Lehrstuhl für Fluiddynamik und Strömungstechnik

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Heiko Koch
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1 Lehstuhl fü Fluiddynamik und Stömungstechnik Pof. D.-Ing. W. Fank Lösungen zu dem Aufgabenblatt Aufgabe 1 Gegeben: p =,981 ba (Duck fü z = ), T = 83 K (Tempeatu fü z = ), α = K m -1, m = 9 kg/ kmol (Molmasse de Luft), R m = 8314 J/ (K kmol) (univeselle Gaskonstante), H 1 = m, H = m, h = 1 4 m, d = 3 cm, g = 9,81 m/ s. Tempeatuvelauf in Abhängigkeit de Höhe z (hie in Diagammfom): T(z) = T - α z fü z h (Toposphäe) (1a) T - α h fü z h (Statosphäe) (1b) Gesucht: p(z) Lösungsweg: Hydostatische Gundgleichung (z-richtung entgegengesetzt zu g-richtung): 1

2 dp z dz ( z) = ρ g () Ideale Gasgleichung: ( z) p z ρ R = T z m (3) mit R allg. Gaskons tan te = = = spezifische ode spezielle Gaskonstante m Molmasse Wid (3) in () eingesetzt, so egibt sich: dp z g m dz = (4) p(z) R T(z) a) In de Toposphäe (< z < h = 1 km) gilt (1a): T(z) = T α z (1a) (1a) eingesetzt in (4) egibt: dp z g m dz = p(z) R (T α z) (5) Unbestimmte Integation von (5) dp z g m dz = p(z) R (T α z) egibt: g m ln p z ln T z C R α = ( α ) + ln C * ln p z ln T z ln C gm * = α R α + gm * ln p z = ln T R z α α C gm R p(z) = C T α z α (6) * * C muss aus den Randbedingungen bestimmt weden: z = : p (z = ) = p

3 In (6) eingesetzt egibt sich: C p = (7) * gm R α T Aus (7) in (6) folgt: gm R α α z p(z) = p 1 = pt z T fü < z < h = 1 km (Toposphäe) (8) b) In de Statosphäe fü z > h = 1 km gilt (1b): T(z) = T α h = const. (1b) (1b) eingesetzt in (4) liefet: dp z g m dz = p(z) R T α h (9) Daaus folgt: g m z ln p(z) = + C R T h 1 α * ln C1 gmz * R ( T α h) 1 S p(z) = C e = p z (1) Man ehält * C 1 aus de Übegangsbedingung von de Toposphäe zu Statosphäe: z = h: p T(z= h) = p S(z= h) * z = h in (8) und (1) eingesetzt und aufgelöst nach C 1 : gm R α * α h C1 = p 1 e T gmh R T ( α h) (11) Wid (11) in (1) eingesetzt, folgt: gm R α α h p(z) S = p 1 e T ( ) ( α h) gm h z R T (1) 3

4 stetige Übegang H Exponentialfunktion Potenzfunktion H 1 p Gesucht: De Übeduck in einem Flugzeug, welches in de Höhe jedoch auf die Höhe H1 < H p= p T(z= H 1) p S(z= H) p =,68 ba Gesucht: H eingestellt ist, beechnet sich aus: Die Kaft F, die auf die Fenstefläche wikt, beechnet sich zu: d² F = p π = 48N 4 fliegt, dessen Innenduck 4

5 Aufgabe g D p a G z t 1. Lösungsweg Gegeben: D, G, t, ε, g, p a a) Gesucht: p(z) hydostat. Gundgleichung 1 p z = + g ρ z g hat ein positives Vozeichen, da es gleichgeichtet zu z-richtung ist! (1) ( ) ρ( z) = ρ 1+ ε z () Aus () in (1) folgt: dp ( z) p z = = g ρ ( 1+ ε z) z dz z² p( z) = g ρ z+ ε + C (3) Bestimmung de Konstanten aus den Randbedingungen: p( z = ) = p C = p a z² p( z) = g ρ z+ ε + p a a 5

6 b) Gesucht: ρ Käftegleichgewicht g D p a G z t F = π D² π D² G+ pa p( z = t) = 4 4 π D² t π D² G+ pa g ρ t+ ε + pa = 4 4 ρ 4 G = 1 t+ εt² g π D² 6

7 . Lösungsweg Gegeben: D, G, t, ε, g, p a a) Gesucht: p(z) aus 1. Lösungsweg Die Lösung de Aufgabe efolgt duch die Anwendung des Achimedischen Pinzips (Auftieb = Gewicht de vedängten Flüssigkeit) fü eingetauchte Köpe, das auch fü teilweise eingetauchte Köpe gilt. g D p a G z t Die Duckkaft F o auf den obeen, nicht eingetauchten Zylindeteil wid wie folgt emittelt: πd πd Fo = pa = pa 4 4 7

8 Die Duckkaft auf den unteen, eingetauchten Zylindeteil F u wid wie folgt emittelt: t π D² π D² Fu = ρ( z) g dz pa 4 4 t π D² π D² Fu = ρ g ( 1+ ε z) dz pa 4 4 Auftieb π D² z² π D² Fu = ρ g z+ ε pa 4 4 π D² t² π D² Fu = ρ g t+ ε pa 4 4 t b) Gesucht: ρ Käftegleichgewicht: F + F + G = o u π D² π D² ε t² π D² pa ρ g t+ pa + G = G 1 ρ = g π D² 1 t+ εt² 8

9 Aufgabe 3 Gegeben: H = 8 cm, = 4 cm, h = 1 cm, ρ F = 1 g/cm³, ρ K = 6 g/cm³, g = 9,81 m/s². Gesucht: F H = Hebekaft p P +ρ F g(h-h/) z ρ F H g ½ h G / ρ K ½ h p 1. Lösungsweg F H Die Lösung de Aufgabe efolgt mittels de Beechnung alle Duckkäfte, die auf die Keiskegelobefläche einwiken: da = π x dx 9

10 h py = p g H g y cosα (1) x x sinα = y = y sinα () () in (1) eingesetzt egibt: h px = p x g H g cosα (3) sinα cos α h/ h cotα sin α = = / = (4) (4) in (3) eingesetzt: h h px = p g H g ( x) h h p( x) = p g H g h x h h px = p g H+ ρfl g x Die Duckkaft F M, die in z-richtung auf die Mantelfläche des Kegelstumpfes wikt, beechnet sich wie folgt: F = p( x) π x dx M / h h F = p + ρ g H + ρ g x x π dx M Fl Fl / h h x³ = π + ρ + π ρ π 3 FM p x² Fl g H x² Fl g ² ² ² h FM p Fl g H ² π ³ = π + ρ + π ρfl g h ³ ² h 7 FM = p π g H + π ² ρfl g h π ²

11 Duckkaft auf den unteen Kegel F Du : p ² FDu = p π = p π ² 4 4 Käftegleichgewicht: h FH G p g H π ² + FDu + F = M h ² 3 ² FH G p g H ² p p π + π + π h 3 7 ρfl g H + π ² ρfl g h π ² = ² FH ρk π ² h g ρfl g H π ² g H π ² g h π ρfl g h π ² ρfl g h π ² = FH ρk π ² h g ρfl g H π ² g h π ² = ² 7 FH = ρk g h π ² ρfl g π h H FH = 18,3 N 11

12 Ag. 3.Lösungsweg Gegeben: H = 8 cm, = 4 cm, h = 1 cm, ρ F = 1 g/cm³, ρ K = 6 g/cm³, g = 9,81 m/s². Gesucht: F H = Hebekaft Die Lösung de Aufgabe efolgt duch die Anwendung des Achimedischen Pinzips (Auftieb = Gewicht de vedängten Flüssigkeit) fü eingetauchte Köpe, das auch fü teilweise eingetauchte Köpe gilt. p P +ρ F g(h-h/) z ρ F H g ½ h G / ρ K ½ h p F H Wikende Käfte: G = Gewichtskaft F H = Hebekaft (gesucht) F D = esultieende Duckkaft am Kegel, die sich aus de Duckkaft auf den unteen Kegel F Du und auf den obeen eingetauchten Kegelstumpf F Do zusammensetzt 1

13 Duckkaft auf den unteen Kegel F Du : p ² FDu = p π = p π ² 4 4 Duckkaft auf den Kegelstumpf im Fluid F Do : P +ρ F g(h-h/) P +ρ F g(h-h/) P +ρ F gh P +ρ F gh ² FDo = ρfl g VSt ( p g H) π 4 Auftieb mit 1 ² h 7 VSt = π ² h π = π ² h bzw. mit de Fomel zu Beechnung des Volumens eines Kegelstumpfes 1 h 7 VSt = π ² + + = π ² h 3 4 folgt fü F Do : 7 ² FDo = ρfl g π h ( p g H) π 4 4 Gewichtskaft: 1 G = ρk VK g = ρk π ² h g 3 13

14 Käftegleichgewicht: F = F G+ F + F = H Du Do 1 ² 7 FH = ρk π ² h g ρfl g π h H = 18,3 N FH 14

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