Tutoriumsaufgaben. 1. Aufgabe. Die Eulerschen Formeln für Geschwindigkeiten und Beschleunigungen auf einem Starrkörper lauten:

Transkript

1 Technische Univesität elin Fakultät V Institut fü Mechanik Fachgebiet fü Kontinuumsmechanik und Mateialtheoie Seketaiat MS 2, Einsteinufe 5, elin 9. Übungsblatt-Lösungen Staköpekinematik I SS 2016 Tutoiumsaufgaben 1. Aufgabe Die Euleschen Fomeln fü Geschwindigkeiten und eschleunigungen auf einem Staköpe lauten: v P = v + ω P a P = a + ω P + ω (ω P ) a Abb. 1 i) Geschwindigkeit v des Punktes auf de Vebindungsstange (3) : v (3) v (3) = ω 3 A = ω 3 e z ( )e = ω 3 ( )e φ, = v(2) (Gelenk!) (2) ii) Winkelgeschwindigkeit des Planetenades ω 2 : v (1) D = ω 1 AD, v (2) D = v(2) + ω 2 D. (4) (1) (3) S. 1/9

2 Technische Univesität elin Fakultät V Institut fü Mechanik Fachgebiet fü Kontinuumsmechanik und Mateialtheoie Seketaiat MS 2, Einsteinufe 5, elin 9. Übungsblatt-Lösungen Staköpekinematik I SS 2016 ei einem Rollen ist v (1) D = v(2) D : ω 1 AD = v (2) + ω 2 D = ω 3 A + ω 2 D (5) ω 1 e z 1 e = ω 3 e z ( )e + ω 2 e z ( 2 )e (6) ω 1 1 e φ = ω 3 ( )e φ ω 2 2 e φ (7) ω 1 1 = ω 3 ( ) ω 2 2 (8) ω 2 = ω ( ω3 ω 1 ). (9) iii) Geschwindigkeitsvekto des Punktes P : v (2) P = v(2) + ω 2 P = ω 3 ( )e φ + ω 2 e z a ( ) cos ψe + sin ψe φ = ω 3 ( )e φ + ω 2 a cos ψe φ ω 2 a sin ψe [ = a sin ψ ( ω / 2 (ω 3 ω 1 ) ) ] e + (10) [ + ω 3 ( ) + a cos ψ ( ω / 2 (ω 3 ω 1 ) ) ] e φ. (11) Als nächstes wollen wi die eschleunigung des Punktes P beechnen. Dabei gehen wi davon aus, dass die Winkelgeschwindigkeiten konstant sind und de Punkt P fest auf de Scheibe 2 veanket ist: a (2) P = a(2) + ω ( ) ( ) 2 P + ω 2 ω2 P P ω2 ω 2 = a (2) ω2 2( a cos ψe + a sin ψe φ ). (13) Die eschleunigung a (2) a (2) = a(3) = a(3) A lässt sich wiedeum übe die Stange 3 beechnen: + ω ( ) ( ) 3 A + ω 3 ω3 A A ω3 ω 3 = ( )ω 2 3e, (14) womit sich wiede die obee Gleichung egibt: a P = a (2) ω2 2( a cos ψe + a sin ψe φ ). (15) (12) 2. Aufgabe Es soll das Massentägheitsmoment von einem Zylinde mit Masse M, Radius R, und Länge L beechnet weden. Das Tägheitsmoment bezogen auf die (Deh-)z-Achse ist gegeben duch: ˆ Θ zz = M 2 dm, wobei den adialen Abstand von de z-achse dastellt. Wi wählen Zylindekoodinaten. Es gilt nun, einen Ausduck fü das infinitesimale Massenelement dm zu finden. (1) S. 2/9

3 Technische Univesität elin Fakultät V Institut fü Mechanik Fachgebiet fü Kontinuumsmechanik und Mateialtheoie Seketaiat MS 2, Einsteinufe 5, elin 9. Übungsblatt-Lösungen Staköpekinematik I SS 2016 x z y Abb. 2 Zunächst gilt: dm = ρdv (2) und fü das Diffeentialvolumenelement lässt sich in Zylindekoodinaten scheiben: dv = d dφ dz. (3) Damit egibt sich: ˆ L ˆ 2 2π Θ zz = ρ L 0 2 ˆ R 0 3 ddφdz = ρ R4 4 2πL = 1 2 ρlπr4. Mit de Gesamtmasse M = ρv = ρlπr 2 folgt: Θ zz = 1 2 MR2. (4) Altenativ könnte man auch gleich die Integation übe einzelne Hohlzylinde vonehmen und fü dv scheiben: dv = L 2πd (5) Hausaufgaben 3. Aufgabe a) 1 ist ein Punkt auf dem Rand des Sonnenads. E hat dieselbe Geschwindigkeit wie ein Punkt des Planetenads, de zum betachteten Zeitpunkt an deselben Stelle ist (eines Rollen). Die Eulesche Geschwindigkeitsfomel liefet: v 1 = 0 + ω 1 a 1 e = ω 1 e z a 1 e = a 1 ω 1 e φ. 2 ist ein Punkt auf dem Innenand des Hohlads. E hat dieselbe Geschwindigkeit wie ein Punkt des Planetenads, de zum betachteten Zeitpunkt an deselben Stelle ist (eines Rollen). S. 3/9

4 Technische Univesität elin Fakultät V Institut fü Mechanik Fachgebiet fü Kontinuumsmechanik und Mateialtheoie Seketaiat MS 2, Einsteinufe 5, elin 9. Übungsblatt-Lösungen Staköpekinematik I SS 2016 Abb. 3 Abb. 4 Es folgt wie oben: v 2 = 0 + ω 2 a 2 e = a 2 ω 2 e φ. S. 4/9

5 Technische Univesität elin Fakultät V Institut fü Mechanik Fachgebiet fü Kontinuumsmechanik und Mateialtheoie Seketaiat MS 2, Einsteinufe 5, elin 9. Übungsblatt-Lösungen Staköpekinematik I SS 2016 Abb. 5 Kennt man die Geschwindigkeiten zweie Punkte eines Staköpes, so können die Geschwindigkeiten de Punkte auf de Geaden zwischen den 2 Punkten duch lineae Intepolation beechnet weden. Die Geschwindigkeitsveteilung ist linea. Speziell gilt hie: v x = v 1 + x a 2 a 1 (v 2 v 1 ). (1) De Mittelpunkt des Planetenades bewegt sich also mit de Geschwindigkeit: v = v (v 2 v 1 ) = 1 2 (v 1 + v 2 ) v = 1 2 v 1 + v 2 = 1 (a 1 ω 1 + a 2 ω 2 ) 2 2 = 1 2 (a 1ω 1 + a 2 ω 2 ). Die Geschwindigkeit im Mittelpunkt des Rades ist also de Mittelwet aus obeste und unteste Geschwindigkeit. b) Eulesche Fomel auf dem Planetenad: v 2 = v 1 + ω (a 2 a 1 )e (a 2 ω 2 a 1 ω 1 )e φ = ωe z (a 2 a 1 )e ω = a 2ω 2 a 1 ω 1 a 2 a 1. c) Die Geschwindigkeit des Planetenadtäges ist an einem Punkt bekannt, sie muss nämlich mit de des Planetenadmittelpunkts übeeinstimmen. Dahe gilt: ve φ = ω * a 1 + a 2 2 ω * = 2v a 1 + a 2 e = a 1ω 1 + a 2 ω 2 a 1 + a 2. S. 5/9

6 Technische Univesität elin Fakultät V Institut fü Mechanik Fachgebiet fü Kontinuumsmechanik und Mateialtheoie Seketaiat MS 2, Einsteinufe 5, elin 9. Übungsblatt-Lösungen Staköpekinematik I SS Aufgabe a) Feischnitt de einzelnen Köpe: Abb. 6 Nun weden de Schwepunktsatz und de Dallsatz fü jeden Feischnitt aufgestellt. Köpe I: De Hebel befindet sich im statischen Gleichgewicht. Aus dem Schwepunktsatz ehält man: e x : ma Ix = 0 = F x = F F N + F x, (1) e z : ma Iz = 0 = F z = F z + G 1 F W. (2) Diese beiden Gleichungen emöglichen die estimmung de unbekannten Lageeaktionen F x und F z, die hie jedoch nicht inteessieen. De Dallsatz liefet: Θ φ = 0 = M = F (a + b) + F N b = 0 ( ) a F N = F b + 1. (3) Mit dem Coulombschen Reibgesetz egibt sich: ( ) a F W = μf N = μ b + 1 F. (4) Köpe III: De Dallsatz und de Schwepunktsatz in e x -Richtung am Köpe III liefen nu die wahe abe S. 6/9

7 Technische Univesität elin Fakultät V Institut fü Mechanik Fachgebiet fü Kontinuumsmechanik und Mateialtheoie Seketaiat MS 2, Einsteinufe 5, elin 9. Übungsblatt-Lösungen Staköpekinematik I SS 2016 tiviale Aussage 0 = 0. Nu de Schwepunktsatz in e z -Richtung ist inteessant: e z : m z = mg S S = m(g z). (5) (6) Köpe II: De Schwepunktsatz liefet die zwei estimmungsgleichungen fü die Lageeaktionen F Az und F Ax : e x : ma IIx = 0 = F x = F N + F Ax, (7) e z : ma IIz = 0 = F z = F Az + G 2 + S + F W. (8) Dallsatz: De Dehsinn ist linksheum positiv, man beachte die Wahl de Zählichtung von φ (s. Feischnitt): φ = M A φ = RF W S. (10) (9) Gleichungssystem umfomen und Kinematik: Einsetzen von (4) und (6) in (10): φ = RμF ( a b + 1 ) + m(g z). (11) Diese Gleichung enthält noch zu viele Unbekannte. Eine weitee Gleichung ehalten wi aus de Kinematik. Das System hat nu einen Feiheitsgad. Ist die ewegung de Scheibe bekannt, so ist auch eindeutig, wie sich die Masse bewegt. Es gilt nun den Zusammenhang zwischen den Koodinaten φ und z aus de Kinematik zu finden: φ = z φ = z. (12) Einsetzen dieses Zusammenhangs in (11) liefet nach Umstellen: ( ) Θ A ( ) a + m z = mg μrf b + 1 (13) z = mg μ ( a. (14) + m Nun ist die Gleichung eduziet auf die Unbekannte z und das gesuchte F. Die letzte nötige Gleichung ehalten wi aus de edingung, dass das System zu Zeit T zum Stillstand kommen soll. Integation von (14) nach de Zeit liefet: z = mg μ ( a t + C 1 (15) + m S. 7/9

8 Technische Univesität elin Fakultät V Institut fü Mechanik Fachgebiet fü Kontinuumsmechanik und Mateialtheoie Seketaiat MS 2, Einsteinufe 5, elin 9. Übungsblatt-Lösungen Staköpekinematik I SS 2016 mit de Anfangsbedingung Fodeung: z(t = 0)! = v 0 C 1 = v 0 (16) z(t) = mg μ ( a t + v 0. (17) + m z(t = T ) = 0 mg μ ( a t + v 0 = 0. (18) + m Umfomung nach F : F = v 0 ( ) + m + mgt μ ( a b + 1) RT. (19) b) Nun ist de Weg zu beechnen, den die Masse m wähend des emsvogangs zuücklegt. Aus Gl. (17) folgt nach nochmalige Integation nach de Zeit fü den Ot: z(t) = mg μ ( a t 2 + m 2 + v 0t + C 2 (20) mit de Anfangsbedingung z(t = 0) = 0 C 2 = 0 egibt sich de emsweg zu: z(t = T ) = mg μ ( a + m Nach Einsetzen von F aus Gleichung (19) in (21): T v 0T. (21) z(t = T ) = 1 2 v 0T + v 0 T (22) = 1 2 v 0T. (23) c) Feischnitt fü den Gleichgewichtszustand: Abb. 7 S. 8/9

9 Technische Univesität elin Fakultät V Institut fü Mechanik Fachgebiet fü Kontinuumsmechanik und Mateialtheoie Seketaiat MS 2, Einsteinufe 5, elin 9. Übungsblatt-Lösungen Staköpekinematik I SS 2016 Gleichgewichtsbedingung am Köpe II: M A = 0 F W R S = 0. (24) Gleichgewichtsbedingung am Köpe I: Fz = 0 S = mg. (25) Einsetzen von Gleichung (25) in (24) egibt: F W = mg R. (26) Fü die Hafteibkaft F W ist nun de Hafteibungskoeffizient μ 0 zu vewenden. Es gilt: F W = μ 0 FN. (27) Die Nomalkaft F N ist analog zu Aufgabenteil (a) entspechend Gleichung (3) zu beechnen: ( ) F N = F a b + 1. (26) und (28) in (27) einsetzen: mg ( ) R = μ 0 F a b + 1 F mg = μ 0 R ( a. (30) b + 1) (28) (29) S. 9/9