Die Keplerschen Gesetze

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1 Die Keplerschen Gesetze Kepler I: Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen. In einem Brennpunkt steht die Sonne. r(t + dt) r(t) da d r = vdt Kepler II: Der Verbindungsstrahl Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. da = ( r v) = 2m L Kepler III: Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen: T 2 1 /T 2 2 = a3 1 /a3 2 bzw. T 2 i /a3 i = const.

2 Die Gravitation Newton hat erkannt, dass die Keplerschen Gesetze aus derselben Kraft folgen, die auch Äpfel im Fallen beschleunigt. Die Gravitation wirkt zwischen zwei Körpern mit Massen m 1 und m 2. Aus Kepler I und II bzw. der Drehimpulserhaltung folgt, dass es sich dabei um ein zentrales Kraftfeld handeln muss. F ( r) = f(r) ˆr Feld: An jedem Punkt im Raum ist eine Größe zugeordnet, z. B. die Temperatur Temperaturfeld. Ist jedem Punkt ein Vektor zugeordnet, wie z. B. die Gra-

3 vitationskraft, so handelt es sich um ein Vektorfeld. Ein Temperaturfeld ist ein skalares Feld. Die Gravitationskraft wirkt proportional zur Masse eines Körpers, die Gravitation muss ferner, nach Newton III, gleich stark auf Körper 1 wirken, wie auf Körper 2 ( actio = reactio ), also F G = Gm 1 m 2 f(r) ˆr, wo G 6, 673(10) m 3 kg 1 s 2 die schwierig zu bestimmende Gravitationskonstante ist. Entlang einer Planetenbahn wirkt die Gravitation als Zentripetalkraft, sie hält den Planeten auf seiner Bahn (beschleunigte Bewegung!) Gm i M f(r i ) = m i ω 2 i r i. Aus Kepler III haben wir ω 2 i T 2 i r 3 i und folglich f(r i ) r 2 i

4 F G ( r) = G m M r r 2 r

5 Messung von G mit der Drehwaage von Cavendish M 2 m 1 Spiegel m 2 Spiegel M 1 Laser Skala m 1 = m 2 Skala M 1 = M 2 Verdrillung des Fadens: Drehmoment M = π 2 Laser G d4 16l φ

6 Gleichgewicht des rücktreibenden Drehmomentes M und des durch die Gravitation ausgeübten Drehmomentes M G = 2F G L, wo F G = G mm r 2 ( ) 2 4π = G ρ 2 ri 3 Ri 3. 3 Die Gravitationskonstante kann nun ermittelt werden: ( 4π G 3 ) 2 ρ 2 r 3 i R 3 i = 1 2L G = 9G 64π π d4 G 2 16l φ r 2 (d/2) 4 llρ 2 ri 3 φ R3 i wo G das Torsionsmodul des Fadens ist (siehe später).

7 Bestimmung von g L cos φ φ φ 0 L Bewegungsgleichung mg sin φ = ml φ L(1 cos φ) m g m Lösen durch Reihenentwicklung von sin φ sin φ φ φ3 3! und Vernachlässigen der höheren Terme bei kleinem φ. Damit mgφ = ml φ, Schwingungsgleichung φ(t) = A sin ( g L t) mit Schwingungsdauer T = 2π L/g.

8 Potentielle Energie im Gravitationsfeld Wir können einfach die potentielle Energie einer Masse m im Gravitationsfeld einer Masse M berechnen. Die Arbeit A, die erforderlich ist, um einen Körper vom Abstand r 0 in einen Abstand r 1 zu bringen ist A = GMm r1 r 0 ( dr 1 r 2 = GMm 1 ). r 0 r 1 Die erforderliche Arbeit, um einen Körper unendlich weit wegzubringen, ist daher A = GMm 1 r 0.

9 Das Gravitationspotential Die Arbeit pro Masse, die aufgewendet werden muss, um einen Körper ins Unendliche zu befördern, wird Potential U genannt. U = GM/r Dass der Nullpunkt im Unendlichen liegt, ist Konvention. Die Gravitationskraft kann als Steigung des Potentials gedeutet werden: F d r = du = Ud r,

10 wo der Differentialoperator, der sogenannte Gradient, = ê x U x + ê y U y + ê z U z. Damit F = U.

11 Fluchtgeschwindigkeiten Als Anwendung des Potentialbegriffs untersuchen wir die Mindestgeschwindigkeit, die eine Rakete haben muss, um die Erde zu verlassen. An der Erdoberfläche muss gelten mg = GMm, also g = GM/r 2 r E 2 E, und folglich ist die erforderliche Arbeit gerade A = mgr E. Vorerst berechnen wir die Geschwindigkeit, mit der eine stabile Kreisbahn möglich ist. Dazu muss die Zentrifugalkraft auf das kreisförmig bewegte (also

12 beschleunigte) Raumschiff gerade die Gravitationskraft kompensieren, also mv 2 r E = GMm r 2 E und damit GM v = re für ein Raumschiff, welches haarscharf über der Erdoberfläche um die Erde saust. Bei tangentialem Abschuss reicht diese Geschwindigkeit, bei Vernachlässigung der Reibung, gerade aus, damit die Rakete nicht auf den Erdboden zurückfällt. Sie heißt oft erste kritische Geschwindigkeit. Die soeben beschriebene Rakete bleibt auf immer im Schwerefeld der Erde gefangen. Die Geschwindigkeit am Erdboden einer Rakete, die das Schwerefeld der Erde verlassen soll, die zweite kritische Geschwindigkeit oder

13 Fluchtgeschwindigkeit, errechnet sich einfach mit 1 2 mv2 = GMm r E = mgr E, also v = 2GME r E = 2gr E 11.2 km/s. Diese Geschwindigkeit ist also notwendig, um von der Erde aus ins Unendliche zu geraten. Oder reicht das etwa nicht? v = GM r E = 42.1 km/s, die dritte kritische Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die eine Rakete bei der Erde braucht, um das Sonnensystem zu verlassen. Wie fliegt ein Körper, der die Erde bzw. das Sonnensystem verlässt?

14 Das Potential innerhalb einer Hohlkugel P P Durch die gestrichelte Kugelfläche müssen gleich viele Feldlinien hinein- wie hinauslaufen. Auf jeden Punkt P muss, wegen der Kugelsymmetrie, dieselbe Kraft wirken. Dies ist nur erfüllt, wenn gar keine Feldlinien durch die Kugeloberfläche stoßen, also auf P und P keine Kraft wirkt. Im Innern einer Hohlkugel wirken keine Kräfte, d. h. das Potential ist konstant.

15 Das Potential außerhalb einer Kugel da a x a y θ O dx a r R = OP m P ds = dx/ sin θ dm = 2π y ρ ds da = 2π a ρ dx da weil y = a sin θ. Also M = 4π a 2 ρ da. r 2 = y 2 + (R x) 2 = y 2 + x 2 + R 2 2Rx also r 2 = a 2 + R 2 2Rx und rdr = Rdx r = R + a für x = a und r = R a für x = a de P = G m dm r E P = 2πρ G m a da a 2πρ a da m E P = G R R a R+a a dx r dr = GMm R Das Potential einer Kugel ist dasselbe wie das eines Massenpunktes der Masse M.

16 Das Potential einer Kugel r < a r > a U(r) ~ -1/r U(r) U(r) ~ r 2 r = a r

17 Bewegung von zwei Körpern Nun ist also das Gravitationsgesetz bekannt und die erforderliche Konstante G gemessen. Man kann den Spieß jetzt umdrehen und z. B. die Planetenbahnen aus dem Gravitations- und Impulserhaltungsgesetz herleiten. Unterschied: Wir erkennen, dass die Bewegung um den gemeinsamen Schwerpunkt verläuft! Bahnen können auch Hyperbeln oder Parabeln sein! Allgemein: Bahnen sind Kegelschnitte (Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln)

18 Die Rotation von Galaxien v v = const. 1 r Um auf einer Kreisbahn zu bleiben, muss G mm = r 2 mv2 r gelten, also v 2 = GM GM r = v = r. Beobachtungen der Rotationskurve von Galaxien zeigen aber v const. Deshalb muss die Masse mit wachsendem r galaktozentrischen Abstand zunehmen wie M(r) v2 r G.

19 Die Gezeiten Die Bewegung des Erde-Mond-Systems um den gemeinsamen (und in der Erde steckenden) Schwerpunkt kann als kontinuierliche Verschiebung der Erde aufgefasst werden. R S Bei der Bewegung um den Schwerpunkt verschieben sich Punkte, sie drehen sich nicht. Dies führt zu einer Zentrifugalkraft F Z, die immer gleich groß ist und in dieselbe Richtung vom Mond durch den Erdmittelpunkt hindurch zeigt. Die Gravitation zeigt aber immer zum Zentrum des Mondes! F Z = mω 2 R S FG = GM E M M r 2 r r

20 Die Gezeiten II Erde F z F z F z Fg Fz Fg Fz F g F g F z Fg S F z Fz F g Fg F g Mond F z F g Im Erdmittelpunkt (und nur dort!) heben sich die Gravitationskraft F G und die Zentrifugalkraft F Z gerade auf, also F G = F Z.

21 Die Richtung und der Betrag der Zentrifugalkraft sind also bekannt( F G ), die/der der Gravitationskraft in jedem Punkt auch. Im dem Mond abgewandtesten Punkt lautet die Differenz der Kräfte auf einen Massenpunkt der Masse m F = G mm M r 2 G 2mM M r 3 = 2 F G (r) R r, ( R r r 1 (1 + R/r) 2 1 wo r der Abstand von Mond- zu Erdmittelpunkt ist, und R der Erdradius bedeutet. Die Beschleunigung in dem Punkt ist sehr klein, a = F m = m s 2. ) r r

22 Abstand Erde-Mond lunar semimajor axis [10 3 km] ? ocean model present tidal dissipation rate time [10 6 y] (nach Bills und Ray, (1999)) Die schnelle Erdrotation führt über die Reibung zu einer leichten Beschleunigung der Flutwellen gegenüber der Mondlage. Diese eilen dem Mond also leicht voraus, was zu einem Drehmoment auf die Erde führt, welches ihren Drehimpuls verringert. Im System Erde-Mond muss er aber erhalten bleiben, weshalb der Mond ihn übernimmt (über die leichte Gravitationskraft der Flutwelle!).

23 Verbesserte Formulierung des Gravitationgesetzes Der Schwerpunkt Erde-Sonne oder Erde-Mond bleibt kräftefrei, d. h. dass sich die Bewegung der Erde und Sonne unterteilen lässt in Bewegung des Schwerpunktes und eine überlagerte Bewegung der Planeten. µ d2 r dt 2 = GµM r r 2 r Die Bewegung ist gleich der Bewegung eines Satelliten der reduzierten Masse µ = m 1 m 2 /(m 1 +m 2 ) um die im Schwerpunkt festgehaltene Masse M = m 1 +m 2. Beide Körper bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt der Schwerpunkt sitzt.

24 Planetenbahnen Zur Berechnung nutzen wir aus, dass die totale Energie sowie der Drehimpuls erhalten sein müssen. E tot = E kin + E pot = const. = m 2 ṙ2 + m 2 r2 φ2 + E pot E tot = m 2 ṙ2 + L2 2mr 2 + E pot denn L = mr 2 φ.

25 Also verändert sich die Geschwindigkeit dr dt = und die Winkelgeschwindigkeit Division ergibt dφ dt = dφ dr = 2 m ( E E pot L2 2mr 2 L mr 2 denn L = mr2 φ. mr 2 2 m L ( E E pot ) ). L2 2mr 2 Mittels Integration erhält man nun eine Polardarstellung der Planetenbahn

26 r = r(φ). φ φ 0 dφ = φ φ 0 = L m r 2 2 m dr ( E E pot ) L2 2mr 2 Mit φ 0 = 0 und E pot = GMm/r wird das Integral lösbar (nachschlagbar... ) ( ) L 2 /r Gm 2 M φ = arccos, (Gm2 M) 2 + 2mEL 2 was mit den Abkürzungen a = GmM 2E und ɛ = 1 + 2EL2 G 2 m 3 M 2

27 einfacher aussieht ( a(1 ɛ 2 ) ) r φ = arccos. ɛr Auflösung nach 1/r liefert eine Gleichung für Kegelschnitte: 1 r = 1 + ɛ cos φ a(1 ɛ 2 ). Dies kann einfach gesehen werden: Obige Gleichung beschreibt z. B. eine Ellipse mit großer Halbachse a und Exzentrizität ɛ. Wir können in ein kartesisches Koordinatensystem mit Ursprung im Brennpunkt S umrechnen, indem wir schreiben ξ = r cos φ und η = r sin φ a(1 ɛ 2 ) = r(1 + ɛ cos φ) a(1 ɛ 2 ) ξɛ = ξ 2 + η 2.

28 Eine Translation des Ursprungs in den Mittelpunkt der Ellipse (des Kegelschnittes) erreichen wir mit der Transformation ξ = x+aɛ und η = y, womit nach Quadrieren obiger Gleichung und Sammlung aller Terme mit ξ auf der linken Seite ξ 2 + 2aɛξ 2aɛ 3 ξ ɛ 2 ξ 2 = y 2 + a 2 (1 ɛ 2 ) 2 ξ 2 + 2aɛξ + a 2 ɛ 2 a 2 ɛ 2 ɛ 2 (ξ 2 + 2aɛξ + a 2 ɛ 2 a 2 ɛ 2 ) = y 2 + a 2 (1 ɛ 2 ) 2 (ξ + aɛ) 2 ɛ 2 (ξ + aɛ) 2 a 2 ɛ 2 (1 ɛ 2 ) = y 2 + a 2 (1 ɛ 2 ) 2 (ξ + aɛ) 2 (1 ɛ 2 ) + y 2 = a 2 (1 ɛ 2 ) 2 + a 2 ɛ 2 (1 ɛ 2 ) x 2 a 2 + y 2 a 2 (1 ɛ 2 ) = x2 a 2 + y2 b 2 = 1.

29 Kegelschnitte a b aɛ r φ r = a(1 ɛ2 ) 1+ɛ cos φ 0 < ɛ < 1 Kreis für ɛ = 0 Parabel für ɛ = 1 ɛ = 1 0 < ɛ < 1 ɛ > 1 v 0 v 2 0 = (1+ɛ)GM r r φ b r = a(ɛ2 1) 1+ɛ cos φ ɛ > 1 a ɛ = 0

30 Mars Express v 1 v M Hohmann Transferorbit r M r E v E v 0 Aus den Anfangsbedingungen folgt ɛ = r E v2 0 GM 1 Für r E und r M die Ellipsengleichung anwenden und dividieren führt zu r M re = 1+ɛ 1 ɛ Obiges Resultat für ɛ einsetzen ergibt v 2 0 = GM r E 2r M /re 1+r M /r E Drehimpulserhaltung besagt r E v 0 = r M v 1 und damit r M v 1 2 GM = r E r E v E 2 rm GM = 2 1+r M /re < 1 Damit kann nun einfach ausgerechnet werden, um wieviel Mars Express bei der

31 Erde und bei Mars beschleunigt werden muss. Bei der Erde muss die Trägerrakete also eine Geschwindigkeit v 0 erreichen, die um v 0 = v 0 v e größer ist als v e. Bei Mars muss der Bus die Sonde auf die Umlaufgeschwindigkeit beschleunigen um v 1 = v 1 v m. v 0 = v 0 v e = v 1 = v 1 v m = GM r e GM r m 2r m /r e 1 r m /r e ( r m /r e ) und die total notwendige Geschwindigkeitsänderung v tot = v 0 + v 1.

32 Der Virialsatz 2K = p i v i = d dt ( p i r i ) r i ṗ i ( ) τ Mittelwertbildung < f >= lim τ 0 dtf(t). Ist F (t) beschränkt, so gilt < f >= 0, wenn f = < f >= lim τ 1 τ τ 0 dtdf dt = 0. F, denn Bei Mittelung < 2K >=< fällt deshalb der erste Term in Glg.( ) weg. U r i r > weil ṗ i = U i r. i Mit U 1/r finden wir 2 < K >= < U > Virialsatz

33 Jeans-Kollaps und die Entstehung des Sonnensystems Für eine kugelförmige, homogene interstellare Molekularwolke lässt sich die potentielle Energie einfach berechnen. Die mittlere Dichte ρ =< ρ >= M 4π 3 R3 und damit M(r) 4π 3 r3 < ρ >. Die potentielle Energie eines Massenelementes dm = 4πr 2 ρdr in einer Kugelschale beträgt R du = G4πρ M(r)r2 dr also U = 4πGρ drm(r)r. r 0

34 Integration ergibt U = 4π 3 4πρ2 G R 0 drr 4 < U > = 16π2 G 15 ρ2 R 5 = 3 GM 2 5 R < K > = 3 GM 2 10 R. und nach Virialsatz Wir kennen aber die mittlere kinetische Energie in der Wolke! < K >= 3 M NkT, wo N =. 2 µm H

35 Ist nun 2 < K > < < U >, so kollabiert die Wolke. 3 M kt < 3 GM 2 µm H 5 R, wor = ( 4π 3 M ρ ) 1/3 5kT Gµm H ( 4π 3 ρ ) 1/3 < M 2/3 also M J = ( 5kT Gµm H ) 3/2 ( 4π 3 ρ ) 1/2 < M. Für M > M J, die Jeans-Masse, ist die Wolke instabil, kollabiert, und bildet einen Stern (evtl. mit Planetensystem).