b) Drehimpuls r r Für Massenpunkt auf Kreisbahn: L=r p Für Massenpunkt auf beliebiger Bahn im Raum:

Transkript

1 b) Dehimpuls De Bewegungszustand eines otieenden Köpes wid duch seinen Dehimpuls L beschieben. Analog zum Dehmoment nimmt de Dehimpuls mit dem Impuls p und dem Bahnadius zu. Fü Massenpunkt auf Keisbahn: L= p Fü Massenpunkt auf beliebige Bahn im Raum: L = x p Entspechend F = dp dt ändet ein Dehmoment den Dehimpuls, denn Vektopodukt auf beiden Seiten, x F= x dp / dt egibt: M = dl dt Teten keine äußeen Dehmomente auf (M=0), ist de Gesamtdehimpuls ehalten (L=const.)

2 Beispiele zu Dehimpulsehaltung Keisel: sowohl Betag als auch Richtung des Dehimpulses (Achse) bleiben ehalten Solange keine äußeen Dehmomente wiken, bleibt de Gesamtdehimpuls des Systems (Peson + Schwungad) ehalten (da de Dehimpuls des Rads geändet wid, muss die Peson ein innees Dehmoment ausüben).

3 Dehimpuls stae (ausgedehnte) Köpe - Alle Elemente otieen mit feste Winkelgeschwindigkeit ω - Summation übe Massenelemente I = m i i R i L = i pi Wegen p i =m i v i =m i R i ω lassen sich die Beitäge de Massenelemente im Tägheitsmoment zusammenfassen: = R dm i L = I ω Die Rotationstägheit eines Köpes steigt quadatisch mit dem Abstand de Massenelemente von de Dehachse vektoiell: L = I ω ω Vektoen L und in Richtung de Dehachse

4 Beispiele zu Dehimpulsehaltung Dehimpuls (ehalten) L = I ω mit Tägheitsmoment I = m i R i i Rotieende Hantel: ω 1 ω ω 3 Bemsen de Rotation duch Ausdehnen de Massenveteilung ω 1 : ω : ω 3 = (1/1,) : (1/,3):1/8

5 Beispiele fü Tägheitsmomente Hohlzylinde I = m R² Vollzylinde I = (1/) mr² Kugel I = (/5) mr² m = Gesamtmasse ; Dehung um Zylindeachse bzw. um Achse duch Mittelpunkt de Kugel. Steinesche Satz Tägheitsmoment eines Köpes fü beliebige Dehachse A I A = I c.m. + Ma² wobei I c.m. = Tägheitsmoment fü Achse paallel zu A duch Schwepunkt, a = Abstand zwischen beiden Achsen M = Gesamtmasse des Köpes

6 Rotationsenegie (kinetische Enegie de Rotationsbewegung) fü Massenpunkt: 1 Ekin, ot = m(ω) Fü Köpe mit Tägheitsmoment I : E kin, ot = 1 I ω Beispiel: Rollende Köpe gleiche Masse und gleichen Duchmesses abe unteschiedliche Massenveteilung auf schiefe Ebene Tägheitsmoment nimmt von links nach echts ab, Rotationsenegie ebenfalls, deshalb nimmt kinetische Enegie de Tanslation von links nach echts zu. Zieleinlauf

7 Vegleich Dehbewegung - Tanslationsbewegung Rotation Tanslation Winkel φ [ad] Weg s x x 4 Ot ode Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Tägheitsmoment Rotationsenegie ϕ ω = t ω t Dehmoment M = x F bzw. E I Geschwindigkeit Beschleunigung Masse Tanslationsenegie Kaft = x = Σ i ot M = F sin α m i i 1 M = Σ m v = v t = I ω E kin = Mv F s t 1 Dehimpuls L = I ω Impuls p = M v Mit de Übesetzungsvoschift v ω, m I, p L, F M können alle Gesetze de lineaen Bewegungen (Tanslation) in die Dehwelt übetagen weden, z.b. Dynamische Gleichungen v (I ω) (p) M = F = t t Ehaltungssätze fü abgeschlossene Systeme ΣL i = const Σp i = const

8 4. Mechanische Eigenschaften von Stoffen Potonen Neutonen Kenkäfte Atomken Elektonen Elektische W.W. (Coulomb W.W.) Atom Atom Atom Elektische W.W. (Coulomb-, v.d. Waals W.W., H-Bückenbindung) (Gas-)Molekül, Flüssigkeit, Festköpe

9 Gas Flüssigkeit Festköpe Dichte in kg m -3 Luft H O Stahl Ca. 1,3 Ca Odnung Keine Odnung Nahodnung; goße Regelmäßige Stuktu Schwankungen de Atomabstände um (Kistallgitte); geinge Abstandsschwankungen einen Mittelwet 0 infolge themische Bewegung Fom nicht fombeständig nicht fombeständig (falls dünnflüssig); fombeständig Fombeständig (falls zähflüssig, z.b. Glas) Enegiebilanz themische Enegie göße als Bindungsenegie themische Enegie auseichend zu Veschiebung de Atome themische Enegie klein gegen Bindungsenegie gegeneinande

10 a) Defomation von Festköpen Vefomungen: Dehnung - Stauchung Scheung - Tosion Biegung - Knickung

11 a) Defomation von Festköpen Dehnung - Stauchung Hooke sches Gesetz: F = D. x Die Länge L ändet sich beim Anlegen eine Kaft F um L, wobei F = E A L L = D L E: Elastizitätsmodul (statt Fedekonstante) Man nennt: L F N σ = E = L A m mechanische Spannung Zahlenwete fü Elastizitätsmodul (E in 10 9 Nm - ): (goß = steif) Al: 73 Cu: 15 Fe: 16 Beton: 10

12 a) Defomation von Festköpen Das Hooke sche Gesetz gilt nu fü kleine,elastische Vefomungen Spannungs-Dehnungs-Diagamm Übe den elastischen Beeich hinaus beginnen manche Stoffe zu fließen, bis zum Zeeißen Spöde Mateialien: keine plastische Vefomung möglich Plastische (=bleibende) Vefomung: Duch Gleiten längs bestimmte Gitteebenen Hooke Das wid enegetisch möglich, indem Vesetzungen wanden:

13 a) Defomation von Festköpen Scheung und Tosion Kaft geift tangential an. Relevante physikalische Göße: Schubspannung σ S = F A Füht zu Scheung um den Winkel: α = σ s / G Vedehen (Tosion) z.b. eines Dahtes läßt sich auf Scheung zuückfühen Kompession von Festköpen: G= Schub-, Sche-, Tosionsmodul

14 a) Defomation von Festköpen Biegung und Knickung: außen: Zugkäfte innen: Duck gestichelt: neutale Zone, ändet Länge nicht Jenseits des elastischen Beeichs: Vefomung bis zum Knicken des Balkens Bei Duckbelastung längs eines Objektes (Knochen, Balken) weicht das Objekt aus, bis es bicht. Hie ist die Knickspannung popotional zu E (Elastizitätsmodul)

15 a) Defomation von Festköpen Knochen: kleine Kistalle (50 nm) in elastische Fasematix Spannbeton: Beton (duckfest, nicht zugfest), kombiniet mit Stahl (elastisch, zugfest) Kohlefase- ode glasfasevestäkte Plastikmateialien Detailliete Bescheibung von Spannung, Duck im Knochengeüst in Kamke/Walche (Kap )

16 Hydostatik Lehe von uhenden Flüssigkeiten: b) Hydostatik, Aeostatik fest flüssig gasfömig Bindungsenegie ~ kinetische Enegie de Teilchen Keine Scheelastizität (Teilchen gleiten aneinande) Kaum kompimieba (fast wie Festköpe) Stake Kohäsionskäfte (Obeflächenspannung)

17 Hydostatik Lehe von uhenden Flüssigkeiten: Die Obefläche eine Flüssigkeit steht imme senkecht zu wikenden Käften (hie Wand und Schwekaft) Eine flache Obefläche ist enegetisch am günstigsten, eine Flüssigkeit zefließt

18 Stempelduck (venachlässigbae Schwekaft): Eine Kaft F dückt senkecht auf einen beweglichen Stempel de Fläche A, de ein Gefäß abschließt Duck p Kaft Fläche F N A m = 1Pa= 1N m = 10 5 Ba De Duck beitet sich in alle Richtungen gleichmäßig aus (isotop), an allen Stellen de inkompessiblen Flüssigkeit und an allen Ausgängen hescht de gleiche Duck p = F/A

19 Anwendung: Hydaulische Pesse Hebelgesetz de Hydostatik: Betachten wi eine Veschiebung um den Weg s 1 (entspicht Flüssigkeitsvolumen V 1 ), woduch de Kolben echts um s angehoben wid. Dann wid links die Abeit F 1 s 1 = F 1 V 1 / A 1 geleistet. Sie ist gleich de am echten Kolben geleisteten Abeit F s = F V / A, weil V 1 = V (Inkompessibilität) und weil F 1 /A 1 = F /A Damit ist Enegieehaltung gewähleistet.