Ferienkurs Experimentalphysik Übung 1-Musterlösung

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1 Feienkus Expeimentalphysik Übung 1-Mustelösung 1. Auto gegen Baum v 2 = v a(x x 0 ) = 2gh h = v2 2g = km (100 h ) m s m 2. Spungschanze a) Die maximale Hohe nach Velassen de Spungschanze kann übe die Enegieehaltung beechnet weden, de Bezugspunkt sei im Uspung am Abspungpunkt. Am Umkehpunkt, dem Punkt de maximalen Hohe wähend des Fluges hat die Geschwindigkeit de Spingein keine z-komponente. Dahe gilt fü die maximale Höhe h max : E Umkehpunkt = E Abspungpunkt mgh max mv2 x = 1 2 mv2 Absp = 1 2 m(v2 x,absp + v2 z,absp Laut Angabe, schlieÿt die Geschwindigkeit de Spingein im Zeitpunkt des Abspungs einen Winkel von α = 25 mit de Hoizontalen ein. Damit gilt fü die maximale Hohe: h max = 1 2g v2 z,absp = 1 2g sin2 α vabsp 2 De Betag de Geschwindigkeit am Abspungpunkt lasst sich auch aus de Enegieehaltung beechnen: E stat = E pot,stat + E kin,stat = mgh stat Diese Enegie wid duch die Edbeschleunigung bis zum Abspungpunkt vollständig in kinetische Enegie umgewandelt: E Absp = E pot,absp + E kin,absp = 1 2 mv2 Absp = E Stat Daaus kann man schlieÿlich die maximale Höhe beechnen: 1

2 1 2 v Absp = 1 m E stat = gh stat und damit: h max = 1 g sin2 α gh stat = sin 2 αh stat = 3, 57m b) Um die Weite zu beechnen vewendet man, dass man die beiden, senkecht zueinande stehenden, Geschwindigkeitskomponenten v x und v z getennt be- handeln kann. Die Weite ist also: s = v x t = v cosα t Man benötigt also die Flugdaue T. Diese ist die Zeit, die die Spingein benötigt um vom Abspungpunkt wiede bei z = 0 zu landen. Die z-komponenten Abhängigkeit von de Zeit kann man duch zweimaliges Integieen nach de Zeit de Bewegungsgleichung fu die z-richtung beechnen: m z = mg Da die Gavitationskaft unabhangig von de Zeit ist, sind die beiden Integale leicht zu beechnen und es egibt sich mit v z (0) = v 0;z und z(0) = 0: z(t) = 1 2 gt2 + v 0;z t = 1 2 gt2 + v 0 sinαt Die Flugdaue t ist also: Damit betägt die Weite s: z(t) = 1 2 gt2 + v 0;z t = 0 t = 2v 0;z = 2v 0sinα g g s = cosα sinα 2v2 g = 4cosα sinαh stat = 30.64m c) Da in den obigen Teilaufgaben die Masse keine Rolle spielt, iegt e genauso hoch. 3. Satellit 2

3 = 3 GM ω 2 = 3 Fü die beim stat benötigte Enegie gilt: F z = F G mω 2 = G Mm km 11 m3 kgs kg (2π/( s)) 2 E = E pot,obit E pot,ede + E kin,obit E kin,ede R 0 = F G d m(v2 0 ve 2 ) R E R 0 = G Mm d mω2 (R0 2 RE 2 ) R E ( ) 1 = GMm R E 1 R mω2 (R0 2 RE 2 ( ) ) R = GMm 0 R E R 0 R E mω2 (R0 2 RE 2 ) Fü die neue Winkelgeschwindigkeit gilt:ω = ω 0 ± ω a mit ω 0 de Geschwindigkeit fü die exakte Position und ω A de Geschwindigkeit de Abweichung. Fü die Geschwindigkeit de Abweichung gilt Näheungsweise ω A = va va R 0 = 100 m /R T ag 0. Mit obige Gleichung gilt: 1,2 = 3 GM (ω 0 ±v a/r 0 ) 2 0 = m 1 = m 2 = m m m 4. Autoennen (alte Klausu Uni-Feibug) Das Auto fäht mit de Geschwindigkeit v dann auf eine Keisbahn, wenn eine Zentipetalkaft F = mv2 nach innen wikt. Diese Kaft muss von de Reibungskaft aufgebacht weden, die maximal den Wet F R = µ 0 mg haben kann. Die Keisbahn ist möglich solange F F R gilt. a) Wenn beide Käfte gleich sind, wid die Maximalgeschwindigkeit eeicht. Somit folgt v m = µ 0 g b) Nach de Gleichung wid 1v 2 m eeicht fü µ = 1µ 4 0. Einsetzen liefet t Planetenbewegung = τln4. 3

4 a) Es gilt die Gleichheit von Zentipetalkaft F Z und Gavitationskaft F G also F Z = M E v 2 E E = G m Em S 2 SE v 2 E = G m S SE = F G Nach genau einem Jah (Umlaufzeit t E = s) hat die Ede die Stecke 2π SE zuückgelegt, also gilt: ( ve 2 2πSE = Gleichsetzen de beiden Ausdücke fü die Geschwindigkeit liefet: b) Auf de Edobeäche gilt: t E ) 2 ( ) 2 G m S 2π SE = SE t E M S = 4π2 3 SE Gt 2 E = Kg G m E R 2 E = g = 9.81m/s 2 also m E = fr2 E G = kg c) Es gilt wiede Gleichheit von Zentipetalkaft und Gavitationskaft, diesmal alledings fü den Jupite auf seine Umlaufbahn: G m S SJ = v 2 J = ( 2πSJ t J ) 2 Wi lösen nach SJ auf SJ = ( ) GmS t J 4π 2 Mit dem Egebnis aus a) und t J = T E egibt sich: 6. Gavitation SJ = km 4

5 a) Das Gavitationspotential de Ede ist gegeneb duch: E P ot = GM Em Um dies in den Göÿen g un R E auszudücken, muss man sich übelegen, wohe die Edbeschleunigung g kommt. In de Nähe de Edobeäche fasst man die Gavitationskaft mit F G = mg zusammen. f G = d E d pot() = GM Em = mg 2 g = GM E RE 2 Das Gavitationspotential eine Masse in de Entfenung vom Edmittelpunkt ist damit: E pot = gr2 E m Die Bedingung fü eine stabile Keisbahn ist, dass die Gavitationskaft die Zentipetalkaft aufbingen muss, die beiden Käfte also gleich goÿ sein müssen: GM E m 2 = mv2 v 2 = GM E Die kinetische Enegie auf eine stabilen Keisbahn betägt dann: E kin = 1 2 mv2 = 1 2 GM Em = 1 2 E pot b) Die Fluchtgeschwindigkeit ist dann eeicht, wenn die kinetische Enegie göÿe ist, als die potentielle Enegie. E pot + E kin > 0 1) De Mond bendet sich auf eine stabilen Keisbahn, seine Geschwindigkeit betägt, wie in a) beechnet: v 2 > GM E Seine kinetische Enegie entspicht dann de halben potentiellen Enegie. Um die Bedingung fü die Flucht zu efüllen, muss sie vedoppelt weden. Die Geschwindigkeit des Mondes müsste um den Fakto 2 göÿe weden. 2) Um aus dem Gavitationsfeld des Mondes heauszukommen, muss wiede die Fluchtbedingung efüllt sein. Die Fluchtgeschwindigkeit betägt also: v > 2GMM M = 2.38km/s 5

6 7. Scheinkaft Coioliskaft: F C = 2m( v ω) bzw. Betagsmäÿig F C = 2mωv, wobei v die Bewegung senkecht zu Rotationsachse bezeichnet. Fü eine adiale Bewegung bei θ = 49 nödl. Beite ist v = cos(θ)v Es zeige die z-achse adial nach auÿen, die x-achse zeige in Richtung de Ablenkung (nach Osten). Fü eine adiale Bewegung in z-richtung gilt dann: z = g v z (t) = gt z(t) = h 1 2 gt2 Aus z(t 0 ) = 0 folgt eine Fallzeit von t 0 = 2h/g. Fü die Bewegung in x-richtung gilt: Fü die Ablenkung L = x(t 0 ) gilt dann: mẍ = F C = 2ωmcos(θ)v z ẍ = 2ωcos(θ)gt x(t) = 1 3 ωcos(θ)gt3 ( L = 1ωcos(θ)g 1 3 = 2 3 ωcos(θ)h 1 2h g Mit ω = 2π/(24h),θ = 49 und h = 110m ehält man: L 16.6mm ) 3 2h g Bemekung: Die Kugel efäht auÿedem eine Ablenkung duch die Zentifugalkaft (Richtung Süden). Diese betägt: y(t 0 ) sin(θ)r E cos(θ)ω 2 t mm und ist somit (bei 49 )wesentlich göÿe als die Ablenkung duch die Coioliskaft. 8. Käfe Sicht des Käfes: F Z = mω 2 ê F C = 2mv 0 ωê Φ 6

7 Von auÿen sieht die Situation andes aus. De Ot, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Käfes sind gegeben als: ( ) cosωt (t) = v 0 t ( ) sinωt ( ) cosωt sinωt v(t) = d (t) = v dt 0 + v sinωt 0 ωt ( ) ( cosωt ) sinωt cosωt a(t) = d v(t) = 2v dt 0ω v cosωt 0 ω 2 t sinωt = 2V 0 ωê Φ ω 2 ê Die Kaft egibt sich dann als F = m a. 9. Cocktail (alte Klausu Uni-Feibug) a) Potentielle Enegie: U(x) = mgy = mgax 2 b) Kaft: F = du = 2mgax, Dieentialgleichung: ẍ + 2gax = 0 dx c) Winkelgeschwindigkeit: ω = 2ga d) x(t) = Acos(ωt + Φ) e) Koodinatentansfomation: x = x + wt, ẋ = ẋ + u,ẍ = ẍ Einsetzten in die Digl.:ẍ + ω 2 x = ω 2 ut spez. Lösung (fü ẍ = 0):x s = ut Allgemeine Lösung: x (t) = Acos(ωt + Φ) + ut.tunnel duch den Edmittelpunkt 10l (alte Klausu Uni-Feibug) a) Fü die Beechnung de Gavitationskaft im Abstand ist nu die Edmasse elevant, die innehalb de Kugel mit Radius liegt. M() = 4 3 πρ3 = M E 3 Damit ehält man fü die Gavitationskaft F () = G mm() 2 = GmM E R 3 E R 3 E = ng R E = F (R E ) R E 7

8 b) Mit dem 2. Newtonschen Gesetz ehalten wi: Hieaus lesen wi ab m = GmM E RE 3 ω 2 = GM E R 3 E c) Schwingungsdaue: T = 2π/ω = 2π R 3 E /(GM E) = 2π R E /g 8