{ } e r. v dv C 1. g R. dr dt. dv dr. dv dr v. dv dt G M. 2 v 2. F (r) r 2 e r. r 2. (g nicht const.)

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Agnes Messner
vor 7 Jahren
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1 Otsabhängige Käfte Bsp.: akete i Gavitationsfeld (g nicht const.) F () Nu -Kop. G M 2 e (späte eh) a v dv a d v dv v dv d v dv 1 G M 2 v2 C v (Abschuss vo Pol) d G M 2 C 1 d 2 G M dv d v 1 2 v 2 g { } e M v h=- Ede Gaub E1 WS1/11 1

2 1 G M 2 v2 it a() g 1 2 v 2 G M 2 g 1 2 v 2 g v 2 g ax 2 v 1 ( 2 g ) fü v v( ax ) 2 g { } e M v h=- Ede v v 2 2 g Kleinste Keisbahn ( 11.2 k s Newton) Fluchtgeschwindigkeit (2.kosische Geschwindigkeit) 1. Kosische Geschwindigkeit v 1 2 G M 2 v 1 G M g v k s Gaub E1 WS1/11 2

3 T Newtons Sicht: Gesatipuls (akete+gas) v Gas Gaub akete v bezogen auf Eobefläche T t dp dv d dv v(t ) v() d dv dv v e d d Ausstoßgeschwindigkeit elativ zu akete aketengleichung Tiebweks-Schub g v(t) v e (ln T ln ) g T v(t) v e ln T g T v e v v const dv d v e g (T ) 1 v e d () v T d v Nu z-ichtung g Viel Teibstoff schnell vebennen ( ) g E1 WS1/11 3 Näheung

4 Bsp.: 1. Stufe Satun V v e 4 k } v(t) 4,4 k s g s kg T kg v(t) 3,4 k s T 1 s g 9,81 / s 2 untehalb de Fluchtgeschwindigkeit Mehstufige Tägeaketen Apollo 11 Satun V lauch Gaub E1 WS1/11 4

5 2.7 Enegiesatz de Mechanik Abeit + Leistung dw F d p 2 W 1 2 F d Linienintegal Bahnkuve z d v F P 2 p 1 Abeit [W]= N = Joule p 2 x 2 y 2 z 2 F d F x dx F y dy F z dz P 1 (t) p 1 Anekung: x 1 W = fü F d y 1 z 1 y Leistung: P dw F v [P]= J s =Watt=W x Bsp. Gleichföige Keisbewegung: v v e t ; F F e Bsp.: Dehnabeit eine Fede von : x W F x d x F d W x D x dx 1 2 D x 2 Gaub E1 WS1/11 5

6 Konsevative Kaftfelde z I F t II P 2 W I W II P 2 P 1 P 2 P 1 F d F d P 1 x d (t) y Wenn W I W II W III => Integal wegunabhängig Kaftfeld F () konsevativ Konsevatives Kaftfeld: P 2 W I W II F d P 1 I P 1 P2 II F d Die Abeit hängt nu von Stat- und Endpunkt, nicht vo Weg ab. P 2 P 1 II F d P 1 F d F d P 2 I Vektoanalisys: Stokes sche Satz konsevativ falls ot F Gaub E1 WS1/11 6

7 II z I P z 2 2 II W I F d Gaub P 1 z 1 P 1 I x 1 x 2 x

8 Potentielle Enegie konsevatives Kaftfeld W P 2 P 1 Def! F d Ep (P 1 ) E p (P 2 ) E p F d Beekung: I. Vozeichen so gewählt, dass Abeit, die a Köpe a Köpe veichtet wid, dessen ehöht E p W P P F d E p (P) Abeit die geleistet wid u P ins Unendliche zu bingen II. Nullpunkt wid oft so gewählt, dass E p ( ) Gaub E1 WS1/11 8

9 Bsp. Gavitationsfeld Nahe Edobefläche g = const. it E p () E p (h) g h Geleistete Abeit hat zu Zunahe de h W F d g dz g h E p () E p (h) E p gefüht Fü gösseen Entfenungsbeeich gilt das Gavitationsgesetz W G M 2 e d G M 2 d G M E p () E p ( ) E p g E p G M Gaub E1 WS1/11 9

10 Enegiesatz de Mechanik t F v F dv konsevatives Kaftfeld P F d t t F v t dv E p (P ) E p (P) W t v t t t dv v P v 1 v v Def.: E kin 2 v2 dv 2 v v 2 E kin W Die Zunahe de kinetischen Enegie eines Köpes ist gleich de an ih geleisteten Abeit E E p (P ) E kin (P ) E p (P) E kin (P) I konsevativen Kaftfeld ist die Sue aus potentielle Enegie und kinetische Enegie konstant Gaub E1 WS1/11 1

11 Bsp: feie Fall v(h) ; z h ; () (z) E kin (z) z 2 v2 g dz g z 2 (g t)2 g (h z) E (z) E kin (z) g h Unabhängig von z! Gaub E1 WS1/11 11

12 P F (x, y) (x, y) F (x x,y y) P y x Potential (x x,y y) Kaftfeld x x y Dafü benötigte Abeit y z z W F d F x x F y y F z z x x y y z z Def.: Potential = Potentielle Enegie po Masse Bsp.: Gavitation V() G M E => Schwekaft F () gad(v ) F x y z Nabla gad( )

13 Bestiung von G, Bsp: Gavitationswaage = 2 L F G Dehoent des vedillten Fades Schea Gavitationswaage Gaub E1 WS1/11 13

14 Dehipuls Ebene beliebig geküte Bahn O L v (t 2 ) v (t) p v (t),v (t) Def.: Dehipuls L ( p ) ( v ) L, v In Polakoodinaten: L ( (v v )) ( v ) ( v ) weil v Ebene von und v weil v 2 Ý L 2 Ý Keisbewegung: Ý L ; v v Gaub E1 WS1/11 14

15 Dehoent: Newton dl d p dp (v p ) ( Ý p ) ( F ) weil v p D Def: Dehoent dl D ( F ).. F Fü zentale Kaftfelde F f () ˆ e ist D L = const. bzgl. Kaftzentu Dehipulsehaltung Zeitliche Veändeung des Dehipulses ist gleich de wikenden Dehoent Gaub E1 WS1/11 15

16 Man Beachte: L und D weden bzgl. eines festen Punktes O i au definiet O 1 v L 1 Geade Bewegung kann Dehipuls haben bzgl. O2 O 2 L 2 v sin Analogie: Späte noch: v F p E kin D L I E ot Gaub E1 WS1/11 16

17 Tycho Bahe Johannes Kepple Gaub E1 WS1/11 17

18 Planetenbewegung: Kepplegesetze (Basieend auf Beobachtung Tycho Bahes)) I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen it Sonne i Bennpunkt II. Fahstahl von Sonne zu Planet übescheitet in gleichen Zeiten gleiche Flächen A 1 S

19 Zu 2. Keppleschen Gesetz S (t ) da (t) h p ds v Bogen Sehne da 1 2 v sin da v sin 1 2 p 2 L + 1. Gesetz (planae Bahn) => ichtung L konst L const Gaub E1 WS1/11 19

20 Newtons Analyse: Planetenbahnen!! Selbe Axioatik!! Gavitation! Fallende Apfel aus L const. F G () f () ˆ e (Zentalkaft) aus Actio = eactio F G ~ 1 2 F G () G 1 2 f () ˆ e Mit Ellipse ~ Keis => p w p 2 p G p s f( i ) 3. Kepple w 2 ~ T 2 ~ 3 F G p M S f () ~ 2 2 ˆ e Newtonsches Gavitationsgesetz Gaub E1 WS1/11 2

21 Bestiung von g: Matheatisches Pendel g sin F t a t l Ý l (1 cos ) l F t F sin sin Ý g l 3 3! 5 5!... g Lösung de DGL: (t ) A sin g l t T 2 l g g Gaub E1 WS1/11 21

22 Genaue: l g E p g l (1 cos ) E kin 2 v2 2 l2 Ý 2 E E kin E p g l (1 cos ) T 4 T( ) 2 d cos cos l g 2 l g ( T 4 d T 4 1 k 2 sin 2 2 it...) sin ; k sin 2 d sin 2 sin 2 Stat 2 l2 Ý 2 E p g l (1 cos ) 2 g (cos cos ) l T ( ) T Gaub E1 WS1/11 22

23 Gavitation Kugelschale da dx /d dx / a dx y ds 2 y 2 ( x) 2 y 2 x x a 2 a x / d / Keisscheibe de Dicke dx schneidet aus de Kugelschale de Dicke da das Volueneleent (Keising) P X d 2 a da dx d G d a dx 2 G a da 2 a da G dv = 2 y ds dx, y = asin ds=da/sin dv = 2 a dx da G x a a d it 4 a 2 da = Masse de KS Gaub E1 WS1/11 23 a

24 Außehalb de Hohlkugel escheint die gesate Masse konzentiet in O a Innehalb Hohlkugel: G a G innehalb de Kugel! F F a F G 2 a i ~ d i a G a 2 const. a! F gad fü < a Gaub E1 WS1/11 24

25 Vaianten de Coulob WW Gaub E1 WS1/11 25

26 Vaianten de Coulob WW Siehe J.N. Isaelachvili, Inteolecula and Suface Foces with Applications to Colloidal and Biological Systes, Acadeic Pess 1985 Gaub E1 WS1/11 26

27 Bsp.: VdW-Potentiale ausgedehnte Köpe A B A d B dw n B 2 ydyd (d ) 2 y 2 3 A d y B dy A M B w AB y dw n B 6d 3 W ~ 1/d 3 a) b) AB d W ~ 1/d 2 AB Nochalige Integation => Potetial zwischen 2 Wänden a W AB 2 n A n B 12 1 d 2 H AB 12 1 d 2 L d d H AB typisch 1-2 J W ~ 1/d 5 W ~ 1/d Haake Gaub Konstante AB E1 c) WS1/11 AB d) 27

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{ } v = v r. v dv = G M. a dr = v dv. 1 2 v2 = G M + C 1. = 1 2 v 02 g R. e r. F (r) = G m M r 2. a = dv dt. = dv dr dr. dr v G M.

{ } v = v r. v dv = G M. a dr = v dv. 1 2 v2 = G M + C 1. = 1 2 v 02 g R. e r. F (r) = G m M r 2. a = dv dt. = dv dr dr. dr v G M. Otsabhängige Käfte Bsp.: Rakete im Gavitationsfeld (g nicht const.) F () = G m M 2 Nu -Komp. a = dv dt e v = v = dv d d dt a d = v dv v dv = G M 1 2 v2 = G M C 1 = 1 2 v 0 (späte meh) (Abschuss vom Pol)