Die gleichförmig beschleunigte Bewegung. a ( t ) = a. [ s]

Transkript

1 a [ m ] s Die gleichfömig beschleunigte Bewegung a a ( t ) a [ m s ] t[ s] ( t ) t 0 a dt ( t ) a t + 0 s 0 [ m ] s 0 t t [ s] [ s] t ( a t ) s ( t ) + 0 dt a s + ( t ) t + 0 t s 0 0

2 Einfühung in die Expeimentalphysik fü Phamazeuten Joachim Rädle Expeimentelle Volesungsbegleitung : Chistian Hundschell Volesung: Montags bis 1.45, Liebig HS Übung : Montags bis 11.00, Liebig HS Klausu: am 31. Juli. 006 on bis 1.45 este Montag nach Semesteende! Web-Seite zu Volesung :

3 Wichtige Begiffe diese Volesung: Impuls Abeit, Enegie, kinetische Enegie Stae Köpe: Dehmoment, Dehimpuls Ehaltungssätze: - Impulsehaltung - Enegieehaltung - Dehimpulsehaltung

4 Die Newtonschen Gundgesetze 1. Newtonsche Axiom (Tägheitspinzip) Ein Köpe, de sich öllig selbst übelassen ist, ehat im Zustand de Ruhe ode de gleichfömigen Bewegung.. Newtonsche Axiom (Aktionspinzip) Usache fü eine Bewegungsändeung ist eine Kaft. Sie ist definiet als F m a [Nkg m/s 1 Newton] m : täge Masse 3. Newtonsche Axiom (Reaktionspinzip) Bei zwei Köpen, die nu miteinande, abe nicht mit andeen Köpen wechselwiken, ist die Kaft F 1 auf den einen Köpe entgegengesetzt gleich de Kaft F 1 auf den andeen Köpe. F 1 F 1 (actioeactio)

5 p Impuls Definition des Impulses m als Bewegungszustand (Newton) Exakte Fomulieung des. Newtonsche Axiom (Aktionspinzip) Usache fü eine Ändeung des Bewegungszustands ist eine Kaft. Sie ist definiet als die Ableitung des Impulses nach de Zeit F d dt p fü mconst. F m a Beweis : F d d d p dt dt dt ( m ) m m a F dt dp KaftstoßImpulsändeung

6 De zentale Stoß 1 m ohe nachhe m m1 1 + m Impulsehaltungssatz In einem abgeschlossenen System (keine äußeen Käfte) bleibt de Gesamtimpuls konstant m i i const

7 Impulsehaltungssatz m 1 m 1 m 1 m Aus dem Wechselwikungssatz (ActioReactio) folgt: Die Käfte auf Wagen 1 und Wagen sind zu jedem Zeitpunkt gleich goß abe entgegengeichtet. m 1 1 p1 F1 dt Fdt p m m m In einem abgeschlossenen System (keine äußeen Käfte) bleibt de Gesamtimpuls konstant 0

8 Die gleichfömige Rotation x y ϕ ϕ (t) ω t x cosϕ y sinϕ ) sin( ) cos( t t ω ω ) ( ) cos( ) sin( ) ( t t t t e ω ω ω ω ω ω: Winkelgeschwindigkeit De Geschwindigkeitsbetag ist konstant : ω Die Richtung des Einheitsektos keist : t t t ω ω cos sin ) e (

9 Die Zentipetalbeschleunigung de gleichfömigen Rotationsbewegung y ) sin( ) cos( ) ( t t t a dt d a ω ω ω a (t) ω cos (ω t) + sin (ω t) ω Zentipetalbeschleunigung: a ω x ϕ x cosϕ y sinϕ a ) sin( ) cos( ϕ ϕ a ω mit folgt

10 Scheinkäfte Scheinkäfte sind Tägheitskäfte, welche on mitbewegten Beobachten in beschleunigten Bezugssystemen beobachtet weden. F t a Beobachte im Wagen: -Eine Kaft zieht die Kugel plötzlich nach hinten. Beobachte außehalb: -Wagen wid beschleunigt, dahe Zugkaft auf Fede.

11 Scheinkäfte: die Zentifugalkaft Newtonsche Axiome gelten nu in uhenden ode gleichfömig bewegten systemen. In beschleunigten Systemen teten Scheinkäfte auf.

12 Das Newtonsche Gaitationsgesetz F G G m M G6, Nm /kg (Gaitationskonstante) G m M m Ansatz : F G F P (GaitationskaftZentipetalkaft) T π /T mit folgt 4 3 π Ditte Keplesche Gesetz G M

13 Die elastische Fedekaft Käfte können übe das dynamische Gundgesetz gemessen weden: 1 N ist die Kaft, die eine Masse on 1 kg mit 1 m/s beschleunigt. ode auch übe ihe Defomationswikung auf einen Festköpe (Fede): F D D ( x x0) Fedekonstante Fedeauslenkung Hook sches Gesetz F

14 Beispiel eines Kaftmeßgeäts: Das Kaftmikoskop D 10 3 N m x F D nn m 0,001N m

15 AFM expeiments with single molecules custom-built instument (M. Rief, H. Gaub et al., Science 75, 195 (1997)): Deflection Piezopath intemolecula foces (binding inteactions) intamolecula foces (polyme elasticity) Foce [pn] Extension [nm]

16 Wo ist die klassische Mechanik eleant? mesoscale continuum Monte Calo Time Scale 10-6 S 10-8 S quantum chemisty molecula dynamics exp(- E/kT) domain 10-1 S F MA Ηψ Εψ M 10-8 M 10-6 M 10-4 M Length Scale

17 Wie funktionieen Molekuladynamik Simulationen? Poly(inylidene fluoide)

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19 Tockene Reibung Reibungskäfte wiken entgegen de angelegten Kaft und de Geschwindigkeit. F R µ* F N F ext F N m*g Tockene Reibungskaft unabhängig on Geschwindigkeit und Auflagefäche! Typen de Reibung: - Hafteibung µ H - Gleiteibung µ G - Rolleibung µ R µ H µ G Stahl/Stahl 0,78 0,4 Stahl/Stahl (Öl) 0,05 0,03 Gummi-Asphalt 0,8-1,1 0,7-0,9

20 Gleiteibung auf atomae Skala - de Kleben-Rutschen Pozess (stick-slip)

21 Rolleibung Eisenbahn µ G 0,00 KFZ µ G 0,0 Rolleibung ist eine ständige Begaufbewegung, weil de Untegund inelastisch efomt wid.

22 Abeit und Enegie

23 Mechanische Abeit F m g Gewichtskaft h W m g h Hubabeit (gegen die Schwekaft) F G x Eine eibungsfeie waageechte Veschiebung eichtet keine Abeit W m g x 0 Zug-Abeit am Schlitten W F s cosϑ

24 Die Abeit Die Abeit W (wok) wid definiet als das Podukt aus dem Weg den ein Köpe zuücklegt und de Kaft, die in Richtung dieses Weges wikt. W F s F s cos(α) Die Abeit ist das Skalapodukt aus Kaft und Weg Einheit: 1 J(oule)1 Nm1 kgm /s α F F cos(α) s Bei eändeliche Kaft summieen wi übe kleine Wegelemente W F s F ds s F

25 Die elastische Vefomungsabeit x0 s F Fü die Fedekaft gilt: F D s W D Fds D s ds D s

26 Kann man Abeit spaen? Goldene Regel de Mechanik: Bei eibungsfeien (idealen) Maschinen gilt: Die dem Kaftwandle zugefühte Abeit W zu ist gleich de on ihm abgegebenen Abeit W ab. W zu W ab Geleistete Zugabeit : W zu F s Ebachte Hub-Abeit : W ab F G h Da am Flaschenzug mit eine losen Rolle F G F und h s/ gilt, egibt sich daaus W zu W ab.

27 Potentielle Enegie -Enegie ist die Fähigkeit, Abeit zu eichten. Ein Köpe, an dem mechanische Abeit geleistet woden ist, hat die Fähigkeit gewonnen diese Abeit wiede zuückzugeben. Die on ihm aufgenommene Enegie wid potentielle Enegie genannt Fede: E W pot D D s Lage: E pot W H m g h

28 Konseatie Kaft und potentielle Enegie F de dx pot Im deidimensionalen Raum gilt : F dv dx dv dv,, gad V ( ) dy dz

29 Beschleunigungsabeit und kinetische Enegie Heleitung fü den Fall gleichfömig beschleunigte Bewegung a a a t a s De zuückgelegte Weg : F m a a m s F W Bei de Beschleunigung eichtete Abeit : m W kin Def. Kinetische Enegie

30 Enegiesatz de Mechanik Wenn nu konseatie Käfte wiken, also keine Reibung auftitt, dann gilt: Die Summe aus potentielle und kinetische Enegie eines abgeschlossenen Systems ist uneändelich. E pot + E E kin ges konstant

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32 Beispiel : Die schiefe Ebene E pot +E kin const m g h m α h max gh

33 Das Pendel Lösung des Pendelpoblems mit Hilfe des Enegiesatzes E pot +E kin const Es gibt ausgezeichnete Punkte 1. ϑϑ max mit E kin 0 und Eges E pot ( ϑ max ) mgh. ϑ0 mit E pot 0 und E kin (0) m max 1.)+.) max gh

34 Das asymmetische Pendel links und echts gilt Eges E pot ( ϑ max ) mgh Die Winkel lassen sich ableiten aus : h l l l (1 ϑ lϑ l cosϑ +...)

35 De allgemeine Enegieehaltungssatz - In einem abgeschlossenen System ist Gesamtenegie konstant. - Enegie kann man wede enichten noch ezeugen. - Die Enegiefomen können nu ineinande umgewandelt weden. - Dies schließt alle Fomen on Enegie ein. (Elektische, mechanische, chemische Enegie, Wämeenegie, etc.) Pepetuum mobile Die on nicht-konseatien Käften eichtete Abeit,W NK entspicht de Ändeung de mechanischen Gesamtenegie E E + E ges pot kin W dissipati

36 Die Leistung Die Leistung P ist definiet als die eichtete Abeit po Zeiteinheit. P dw dt Einheit: 1 W(att)1 J/s1 kgm /s 3 - Ein Mensch kann ca. 100 W Daueleistung leisten (Glühbine). - 1 PS entspicht 735,5 W

37 De zentale, maximal inelastische Stoß 1 1 m ohe nachhe 1 1 ( 1 m + m m + ) Impulsehaltung Betachte Spezialfall 0 Enegie o dem Stoß E o m 1 1 Enegie nach dem Stoß : m + m m m 1 1 E nach ( m1 + m ) 1 1

38 Chemische Reaktionen : auch eaktie Stöße müssen den Impulssatz efüllen A + BC K AB + C p A + p BC p AB + p C E E kin kin ( A) + E ( AB) + kin E ( BC) kin ( C) + E chem Die kinetische Enegie ist nicht ehalten, sonden hängt on de Umwandlung innee Enegie ab.

39 Enegiebilanz fü endotheme und exotheme Reaktionen

40 De schiefe, elastische Stoß y ϑ ϑ 1 x Impulsehaltung : m 1 m1x + m x 0 m m 1y + m y Enegieehaltung : m m m m 1 1x + x + 1y + y Fü den Spezialfall: 0, m 1 m ehält man stets ϑ 1 + ϑ π

41 Elastische Poton-Poton Steuung nach dem Stoß schließen die Bahnen einen Winkel on 90 ein. Kollision on zwei Billadkugeln (im Zeitlupenefahen gefilmt) aus Dansfeld et al.

42 Dehbewegungen und de stae Köpe

43 Punktmassen-Systeme Abgeschlossenes System : * Keine äußeen Käfte * nu WW-Käfte * Inetialsystem In einem abgeschlossenen System gilt : De Gesamtimpuls ist ehalten. Die Gesamtenegie ist ehalten. (einschließlich de Wäme in nicht konseatien Systemen) De Gesamtdehimpuls ist ehalten.

44 De stae Köpe - bishe: Bewegung on Massepunkten. Reine Tanslationsbewegungen. - jetzt: ausgedehnte Köpe. Tanslations- und Rotationsbewegungen. A B A B Käfte wiken entlang de Vebindungslinie: Gleichgewicht Wikungslinie Käfte wiken nicht entlang de Vebindungslinie: Rotation Neu : Es wikt ein Dehmoment

45 Dehmoment F l : Länge des Hebels D Kaft senkecht auf Hebel M l F [Nm] Dehmoment Hebelam *Kaft l Kaft wikt unte beliebigem Winkel F α α F sin(α) D M l Fsenk. l F sin( α)

46 Mechanisches Gleichgewicht l 1 l F 1 l 1 F l F 1 D F (Hebelgesetz) Kaft mal Kaftam Last mal Lastam Ein Köpe ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe alle äußee Käfte und die Summe alle Dehmomente Null ist. Anwendungen des Hebelgesetzes: Bechstange, Schee, Schubkae, Getiebe, Gliedmaßen, Baukan...

47 Def. M m i Schwepunkt Gesamtmasse m 1 m s m i m i i Schwepunkt s m 3 De Schwepunkt eines abgeschlossenen Systems ist unbeschleunigt. Bei Einwikung eine äußeen Kaft F ext beschleunigt sich de Schwepunkt gemäß : d dt S M F ext (Schwepunktsatz)

48 Aussagen übe den Schwepunkt -Käfte, die am Schwepunkt angeifen, wiken auf einen ausgedehnten Köpe, wie Käfte auf einen Massepunkt. Schwepunkt Gaitationszentum l i m i g l SP M ges Die Summe alle Dehmomente Dehmoment de ges. Masse im Schwepunkt g Ein Köpe, de am Schwepunkt aufgehängt wid, efäht im Schweefeld kein Dehmoment.

49 Dei Gleichgewichtsaten Stabiles GGW: Jede Veückung x ehöht die Lage des Schwepunktes d E pot Kleine Auslenkung x dx > Labiles GGW: Jede Veückung eniedigt die Lage des Schwepunktes 0 > Rückstellkäfte F ück ~ - x Indiffeentes GGW: Jede Veückung läßt die Lage des Schwepunkts uneändet

50 De Dehimpuls m ω ω m : Winkelgeschwindigkeit : Bahnekto : Masse Definition Bahngeschwindigkeit Dehimpuls : ω L m De Dehimpuls hat die Einheit kg m /s

51 Ehaltung des Dehimpulses Wi betachten die zeitliche Ableitung des Dehimpulses L ( ) dl d m dt dt F a M dl dt M Gundgleichung de otieenden Bewegung (analog zu dp/dtf a ) Bei Abwesenheit eines äußeen Dehmoments bleibt de Dehimpuls konstant. M 0 L const (Dehimpuls- Ehaltungssatz)

52 De Dehimpuls ist auch bei nicht-keisfömigen Bewegungen ehalten. De Dehimpuls bezieht sich imme auf einen (Deh)-Punkt

53 Tägheitsmoment Motiation : Das Tägheitsmoment ist die täge Masse de Dehbewegung L m m ω I ω Dehimpuls Dehtägheit mal Dehgeschwindigkeit M I dω dt Dehkaft Dehtägheit mal Dehbeschleunigung Definition : Tägheitsmoment I Einzelne Massenpunkte I m i i i Achse

54 Tägheitsmoment eine kontinuieliche Masseneteilung I m i i dm i dm Achse

55 Rotationsenegie Jedes einzelne Masseelement besitzt die kinetische Enegie m m ω Gesamtenegie: m i i ω 1 i i m i i ω I ω E Rot I ω Rotationsenegie eines staen Köpes

56 Das Dehmoment als Vektopodukt M F Eigenschaften : M M F M F F sin(α) F Rechte-Hand-Regel Es tägt nu die Pojektion auf die Senkechte bei Das Keuzpodukt ist antikommutati!

57 De Dehsinn: Winkelgeschwindigkeit als Vekto m ω ω ω Rechte-Hand-Regel Kokenzieheegel

58 Dehimpuls als Vekto ω ω L m I ω Was passiet, wenn ein Dehmoment wikt? L L F M ω d L dt M L M t L paallel M

59 Dynamik stae Köpe Wufpaabel eines staen Köpes Schwepunkt bescheibt Wufpaabel Rotation um den Schwepunkt: M a Schwepunkt F a L I ω Die Bewegung eines ausgedehnten Köpes lässt sich imme zusammensetzen aus de Tanslation des Schwepunkts und die Rotation des Köpes um den Schwepunkt. De feie stae Köpe hat sechs Feiheitsgade de Bewegung.

60 Analogien zwischen Tanslations- und Rotationsbewegungen Ot Geschwindigkeit Beschleunigung Masse Kaft Impuls Tanslation Kinetische Enegie a m F m a d p dt p m m Winkel Winkelgeschw. Winkelbeschl. Rotation Tägheitsmoment Dehmoment Dehimpuls Rotationsenegie ϕ ω α I m i i M I α d L dt L I ω I ω

61 Symmetieachsen und feie Achsen Feste Dehachse Feie Dehachse Die Rotation um feie Achsen efodet kein Dehmoment. Jede stae Köpe besitzt (mindestens) dei feie Achsen, und diese stehen senkecht aufeinande.

62 De käftefeie Keisel : Nutation Ein Keisel ist ein Köpe, de sich um eine feie Achse deht. Rotiet ein Köpe um eine seine feien Achsen, sind Dehachse und Dehimpuls paallel zueinande.

63 Keisel im Schweefeld : Päzession on oben: Das Rad läuft um die Aufhängung mit Umlauffequenz Φ L L M L Φ t L t M L L Φ Höhee Dehimpulse stabilisieen die Dehachse

64 Päzession des Keisels