Populationsdynamik mit grafischer Modellbildung

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1 Universität Leipzig Fakultät für Physik und Geowissenschaften Bereich Didaktik der Physik Populationsdynamik mit grafischer Modellbildung Bachelorarbeit im Studiengang polyvalenter Bachelor Lehramt im Kernfach Physik zum Erwerb des akademischen Grades Bachelor of Science Sommersemester 2009 vorgelegt von: Diana Oehler am: Matrikelnummer: Erster Gutachter: Prof. Dr. Wolfgang Oehme, Universität Leipzig Zweiter Gutachter: Dr. Peter Rieger, Universität Leipzig

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Theoretische Betrachtung Populationsdynamik Das Lotka-Volterra'sche Räuber-Beute-Modell Zusammenhang des Lotka-Volterra-Modells mit der Verhulst-Dynamik Modellbildungssysteme Das Modellbildungssystem Moebius Algorithmisches Modell Grafisches Modell Sprachliches Modell Schaubild und Tabelle Das Räuber-Beute-Modell mit Moebius Exponentielles, logistisches und beschränktes Wachstum der Beutepopulation Exponentielles Wachstum Logistisches Wachstum durch einen Maximalwert Logistisches Wachstum durch einen Maximalwert und die Sterberate Beschränktes Wachstum Räuber-Beute-Modelle Das Räuber-Beute-Modell ohne intraspezifische Konkurrenz Das Räuber-Beute-Modell mit ausschließlich intraspezifischer Konkurrenz der Beutepopulation Das Räuber-Beute-Modell mit intraspezifischer Konkurrenz beider Populationen Räuber-Beute-Modelle mit kompakter grafischer Darstellung Logistisches Wachstum der Beutepopulation durch einen Maximalwert Das Räuber-Beute-Modell ohne intraspezifische Konkurrenz Das Räuber-Beute-Modell mit ausschließlich intraspezifischer Konkurrenz der Beutepopulation Das Räuber-Beute-Modell mit intraspezifischer Konkurrenz beider Populationen Zusammenfassung...51 Literaturverzeichnis...53 Internetquellenverzeichnis...54 Anhang (CD mit Simulationen, Software Moebius und Bachelorarbeit als PDF)...55 I

3 Modell 6 b stellt den Gleichgewichtspunkt dar (mit dt=0,01), der eigentlich nur als Punkt dargestellt werden müsste. Abweichungen dazu kommen durch das Runden des Gleichgewichtspunktes zu Stande. 3.3 Räuber-Beute-Modelle mit kompakter grafischer Darstellung Vor allem die in Abschnitt 3.2 erstellten Modelle zeigten einen Unterschied zwischen algorithmischem und grafischem Modell auf. Bei der Übersetzung vom grafischen ins algorithmische Modell wurden hier mehr Gleichungen, speziell Veränderungsraten, ausgegeben, als dass es beim algorithmischen Modell der Fall war. Eine Annäherung konnte nur durch Anpassung des Zeitschrittes erreicht werden. Nutzt man aber die Struktur des Lotka- Volterra-Modells, so ist es möglich, die grafische Modellierung so zu gestalten, dass pro Population auch nur eine Veränderungsrate angegeben wird. Eine weitere Verkürzung der bisherigen Modelle wird erreicht, indem bei den Konstanten der Unterstrich entfällt. Die folgenden Modelle sollen einige der bereits behandelten Modellen vereinfachen. Dabei wurde spezielles Augenmerk auf Abschnitt 3.2 gelegt. Aus Abschnitt 3.1 soll lediglich das logistische Wachstum durch einen Maximalwert näher betrachtet werden Logistisches Wachstum der Beutepopulation durch einen Maximalwert grafisches Modell ( siehe Modell 7) Bei Modell 2 wurde die Verhulst-Gleichung auf das Lotka-Volterra-Modell angewendet, was zur Folge hatte, dass der Maximalwert in die Gleichungen direkt mit einging. Möchte man dieses allerdings verhindern, um das allgemeinere Lotka-Volterra-Modell allein wiederzugeben, so ist der Ansatz c = 1 a1 X max zu wählen. Der Maximalwert der Population steckt dann in der Konstante c 1 und das Modell wird nochmals vereinfacht. Die grafische Modellierung hat dann die Gestalt in Abbildung 42. Abbildung 42: Grafische Modellierung 45

4 Die Übersetzung in einen Algorithmus und die entsprechenden Startwerte liefert Abbildung 43. Abbildung 43: Übersetzung ins algorithmische Modell algorithmisches Modell ( siehe Modell 7algorithmisch) Modell 2 wird nun so abgeändert, dass grafisches und algorithmisches Modell übereinstimmen. Es wird also auch speziell die Veränderungsrate als Gleichung angegeben. Der einzige Unterschied besteht in der Bezeichnung des Zeitschrittes mit dt. Die folgenden Modelle sollen dann nur noch ein grafisches Modell betrachten, da das algorithmische Modell in gleicher Weise wie hier abgeändert werden kann. Die Gleichungen haben dann die folgende Gestalt: Die Schaubilder beider Modellierungen stimmen überein und sind in Abbildung 44 ersichtlich. 46

5 Abbildung 44: Schaubild Das Räuber-Beute-Modell ohne intraspezifische Konkurrenz Ist das Lotka-Volterra-Modell bekannt, so ist es sofort möglich, in der grafischen Modellierung pro Population nur eine Veränderungsrate anzugeben. In diesem Fall hat die Modellierung die Gestalt in Abbildung 45 ( siehe Modell 8). Abbildung 45: Grafische Modellierung 47

6 Die Übersetzung in einen Algorithmus liefert: Das Schaubild kann in Abbildung 46 betrachtet werden. Abbildung 46: Schaubild Das Räuber-Beute-Modell mit ausschließlich intraspezifischer Konkurrenz der Beutepopulation Die entsprechende Modellierung geht aus den folgenden Abbildungen hervor. In der Konstante c1 ist wieder der Maximalwert der Beutepopulation enthalten ( siehe Modell 9). Abbildung 47: Grafische Modellierung 48