1.2.2 Gravitationsgesetz

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1 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1.. Gavitationsgesetz Heleitung aus Planetenbewegung Keplesche Gesetze 1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen. De von Sonne zum Planeten gezogene Fahstahl übesteicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen 3. Die Quadtate de Umlaufzeit vehalten sich wie die ditte Potenz de goßen Halbachsen ihe Bahnellipsen. Keple ( ) Veeinfachung: Annahme eine Keisbewegung T = const. (1.-6) 3

2 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1.. Gavitationsgesetz (Fotsetzung) Aus Lex secunda fü Keisbewegung F = -m ω (1.-7) (aus 1.-3 & 1.1-6) Mit 1..6 und ω=π/t F = -m ((π) /Τ ) = -const. m/ e (1.-8) Aus Lex tetia Anziehungskaft F = F(m 1, m ) F~m 1 und F~m

3 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1.. Gavitationsgesetz Seien m 1 und m die jeweiligen Massen de beiden Köpe, so ist die Anziehungskaft gegeben duch m m G 1 F G = (1.-5) Gavitationskonstante G = 6, Nm /kg (1.-6) Zum esten Mal 1798 von H.Cavendish ( ) mit Gavitaionswaage bestimmt

4 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1.. Gavitationsgesetz (Fotsetzung) Beispiel: Gewicht eines Menschen Nomaleweise mit Fedewaage gemessen Auslenkung x popotional zu Kaft F F=-k x (1..11) Kaft und nicht Masse wid gemessen!

5 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1.. Gavitationsgesetz (Fotsetzung) Tipp zum Abnehmen neue Wohnot Mond m Ede = 5, kg =6, m m Mond = 0, kg =1, m g = mg (1.-1) g m G m Ede s = = Ede m G m s Mond g = = = Mond g Ede (1.-1a) (1.-1b) Ede 75kg Mond 1kg

6 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1.. Gavitationsgesetz (Fotsetzung) Edlösung zum Abnehmen ungenügend mg Fallbeschleunigung in Höhe h aus g = (1.-1) g( h) R ( R + h) = g (1.-13) g = kg m/s fü Höhe R = 6, m Höhe h des Mount Eveest ca. 9 km g M. Eveest = g 74,8kg 75kg

7 1..3 Potentielle Enegie Abeit (diffeentiell) A=F s (1.-4) A= Fds Abeit (1.-5) Veschiebungsabeit Wenn Kaft de Bewegung entgegenwikt, so ist fü Veschiebung ohne Beschleunigung eine entgegengesetzt gleich goße Kaft -F efodelich Beispiel: Abeit gegen die Schwekaft A= Fds = m g h cos(π ) = m g h (1.-14) F N VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) h Auf allen Bahnkuven wid die gleiche Abeit W=m g h veichtet!

8 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1..3 Potentielle Enegie (Fotsetzung) Konsevative Käfte Käfte, bei denen die gegen sie geichtete Abeit nu von Anfang und Endpunkt de Bewegung abhängt, d.h. unabhängig vom Weg ist. Gespeichete Abeit potentielle Enegie Enegie: Enegie kennzeichnet das in einem System von Teilchen enthaltene Abeitsvemögen

9 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1..3 Potentielle Enegie (Fotsetzung) Potentielle Enegie (1.-15) E Pot = E( ) E( ) = Fds E( ) = E( ) 1 1 Pot Pot o o Fds Beispiel: Potentielle Enegie in Höhe h Sei E( 1 =0) = 0 dann ist (Benutzung von 1.-14) E h) Pot = m g h ( (1.-16)

10 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1..4 Leistung und kinetische Enegie Leistung Die Ändeung de Enegie po Zeiteinheit P = de dt (1..17) [P] = 1 J/s = 1 W (Watt) Kinetische Enegie Mutipliziee (1.-3) mit d/dt. F & = m & & = d dt 1 m & kinetische Enegie E kin 1 m & 1 m v = = (1.-18)

11 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1..5 Mechanische Enegieehaltungssatz In einem konsevativen System bleibt die Gesamtenegie (mechanische Enegie) E g =E kin +E pot (1.-19) konstant. Gesamtenegie ist Ehaltungsgöße

12 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1..6 Nichtkonsevative Käfte: Reibung Reibungskäfte (Beispiele) Coulombeibung (tockene Reibung) F RH =µ 0 F N (Hafteibung, 1.-0) F RG =µf N (Gleiteibung, 1.-1) Newton Reibung F RH =1/ c w ρ A v (1.-) Queschnitt des Köpes A, Widestandskoeffzient c w Geschwindigkeit v, Dichte ρ = Masse/Volumen (1.-3)

13 1.3 Systeme von Massepunkten VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) Impulsehaltung: Wenn keine äußeen Käfte anliegen, so bleibt de Gesamtimpuls ehalten p ges = p = m i i i i v i = 0 Beispiel Stoß zweie Teilchen v m v = m v + m v m1 1vo vo 1 1nach nach (1.3-1) + (1.3-) Selbst bei Kenntnis alle Anfangswete ( vo ) noch zwei Unbekannte v 1nach & v nach!

14 1.3 Systeme von Massepunkten Fotsetzung (1.3-3) Enegiebilanz: m ( v ) + m ( v ) = m ( v ) + m ( v ) + 1 1vo vo 1 1nach nach Q wähend des Stosses in innee Enegie (z.b. duch Vefomung) umgewandelte Anteil Q = 0 elastische Stoß Beispiel: Unelastische Stoß zweie Teilchen v 1nach = v nach = v nach Q > 0 m v + m v = ( m + m ) v (1.3-4) 1 1vo vo 1 nach VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) Q

15 1.3 Systeme von Massepunkten Fotsetzung Beispiel: Schiefe elastische Stoß eines Teilchen auf ein uhendes Teilchen mit gleiche Masse Aus 1.3- folgt mit gleiche Masse und v vo =0 v = v + v 1vo 1nach nach (1.3-5) Aus folgt mit gleiche Masse und v vo =0 sowie Q=0 (elastisch) ( v ) = ( v ) + ( v ) 1 vo 1nach nach (1.3-6) v 1nach v nach v 1vo v 1nach senkecht zu v nach VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug )

16 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) Dehbewegungen Kinetische Enegie eines Massenpunktes bei gleichfömige Keisbewegung m v = m ω = Jω ( ) (1.3-7) mit Massentägheitsmoment J = m [J]=1 kg m (1.3-8) Bei vielen Massepunkten m i gilt entspechend J = Σ m i i = dm (1.3-9) Rotationsenegieändeung (nutze 1.1-1d & 1.-5) de = F d =F (dφx) = (xf) dφ (1.3-10) M = (xf) (1.3-11) Dehmoment

17 1.3.1 Dehbewegungen Leistung P (nach 1.-18) de d 1 P = = Jω = dt dt J & ωω (1.3-1) Andeeseits (nach mit ) de P = = Mω dt (1.3-13) Bewegungsgleichung fü otieende Köpe M d = J & ω = ( Jω) = dt L& (1.3-14) mit Dehimpuls L = Jω (1.3 15) Fü L gilt entspechend Dehimpulsehaltungssatz VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug )

18 Tabelle mit jeweils analogen Gößen: Tanslation Länge L Rotation Winkel ϕ Masse m Tägheitsmoment J (auch Θ) Geschwindigkeit v Impuls p=m v Kaft F Bewegungsgleichung F=dp/dt (. Newtonsches Axiom) Winkelgeschwindigkeit ω Dehimpuls L=J ω Dehmoment M= F Bewegungsgleichung M=dL/dt kinetische Enegie E kin =1/ m v Rotationsenegie E ot =1/ J ω VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug )