + 6x + 20 & die Gerade g(x) = 2x Skizziere die Situation. 40

44 2. Spiegle den Graphen von f an der x-achse und bestimme die neue Funktionsgleichung in der Form f 2 (x) = a 2 x 2 + b 2 x + c Der Graph von f wird verschoben, so dass der Scheitelpunkt S die Koordinaten (4/4) hat. Bestimme die neue Funktionsgleichung f 3 (x) = a 3 x 2 + b 3 x + c 3. 41

45 4. Spiegle den Graphen von f an der y-achse und bestimme die neue Funktionsgleichung in der Form f 4 (x) = a 4 x 2 + b 4 x + c Bestimme die Schnittpunkte von f mit g. 42

46 6. Bestimme die Funktionsgleichung der zu g parallelen Geraden h(x), welche den Graphen von f nur berührt. Bemerkungen: 43

47 7. Bestimme die Stelle, an welcher der Graph von f die Steigung 1 hat. 8. Bestimme den Scheitelpunkt von f mit Hilfe einer Tangente. 44

48 9. Bestimme die Steigung k P von f im Punkt P = (1/y) und bestimme den Punkt Q, in welchem für die Steigung folgendes gilt: k Q = k P. 45

49 Aufgaben : Wir gehen von einer allgemeinen quadratischen Funtkion f(x) = ax 2 + bx + c aus. Beweise, dass 1. wenn der Graph von f an der x-achse gespiegelt wird, die Funtkionsgleichung der gespiegelten Funktion von folgender Form ist: f(x) = ax 2 bx c 2. wenn der Graph von f an der y-achse gespiegelt wird, die Funtkionsgleichung der gespiegelten Funktion von folgender Form ist: f(x) = ax 2 bx + c Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 5 (Zugehörige Lösungen) 46