Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

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1 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Dominik Schillo Universität des Saarlandes (Stand: , 6: Uhr) Frage Wofür gibt es für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie überhaupt eine Mathematikvorlesung? Antwort Um (einen Teil) der grundlegenden mathematischen Werkzeuge in den Naturwissenschaften kennen und verstehen zu lernen. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Lotka-Volterra-Gleichungen I Beispiel Auswertungen von Messdaten (Statistik, alle Naturwissenschaften) Modellierung von Prozessen in der Natur: Populationsdnamik (Dierentialgleichungen, Biologie) Zellverhalten (Stochastik, Biologie) Schwingungen (Dierentialgleichungen, Phsik) Beschreibung von Molekülen (Smmetrien, Chemie) Quantenmechanik (Funktionalanalsis, Chemie/Phsik)... Wir betrachten ein Räuber-Beute-Schema mit einer Gruppe Beute N (z.b. Hasen) und einer Gruppe Räuber N (z.b. Füchse). Wir nehmen folgende Sachverhalte an: Gibt es mehr Beute, dann steigt die Geburtenrate der Räuber. Gibt es mehr Räuber, dann steigt die Sterberate der Beute. Modell: Falls keine Räuber vorhanden sind (N = 0), so steigt die Anzahl der Beute nach der Dierentialgleichung N = r N, wobei N die zeitliche Ableitung von N und r die Vermehrungsrate der Beute bezeichnen. Falls keine Beute vorhanden ist (N = 0), so sinkt die Anzahl der Räuber nach der Dierentialgleichung N = r N, wobei r die Sterberate der Räuber bezeichnet. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

2 Lotka-Volterra-Gleichungen II Lotka-Volterra-Gleichungen III Interaktion zwischen Räuber und Beute: Die Vermehrungsrate der Beute r sinkt um k N, wobei k der Verteidigungskoezient der Beute ist. Die Sterberate der Räuber r sinkt um k N, wobei k der Angriskoezient der Räuber ist. Wir erhalten damit die Dierentialgleichungen N = (r k N )N und N = ( r + k N )N. Quelle: lotka-volterra-gleichungen/996 Quelle: Volterra_dnamics.svg Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 6 I II Graph zur schwarzen Kurve G R R; zulässig als Graph einer Funktion Graph zur roten Kurve G R R; unzulässig als Graph einer Funktion (Nicht jedem -Wert wird ein -Wert zugeordnet und manchen -Werten werden mehrere -Werte zugeordnet.) Seien D und Z Mengen. Wir nennen ein Tripel f = (G f, D, Z) Funktion, falls G f D Z (Graph der Funktion f ) und für alle D eistiert genau ein Z, sodass (, ) G f. In diesem Fall schreiben wir auch = f () für D und f : D Z, f (). Die Mengen D und Z heiÿen smenge/denitonsbereich und Zielbereich. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 7 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 8

3 III Stauchung, Streckung und Spiegelung Der s- und Zielbereich sind also Teil der einer Funktion, d.h., wenn man eine dieser Mengen abändert, erhält man eine andere Funktion. Beispiele: f : R R, und g : R + 0 R, sind unterschiedliche. f : R R, und g : R [0; ), sind unterschiedliche, obwohl der Graph gleich aussieht. f () = ist keine Funktion. Nach Punkt () kann jedem Element im sbereich also nur ein Element im Zielbereich zugeordnet werden. Beispiel: f : R R, ± ist keine Funktion. f : R R, + g : R R, ( + ) g : R R, ( + ) g : R R, ( + ) Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 9 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 0 Stauchung, Streckung und Spiegelung II Summe I Seien D R eine Menge, f : D R eine Funktion und α R eine reelle Zahl. Wir denieren αf : D R, αf (). 0 < α < : αf entsteht durch eine Stauchung von f. α > : αf entsteht durch eine Streckung von f. α = : αf entsteht durch eine Spiegelung von f an der -Achse. f : R R, + g : R R, + Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

4 Summe II Summe III f : R R, + g : R R, + h : R R, + + Wir können eine reelle Zahl a R mit der konstanten Funktion R R, a identizieren. Seien D R eine Menge, f : D R und g : D R. Wir denieren f + g : D R, f () + g(). Wir können damit auch f g = f + ( g) denieren. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Produkt und Quotient Zusammenfassung Seien D R eine Menge, f : D R und g : D R. Wir denieren f g : D R, f () g() und, falls g() 0 für alle D, f g : D R, f () g(). Seien D R eine Menge, f : D R und g : D R sowie α R eine reelle Zahl. Wir denieren: αf : D R, αf (). f + g : D R, f () + g(). f g : D R, f () g(). Falls g() 0 für alle D, f g : D R, f () g(). Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 6

5 Bild I Bild II Sei A D. Wir nennen die Menge f (A) = {f (a) ; a A} Z das Bild von A unter der Funktion f. Weiterhin nennen wir f (D) das Bild von f. Für A, A D gilt f (A A ) f (A ) f (A ), f (A A ) = f (A ) f (A ). f : Z R, +, A = {,, }: f (A) = {,, } Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 7 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 8 Bild III Urbild I g : R R,, A = [; ): f (A) = [ ; ) Sei B Z. Wir nennen die Menge f (B) = { D ; f () B} D das Urbild von B unter der Funktion f. Für B, B Z gilt f (B B ) = f (B ) f (B ). f (B B ) = f (B ) f (B ). Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 9 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 0

6 Urbild II Urbild III f : Z R, +, B = {,,, } : f (B) = {,, } g : R R,, B = [ ; ): f (B) = ( ; ] [; ) Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Injektivität I Injektivität II Wir nennen f injektiv, falls jedes Element im Bild von f von genau einem Element aus der smenge angenommen wird. Falls D R und Z R, so bedeutet die Injektivität der Funktion f, dass jede Parallele zur -Achse den Graphen in maimal einem Punkt trit. f : R R, ist nicht injektiv, da f () = = f ( ). g : R R, ist injektiv. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

7 Injektivität III Surjektivität I f : [0; ) R, ist injektiv. Wir nennen f surjektiv, falls jedes Element im Zielbereich im Bild von f ist, d.h. falls f (D) = Z gilt. Falls D R und Z R, so bedeutet die Surjektivität der Funktion f, dass jede Parallele zur -Achse mit einem Abstand z Z den Graphen in mindestens einem Punkt trit. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 6 Surjektivität II Surjektivität III f : R R, ist nicht surjektiv, da kein R mit f () = eistiert. g : R R, ist surjektiv. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 7 f : R [0; ), ist surjektiv. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 8

8 Bijektivität I Bijektivität II Wir nennen f bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. g : R R, ist bijektiv. Falls D R und Z R, so bedeutet die Bijektivität der Funktion f, dass jede Parallele der -Achse mit einem Abstand z Z den Graphen in genau einem Punkt trit. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 9 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 0 Bijektivität III f : [0; ) [0; ), ist bijektiv. Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie