Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
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- Heike Pohl
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1 Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 01/13 Hochschule Augsburg
2 Mathematik : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 1 Integration 9 Reelle Funktionen Grundbegriffe Elementare Funktionen Stetigkeit reeller Funktionen
3 Mathematik Warum beschäftigen wir uns mit reellen Funktionen? allgemein: kompakte und präzise Beschreibung von Abhängigkeiten zwischen mehreren Faktoren speziell: Modellierung technischer und ökonomischer Systeme Basis für Analyse und Optimierung von Systemen / Prozessen 9.. Elementare Funktionen Wesentliche Lernziele Fähigkeit mit den wesentlichen Begriffen im Zusammenhang mit Funktionen umzugehen Kennenlernen der wichtigsten Klassen reeller Funktionen Beherrschen des Stetigkeitsbegriffs 11. Differenzieren 1. Integration 17
4 Beispiel Mathematik Kostenfunktion Unternehmen ermittelt empirisch Kosten K für die Herstellung von x Einheiten eines Produktes Dargestellt als Wertetabelle und als Grafik 9.. Elementare Funktionen x K 1 4,5 6,00 3 8,5 4 11, ,5 6 18,00 7,5 8 7,00 K(x) x 11. Differenzieren 1. Integration 173
5 Beispiel Mathematik Kostenfunktion K(x) Jetzt: Betrachte zusätzlich Funktion K(x) = 1 4 x + x + 3 für Definitionsbereich D = {1,...,8} Darstellung durch Funktion: kompakt, eindeutig Möglicher Ausgangspunkt für Prognosen (Kosten für 9, 10,... Einheiten) 9.. Elementare Funktionen 11. Differenzieren 1. Integration x 174
6 Begriff reelle Funktion Mathematik Definition f : D R heißt reellwertige Abbildung mit Definitionsbereich D Mit D R n heißt f reelle Funktion von n Variablen Darstellung von Funktionen Durch Funktionsgleichungen f(x 1,..., x n ) = y x = (x 1,..., x n): unabhängige (exogene) Variablen y: abhängige (endogene) Variablen Durch Wertetabellen Durch Graphen Für D R: Darstellung im kartesischen Koordinatensystem Für D R : 3-dimensionale Darstellung oder Niveaulinien f(x) = c mit c R 9.. Elementare Funktionen 11. Differenzieren 1. Integration 175
7 Beispiel Mathematik Cobb-Douglas-Funktion neoklassische Produktionsfunktion der Form f(x 1,..., x n) = a 0 x a 1 1 x a... x an n Beispiel für zwei Produktionsfaktoren f(x 1, x ) = 1 x 1/ 1 x 1/ = x 1 x Dreidimensionale Darstellung Niveaulinien für f(x 1, x ) = c mit c = 1/,..., Elementare Funktionen 11. Differenzieren 1. Integration ,5 1,5 1, ,5 1 1,5 0,5, ,
8 Eigenschaften von Funktionen Eine Funktion f : D W mit D R n und W R heißt: surjektiv, wenn zu jedem y W ein x D mit f(x) = y existiert, injektiv, wenn für alle x, x D gilt x x f(x) f( x), bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist. Komposition von Funktionen Voraussetzung: Funktionen f : D f R und g : D g R mit D f R n und f(d f ) D g R Zusammengesetzte Funktion: g f : D f R: Zuordnung des Werts (g f)(x) = g (f(x)) für alle x D f Mathematik 9.. Elementare Funktionen 11. Differenzieren 1. Integration Inverse Funktion / Umkehrfunktion Voraussetzung: bijektive Funktion f : D W mit D, W R Inverse Funktion: f 1 : W D, y f 1 (y), wobei y für alle x D mit y = f(x) zugeordnet wird 177
9
10
11
12 Invertierung: Beispiel Mathematik Beispiel b) f : R R, f(x) = x f(x) 9.. Elementare Funktionen Differenzieren 1. Integration x 178
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