Einführung in die Astronomie & Astrophysik 2. Kapitel: Klassische Astronomie Himmelsmechanik

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1 Einführung in die Astronomie & Astrophysik 2. Kapitel: Klassische Astronomie Himmelsmechanik Wilhelm Kley & Andrea Santangelo Institut für Astronomie & Astrophysik Kepler Center for Astro and Particle Physics Sommersemester 2013 Astronomie & Astrophysik (SS 2013)

2 2. Himmelsmechanik Übersicht 2.5. Zweikörperproblem - Keplergesetze - Bewegungsgleichungen - Bahnform - Keplergleichung - Bahnelemente 2.6. Mehrkörperproblem - Störungsrechnung - Lagrangepunkte - Periheldrehung Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 1

3 2. Himmelsmechanik Grundlagen Hauptzweig der Astronomie bis ca. Ende 19. Jhd. Ziel: Erklärung und Vorhersage der Planetenbewegung Methode: Verwendung der Newtonschen Gravitationsgesetzes (1686) Analytisch nur exakt lösbar für 2 sphärisch symmetrische Massen ( Zweikörperproblem) Im Sonnensystem: Störungen durch andere Planeten klein ( Näherungsweise Zweikörperprobleme) Erweiterungen: Störungsrechnung, Allg. Relativitätstheorie ( Reihenentwicklungen, numerische Integration) N-Body: Exoplaneten, Sternhaufenhaufen, Galaxien ( Numerische Rechungen) Erhaltungsgrößen: Schwerpunktbewegung, Energie, Drehimpuls ( Ausnutzen zur Integration der Bew. Gleichungen) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 2

4 2.5 Zweikörperproblem Überblick: Sonnensystem Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 3

5 2.5 Zweikörperproblem Keplergesetze 1) Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, wobei die Sonne sich in einem Brennpunkt der Ellipse befindet (1609) 2) Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten (Astronomia Nova, 1609) 3) Das Quadrat der Bahnperiode (P ) ist proportional zum Kubus des mittleren Abstandes (Große Halbachse a) von der Sonne (Harmonices Mundi, 1619) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 4

6 2.5 Zweikörperproblem Relativkoordinaten r P S r s r p O O: Koordinatenursprung S: Sonne, r s Radiusvektor zur Sonne P: Planet, r p Radiusvektor zum Planeten r = r p r s Vektor von Sonne zum Planeten Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 5

7 2.5 Zweikörperproblem Bewegungsgleichungen Für die Sonne M s rs = M s a s = GM sm p ( r p r s ) r p r p 3 = GM s m p r r 3 (1) Für den Planeten m p rp = m p a p = GM sm p ( r p r s ) r p r s 3 = GM s m p r r 3 (2) Subtraktion M s (2) - m p (1) und teilen durch M s + m p Gleichung für die Relativbewegung Mit: µ = M s m p /(M s + m p ), M = M s + m p µ r = µ a = GMµ r r 3 (3) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 6

8 2.5 Zweikörperproblem Äquivalentes Einkörperproblem Das Zweikörperproblem kann auf ein äquivalentes Einkörperproblem für die Relativbewegung reduziert werden µ r = GMµ r r 3 (4) Der Planet bewegt sich wie ein Körper der reduzierten Masse µ = M s m p /(M s + m p ) im Feld einer Zentralmasse M = M s + m p. r ist der Relativvektor (von Sonne zum Planeten). Erhaltungsgrößen : Energie Drehimpuls E = 1 2 µv2 G Mµ r (5) L = µ r v (6) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 7

9 2.5 Zweikörperproblem Bewegungsgleichungen Spezifischer Drehimpuls h (Drehimpuls/Masse) L µ h (7) Es gilt h r, d.h. Bewegung in Ebene senkrecht zu L. Wähle KO-System mit z-achse parallel zu L, also h = L z /µ x = r cos φ, y = r sin φ Die Bewegungsgleichung (4) lautet nun mit k = G M. r 2 φ = h (8) r r φ 2 = k r 2 (9) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 8

10 2.5 Zweikörperproblem Flächensatz r O dr xx Fläche ds des schraffierten Dreiecks ds = 1 2 r dr teile durch dt Ṡ = 1 r v 2 mit (6) und (7) Ṡ = 1 2 h (10) d.h. Drehimpulserhaltung Zweites Keplersches Gesetz Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 9

11 2.5 Zweikörperproblem Radial-Gleichung Einsetzen der Drehimpulsgleichung ergibt (k = GM) r + k r 2 h2 r 3 = 0 (11) Multiplikation mit ṙ und Integration über die Zeit t liefert 1 2ṙ2 k r + h2 2r 2 = ɛ (12) ɛ = E/µ spezifische Energie (Energie/Masse) des Planeten Definiere effektives Potential V eff (r) = k r + h2 2r 2 (13) ṙ 2 + 2V eff (r) = 2ɛ (14) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 10

12 2.5 Zweikörperproblem Effektives Potential V eff (r) ε 3 V eff (r) = k r + h2 2r 2 O r ε ε 2 1 Zentrifugalpotential: für r 0 abstoßend. r 0 ε 0 ɛ = ɛ 0 Kreisbahn (gebunden) ɛ < ɛ 1 < 0 Ellipse (gebunden) ɛ = ɛ 2 = 0 Parabel (marginal gebunden) ɛ = ɛ 3 > 0 Hyperbel (ungebunden) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 11

13 2.5 Zweikörperproblem Die Form der Bahn Mit ṙ = dr dφ und u = 1 dφ dt r ( ) 2 du + u 2 2ku dφ h 2 = 2ɛ h 2 (15) nochmal ableiten: Binet s Gleichung: d 2 u dφ 2 + u = k h 2 inhomogene Oszillatorgleichung Die Lösung lautet r = p 1 + e cos(φ φ 0 ) (16) Gleichung für Kegelschnitt = 1. Keplersches Gesetz in Gl.15 e = (1 + 2ɛh2 k 2 ) 1/2, p = h2 k a(1 e2 ) (17) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 12

14 2.5 Zweikörperproblem Kegelschnitte Ebene schneidet senkrechten Kreiskegel Bahntyp abhängig von Energie Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 13

15 2.5 Zweikörperproblem Die Ellipse Aphel Kreis Ellipse a b O E Q P r φ F semi lactus rectum p = a ( 1 e 2) X Perihel F P r Fokus (Sonne) Planet (Abstand: F-P) a große Halbachse b kleine (b a) Exzentrizität e = (1 b 2 /a 2 ) 1/2 q = a(1 e) (Perihel) Q = a(1 + e) (Aphel) Anomalie q=a(1 e) (= Winkel: Perihel - Planet) φ wahre Anomalie (von Fokus aus) E: exzentrische Anomalie (von Mittelpkt. aus) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 14

16 2.5 Zweikörperproblem Energie und Drehimpuls Im Perihel r p und Aphel r a ist v r, also gilt L = µr p v p = µr a v a E = 1 2 µv2 p GMµ r p = 1 2 µv2 a GMµ r a mit r p = a(1 e) und r a = a(1 + e) folgt (NOTE: L = µh, E = µɛ) L = µ GMa(1 e 2 ), E = GMµ 2a (18) Integriere Flächensatz (10) über ganze Periode P : πab/p = h/2 mit b = a (1 e 2 ) P 2 = 4π2 a 3 GM d.h. Das Dritte Keplersche Gesetz (19) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 15

17 2.5 Zweikörperproblem Der Planet in der Bahn I Die radiale Bewegungsgleichung lautete (12) ṙ 2 = A + 2B r + C r 2 (20) mit A = 2ɛ, B = k, C = h 2 (21) r dr allg. Lsg. = dt (22) r 0 A + 2Br + Cr 2 t 0 Substitution: r = a (1 e cos E) ; a = B [ A ; e = 1 AC Lsg.: (mit Perihel bei t = t 0 ) Kepler Gleichung t B 2 ] 1/2 M 2π P (t t 0) = E e sin E (23) M mittl. Anomalie, P Periode., E = 0 Perihel, E = π Aphel. Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 16

18 2.5 Zweikörperproblem Der Planet in der Bahn II Kepler-Gleichung ist transzendente Gleichung, Lösung iterativ starte zu einer festen Zeit (eg. t = P/4) mit Anfangswert E 0 (eg. π/2), und iteriere Berechne wahre Anomalie φ mit tan E k+1 = M + e sin E k (24) ( ) φ 2 und Abstand r nach (16) = ( ) 1 + e E 1 e tan 2 (25) r = p 1 + e cos(φ φ 0 ) Damit (r(t), φ(t)) bzw. (x(t), y(t)) bekannt. Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 17

19 2.5 Zweikörperproblem Kepler-Gleichung II Geometrische Ableitung Kreis Q Fläche(Ellipse) = πab Fläche(PFX) = πab (t t 0 )/P (überstrichene Fläche: Kepler 2) Aphel Ellipse a b O E P r F φ X Perihel aber: Fläche(PFX) = b a Fläche(QFX) (affine Abbildung: Stauchung) Fläche(QFX) = Fläche(QOX) - Fläche(OFQ) = πa 2 E 2π - 1 2ae a sin E eingesetzt: 2π P (t t 0) = E e sin E (26) mit der mittleren Anomalie M(t) = 2π P (t t 0) (27) folgt M(t) = E e sin E (28) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 18

20 2.5 Zweikörperproblem Bahnelemente I Vollständige Beschreibung der Bahn durch: - 2 Bahnelemente a, e (Große Halbachse, Exzentrizität) - 3 Winkel, welche die Orientierung der Bahn angeben - 1 Zeitursprung T P, z.b. der Durchgang durch Perihel Referenzkoordinatensystem: Kartesisches System: Im Ursprung die Sonne x y Ebene = Ekliptikebene = Ebene der Erdbahn z-achse in Richtung des Drehimpulse der Erdbahn x-achse in Richtung des aufsteigenden Knotens der Erdbahn, (Frühlingspunkt (-Äquinoktium, Tag- und Nachtgleiche), Widderpunkt) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 19

21 2.5 Zweikörperproblem Bahnelemente II a, e Frühlingspunkt Knoten : aufsteigender absteigender i Inklination Erdbahn-Eklipt. Ω Länge des aufsteig. Knotens in Ekliptik ω Länge des Perihels vom in Bahnebene T P Periheldurchgang Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 20

22 2.5 Zweikörperproblem Bahnelemente III Mit allen 6 Größen a, e, i, Ω, ω, T P ist eindeutige Bestimmung des Position des Planeten möglich Damit können z.b. die Orte r und die Geschwindigkeiten v des Planeten angegeben werden. Umkehrung: Bahnbestimmung aus Beobachtungen Bestimmung der Bahnelemente aus Ortsmessung schwierig, da Entfernung von Erde unbekannt (nur 2 Winkel messbar: α, δ) 3 Positionsmessungen ausreichend: 6 Messgrößen für 6 Bahnelemente Lösungsmethoden von Gauß und Laplace (um 1800) 1801: Großer Erfolg durch Wiederauffinden von Ceres Heute auch: Laufzeitmessungen Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 21

23 2.5 Zweikörperproblem Bahnelemente der Planeten Momentane Bahnelemente der Planeten Name Symb. Gr. Halbachse Exzent. Inklin. Periode a [AU] e Grad [Jahre] Merkur o Venus o Erde Mars o Ceres o Jupiter o Saturn o Uranus o Neptun o Pluto o Die Bahnelemente variieren (oskulieren) aufgrund der Wechselwirkungen untereinander Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 22

24 2.6 Mehrkörper Dreikörperproblem Für N > 2 ist N-Körperproblem i.allg. nicht exakt lösbar nicht genügend Integrationskonstanten Nur in Spezialfällen lösbar (Euler, Laplace, Lagrangem Gauß, Poincare,..) a) 3 Massen auf gleichseitigem Dreieck (Lagrange, 1772) b) 3 Massen auf Gerade, rotieren um gem. Schwerpunkt (Euler, 1765) c) 3 gleiche Massen auf Achterbahn (Chenciner & Montgomery, 2000) Oft: Eingeschränktes 3-Körperproblem Testmassen im Feld zweier anderen z.b. Asteroiden im Feld von Sonne und Jupiter ( später) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 23

25 2.6 Mehrkörper Sonnensystem Bewegungsgleichungen für 8 Planeten r i = Gm r i r i 3 + F i m i i = 1,..., 8 (29) F i Störungen der anderen Körper auf i-ten Planeten (Masse m i ) F i = 8 j=1;j i Gm j r ij i = 1,..., 8 (30) r ij 3 Gl. 29 nicht exakt lösbar, näherungweise Ellipsen plus Störungen, (weil m j << M i ) Variation der Bahnelemente z.b. variiert e zwischen 0 und 0.06, heute Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 24

26 2.6 Mehrkörper Lagrangepunkte Äquipotentiallinien im rotierenden Koordinatensystem (Sonne und 1 Planet) Gleichgewichtspunkte: 5 Lagrangepunkte L 1 L 5 L 1, L 2, L 3 instabil L 4, L 5 stabil (Trojaner) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 25

27 2.6 Mehrkörper Periheldrehung Störungen durch andere Objekte Periheldrehung (Wikipedia) Drehung der Apsidenlinie durch WW mit anderen Körpern, Abplattung der Sonne und Allg. Relativ. Theorie (ART) Bspl. Merkur Perihelshift Ursache [1/Jahrhundert] Andere Planeten: 532 Frühlingspunkt 5025 Beobachtet 5600 ART 43 Wichtige Bestätigung der ART! Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 26

28 2.6 Mehrkörper Kosmische Geschwindigkeiten Geschwindigkeit zum Erreichen einer bestimmten Bahnform 1) Kreisbahn (v 1 ), mit Kepler 3 P 2 = v 1 = 4π2 Gm E R 3 E (31) (Gm E )/R E (32) 2) Parabelbahn, Entweichgeschwindigkeit (v 2 ) Gesamtenergie = Null 1 2 v2 2 Gm E R E = 0 (33) v 2 = 2v 1 (34) Erde: v 1 = 7, 9 km/s, v 2 = 11, 2 km/s Mond: v 2 = 2, 4 km/s Mars: v 2 = 5 km/s, Jupiter: v 2 = 61 km/s wichtig für Atmosphäre 3) Entweichen aus Sonnensystem (von Erde, benutze v Erde = 30km/s) v 3 = 16, 7 km/s 4) Entweichen aus Milchstraße (von Radius der Sonnenbahn) v 4 = 129 km/s Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 27

29 2.6 Mehrkörper Interplanetare Bahnen Hohmann-Bahnen: Ellipsen, welche die zu verbindenen Bahnen (z.b. Erde- Planet) im Peri- und Apozentrum berühren. Sonne im Zentrum Blau: Bahn der Erde um Sonne (Abstand a E ) Rot: Bahn eines Planeten um Sonne (Abstand a P ) Gelb: Hohmann-Bahn Große Halbachse der Ellipse a H = 1/2(a E + a P ) Notwendige Geschwindigkeit am Punkt 1 (aus Vis-Viva Gleichung) v H = GM ( 2 1 ) a E a H (35) Muss beschleunigen am Punkt 1 (von der Erde weg) Abbremsen am Punkt 3 (zum Planet hin) Astronomie & Astrophysik (SS 2013) 28