Biostatistik, WS 2017/18 Exponential- und Logarithmusfunktion

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1 1/23 Biostatistik, WS 2017/18 Exponential- und Logarithmusfunktion Matthias Birkner

2 Potenzrechenregeln Es ist a n = a } a {{ a} für n N := {1, 2, 3,... }, n mal also ist (m, n N, a, b R, a, b 0): a m a n = } a {{ a} m mal (a m ) n = (a a) a n b n = a } {{ a} n mal a a }{{} n mal = a m+n } {{ (a a) = a }}{{} m mal m mal } {{ } n mal b b }{{} n mal = (ab) (ab) = (ab) }{{} n n mal Man setzt a 0 := 1, a 1 := 1, damit gelten obige Rechenregeln a auch für m, n Z. ( ( Bsp.: (a 5 ) 2 1) ) 5 2 ( 1 ) 2 = = = (a 5 ) 2 = a 10 = a ( 5)( 2) a a 5 4/23

3 Potenzfunktionen a 2 a 3 a 4 a Für n N ist die Funktion a a n streng monoton wachsend auf [0, ), d.h. a n > b n für a > b 0. a 5/23

4 Wurzelfunktionen b = a a = b a b Die Umkehrfunktion von a a n (für a 0) ist die n-te Wurzel: n b ist dasjenige a mit a n = b Man schreibt b 1 n := n b. Bem.: Für b < 0 ist b 1 n keine reelle Zahl (jedenfalls wenn n gerade ist). 6/23

5 7/23 Potenzrechenregeln: Gebrochene Exponenten sind ok b 1 n = n b ist dasjenige a mit a n = b Für p = m n Q setzt man bp = ( b 1 n Die alten Potenzrechenregeln gelten weiter, wenn man statt ganzzahliger Exponenten rationale zulässt, beispielsweise ist ) m ( ) (b m ) 1 n = b m n = ( b 1 n ) m, denn (( b 1 n ) m ) n ( 1 ) nm (( 1 ) n ) m = b n = b n = (b) m, d.h. die rechte Seite in ( ) erfüllt die Definition der linken Seite.

6 Exponentialfunktionen (Motivation) Erinnerung: Geometrische Folgen: 1 = a 0, a = a 1, a 2, a 3,... (mit einem a > 0) Beispiel: Die Höhe der Schaumkrone in einem frisch eingeschenkten Bierglas betrage 5cm und nehme (gleichmäßig) pro Minute um 30% ab. Zeit [Min] Höhe [cm] 5 5 0,7 5 0, , ,7 4 = 3,5 = 2,45 = 1,715 = 1,2 Frage: Wie hoch ist die Schaumkrone nach 40 Sekunden? Wir erwarten pro Sekunde eine Abnahme um den Faktor (0,7) 1 60, denn 1 Minute = 60 Sekunden und ( ) (0,7) = 0,7. Demnach: 5 ((0,7) ) = 5 0,7 3 = 3,94 [cm]. Allgemein: Höhe nach x Minuten: h(x) = 5 0,7 x (für x R beliebig, in dieser Anwendung ist nur x 0 sinnvoll) 8/23

7 Exponentialfunktionen Für a > 0 ist die Funktion f (x) = a x für x R definiert (und a x > 0). a x x 3 x 0.5 x 0.2 x a x ist monoton wachsend für a > 1, fallend für a < 1. Bemerkung: Die Mathematiker sprechen von einer stetigen Fortsetzung der Funktion a x, die zunächst nur für rationale x erklärt war, auf x R. 9/23

8 10/23 Rechenregeln für allgemeine Exponentialausdrücke Für a, b > 0 und x, y R (beliebig) gilt a x a y = a x+y a 0 = 1 a x = 1 a x (a x ) y = a xy a x b x = (ab) x

9 Logarithmusfunktion(en) als Umkehrung von Exponentialfunktion(en) y = 2 x log 2 (y) x y Die Umkehrfunktion von x a x (für a 0) ist der Logarithmus (zur Basis a): log a y ist dasjenige x mit a x = y Beispiel: log 2 8 = 3, denn 2 3 = 8 11/23

10 Logarithmus: Rechenregeln Für a > 0 gilt ( ) log a (x) + log a (y) = log a (x y), x, y > 0 denn beispielsweise log a ( 1 x ) = loga (x), x > 0 log a (x y ) = y log a (x), a log a (x)+log a (y) = a log a (x) a log a (y) = x y, x > 0, y R d.h. die linke Seite von ( ) erfüllt die Definition der rechten Seite. Bemerkung (Umrechnung der Basis): a, b > 0, x > 0 log b (x) = log a (x) log a (b) denn b = a log a (b), also b log a (x) log a (b) = a log a (b) log a (x) log a (b) = a log a (x) = x 12/23

11 13/23 Exponential- und Logarithmusfunktion Umrechnung der Basis Für a, b > 0, x > 0 gilt log b (x) = log a (x) log a (b) In der Praxis häufige Basen sind 10, 2 und e = 2, (die sog. Eulersche Zahl, man schreibt auch ln(x) für log e (x)). Insbesondere also ln(x) = log 10 (x) log 10 (e) log 10 (x) = ln(x) ln(10) log 2 (x) = log 10 (x) log 10 (2) ( log10 (e) = 0, ) ( ln(10) = 1 log 10 (e) = 2, ) ( log10 (2) = 0, )

12 Exponential- und Logarithmusfunktion Eulersche Zahl und natu rlicher Logarithmus Leonhard Euler, Die Eulersche Zahl e = e1 = limn 1 + n1 )n = 2, spielt in der Mathematik eine besondere Rolle. Man schreibt ha ufig ex = exp(x) und nennt dies die Exponentialfunktion. Ihre Umkehrfunktion, loge (x) heißt natu rlicher Logarithmus und wird oft ln(x) geschrieben. (Wir werden spa ter sehen, was so bemerkenswert natu rlich an e = exp(1) ist.) 14/23

13 Anwendung: exponentielles Wachstum 16/23 Exponentielles Wachstum, Malthusscher Parameter Thomas Robert Malthus An Essay on the Principle of Population, 1798 N(t) = Populationsgröße zur Zeit t Modell: N(t) = N(0)e αt α = Wachstumsparameter oder Malthusscher Parameter, es ist N(t+h) N(t) = N(0) eα(t+h) e αt = N(0)e αt eαh 1 αn(t) h h h (sofern h klein), d.h. Änderung ist proportional zur aktuellen Anzahl. Modell plausibel, wenn N(0) (halbwegs) groß und es keine Ressourcenbeschränkung gibt.

14 Anwendung: exponentielles Wachstum Modell: N(t) = N(0)e αt Beispiel: Eine Hefekultur bestehe zur Zeit t = 0 [h] aus 1000 Zellen, α = 0,17 Wieviele Zellen enthält die Kultur nach 2 Stunden? N(2) = 1000 e 0,17 2 = 1405 Wie lange dauert es, bis sich die Kultur verdoppelt hat? Bestimme t 2 so, dass N(t 2 ) = N(0)e 0,17 t 2 = 2N(0) gilt, d.h. e 0,17 t 2 = 2 oder t2 = ln(2) = 4,1 [h]. 0,17 Beachte: Im Modell bestünde die Kultur nach 20 Tagen aus 1000 e 0, = 2, Zellen. Bei einem mittleren Gewicht von 7, g pro Zelle wöge sie also ca. 2, , = 2, g Zum Vergleich: Die Masse der Erde beträgt ca. 5, g (und das Modell ist in diesem Bereich sinnlos). Samir A. Haddad and Carl C. Lindegren, A Method for Determining the Weight of an Individual Yeast Cell, Appl. Microbiol. 1(3): , (1953). 17/23

15 19/23 Exponential- und Logarithmusfunktion Was ist so bemerkenswert an e? Mehr zur Eulerschen Zahl und natürliche Exponentialfunktion Eulersche Zahl e = 2, (Taylor-)Reihe der Exponentialfunktion ( Exponentialreihe ) e x = exp(x) = x x x x 4 + man kürzt ab n! := n (sprich: n-fakultät ) und vereinbart 0! := 1, z.b. 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120,..., also exp(x) = x 0 0! + x 1 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + = n=0 x n n!

16 Mehr zur Eulerschen Zahl und natürliche Exponentialfunktion Exkurs: Geometrische Summenformel: Für n = 1, 2, 3,... und a 1 ist 1 + a + + a n = 1 an+1 1 a, denn (1 + a + a 2 + a a n 1 + a n ) (1 a) = 1 + a + a 2 + a 3 + a n 1 + a n a a 2 a 3 a 4 a n a n+1 = 1 a n+1 Geometrische Reihe: Für a < 1 ist a n =1 + a + a 2 + a 3 + a 4 + n=0 = lim n ( 1 + a + a 2 + a a n 1 + a n) 1 a n+1 = lim n 1 a = 1 1 a (Für a 1 konvergiert die Reihe nicht.) 20/23

17 21/23 Exponential- und Logarithmusfunktion Exkurs: Warum konvergiert die Exponentialreihe? exp(x) = x 0 0! + x 1 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 Mehr zur Eulerschen Zahl und natürliche Exponentialfunktion 4! + = n=0 Betrachte Quotienten aufeinanderfolgender Summanden: x 2 2! x 1 1! = 1! 2! x = x x 3 2, 3! x 2 2! = 2! 3! x = x x n 3,..., n! x n 1 (n 1)! x n n! x 1 1! x 0 0! = (n 1)! n! x = x n,... Sei n 0 N so, dass 2n 0 1 < x 2n 0, dann ist für n n 0 : x n = x n 0 n! n 0! x n 0 +1 (n 0 +1)! x n 0 n 0! x n 0 +2 (n 0 +2)! x n 0 +1 (n 0 +1)! x n n! x n 1 (n 1)! } {{ } n n 0 Faktoren, jeder 1 2 = x 1, x n 0 ( 1 n n0 = 2 n 0 x n 0! 2) n 0 ( 1 n n 0! 2) Also (Bem.: Wir haben gerade das Quotientenkriterium benutzt/bewiesen.) x n 2 n 0 x n 0 ( 1 ) n < n! n n=n 0! 2 0 n=n 0

18 exp ist seine eigene Ableitung Mehr zur Eulerschen Zahl und natürliche Exponentialfunktion Erinnerung/Vorschau: Ableitung (Steigung einer Funktion) f (x) = x n, so ist f (x) = nx n 1 Wenn summandenweises Ableiten erlaubt ist (was hier der Fall ist): ( x exp 0 (x) = 0! + x 1 1! + x 2 2! + x 3 3! + x ) 4 4! + = 0 + 1x 0 1! + 2x 1 2! + 3x 2 3! + 4x 3 4! + = x 1 2 1! + 3x 2 3 2! + 4x 3 4 3! + = x 0 0! + x 1 1! + x 2 2! + x 3 3! + = exp(x) Dies ist der Grund, warum e x = exp(x) die natürlichste Exponentialfunktion ist, ihre Umkehrfunktion heißt daher auch natürlicher Logarithmus.) 22/23

19 Exponential- und Logarithmusfunktion Mehr zur Eulerschen Zahl und natu rliche Exponentialfunktion Leonhard Euler, /23