Experimentalphysik E1

Transkript

1 Experimentalphysik E1 Keplersche Gesetze Gravitationsgesetz Alle Informationen zur Vorlesung unter : Nov. 2016

2 Der Drehimpuls m v v r v ω ω v r m : Winkelgeschwindigkeit : Bahnvektor : Masse Definition Bahngeschwindigkeit v = r ω Drehimpuls : L = r mv Der Drehimpuls hat die Einheit kg m 2 /s

3 Erhaltung des Drehimpulses Wir betrachten die zeitliche Ableitung des Drehimpulses L dl dt d = r ( m v) dt = r F a = M dl = dt M Grundgleichung der rotierenden Bewegung (analog zu dp/dt=f a ) Bei Abwesenheit eines äußeren Drehmoments bleibt der Drehimpuls konstant. M = 0 L = const (Drehimpuls- Erhaltungssatz)

4 Der Drehimpuls ist auch bei nicht-kreisförmigen Bewegungen erhalten. Der Drehimpuls bezieht sich immer auf einen (Dreh)-Punkt

5 Konkurrenz der Weltbilder (16.Jhd)

6 Zur Bewegung der Planeten Ptolemäisches Planeten-Modell

7 Zur Bewegung der Planeten Kopernikanisches heliozentrisches Planeten-Modell Ptolemäisches Planeten-Modell

8 Tycho Brahe Johannes Kepler

9 Tycho Brahe ( ) Königlicher Astronom, erstellte die genaueste Vermessung der Planetenbewegung seiner Zeit. Kepler war (anfangs) sein Assistent. Kepler erkannte die gemeinsame Ellipsenform der Planeten; Astronomia Nova (1609) & Harmonices Mundi Libri V (1619)

10 Keplergesetze (Basierend auf Beobachtung Tycho Brahes) I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt II. Fahrstrahl von Sonne zu Planet überschreitet in gleichen Zeiten gleiche Flächen P(t 1 ) A 1 P(t 1 + Δt) S A 2 P(t2 ) P(t 2 + Δt) III. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die 3. Potenzen ihrer großen Halbachsen T 1 2 T 2 2 = a 1 3 a 2 3 oder T i 2 a i 3 = const für alle Planeten

11 Zum 2. Keplerschen Gesetz S r(t + dt) da v r (t) h α ds p d s = v dt Bogen Sehne da = 1 2 r v dt sinα 1 da 2 m L dt = 1 2 r v sinα = 1 2 m r p = + 1. Gesetz (planare Bahn) => Richtung L konst L = const

12 Newtons Analyse: Planetenbahnen!! Selbe Axiomatik!! Gravitation! Fallender Apfel aus v L = const. v F G (r) = f (r) ˆ e r (Zentralkraft) aus Actio = Reactio F G ~ m 1 m 2 v F G (r) = G m 1 m 2 f (r) ˆ e r Mit Ellipse ~ Kreis => m p w p 2 r p = G m p m s f (r i ) 3. Kepler w 2 ~ T 2 ~ r 3 $ % f (r) ~ r 2 & F = G m M p S r 2 ˆ e r Newtonsches Gravitationsgesetz

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14 Karikatur über Newtons Lehre der Gravitation Newtonsches Gravitationsgesetz (1686)

15 Bestimmung der Gravitationskonstante Cavendish 1798 (Drehwaage/ Torsionspendel) aus Demtröder al. Henry Cavendish, Experiments to determine the Density of the Earth Philosophical Transac.ons of the Royal Society of London 88 (1798)

16 Bestimmung von G = 2 L F G Drehmoment des verdrillten Fades è Schema Gravitationswaage

17 1,8 m Nahaufnahme des Gehänges Cavendishs Instrument. Der Waagebalken hatte eine Länge von 1,8 m. Von außen konnte das Gehänge mit den großen Bleikugeln gedreht werden. Die Bewegung des Gehänges mit den kleinen Massen wurde mit einem Fernrohr beobachtet.

18 Planetenbahnen SonnenApplet.htm

19 Kegelschnitte 2 2 x y = 1 a b Ellipse

20 Kegelschnitte 2 2 x y = 1 a b Ellipse 2 2 x y 2 2 = 1 a b Hyperbel

21 Kegelschnitte y 2 = 2px Parabel

22 Kegelschnitte y η =y P(x,y)=P(r,ϕ) b S ϕ r(t) ξ =x-a e a r(ϕ) = a (1 ε2 ) 1+ε cos(ϕ) a : gr. Halbachse ε : Exzentrizität ε<1 Ellipse ε=1 Parabel ε>1 Hyperbel

23 Die Bewegungsgleichung eines Planeten im Zentralfeld der Sonne ist integrierbar E P + m 2 r 2 + L2 2mr 2 = E = const (siehe theoretische Mechanik T1) dr dt = 2 # % m E E P $ & L2 ( 2mr 2 ' dϕ dt = L mr 2 dϕ dr = L mr + 2 % - ' 2 m E E P, & (. L2 * 0 2mr 2 )/ 1 2 ϕ ϕ 0 dϕ = ϕ ϕ 0 = L m dr ( ) r 2 2 m E E P L 2 2mr 2 % ' ϕ = arccos ' & L 2 r Gm 2 M ( Gm 2 M) 2 + 2mE L 2 ( % 2 * a 1 ε = arccos * ' ε r ) & ( ) r ( * )

24 Bahn eines Planeten im Zentralfeld der Sonne: % ' ϕ = arccos ' & L 2 r Gm 2 M ( Gm 2 M) 2 + 2mE L 2 ( * * ) ( ) r % 2 a 1 ε = arccos ' & ε r ( * ) a = GmM 2E ε = 1+ 2E L2 G 2 m 3 M 2 ε <1 ε >1 E < 0 E > 0 Ellipse Hyperbel