GRUNDKURS EXPERIMENTALPHYSIK

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1 Volesungsskipt GRUNDKURS EXPERIMENTALPHYSIK Pof. D. Fank Richte Skipt angefetigt von cand. phys. Stefan Welzel Technische Univesität Chemnitz Fakultät fü Natuwissenschaften Institut fü Physik

2 Vowot VORWORT Das voliegende Skipt basiet auf de Volesung in Expeimentalphysik fü Studenten des. und. Semestes des Diplomstudiengangs Physik. Die Volesung ist, anschließend an eine Einleitung, in vie goße Teilbeeiche gegliedet: Mechanik Themodynamik Elektizitätslehe Optik Zu besseen Oientieung finden sich am Rand folgende Symbole: Definitionen/Meksätze Beispiele SI Kommentae/Intepetationen/Diskussionen Definition von Einheiten nach dem SI-System (..) Gleichungsnummeieung Nebenechnung Wid im Rahmen de Eläuteungen auf eine Gleichung aus einem voangegangenen Kapitel Bezug genommen, so geschieht dies duch Voanstellen de jeweiligen Kapitelnumme vo die entspechende Gleichungsnumme (z.b. veweist die Angabe ( - 6) auf Gl. (6) in Kapitel ) Desweiteen weden im Text wichtige physikalische Gundbegiffe gesondet hevogehoben, die dann auch im Sachegiste aufgelistet sind. Weitee im Text vewendete Symbole sind: Schlussfolgeungen <..> Veweis auf andee Kapitel {..} Quellenangabe I

3 Inhaltsvezeichnis INHALTSVERZEICHNIS VORWORT...I INHALTSVERZEICHNIS...II A. EINLEITUNG.... Einleitung..... Was ist Physik..... Die Rolle des Expeimentes Physikalische Modelle und Theoien De Stammbaum de Physik Wichtige Gößen und Maßeinheiten... 5 B. MECHANIK Kinematik Otsvekto Geschwindigkeit Beschleunigung Bescheibung de Keisbewegung Übelageung von Bewegungen Dynamik Tägheit Käfte Kaft und Masse Die NEWTONschen Axiome Impulsehaltung Einfache Bewegungen Reibungskäfte Abeit und Enegie Mechanische Enegie Potentielle Enegie Feldkaft und potentielle Enegie De Enegiesatz de Mechanik Gavitation Dehimpuls und Dehmoment Das Gavitationsgesetz Potentielle Enegie und Gavitationspotential... 3 II

4 Inhaltsvezeichnis 5.4. Planetenbewegung Schwingungen I De Fedeschwinge Das Pendel Gedämpfte Schwingungen Systeme von Massenpunkten; Stöße De Schwepunkt Stöße: Gundlagen Elastische Stöße im Labosystem Stöße im Schwepunktsystem Inelastische Stöße Nichtzentale Stöße Bewegte Bezugssysteme Vobemekungen Bezugssysteme mit konstante Relativgeschwindigkeit u << c Linea beschleunigte Bezugssysteme Rotieende Bezugssysteme De stae Köpe; Rotation I Einleitung Käfte und Dehmoment an staen Köpen Tägheitsmoment Dynamik bei de Rotation Zusammenstellung wichtige fomale Analogien Rotation II Tägheitstenso Tägheitsellipsoid Symmetische Keisel Defomiebae Festköpe Dehnung und Kompession Scheung De gebogene Balken Inelastisches Vehalten Flüssigkeiten Einleitung Statische Duck Schweeduck Auftieb und Schwimmen Obeflächenspannung Fest-flüssig-Genzflächen III

5 Inhaltsvezeichnis 3. Gase Kompessibilität Schweeduck in Gasen Stömende Flüssigkeiten und Gase Vobemekungen Innee Reibung Beispiele fü laminae Stömungen Tubulente Stömungen, Ähnlichkeit, Stömungsgenzschicht Reibungsfeies Fluid: BERNOULLIsche Gleichung Stömungswidestand Schwingungen II D-Übelageung von Schwingungen Schwebungen Die FOURIER-Analyse Gekoppelte Schwinge Ezwungene Schwingungen Wellen Einleitung Wellengleichungen Aten von Wellen Wellenausbeitung in veschiedenen Medien Übelageung von Wellen; Guppengeschwindigkeit Wellenausbeitung Steuung Das HUYGENSsche Pinzip Das FERMATsche Pinzip Beugung DOPPLER-Effekt; MACHsche Wellen Intensität eine Welle Reflexion und Tansmission an eine Genzfläche Akustik Einleitung Töne und Klänge Stehende Wellen; Musikinstumente... 3 LITERATURLISTE... V QUELLENVERZEICHNIS...VI SACHREGISTER... VII IV

6 A. EINLEITUNG Einleitung

7 Einleitung. Einleitung.. Was ist Physik ϕυσιζ Uspung, Natuodnung, das Geschaffene lt. den giechischen Natuphilosophen, z.b. Aistoteles (384-3 v.d.z.) im Gegensatz zu Metaphysik (das, was im Aistoteleschen System nach de Physik behandelt wid, also die gesamte ideelle Welt) giechische Natuphilosophie: Beginn des natuwissenschaftlichen Denkens; Entmythologisieung de Natu Natu als (seh kompliziete) Mechanismus, den man im Pinzip vestehen kann; Gesetzmäßigkeiten statt unduchschaubaes Wiken von Götten und Dämonen weitee Etappen: klassische Physik ~ 90 modene Physik (Quantenphysik, Relativität) Veständnis de Natu Ekennen von Gesetzmäßigkeiten Natubeobachtung Schlussfolgeung (z.b. Gesetze de Planetenbewegung) Bloßes Beobachten eicht oft nicht aus, da die Natu zu kompliziet ist (Übelageung von Einflüssen), und man z.b. auch optischen Täuschungen zum Opfe fallen kann (gezieltes) Expeiment Fage an die Natu Ausschluss stöende Einflüsse, ggf. Vestäkung des gewünschten/inteessieenden Effektes Mit dem Expeiment eng veknüpft sind zwei weitee Komplexe: physikalische Gößen, Maßeinheiten, Messung, Messfehle (vgl. <..>) physikalische Modelle, Theoien, Rolle de Mathematik (vgl. <.3.>).. Die Rolle des Expeimentes Wesen des Expeimentes ist die Messung ( Vegleich zweie Gößen) Beispiel: Physikalische Göße Länge hat Maßeinheit Mete (m). Vegleich eine gegebenen Distanz mit diese Maßeinheit Distanz betägt,54 m Maßeinheiten sind duch Nomale ode Standads definiet; Messgeäte müssen egelmäßig mit diesen veglichen (geeicht, kalibiet) weden Die vewendeten Nomale hängen vom Entwicklungsstand von Wissenschaft und Technik ab.

8 Einleitung Beispiel: Mete 799: / des Edquadanten 875: Umete (Pt-I-Stab mit Stichen) x x x mm 960: übe die Wellenlänge eine bestimmten Stahlung, die Kypton-86-Atome aussenden 983: (wegen de inzwischen eeichten enomen Genauigkeit de Zeitmessung) m ist die Stecke, die das Licht im Vakuum in zuücklegt s x 8 0 x t 4 0 t Damit ist c keine Messgöße meh und betägt definitionsgemäß m s - Gundgößen und abgeleitete Gößen, z.b. Länge s Zeit t } Geschwindigkeit s v t Übe die Auswahl de Gundgößen sind bestimmte Maßsysteme definiet. Seit 960 in vielen Länden vebindlich: SI-System (le Système Intenational d Unitès) 7 Gundgößen mit de entspechenden SI-Basiseinheit SI Länge Mete m Zeit Sekunde s Masse Kilogamm kg elektische Stomstäke Ampee A Tempeatu Kelvin K Stoffmenge Mol mol Lichtstäke Candela cd Kommenta: Alle andeen Gößen sind aus den Gundgößen abgeleitet, ebenso ihe Maßeinheiten aus den Basiseinheiten. Alledings haben manche abgeleiteten Einheiten eigene Namen (N, J, W, V,...) Die Auswahl de Gundgößen efolgt nach Zweckmäßigkeit. Pinzipiell wüden dei Gundgößen, z.b. Länge, Zeit, Masse eichen 3

9 Einleitung Es gibt imme noch/imme wiede: SI-femde Maßeinheiten, z.b. To, atm, cal, yad, inch,... andee Maßsysteme ggf. andees Aussehen von Fomeln; z.b. titt beim CGS-System (cm-g-sec) das /4πε 0 in den Gleichungen de Elektodynamik Messgenauigkeit und -epoduziebakeit wie goß ist de maximal mögliche Fehle? liefet Wiedeholung de Messung zu andee Zeit und/ode andeen Bedingungen dasselbe Egebnis? Dies nicht so wichtig fü die Schauvesuche de Volesung, jedoch seh fü wissenschaftliche Abeit. siehe Paktikum.3. Physikalische Modelle und Theoien Expeimente meist so gestaltet, dass bestimmte Einflüsse deutlich messba sind, andee (stöende) Einflüsse dagegen untedückt weden. Beispiel: Fallgesetz: Köpe mit hohe Massendichte kein Wind u.a. am besten Vakuumtum Fall-Vehalten nu von Masse des Köpes abhängig, alle sonstigen Eigenschaften (Dichte, Fom,...) sind uneheblich Bild (Modell) de Punktmasse Physikalische Gesetze, die in de Regel duch Fomeln ausgedückt weden, sind den Veeinfachungen des Modells angepasst, d.h., Dinge, die in dem betachteten Zusammenhang keine Rolle spielen, kommen nicht meh vo. Einfachheit und Klaheit. Man muss abe imme wiede übepüfen, ob die Voaussetzungen des Modells im konketen Fall gelten Hypothesen sind meh ode wenige ( Abeitshypothese ) begündete Vemutungen dienen oft dem Entwuf von Expeimenten ( Wenn... so ist, dann müsste doch... ) sind die Vostufen von Gesetzmäßigkeiten Pinzipiell ist die Physik natülich imme offen fü unewatete expeimentelle Egebnisse, insofen ist keine Gesetzmäßigkeit absolut. Mit zunehmende Vevollständigung des Bildes von de Welt, de zunehmenden Menge von zusammenpassenden und sich gegenseitig stützenden Befunden, steigt natülich 4

10 Einleitung das Zutauen in die gefundenen Gesetzmäßigkeiten. Deshalb wid z.b. die Suche nach einem pepetuum mobile als Zeitveschwendung abgelehnt. Theoien sind die (übewiegend mathematische) Fomulieung gefundene ode hypothetische Gesetzmäßigkeiten. Sie beziehen sich auf ein bestimmtes physikalisches Modell, d.h., bestimmte Bedingungen (z.b. das Fehlen von Reibung beim Fallgesetz). wichtige Rolle de Mathematik und de Computetechnik Abeitsteilung Expeimentalphysik - Theoetische Physik wegen des enomen Wissensvolumens (Keple, Newton, Galilei waen nicht spezialisiet) Expeimente mit dem Compute Heausfinden de wesentlichen Gesetzmäßigkeiten/Theoiebildung anhand expeimentell übepüfte Konstellationen und Beechnung expeimentell paktisch unzugängliche Konstellationen.4. De Stammbaum de Physik Bedeutung de Mechanik: gundlegend fü vieles andee beispielhaft (z.b. bezüglich Modellbildung) ({}, S. 4).5. Wichtige Gößen und Maßeinheiten.5.. Länge: m Vosilbe lt. SI-System 0 3 m km kilo 0-3 m mm milli 0-6 m µm miko 0-9 m nm nano } feinstbeabeitete Obefläche 0 - m pm pico 0-5 m fm femto Atomken-Duchmesse Es gibt auch Theoien, die zunächst hypothetisch sind 5

11 Einleitung 0-0 m Å Angstöm Atom-Duchmesse Lichtjah Lj 9, m Pasec pc m.5.. Zeit: s Die Sekunde ist definiet als das fache de Peiodendaue eines bestimmten Übegangs zwischen Enegieniveaus des 33 Cs-Atoms s Alte des Univesums 0 7 s Alte de Ede 0 3 s Zeit seit de Entwicklung des esten Menschen 0-3 s ms 0-6 s µs 0-9 s ns Anegungsdaue eines Atoms 0 - s ps ultakuze Lasepuls; Ultakuzzeitphysik 0-5 s fs Peiodendaue eine Lichtwelle.5.3. Masse: kg Masse (zu Zeit noch) definiet übe den in Pais aufbewahten kg-pt-i-zylinde (fühe: dm 3 H O bei 4 C). Angestebt: Übegang zu Si-Einkistallkugel mit definiete Atomanzahl ( Anschluss an genaue messbae atomae Einheiten) exteme Beispiele: Masse eines Elektons: 0-30 kg Masse de Sonne: 0 30 kg Masse de Milchstaße: 0 4 kg.5.4. Tempeatu: K Ein Kelvin ist de 73,6te Teil de themodynamischen Tempeatu am Tipelpunkt des Wasses. (De Tipelpunkt des Wasses liegt bei 73,6 K 0,0 C.) 6

12 .5.5. Winkel Im Alltag, in de Geogaphie usw.: zweckmäßig: Bogenmaß Einleitung Vollkeis (Bogenminute) (Bogensekunde) Bogenlänge L Radius R Dann ist de Vollkeis πr R π. Steng genommen hat de Winkel im Bogenmaß auch eine Maßeinheit: SI-Einheit: de Radiant; [α] ad m m - SI De Vollkeis ist also π ad 6,8 ad; ad 57 De Physike spicht abe von Winkel 3/4π o.ä Raumwinkel De Raumwinkel ist definiet übe die eingeschlossene Fläche S auf de Kugelobefläche, geteilt duch das Quadat des Kugeladius. Ω S R De Vollwinkel ist dahe 4πR Ω 4π. R Kommenta: Die Fläche S ist ein beliebige (in sich geschlossene) Teil de Kugelobefläche. De Raumwinkels u.a. wichtig fü die Bescheibung von Stahlungsemission. SI-Einheit: de Steadiant; [Ω] s m m - SI 7

13 B. MECHANIK Mechanik

14 Mechanik - Kinematik. Kinematik... ist die Lehe von de Bewegung. Sie bescheibt Bewegungen, ohne nach den Usachen zu fagen... Otsvekto De Ot eines Massepunktes P zum Zeitpunkt t wid beschieben duch den Otsvekto (t) mit dem Uspung 0: De Uspung wid entspechend dem physikalischen Poblem zweckmäßig gewählt, z.b.: Abwufstelle beim Wuf, Rotations-Mittelpunkt bei Rotation. Wenn sich P elativ zu 0 bewegt, ist (t). Die Gesamtheit de Endpunkte von heißt Bahnkuve: Je nach dem physikalischen Poblem wid man in unteschiedliche Weise in Komponenten zelegen: im allgemeinen Fall entspechend den katesischen Koodinaten: x i + y j + z k i, j,k... Einheitsvektoen in x-, y-, und z- Richtung, () bei eine Rotationsbewegung wid man oft Polakoodinaten wählen (vgl. <.4.>)... Geschwindigkeit... ist die Ändeung des Otsvektos mit de Zeit: 9

15 Mechanik - Kinematik v(t, t ) (t ) (t) t t t () v ist die mittlee Geschwindigkeit im Intevall (t, t ). Beliebige Eskapaden innehalb dieses Intevalls (siehe Abbildung) bleiben unbemekt/unbeücksichtigt Die Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt ehält man duch Genzübegang t t : (t ) (t) d v(t) lim (t) (t & ) t t t t dt (3).3. Beschleunigung... ist die Ändeung de Geschwindigkeit mit de Zeit ( v ist Tangente an die Bahnkuve ): Man sieht, dass sich v im Allgemeinen sowohl im Betag als auch in de Richtung ändet Die Beschleunigung ist ein Vekto. Maßeinheit: [a] m s mittlee Beschleunigung im Intevall (t, t ): a(t, t v(t ) v(t ) t t ) v t SI (4) Analog zu Gl. (3) ehalten wi die (momentane) Beschleunigung zum Zeitpunkt t : v(t ) v(t) dv d a(t) lim (t) (t) & (t ) t t t t dt dt (5) Genzfälle de Beschleunigung (bzw. Komponenten im allgemeinen Fall): a) Tangentialbeschleunigung (tangential zu Bahnkuve) a ~ v wikt paallel (ode antipaallel) zu v ( v v ) es ändet sich nu v, nicht die Richtung 0

16 Mechanik - Kinematik b) Nomalbeschleunigung (nomal zu Bahnkuve) a ~ v wikt senkecht zu v ( v v ) es ändet sich nu die Richtung, nicht v Beispiel: Auf de Ede unteliegt jede nicht fixiete Köpe eine Beschleunigung. a 9,8 m s - g... Edbeschleunigung v nimmt zeitlinea zu: dv m 9,8 dt s t m v(t) 9,8 dt s v(t) Fallstecke s: 0 m 9,8 s t ds(t) dt s(t) s(t) v(t) t m v(t ) dt 9,8 t dt s 0 9,8 m t s t 0 t v(t) s(t) s 9,8 m s - 4,9 m ( 4,9) s 9,6 m s - 9,6 m ( 4 4,9) 3 s 8,4 m s - 44, m ( 9 4,9).4. Bescheibung de Keisbewegung Bei de Keisbewegung ist de Abstand konstant. Einfühung von Polakoodinaten zweckmäßig

17 Mechanik - Kinematik y x + y y sin ϕ x + y Tansfomationsgleichungen { x, y} {,ϕ} Veallgemeineung: Zylindekoodinaten (fü otationssymmetische Pobleme) { x, y,z} {, ϕ,z} Nun zu Keisbewegung (hie ist const. ): Winkelgeschwindigkeit ω dϕ(t) ω dt ϕ& (t) (6) Winkelbeschleunigung α dω(t) α dt d ϕ(t) dt ϕ& (t) (7) Zusammenhang mit Umlaufgeschwindigkeit, -beschleunigung: s ϕ s& v ϕ & ω && s a v& ω & α (8) Bis hiehe: Rotation in de Ebene. Im 3D betachtet man ω und α zweckmäßigeweise als Vektoen. Richtung duch Rotationsebene festgelegt Betäge: ω ω lt. Gl. (6) α α lt. Gl. (7)

18 Mechanik - Kinematik Rechte-Hand-Regel α kann bei gegebene Rotationsichtung nach oben ode unten zeigen: α ~ ω Beschleunigung α ~ ω Abbemsung Vektoscheibweise von Gl. (8) (dann stimmen Betag und Richtung): v ω a α (9).5. Übelageung von Bewegungen Die Zusammenhänge zwischen Ot, Geschwindigkeit und Beschleunigung gelten fü jede Komponente einzeln. Dies eleichtet vieles z.b. in katesischen Koodinaten: v a Beispiel: Waageechte Wuf v 0 x i + y j + z k & x& i + y& j + z& k v x i + v y j + v zk v & & & & x i + && y j + && z k a x i + a y j + a zk v x i () (0) Waageecht findet eine gleichfömige Bewegung statt (v x const.) und senkecht eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung (feie Fall, d.h. a g const.), die sich übelagen. 3

19 Mechanik - Kinematik Man kann natülich auch fü jeden Zeitpunkt Betag und Richtung de esultieenden Geschwindigkeit emitteln: v (t) v (t) + v (t) v + g t tanβ v v x y x y x 4

20 Mechanik Dynamik 3. Dynamik Jetzt fagen wi nach de Usache de Ändeung des Bewegungszustandes, also nach de Usache de Beschleunigung. 3.. Tägheit Ändeung des Bewegungszustandes heißt Ändeung de Geschwindigkeit. Schon Galilei (564-64) hat ekannt, dass eine geadlinig gleichfömige Bewegung, d.h. v const., von sich aus fotbesteht, also keine besondeen Usache be- daf. Ruhe ist ein Sondefall davon. Man bezeichnet dies als Tägheitspinzip. 3.. Käfte Eine Ändeung des Bewegungszustandes eines Köpes setzt eine Wechselwikung voaus Konzept de Käfte Ändeung des Bewegungszustandes } { am Köpe geift eine Kaft an Käfte können die veschiedenatigsten Usachen haben. Eigenschaften von Käften Käfte sind Vektoen, also bestimmt duch Betag und Richtung Bei meheen Käften übelagen sich alle Komponenten einzeln, z.b. fü katesische Koodinaten: F F F F ges x,ges y,ges z,ges i i i i F i F F F x,i y,i z,i () Auch hie gelten natülich wiede (vgl. Gl. ( - 0)) die Zusammenhänge fü jede Koodinate einzeln Ein Köpe ode Massepunkt mit F ges 0 heißt fei, d.h., e ändet seinen Bewegungszustand nicht. 5

21 Mechanik Dynamik In vielen Fällen hängt die Kaft vom Ot ab, d.h. F F(), also Betag und Richtung de Kaft sind eindeutig dem Ot zugeodnet. Eine solche jedem Raumpunkt zugeodnete Kaft wid als Kaftfeld bezeichnet. Beispiel: Gavitation/Ede Also: Jede Punkt in de Umgebung de Ede besitzt die Eigenschaft, auf eine bestimmte Masse eine ganz bestimmte Kaft F( ) auszuüben. Diese Eigenschaft hat de Punkt auch dann, wenn keine zweite Masse dot ist Kaft und Masse Unteschiedliche Köpe eagieen auf ein und dieselbe Kaft unteschiedlich. z.b.: Ziehen am Handwagen an einem PKW Abbemsen eines goßen Schiffes Die Eigenschaft, sich de Einwikung de Kaft zu widesetzen und den alten Bewegungszustand möglichst beizubehalten (Tägheit) wid duch die täge Masse beschieben. Es gilt: F m a ( m v m& & ) () Dies ist das NEWTONsche Aktionspinzip. Es kann in deielei Weise intepetiet weden: a) F m a (Gl. ()): Bestimmung von F ; Wenn ein Köpe de Masse m eine Beschleunigung a efäht, wie goß ist dann die wikende Kaft? (z.b.: Emittlung de Edschwekaft aus Fallexpeiment) 6

22 F b) m : a Mechanik Dynamik Chaakteisieung de Tägheit; Wie viel Kaft muss po Beschleunigung aufgewandt weden? c) & & a F : m Bestimmungsgleichung fü a. Damit kann letztlich bei gegebene Kaft F (t) fü eine bestimmte Masse m die Bahnkuve (t) duch Integation bestimmt weden. Lesat a) bzw. Gl. () fühen zu Definition de Maßeinheit fü die Kaft aus den SI-Gundgößen Masse, Länge und Zeit: Newton N m kg SI, (3) s Also: N ist die Kaft, die eine Masse von kg die Beschleunigung a m s veleiht. m Die Beschleunigung duch die Edschwekaft auf de Edobefläche betägt g 9,8. s kg besitzt auf de Edobefläche die Gewichtskaft F G 9,8 m kg 9,8 N kp s Die Gewichtskaft daf nicht mit de Masse vewechselt weden. Die Maßeinheit Kilopond ist übe g definiet. Dahe besse N vewenden 3.4. Die NEWTONschen Axiome Die Gundgesetzmäßigkeiten de Bewegung von Köpen unte dem Einfluss von Käften hat Newton (643-77) in folgenden Axiomen fomuliet:. (Tägheitspinzip): Jede Köpe vehat in Ruhe ode de gleichfömigen geadlinigen Bewegung, solange keine Kaft auf ihn einwikt.. (Aktionspinzip): Wenn eine Kaft F auf einen Köpe mit de Masse m wikt, beschleunigt sie ihn mit: F a & m (4) 3. (Reaktionspinzip): Bei zwei Köpen, die nu miteinande wechselwiken ist die Kaft F auf Köpe A entgegengesetzt de Kaft F auf Köpe B: F F Actio Reactio (5) 7

23 Mechanik Dynamik Newton hatte. andes fomuliet, und zwa unte Zuhilfenahme des Impulses: p m v De Impuls ist ein Vekto ~ v. Maßeinheit: [p] m kg s Newton schieb: Eine Kaft F ändet bei ihe Einwikung auf einen Köpe dessen Impuls entspechend. dp d F dt ( m v) dt (6) SI (7) Anwendung de bekannten Diffeentiations-Regeln liefet: F F dv dm m + v dt dt m a + 0 Nu fü konstantes m folgt Gl. (4) Als ob Newton die Relativitätstheoie geahnt hätte 3.5. Impulsehaltung Das. NEWTONsche Axiom besagt: Ein Teilchen, auf das keine Kaft wikt, ändet seinen Impuls nicht. Gegeben ist nun: System aus vielen Teilchen, keine Kaft von außen: keine von außen aufgepägten Impulsändeungen Welche Rolle spielen innee Wechselwikungen (zwischen den Teilchen)? Betachtung am Beispiel zweie Teilchen: Teilchen veusacht F auf Teilchen : p t F abe: Teilchen veusacht ebenfalls eine Kaft, F, auf Teilchen : p t F Wegen des 3. NEWTONschen Axioms ist: F F p p, also p + p pges 0 8

24 Mechanik Dynamik Fazit/Veallgemeineung auf viele Teilchen: In einem abgeschlossenem System, d.h. einem System ohne Wechselwikung mit äußeen Käften, ist de Gesamtimpuls konstant: p ges p i const. i (8) Die Bedingung abgeschlossenes System lässt Reibung ohne weitees zu 3.6. Einfache Bewegungen Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung In de Nähe de Edobefläche ist g einigemaßen konstant alle Wufbewegungen sind gleichmäßig beschleunigt (Lufteibung venachlässigt): a g const. (Edbeschleunigung) Beispiel: senkechte Wuf nach oben mit: v(0), g v 0 skalae Scheibweise : g dv dt v(t) g dt' v(t) t 0 v 0 gt x(t) v(t' ) dt' x(t) t 0 x g 0 + v 0t t m Unte g vestehen wi jetzt g 9,8. Das negative Vozeichen entspicht de Tatsache, s dass g in die negative Koodinatenichtung zeigt. 9

25 Mechanik Dynamik Wie hie nicht bewiesen weden soll, gelten fü beliebige Richtungsbeziehungen zwischen a const. und v 0 const. die analogen Vektobeziehungen: und v(t) v0 + a t a (t) + v0 t + 0 t (9) (0) Die gleichfömige Keisbewegung Wi hatten in <.4.> die Winkelgeschwindigkeit eingefüht: ω ϕ& ( - 6) Die Umlaufzeit T fü eine Umdehung, d.h. fü ϕ π, egibt sich wie folgt: dϕ ω dt π T T π () ω Damit folgt fü die Umdehungsfequenz ν (in /Zeiteinheit): ν T ω π () also ist ω π ν (3) Die Winkelgeschwindigkeit (sogenannte Keisfequenz ) ist also das π-fache de Umdehungsfequenz (weil po Umdehung ein Winkel von π übestichen wid). Welche Beschleunigung efäht eine otieende Masse? Wi betachten die Betäge:, v v, a a,, v v 0

26 Mechanik Dynamik dv a dt (4) Wegen de Ähnlichkeit de Deiecke ist: v v v v Dies in (4) eingesetzt egibt: v a a t ω ω t v dϕ ω dt ω ( - 8) a ω (5) Um eine Masse m auf eine Keisbahn zu halten, baucht man die Kaft: F m a, d.h. mit Gl. (5) F mω (6) Dies ist die Zentipetalkaft, die z.b. duch ein Seil aufgebacht weden muss, um einen Köpe auf eine Keisbahn zu halten. (vgl. <8.4.>) 3.7. Reibungskäfte Reibung zwischen festen Köpen Reibung hat negative und positive Seiten, wie jede bei Glatteis mekt a) Gleiteibung: empiisch findet man: FR µ F N µ... Reibkoeffizient (7) Kommenta: µ gilt fü bestimmte Mateialpaaung Deutung: mikoskopische Obeflächen-Rauheit unabhängig von Auflagefläche/-duck unabhängig von Geschwindigkeit } Näheung

27 Mechanik Dynamik b) Hafteibung: F H H µ F ( µ H > µ ) (8) H N µ... Hafteibungskoeffizient Deutung: Heausheben aus Anfangs-Vehakung Kommenta zu Reibung zwischen Festköpen: Reduzieung de Reibung duch Schmieung Vemeiden de Reibung (Kugellage) in de Realität beliebig kompliziet: Luftsauestoff chemische Reaktionen, Schmiemittel, Obeflächengestalt. Bezug zu Kontaktmechanik Reibung in Flüssigkeiten ode Gasen Ein Köpe, de sich duch ein zähes Medium bewegt, wid ebenfalls gebemst. (vgl. <4.>) Hie soll zunächst nu die Fomel gegeben weden. Fü eine Kugel gilt: (De Fakto 6π ist spezifisch fü die Kugel) F R 6π η v η... Viskosität (Zähigkeit) v... Geschwindigkeit (9) Wichtig: F R ~ v Sättigung de Geschwindigkeit bei konstante Kaft (z.b. feie Fall).

28 Mechanik Abeit und Enegie 4. Abeit und Enegie 4.. Mechanische Enegie Goldene Regel de Mechanik: Was man an Kaft gewinnt, muss man an Weg zusetzen (und umgekeht). Offensichtlich ändet es das Egebnis nicht, wenn sich Kaft und Weg änden, solange nu das Podukt aus Kaft und Weg konstant ist. Definition: mechanische Abeit W F Abeit ist ein Skala entscheidend ist die Kaftkomponente in Wegichtung: () F F cos γ F t F t... Tangentialkomponente Käfte Wegelement (F n ) leisten keine Abeit (sogenannte Zwangskäfte) Fü einen makoskopischen Weg ehält man statt () veallgemeinet: W F d Weg () Maßeinheit fü die Abeit ist das Joule: [W] J SI J Nm kg m m s 3

29 Mechanik Abeit und Enegie Beispiel: Beschleunigungsabeit F dv m (. NEWTONsches Axiom) dt Die Kaft ist de Tägheitskaft entgegengeichtet, die iheseits de Beschleunigung entgegengeichtet ist. W F d v dv W m v dt dt W v m m v v E kin d v dt mit E kin m v E kin... kinetische Enegie, Bewegungsenegie (3) Die beim Beschleunigen des Teilchens aufgewandte Abeit steckt als Ändeung de kinetischen Enegie in de bewegten Punktmasse. Beispiel: Hubabeit F m g (Minuszeichen, weil die aufzuwendende Kaft de Edschwekaft entgegengeichtet ist) W m g d h skala: W m g d 0 (Bei skalae Scheibweise fällt das Minuszeichen weg, weil d und g entgegengeichtet sind.) W m g h E pot E pot... Ändeung de potentiellen Enegie (von 0 auf h) (4) 4

30 Mechanik Abeit und Enegie 4.. Potentielle Enegie gegeben: Kaftfeld lt. <3..>, also F F() Wenn man die Punktmasse quasistatisch mit de Kaft F a gegen die Feldkaft F veschiebt, wid die folgende Abeit geleistet: dw F a d F d (5) Integation egibt fü den Weg : W(, ) F d Es zeigt sich, dass diese Abeit fü wichtige Kaftfelde unabhängig vom Weg ist: Solche Kaftfelde heißen konsevative Kaftfelde ode Potentialfelde. Beispiele dafü sind die Gavitations- sowie die elektostatischen Felde. (6) Beide gehöen zu den Zentalfelden: F f () F f () nu Radialkomponente (7) Alle Zentalfelde lt. Gl. (7) sind konsevativ, und zwa im Pinzip mit beliebigem f(). In de Realität existieen abe eben nu bestimmte. Wegunabhängigkeit heißt also: F d I I II F d F d + F d F d 0 II (8) (9) Definition: potentielle Enegie, E pot dw de pot F d (0) 5

31 Mechanik Abeit und Enegie bzw. in Integalfom: W F d E pot ( ) E pot ( ) () Vozeichenwahl: Bewegung gegen die Feldkaft, d.h. F d < 0 füht zu Epot > 0 bzw. W > 0. Bemekung: und E pot ( ) können dem Poblem angepasst fei gewählt weden Feldkaft und potentielle Enegie das totale Diffeential: gegeben: Funktion z f(x,y) Es gilt: dz ( dz) + ( dz) z z dz dx + dy x y (patielle Ableitungen) analog im 3D ist E pot E pot (x,y,z): de pot E p x E p dx + y E p dy + z dz () andeeseits ist lt. Gl. (0): de pot F x dx F y dy F dz z (0 ) Gleichsetzung von (0 ) und () liefet: F i + j + k E x y z F gad E E p p mit... Nabla-Opeato p (3) 6

32 Mechanik Abeit und Enegie 4.4. De Enegiesatz de Mechanik Multiplikation von Gl. (3) mit & v & : mit (): F & gad E pot & E i x d E pot dt pot E + j y pot E + k z pot i dx dt + j dy dt + k dz dt (4) andeeseits ist nach dem. NEWTONschen Axiom: F m & & & (3 - ) F & m & & (5) Es lässt sich leicht zeigen, dass: d dt E kin d m & dt m & & m & & (6) De Vegleich von (4), (5) und (6) liefet: d d d d E pot E kin bzw. E pot + E kin 0 (7) dt dt dt dt Die mechanische Enegie ( Summe aus E kin und E pot ) ist in einem konsevativen Kaftfeld (Potentialfeld) konstant. Zu Rolle de Reibung: Reibung vewandelt E kin in Wäme ( ungeodnete Teilchenbewegung) Veletzung des Enegieehaltungssatzes de Mechanik (Wenn man die Wämeenegie mit einbezieht, bleibt die Enegie natülich wiede ehalten.) Reibung stöt nicht die Impulsehaltung. 7

33 Mechanik Gavitation 5. Gavitation 5.. Dehimpuls und Dehmoment De Dehimpuls titt bei Dehbewegungen an die Stelle des Impulses. Wi betachten zunächst den Dehimpuls eines Teilchens (späte weden wi den Dehimpuls auch fü otieende stae Köpe betachten): Wi definieen als Dehimpuls bezüglich des Uspungs 0: L p (also: L p sin(, p) ) () Untesuchung de so definieten Göße: L steht auf de Ebene, in de die Dehung efolgt. Davonfliegen", keine Dehung um den Uspung sin(, p) 0 L 0 sin(, p) L p maximale Dehung Göße hängt plausibel mit de Intensität de Dehbewegung zusammen 8

34 Mechanik Gavitation Dehimpuls ist eine allgemeine Göße und nicht an die Existenz eine Rotation gebunden, z.b.: Auch hie existiet ein (konstante) Dehimpuls: L p Lok sin(p, ) 443 b L p Lok b const. Ändeung von L : mit: d d ( m & ) L dt dl dt dt m & & + m & F M M... Dehmoment () (3) Maßeinheit: [M] N m SI Das Dehmoment ist de Kaft beim Impuls analog Zu Einneung: dp dt F (3-7) Plausibilitätsekläung: M Kaft wiksame Kaftam Untesuchung de Göße: F 0, d.h. L const. keine Ändeung de Intensität de Dehung 9

35 Mechanik Gavitation F F max. maximale Ändeung Zentalfeld (z.b. Gavitation): F ~ M F 0 d L, d.h. 0 dt, d.h. L const. Im Zentalfeld ist L const., sofen keine äußeen Dehmomente angeifen. 5.. Das Gavitationsgesetz Newton 665/66, Apfel Wahscheinliche Logik de Heleitung: a) Beobachtung, dass alle Köpe gleich schnell fallen Beschleunigung, m & x Gavitationskaft ~ m des fallenden Köpes b) Reaktionspinzip gegenseitige Anziehung; Gesetz sollte bezüglich m und m symmetisch sein c) Abstandsabhängigkeit? Betachtung de Mondotation um die Ede: Fü den Mond muss die Gavitationskaft die notwendige Zentipetalbeschleunigung aufbingen; Zentipetalbeschleunigung lt. Gl. (3-5): a ω π 6 m 6, ,73 0 7, s (86400 s/tag) (Edadius 6370 km) 3 m s Auf de Edobefläche ist g 9,8 m s, also 3600 Mal göße: 9,8, Gavitationskaft fällt mit 30

36 Gavitationskaft F G m m γ γ... Popotionalitätskonstante (Gavitationskonstante) γ wid expeimentell bestimmt (Dehwaage) zu: γ (6,670 ± 0,0004) 0 - Nm kg Mechanik Gavitation (4) täge und schwee Masse: Masse veköpet die Tägheit (Widestand gegen Bewegungszustandsändeung) und sie ist Gegenstand de Gavitationskaft Dies zunächst zwei veschiedene Dinge Fallexpeimente: ms M F γ m M... Edmasse m S... schwee Masse m T... täge Masse T & x Alle Köpe haben (innehalb von 0 - ) gleiche Beschleunigung. Täge und schwee Masse sind innehalb diese Genzen gleich (eigentlich popotional zueinande, entspechende Festlegung von γ, s.o.) Inzwischen hat Einstein die Gleichheit von täge und schwee Masse postuliet und als Gundlage de allgemeinen Relativitätstheoie genommen. Obwohl Gavitation imme eine beideseitige Anziehung ist, ist es oft zweckmäßig, fü eine de Massen das Kaftfeld zu betachten: F G mit: G γ M γ M m m G G... Gavitationsfeldstäke Also: Zu gegebenem G -Feld egibt sich Gavitationskaft auf m einfach als m G. (5) 3

37 Mechanik Gavitation 5.3. Potentielle Enegie und Gavitationspotential Wi wählen in Gl. (4 - ) und bilden: W Fd γmm mm d γ (6) Dies ist gleich E pot () - E pot ( ), vgl. (4 - ). Wenn wi venünftigeweise E pot ( ) 0 setzen, folgt () E pot γ mm (7) fü die potentielle Enegie de Masse m im Schweefeld de Masse M. Gavitationspotential: Wi können analog zu G auch E pot in eine m- unabhängige Göße umwandeln, das Gavitationspotential Φ Es ist definiet: F G Φ also: Φ() E pot m M γ (8) Dastellung: 5.4. Planetenbewegung Die KEPLERschen Gesetze (609/) lauten:.) Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deen einem Bennpunkt die Sonne steht..) De Fahstahl übesteicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 3.) Die Quadate de Umlaufzeiten de Planeten vehalten sich wie die ditten Potenzen de goßen Halbachsen. 3

38 Mechanik Gavitation zu.) Ein Beweis soll hie nicht gegeben weden (geht mit Enegiesatz). Außedem ist die Exzentität de Planetenbahnen unsees Sonnensystems geing, die Bahnen sind in seh gute Näheung Keise. Massenvehältnisse: Ede/Sonne ~ Jupite/Sonne ~ Sonne uht paktisch (schweste Planet) 000 zu.) Dies folgt aus de Dehimpulsehaltung: v d da L mv m m dt dt d Fläche MABC da also: Schnell Bewegung in Sonnennähe, langsame in de Fene zu 3.) (veeinfachte Beweis fü venachlässigbae Exzentität) Auch fü die Planeten gilt (analog dem Fall Ede Mond, vgl. <5..>): Zentipetalkaft... mm mω γ... Gavitationskaft mit π ω folgt: T T 3 4π γ M const. 33

39 Mechanik Schwingungen I 6. Schwingungen I 6.. De Fedeschwinge Eine Fede setzt ihe Vefomung eine Fedekaft entgegen, die de Vefomung popotional ist. mit: F F D x D... Fedekonstante Maßeinheit: [D] m N () SI Eine an de Fede befestigte Masse wid nach dem Loslassen beschleunigt: F F mit (): m a m & x (3- ) - D x m & x bzw. D x + m & x 0 :m D d x + x 0 m dt () Dies ist die Bewegungsgleichung des Fedeschwinges, eine lineae Diffeentialgleichung. Odnung. Gl. () bescheibt den dynamischen Vogang de Bewegung de Masse. Sie gilt zu jedem Zeitpunkt t, in allen Stadien, z. B. denen maximale Geschwindigkeit de Masse ( ) ode maximale Vefomung de Fede ( ), abe auch allen Zwischenstadien: Mathematische Lösung fü Gl. ()? & x ~ x Es kommen sin- ode cos- Funktion in Fage. 34

40 Mechanik Schwingungen I Ansatz: x(t) x& (t) & x&(t ) x 0 cosω0t ω sin x 0 0 ω0 x 0ω0 cos ω0t t (3) (3) in (): D x 0 cos ω0t x 0ω0 cosω0t 0 m D D ω 0, d.h. ω 0 m m Also egibt sich als Lösung fü Gl. () mit: x(t) x 0 cos ω0t ω 0 D m π πν T ν... Fequenz T... Schwingungsdaue (4) ω lt. Gl. (4) ist plausibel: staffe Fede/kleine Masse schnelle Bewegung weiche Fede/goße Masse langsame Bewegung Gl. (3) ist auch bezüglich de Anfangsbedingungen x(0) x 0 gut gewählt. Die Funktion x x 0 sinωt efüllt die Diffeentialgleichung () ebenfalls, entspicht abe nicht de Anfangsbedingung. Sie wäe ichtig, wenn wi bei x 0 mit einem Schubs staten Fü Schubs + Auslenkung bauchen wi die allgemeine Lösung x(t) x 0 [c sinω 0 t + c cosω 0 t] (Lineakombination de beiden unabhängigen Lösungen), die lt. Mathematik hie eigentlich gilt. kinetische Enegie: E kin m v m x& (4-3) mit Gl. (4) x& (t) x 0ω0 sin ω0t m/ D E kin x 0 sin ω0t m/ mit: D E kin x 0 sin ω0 ω 0 D m t (5) 35

41 Mechanik Schwingungen I potentielle Enegie: vgl. Gl. (4 - ) x W F 0 F dx E pot (x) E pot (0) (4- ) (W ist die beim Vefomen de Fede, also gegen die Fedekaft geleistete Abeit. E pot (0) wid zweckmäßige Weise gleich Null gesetzt.) Gl. () in (4 - ): (x) x E pot ( D x' ) 0 D x dx' (6) Gl. (4) in (6): mit: D E pot (x) x 0 cos ω0t ω 0 D m (7) Wi haben also ein ständiges Hin- und Hefluten von E kin E pot. Die Gesamtenegie ist natülich konstant: D ges x 0 E ( ω t + cos ω t) sin (6) Schwingungen in Systemen mit Kaft ~ Auslenkung (Gl. ()), die also sinode cos-velauf haben, heißen hamonische Schwingungen. 36

42 Mechanik Schwingungen I Sie haben goße Bedeutung, weil bei ihnen ja E pot ~ Auslenkung ist und sich jedes Potentialminimum als Paabel annähen lässt. Jede Schwingung um igendein Potentialminimum kann also in gewissem Maße duch eine hamonische Schwingung angenähet weden. Ein Beispiel fü eine näheungsweise hamonische Schwingung ist das Pendel. 6.. Das Pendel Gewichtskaft: G + G G spannt den Faden wikt ückteibend Man ekennt leicht, dass G ( ϕ) G sin ϕ (9) mit G m g folgt G ( ϕ) m g sin ϕ (0) Diese Kaft beschleunigt die ausgelenkte Masse: G ( ϕ) m && s( ϕ) m l ϕ& ( ϕ) () (0) und () egibt: m / l ϕ & m/ g sin ϕ g ϕ& & + sin ϕ 0 l () () ist nicht meh exakt lösba. Wi beschänken uns auf kleine Winkel, dann ist: ϕ sin ϕ und () wid zu: g ϕ& & + ϕ l 0 (3) Gl. (3) entspicht völlig Gl. (), das Pendel fü kleine ϕ (sogenanntes mathematisches Pendel) vollfüht eine hamonische Schwingung mit de Keisfequenz: ω 0 g l πν π T (4) 37

43 Mechanik Schwingungen I Kommenta: Duch Messung von T und l ist g bestimmba ω 0 f(m) l langes Pendel goßes T T π g 6.3. Gedämpfte Schwingungen Bishe haben wi ungedämpfte Schwingungen betachtet. In de Realität Reibung: Auße de Fedekaft wikt auch noch eine Reibungskaft, d.h. wi müssen das NEWTONsche Gundgesetz (Gl. (3 - )) ansetzen als: F ges F F + F R mx & (5) Die Reibungskaft F R setzen wi wiede v-popotional an lt. Gl. (3-9): D x k x& m& x An Stelle von Gl. () titt also: D k x + x& + & x 0 m m (6) Exkus: Dastellung von Schwingungen mittels komplexe Zahlen P x + iy x + iy [cosϕ + isin ϕ] Betachtet wid eine Rotation in de komplexen Ebene Physikalisch elevant ist natülich nu de Realteil x(t), also die Pojektion auf die x-achse. Waum macht man das so kompliziet? In de komplexen Ebene ist jede Schwingung ist ein otieende Vekto (Zeige), die Übelageung mehee Schwingungen ist einfach die Addition mehee Vektoen (Zeige) zu jedem Zeitpunkt). Haben die übelageten Schwingungen gleiches ω 0, egibt sich ein Summenvekto, de mit diesem ω 0 otiet. Wenn man die Addition in de komplexen Ebene vollzogen hat, muss man auf den Realteil zuückgehen. Man scheibt: iϕ cos ϕ + isin ϕ e (7) 38

44 Mechanik Schwingungen I Lösung von Gl. (6) auf diese Weise: Wi setzen als Lösung fü Gl. (6) an: λt x x 0 e λt &, x λx 0 e && x λ x 0 e λt Dies in Gl. (6) eingesetzt: λt D k x 0 e + λ + λ 0 m m 0 t q + pλ + λ 0 Wi müssen nu die quadatische Gleichung lösen und ehalten: (8) λ, k ± m k m D m (9) Wi betachten den Fall elativ geinge Dämpfung (d.h., es soll übehaupt noch eine Schwingung stattfinden). Dann ist de Radikand negativ: k m D m < 0 Umfomung entspechend dem physikalisch allein sinnvollen ω > 0 egibt: λ, k m ± m m D k δ ± ω (0) λ λ δ + iω ( δ+ iω) t x 0 e δ iω ( δiω) t x 0 e xˆ xˆ (a) (b) Beide Gleichungen fühen, wenn wi den Realteil bilden, auf dasselbe, nämlich δt x x 0e cosωt (a) Andes als Gl. (4) klingt die Schwingung mit e -δt ab, wobei lt. Gl. (0) gilt: δ k m (b) D.h. schnelles Abklingen fü goßes k, also goßes F R, sowie kleines m p p Lösungsfomel: λ, ± q 4 39

45 Mechanik Schwingungen I Fene ist ω D δ, m (c) d.h., die Fequenz ω ist gegenübe de Fequenz ω 0 D eduziet. m Im Genzfall veschwindet die Wuzel in Gl. (0), d. h.: k m D m 0 Daduch veeinfacht sich die Lösung zu: λ λ δ Es lässt sich zeigen, dass die allgemeine Lösung dann lautet: x x δt 0 ( + δ t) e Dies ist de sogenannte apeiodische Genzfall, d.h. das schnelle Einschwenken in die Nulllage. (3) Fü noch stäkee Dämpfung folgt entspechend: k m D m > 0 Hie kann man von Schwingung nicht meh spechen. Die Auslenkung geht ebenfalls asymptotisch gegen Null, abe langsame als lt. Gl. (3). Dies ist de sogenannte Kiechfall 40

46 Mechanik Systeme von Massenpunkten; Stöße 7. Systeme von Massenpunkten; Stöße 7.. De Schwepunkt Wi definieen den Schwepunkt s eines Systems: mit: s i i m i m i i M i m i i M m i... Gesamtmasse i () Veanschaulichung: s ( + ) 3 aus () folgt: M s M & s m i d i dt p m & p s i i i i i () De Gesamtimpuls des Systems ist das Podukt aus Gesamtmasse und Schwepunktgeschwindigkeit. nochmalige Diffeentiation von () egibt: M & & s p& s F s m & i i i i F i (3) De Schwepunkt bewegt sich so, als wenn dot die Summe alle Einzelkäfte an de Gesamtmasse angeifen wüde. Also: Keine äußee Kaft, d.h. F F 0 s i i gleichfömig, ode (Sondefall) uht. Schwepunkt bewegt sich Mit andeen Woten: Gesamtimpuls im abgeschlossenen System const. 4

47 Mechanik Systeme von Massenpunkten; Stöße ode: äußee Käfte F i, dann egänzen sich diese in ihe Wikung so, als ob F s F i am Schwepunkt angeifen wüde. i Beispiel: Gewofene Hantel: Letztees gilt auch dann, wenn innee Käfte aufteten: Beispiel: Explodieende Ganate: Die inneen Käfte zwischen den Buchstücken egänzen sich jeweils zu Null (Actio Reactio), de Schwepunkt folgt seine eigenen Tägheit sowie de Edbeschleunigung und bewegt sich weite auf de Wufpaabel. 7.. Stöße: Gundlagen Stöße gegenseitige Ablenkung von sich bewegenden Teilchen hie: Expeimente meist mit haten Kugeln Bedeutung de Stöße jedoch besondes wichtig fü die Atomphysik, wo die Ablenkung entspechend dem Kaftfeld bzw. dem Wechselwikungs-Potential allmählich efolgt. Beispiel: Coulombablenkung eines e - an einem Atomken 4

48 Mechanik Systeme von Massenpunkten; Stöße dann: Betachtung de asymptotischen Gößen p, E kin weit vo bzw. weit nach de Wechselwikung Im abgeschlossenen System gilt beim Stoß von Patnen: m p + p p + p m m v + v m v + v (vo) (nach) + Q Impulssatz (4) Enegiesatz (5) Q ist die gegebenenfalls andeweitig vebauchte E kin (z.b. Vefomungsenegie) Q 0 Q > 0 elastische Stoß, E kin bleibt ehalten, inelastische Stoß, E kin, ges wid duch Stoß eduziet Elastische Stöße im Labosystem Labosystem das Bezugssystem, in dem wi uns befinden (also eigentlich das naheliegende) Wi betachten zunächst zentale Stöße ( D-Poblem) Zu Bescheibung dient die Impulsehaltung (Gl. (4)) und die Enegieehaltung (Gl. (5) mit Q 0) Wi betachten den Sondefall, dass de gestoßene Köpe vo dem Stoß uht: m v m / v m v / m v / Umodnung von (4 ) und (5 ): + m v (4 ) m / + v (5 ) / v / v m (v v ) m / m (v v / ) m (v v / )(v v / + m ) (4 ) (5 ) (5'') : (4'') / v + v / bzw. / v / v v v (6 ) (6 ) d.h., wenn man alles einbezieht, was dazu gehöt. 43

49 Mechanik Systeme von Massenpunkten; Stöße (6) in (4 ): m v m v + m (v + v) m / v v m + m / m / (7) (6 ) in (4 ): m v / / (v v) m v m + m v m + m / v (8) Sondefälle: () m m v / 0 ; / v v () m m, also stoßende Köpe doppelt so schwe / / 4 v v ; v v 3 3 stoßende Köpe läuft gestoßenem (langsame) hintehe (3) m m /, also stoßende Köpe halb so schwe / / v v ; v v 3 3 stoßende Köpe läuft ückwäts (3 ) m << m, also Stoß gegen die Wand / v v ; v / 0 Totzdem bleibt de Gesamtimpuls unveändet m v, d.h., m bewegt sich schon in v -Richtung, abe eben seh langsam. Dennoch egibt sich wegen des goßen m de ichtige Impuls. Enegieübetag auf m : Ist fü m m maximal, d.h. vollständig, fü alle andeen Fälle geinge. Genaue mit (8): (Teminologie: E kin,... kinetische Enegie von m nach dem Stoß) E kin, m v / m (m (m m 4m m v 3 (m + m ) ) + m ) v E kin, E kin, 4m m (m + m ) (9) 44

50 Mechanik Systeme von Massenpunkten; Stöße Vehältnis de Massen entscheidend (m n m und n m liefen gleiches Egebnis) Übetagung beliebig klein: bzw. 89 % bzw % 00 Wichtig fü Teilchenphysik (Abbemsung), z.b. Neutonenmodeieung 7.4. Stöße im Schwepunktsystem Schwepunktsystem System, in dem de Schwepunkt uht. Günstig, wenn die gestoßene Masse vo dem Stoß nicht uht. Gl. () wa: M v s p s p i i () Wenn de Schwepunkt also uht ( v s 0 Beispiel: elastische Stoß zweie Teilchen ) muss p i 0 i sein. vohe: + p 0 p nachhe: + p 0 Also: Poblem im Schwepunktsystem einfach zu behandeln p p p p p Man muss natülich alle Bewegungen wiede ins Labosystem zuücktansfomieen. Da sich abe in abgeschlossenen Systemen de Schwepunkt geadlinig gleichfömig bewegt, ist das einfach Inelastische Stöße Ein Teil de E kin wid aufgezeht (Wäme, Vefomung,...) keine E kin - Ehaltung meh Dennoch wid die Abbemsung begenzt, da de Impuls ehalten bleiben muss. 45

51 Was ist das Maximum de Umwandlung von E kin in Q? Mechanik Systeme von Massenpunkten; Stöße Schwepunktsystem: Im Schwepunktsystem ist die Summe alle Impulse 0 (s.o.). Dies kann auch efüllt weden, indem alle Teilchen im Schwepunktsystem zu Ruhe kommen. vohe: + p 0 p nachhe: + p 0 p De Gesamtimpuls ist nach wie vo de des Schwepunktes, also M v s p lt. Gl. () s Die maximal mögliche Abbemsung, ohne den Impulssatz zu veletzen, ist das völlige Zu-Ruhe-Kommen im Schwepunktsystem. Mit andeen Woten: Alle beteiligten Teilchen bleiben aneinande kleben und bewegen sich mit eine gemeinsamen Geschwindigkeit, de des Schwepunktes Nichtzentale Stöße... bingen physikalisch nichts gundsätzlich Neues, man muss das Poblem lediglich mehdimensional (es ist D) lösen. Beispiel Stoß in x-richtung: α ist geometisch deteminiet: sin α d + (,... Kugeladien) β stellt sich so ein, dass p ges,y weitehin gleich Null ist, d.h. p,y p, y 0 Ansonsten muss de Gesamtimpulses ehalten bleiben ( p p + p ) sowie gegebenenfalls (elastisch - inelastisch) die kinetische Enegie. 46

52 Mechanik Bewegte Bezugssysteme 8. Bewegte Bezugssysteme 8.. Vobemekungen Die gundlegenden Gesetze de Mechanik haben wi bishe ohne Bezug auf ein spezielles Bezugssystem definiet. Gundgesetze sollen ja auch unabhängig vom Bezugssystem gelten Wi betachten im Folgenden: Bezugssysteme mit konstante Relativgeschwindigkeit u << c Linea beschleunigte Bezugssysteme Rotieende Bezugssysteme Die Relativitätstheoie ist nicht Gegenstand dieses Kapitels. 8.. Bezugssysteme mit konstante Relativgeschwindigkeit u << c Beispiel: Mach-3-Düsenjäge 3600 km h - km s - } Edsatellit 8 km s - < 0-4 c u << c bedeutet also in de Regel keine enste Einschänkung betachtet weden nun die Systeme S und S : Otsvekto in S : Otsvekto in S: 0 + u t + Tansfomation mit konstantem u Galilei-Tansfomation Geschwindigkeit in S : v Geschwindigkeit in S: v d 0 d(u t) + + & dt dt 0 + u + & () 47

53 Mechanik Bewegte Bezugssysteme bzw. v p v + u p + u m () Also einfache additive Zusatztem, de Impulsehaltung nicht beeintächtigt. d dv Beschleunigung in S : a dt dt Beschleunigung in S: a d dv dt dt dv du + dt dt dv + 0 dt also a F dv a dt m a m a F (3) (4) Alle Galilei-tansfomieten Systeme sind in de Bescheibung de physikalischen Gesetze äquivalent. Die Gesetze de klassischen Mechanik sind Galileiinvaiant. Die Gesamtheit de Galilei-tansfomieten Systeme heißt Inetialsysteme Linea beschleunigte Bezugssysteme System S bewege sich nun beschleunigt mit a s elativ zum S: Otsvekto in S : Otsvekto in S: a s + t + u t + 0 (5) wi fagen nach den Beschleunigungen in beiden Systemen: Beschleunigung in S : a & & Beschleunigung in S: a & & d 0 d ( u t) d a s + + t + & dt dt dt a + a + s bzw. a a a s + a a (6) a s 48

54 multipliziet mit m: Mechanik Bewegte Bezugssysteme m a m a m a s Kaft in S : F F + Ft mit: F t ma s... Tägheitskaft (7) Die Tägheitskaft spüt man nu im beschleunigt bewegten System. Fü sie ist dot keine mateielle Usache (wie z. B. Fede, Gavitation, Tiebwek) zu ekennen, sie üht nu von a s he. Man muss sie abe beücksichtigen, damit im beschleunigten Bezugssystem (wo dieses Beschleunigung nicht existiet) "die Mechanik wiede stimmt". Ohne diese Scheinkäfte wäe dies nicht de Fall. Beschleunigte Bezugssysteme sind keine Inetialsysteme. Beispiel: statendes Flugzeug: uhende Beobachte Tiebwek "schiebt" Beobachte in Kabine keine Usache fü die Kaft 8.4. Rotieende Bezugssysteme Beobachte B (uhend): Auf m wikt ständig die Fedekaft F F, die die Masse auf die Keisbahn zwingt, indem sie eine ständige Ändeung de Richtung von v hevouft (Zentipetalkaft, -beschleunigung (vgl. <3.6.>)). Beobachte A (mitbewegt): Fü ihn uht die Masse Sie wid duch eine fü ihn unekläliche Kaft nach außen gezogen, welche duch die Fedekaft kompensiet weden muss, weil sonst die Masse an die Außenwand geschleudet wüde. Diese unekläliche Kaft, die nu im otieenden Bezugssystem wikt, ist die Zentifugalkaft. Sie ist betagsmäßig gleich de Zentipetalkaft (lt. Gl. (3-5)), abe nach außen geichtet (~ ). F ZF mω (8) 49

55 Mechanik Bewegte Bezugssysteme Im allgemeinen Fall, d. h. nicht ω, ehält man: F ZF m ω (8 ) ( ω) Zentipetalkaft bewikt eine Beschleunigung im Labosystem, Zentifugalkaft kompensiet im otieenden System (wo es keine Bewegung gibt) die Fedekaft. Beispiel: Gezeitenkäfte Edotation um sich selbst ist hie uneheblich, da sie die Nomalgestalt de Ede (Abplattung, usw.) bestimmt. Ede und Mond otieen um den gemeinsamen Schwepunkt S, de noch innehalb de Ede liegt: Fü M kompensieen sich Anziehung duch den Mond und Zentifugalkaft genau. Bei A ist Anziehungskaft kleine und Zentipetalkaft göße Wassebeg Bei B ist Anziehungskaft göße und Zentipetalkaft kleine Wassebeg Wenn Anziehung des Mondes alleinige Usache wäe, düfte bei A kein Flutbeg aufteten Wi kehen zu otieenden Masse zuück und knipsen jetzt die Fede duch: uhende Beobachte : Masse fliegt geadlinig gleichfömig weite (A, B, C,...) 50

56 Mechanik Bewegte Bezugssysteme bewegte Beobachte: Masse fliegt adial nach außen (A A, B B ), da ja nun die Gegenkaft de Fede fehlt - zunächst genauee Betachtung: Masse fliegt nicht geadlinig, sonden die Bahnkuve ist im otieenden Bezugssystem gekümmt (C C, D D,...) Im otieenden Bezugssystem muss man die Kümmung de Bahnkuve auf eine Kaft zuückfühen, damit die Mechanik wiede stimmt Coioliskaft F c m ( v ω) (9) v... Geschwindigkeit im bewegten System Bei einem Schuss zu Dehachse ist die Coioliskaft also Null. 5

57 Mechanik De stae Köpe; Rotation I 9. De stae Köpe; Rotation I 9.. Einleitung bishe: (Systeme von) Punktmassen jetzt: Betachtung ausgedehnte Köpe, übe die die Masse gleichmäßig veteilt ist (keine Atome). Köpe soll sich unte äußee Kaft nicht vefomen stae Köpe Dichte ρ: ρ m V () Maßeinheit: 3 kg [ ρ] m SI Gesamtmasse M: M ρ M i ρ Vol i V i dv () Otsvekto des Schwepunktes S s : analog zu Gl. (7 - ) scheiben wi: s s M M Masse dm ρ( ) Vol dv (3) 5

58 9.. Käfte und Dehmoment an staen Köpen Mechanik De stae Köpe; Rotation I Wiedeholung zum System mehee Punktmassen (vgl. <7..>): Kaft F geife an Schwepunkt S eines staen Köpes de Masse M an: Bewegung des Köpes gemäß: F M a (3- ) Kaft F geife nicht am Schwepunkt S an: F 3 F F + F 0 F 3 F 3 F F + F + F3 (4) Käftepaa Kaft, die an Schwepunkt angeift Tanslation, kein Dehmoment Käftepaa Paa zweie entgegengesetzt gleiche Käfte, die an zwei veschiedenen Punkten (hie: S, P) angeifen Dehmoment, und zwa: M sp F (M hie bezogen auf S) (5) Nicht-Schwepunkt-Kaft bewikt Tanslation und Rotation Reines Käftepaa bewikt nu Rotation. Damit ein Köpe in Ruhe bleibt, müssen sowohl F ges 0 als auch M ges 0 sein. Dann gibt es wede Tanslation noch Rotation Tägheitsmoment gegeben: um bestimmte Achse otieende Köpe gesucht: E kin de Rotation 53

59 Mechanik De stae Köpe; Rotation I kinetische Enegie eines Volumenelementes V i im (senkechten) Abstand i von de Achse ist E kin mi v Tangentialgeschwindigkeit von m i i m i vi ρ V i i ω i Winkelgeschwindigkeit m v gilt natülich weitehin. Wi fomen nu zweckmäßig um und ehalten E kin E kin ρi Vi ω i ω ρi Vi i i bzw. in Integalfom: ω E kin ρ dv Volumen (6) Die Göße J ρ dv Volumen (7) heißt Tägheitsmoment. Mit J egibt sich E kin dann als E kin J ω (8) Analogien: { v} {ω} { m} {J} Rotieende Köpe lässt sich schwe in Dehung vesetzen (d.h. ist täge) bzw. hat dehend viel Enegie, wenn J goß ist, d.h. die gegebene Masse außen sitzt. Beispiel: Beechnung von J fü homogenen Zylinde (ρ const.) mit de Länge L: dv ds d dz ds dϕ 54

60 Mechanik De stae Köpe; Rotation I aus (7) folgt damit: J R π 0 0 R 4 L ρ J ρ π L 4 mit: M ρ V ρ πr L 0 d dϕ dz bzw. J J MR MV π L (9) (9 ) Also: Bei gegebene Masse bzw. (ρ const) Volumen kann übe R bzw. L das J beliebig zwischen 0 und eingestellt weden (Daht bis ausgedehnte Platte ) STEINERsche Satz: gegeben: J um Achse, die duch den Schwepunkt geht ( J s ) gesucht: J um Achse, die um die Stecke a von S entfent ist ( J a ) J a J s + M a (0) Plausibilitätsekläung: Rotation um a-achse Bewegung des Schwepunktes um diese + Rotation des Köpes um die Schwepunktachse 9.4. Dynamik bei de Rotation Bewegungsgleichung Fü die Tanslation wa (vgl. <3.3.>): F dp dt bzw. F m a m v& m & (3-6) (3- ) 55

61 Analog egibt sich fü die Rotation: M dl dt Mechanik De stae Köpe; Rotation I (5-3) bzw. fü J const. unte Vewendung von α, ω, ϕ (vgl. <.4.>): M J α J ω & J ϕ& () In völlige Analogie zu Tanslation gibt es nun die veschiedenen Bewegungstypen, z.b. gleichmäßig beschleunigte Dehbewegung mit konstantem M und α (was zu linea ansteigendem ω füht), usw Dehschwingungen (D)...ist dem Fedeschwinge völlig analog (vgl. <6..>) Vefomung eines Tosionsstabes füht zu entgegenwikendem Dehmoment M T * D ϕ () mit: D *... Richtmoment, [D*] N m Maßeinheit: [D * ] N m ( Fedekonstante) SI () in () liefet als Bewegungsgleichung: J ϕ & D * ϕ (3) völlig analog zu Gl. (6 - ) fü den Fedeschwinge Als Lösung folgt, wiede analog (diesmal zu Gl. (6-4)): mit: ϕ( t) ϕ 0 cos ω0t ω 0 D * J πν π T (4) Also: steife Stab/kleines J schnelle Schwingung nachgiebige Stab/goßes J langsame Schwingung Diese Tosionsschwingung ist hamonisch. Auch die gedämpfte Schwingung ist völlig analog. 56

62 Mechanik De stae Köpe; Rotation I Dehimpulsehaltung Dehimpuls eines Volumenelementes eines otieenden Köpes: L L p m v (5 -) Wegen v echnen wi skala weite: L m v L ω ρ V v m ω ρ V (5) Gl. (5) gilt fü ein Volumenelement eines Köpes. Fü den Gesamtköpe müssen wi aufsummieen: bzw. integieen: L ω i ρ V i i i L ω ρ dv Volumen J (6) Vegleich mit (7) zeigt, dass (wi scheiben wiede als Vektoen) L ω J ist. (7) Natülich ist weitehin gültig, dass fü M 0 L const. ist (abgeschlossenes System), und zwa wegen M dl dt (5-3) Dies gilt, analog zu Impulsehaltung, unabhängig von eventuellen inneen Reibungskäften. 57

63 9.5. Zusammenstellung wichtige fomale Analogien Otsvekto: Dehwinkel: ϕ Geschwindigkeit: Winkelgeschwindigkeit: v & ω Mechanik De stae Köpe; Rotation I Betag ω ϕ& Richtung Dehachse (Recht-Hand-Regel) Beschleunigung: Dehbeschleunigung: a v & α ω & kinetische Tanslationsenegie: kinetische Rotationsenegie: m J E tans v E ot ω Masse: Tägheitsmoment: m J ρ dv Kaft: Dehmoment: F M Impuls: Dehimpuls: p m v ω L J Bewegungsgleichung: Bewegungsgleichung: F p&v m v & & M L J ω & Im abgeschlossenen System bleiben p und L ehalten 58

64 Mechanik Rotation II 0. Rotation II 0.. Tägheitstenso bishe: L J ω (9-7) mit: J ρ dv (9-7) J wa bezogen auf eine bestimmte Achse (mit Abstand von diese) und skala, ω L ~. Achse wa fest zum Köpe ( aufgespießt ) (a), und fest im Raum ( gelaget ) (b). Jetzt weden (a) und (b) in Fage gestellt. Aufhebung v. (a): feie Rotation eines Quades stabile + instabile Achsen Aufhebung v. (b): Fahadkeisel Momentanstoß Päzession von ω, L weite const. Illustation Handel J f(achsenichtung) weite mit Plausibilitätsekläung: Es zeigt sich, dass es nicht auseicht, einfach nu fü jede Achsenichtung ein andees (skalaes) J zu nehmen. J ist kein Skala meh, auch kein ichtungsabhängige Im allgemeinen Fall ist J ein Tenso: J L J ω () Multiplikation eines Tensos mit einem Vekto egibt einen neuen Vekto: Dies ist eine Tansfomation bezüglich Betag und Richtung, d.h. ω und L sind nicht meh popotional vewendete Komponentenscheibweise in katesischen Koodinaten: L L + L + L L i + L j + L k (L, L,L ) In diese Scheibweise wid () zu: x y z x y z x y z ( L x,l y,lz ) J J J xx yx zx J J J xy yy zy J J J xz yz zz ω ω ω x y z () 59

65 Mechanik Rotation II zum Glück ist J ein symmetische Tenso: J J J J xx xy xz J J J xy yy zy J J J xz yz zz (3) Wenn wi das Bezugssystem auf den Köpe beziehen (köpefestes Bezugssystem) lässt sich imme eines finden, in dem sich de Tenso noch meh veeinfacht (In diesem System gelten statt x, y, z die Achsen,, 3): J J 0 0 J J 3 (4) Diejenigen Achsen, fü die das gilt, heißen Haupttägheitsachsen. J, J, J 3 heißen Haupttägheitsmomente. Im Allgemeinen sind die Haupttägheitsmomente ungleich. Wi setzen: J J J Tägheitsellipsoid E ot wa: E ot J ω (9-8) wenn J ein Tenso ist, müssen wi scheiben: E ot ω J ω L (lt. Gl.(9-4)) (5) Wi beziehen jetzt auch ω auf das köpefeste Bezugssystem mit den Achsen,, 3: ω ω ωe + ωe + ω3e3 ( ω, ω, 3 ) + ω + ω3 ω (6) Aus (5) folgt damit: E ot J ( ω, ω, ω3) 0 0 J ω 0 ω J 3 ω 3 (7) 60

66 Mechanik Rotation II ausmultipliziet folgt: E ( J ω + J ω + ω ) ot J3 3 (8) Gl. (8) ist die Bestimmungsgleichung fü ein Ellipsoid (8) lässt sich umfomen: E ot ω a ω + b 3 ω + c a, b, c mit: J J J 3 a, b, c... Hauptachsen des Ellipsoids Anschaulich: De Ellipsoid gibt bei gegebenen Tägheitseigenschaften (d.h. gegebenem Tägheitstenso) fü jede Richtung an, wie goß ω sein muss, um einen bestimmten konstanten E ot -Wet zu eeichen. Beispiel: (9) Rotation um 3 hat goßes J (J 3 J max ) ω 3 kann klein sein Rotation um hat kleines J (J J min ) ω muss goß sein fü bestimmtes E ot (In de Regel wid vesucht, die Fom des Ellipsoids aus den Tägheitseigenschaften heaus zu ekläen. Dies ist abe ziemlich vewickelt wegen a,b,c ). J,,3 Also: 3 ausgezeichnete Achsen, davon einem mit J max, eine mit J min, diese aufeinande. Fü alle andeen Richtungen hochsymmetisches Vehalten, so, dass alle ω fü ein bestimmtes E ot ein Ellipsoid fomen. Dies gilt fü alle staen Köpe (anschaulich schwe einleuchtend) Wi bilden L J ω in Komponentenscheibweise lt. Gl. (7), multiplizieen aus und ehalten L Jω + J ω + J3ω3 (0) 6

67 Mechanik Rotation II Fü unteschiedliche J, J, J 3 kann ω L ~ nu eeicht weden, wenn Rotation um eine de dei Hauptachsen efolgt Also: Entwede ω ω ω L ode ω ω ω L J ode ω ω 3 ω L Dabei ist die Rotation um die Achse mit: maximalem J (hie J 3 ) stabil minimalem J (hie J ) mäßig stabil mit mittleem J (hie J ) instabil Wenn ω und L nicht meh sind, gibt es Pobleme: a) feie Rotation: L const. ω ändet sich ständig (elativ zum Köpe) b) Rotation mit fixiete Achse: ω const L ändet sich ständig und ezeugt ein Dehmoment, das die Lage beanspucht: dl M > 0 dt Unwucht J J Symmetische Keisel Keisel otieende Köpe, symmetisch, Rotation efolgt um Achse duch Schwepunkt, Lageung eibungsfei. (Dies ist keine stenge Definition) kadanisch gelagete Keisel eibungsfei im Schwepunkt gelaget (Geonimo Cadano, ). Nutation: Wi betachten einen Keisel, de um seine Figuenachse, die das maximale J besitzt, otiet: FA L ω z-achse Fü den Dehimpuls gilt: L L z J FA ω z J max ω z () Damit sich Symmetie des Tägheitsellipsoids auch äußelich zeigt, also Figuenachse existiet. Damit Gesetzmäßigkeiten gut ekennba sind. 6

68 Mechanik Rotation II Nunmeh lassen wi fü eine bestimmte Zeit t ein zusätzliches Dehmoment M wiken ( Momentenstoß): x L M x t L x J FA Lz + L x J FA ωz + J FA ωx const. ω Duch den Stoß wid de Dehimpuls des Keisels um L x veändet und betägt nunmeh: x () (3) Diese neue Gesamtimpuls L bleibt nunmeh ehalten. ω bleibt nicht ehalten, wede ω, noch ω, noch ω ω + ω x z x z Wi betachten E ot (lt. Gl. (5)) E ot ω J ω ω L ω L L const. (4) Die Komponente von ω L ( ω L ) ist konstant, die dazu otiet: Beachte: ω ist das Gesamt-ω (momentane Dehachse) Was ins Auge spingt, sind zwei andee Dinge: Die Rotation um die Figuenachse und deen Umlauf um die L -Achse ( Nutation). Es lässt sich zeigen, dass beim symmetischen Keisel ω, L und Figuenachse in eine Ebene liegen: 63

69 Mechanik Rotation II Päzession: Nunmeh setzen wi den Keisel einem ständigen Dehmoment aus, am einfachsten duch Lageung entfent vom Schwepunkt: M a dl (5-3) dt M a R m g bewikt also Rotation von L um Achse g (senkechte Achse). Betag von ω p (Päzessionsbewegung): dϕ dl ωp dt dt L ω p... Päzessionsfequenz (5) mit (5-3) ist: dl dt dl dt M a ω M a p L (6) Päzessionsfequenz bei gegebenem Keisel (d.h. M a const) ~ L ; also: schnelle Rotation kleine ω p, usw. Beispiele: () L const Stabilität beim Diskus- bzw. Speewefen. () ansatzweise Päzession beim feihändigen Radfahen: Kippen nach echts füht automatisch zum Lenken nach links (vgl. Abbildung oben). (3) atomae Keisel: magnetische Momente äußees Magnetfeld Päzessionsbewegung 64

70 Mechanik Defomiebae Festköpe. Defomiebae Festköpe Segen de Vefomung (kippelnde Stuhl, usw.).. Dehnung und Kompession Hie steht die Kaft auf de Bezugsfläche In Expeimenten zeigt sich: mit: l F l E A E... Elastizitätsmodul (mateialspezifisch) Umfomung egibt: l F ε l E A mit: ε... Dehnung () Mit F A Kaft Fläche σ... (Nomal-)Spannung folgt schließlich: Also: ε σ E bzw. ε E σ () Dehnung ~ Spannung; HOOKEsches Gesetz (gilt innehalb bestimmte Genzen) Betachtungsweisen: bestimmtes aufgepägtes σ induziet ε bestimmtes aufgepägtes ε induziet (innees) σ Maßeinheit: [E] N m Pa... Pascal SI E hat Dimension eine Spannung, also Kaft/Fläche 65

71 Mechanik Defomiebae Festköpe Konvention: Zug σ > 0, ε > 0 Duck σ < 0, ε < 0 de gezogene/gestauchte Köpe vesucht, sein Volumen konstant zu halten Quevefomung / Quekontaktion : b b - b POISSON[sche Quekontaktions]zahl µ µ b l b l (3) Es zeigt sich, dass V V σ ( µ ) E (4) Diskussion Fü Zugspannungen (σ > 0) ist V 0 µ 0,5 Extema: µ 0,5 V 0 (keine Volumenändeung; l wid voll duch b ausgeglichen) µ 0 V maximal (keine Quevefomung) eale FK haben häufig µ 0,... 0,3 allseitige Duck p jede de dei Dimensionen tägt V V lt. Gl. (4) bei V V 3 p ( µ ) E Eläuteung: Scheibweise p (nicht p) deshalb, weil in de Paxis de hydostatische Duck in de Regel zum stets vohandenen Luftduck hinzukommt. Vozeichenkonvention: Duck nach innen p > 0 (andes als bei σ): V V 3 p ( µ ) E (5) mit: V p V K E K 3( µ )... Kompessionsmodul (6) V V hängt also von E und µ ab 66

72 Mechanik Defomiebae Festköpe.. Scheung Im Gegensatz zu <..> liegt hie de Kaftvekto in de Bezugsfläche Ansonsten gilt völlig analog zu Gl. (): mit: Mit l F l G A G... Schemodul (mateialspezifisch) (7) F A τ... Schespannung folgt schließlich: l l G τ l l tan α α (fü kleine α) α G τ bzw. G α τ (8) α... Schewinkel Kommenta: De Schwewinkel α bescheibt die spezifische Vefomung bei de Schedefomation und titt an die Stelle de Dehnung ε in <..>. Es lässt sich zeigen, dass auch zwischen G und E eine Beziehung besteht (analog Gl. (6)): G E ( + µ ) (9) Kommenta: Von den vie Konstanten E, G, K, µ sind nu jeweils zwei unabhängig (vgl. die Gl. (6), (9) und analoge Zusammenhänge). Wi haben hie Spezialfälle betachtet Im allgemeinen Fall gilt: τ, σ Spannungstenso ε, α Vezeungstenso µ, E, K, G Elastizitätstenso 67

73 Wichtige Anwendung de Scheung: Dillung (vgl. <9.4.>) Mechanik Defomiebae Festköpe ϕ... Tosionswinkel De Scheungwinkel α fü ein bestimmtes Volumenelement des Mateials nimmt mit zu Fü kleine α gilt: ϕ α L (0) Wi betachten einen dünnen Hohlzylinde: Seine Vedillung liefet ein Rückstellmoment dm df () Die Kaft df df wid duch die Schespannung τ aufgebacht. Es gilt: τ df da G α (8) mit da π d sowie Gl. (0) folgt fü df: ϕ df G π d L () Damit ehalten wi fü das Rückstellmoment dm() des Hohlzylindes mit dem Radius : dm() π G ϕ L 3 d (3) Wi echnen jetzt mit Betägen 68

74 Wenn wi alle Teil-Hohlzylinde aufintegieen, folgt: R 4 Mechanik Defomiebae Festköpe π R * M dm() G ϕ D ϕ (4) L 0 mit: R... Radius des Vollzylindes D* ist das Richtmoment lt. Gl. (9 - ) In <9.> hatten wi nu gesagt, dass M D * ϕ. Jetzt wissen wi, wie D * von Geometie (R, L) und Mateial (G) abhängt.3. De gebogene Balken De Kümmungsadius R ändet sich längs des Balkens, wi betachten ein kuzes Stück, fü das R const. ist. Wi nehmen an, dass die neutale Fase in de Mitte liegt, dot sei z 0. Es gilt l(z) l 0 z + R R l(z) z + R l 0 R l(z) l(z) l l0 0 z R (5) In eine Fase im Abstand z von de neutalen Fase baut sich also die folgende Spannung auf: l(z) σ(z) E ε E l 0 Mit (5) folgt: σ( z) E z R (6) 69

75 Mechanik Defomiebae Festköpe Kommenta: Obehalb de neutalen Fase hescht Zugspannung, untehalb Duckspannung, vegleiche Vozeichenkonvention in <..>, die auch hie gilt. Blick auf einen Balkenqueschnitt: Das Flächenelement da dz dy efäht eine Kaft df σ(z) da Mit (6) ehält man: df E z R dz dy (7) Diese Kaft bewikt ein Dehmoment: dm z df dm E z dz dy R (8) Das gesamte in de Queschnittsfläche wikende Dehmoment folgt als: mit: M I E R gesamte Que schnittsfläche gesamte Que schnittsfläche z dz' dy' z dz' dy' I heißt Flächentägheitsmoment. (9) E E Es gilt: M I bzw. R I R M Kommenta: Ein äußees Dehmoment biegt den Balken; andeeseits wid duch eine von außen aufgepägte Biegung ein innees (entgegengeichtes) Dehmoment induziet. I ist fomal analog zum Tägheitsmoment bei de Rotation. Es bescheibt die Steifigkeit des Balkens (Beispiel: Doppel-T-Täge) 70

76 Mechanik Defomiebae Festköpe Gl. (9) zeigt: goßes M und/ode kleines I ( kleine Biegesteifigkeit) bewiken kleines R, d.h. goße Biegung. Das Gleichgewicht des duchgebogenen Balkens ist wiede gekennzeichnet duch: und Käftegleichgewicht Dehmomentengleichgewicht Wenn nicht F ges 0 und M ges 0 wäen, wüde Tanslation ode Rotation bewikt..4. Inelastisches Vehalten Beispiel fü ein eales Spannungs-Dehnungs-Diagamm (dennoch schematisch): σ P... Popotionalitätsgenze (HOOKE) σ E... Elastizitätsgenze σ F... Festigkeitsgenze Kommenta: fü σ P < σ < σ E keine Lineaität meh, abe noch keine bleibenden Vefomungen (gegebenenfalls dauet es eine Weile, bis alles zuückgeht) fü σ > σ E bleibende Vefomungen, die bei Entlastung nicht meh vollständig zuückgehen Die ε-wete in de Abbildung sind typisch fü viele Metalle. elastische Nachwikung / elastische Hysteese: 7

77 Mechanik Defomiebae Festköpe Kommenta: 0A eiche schon in den inelastischen Beeich. B... Restvefomung totz σ 0 C... notwendige Gegenspannung, um ε 0 zu eeichen Fläche innehalb de Kuve epäsentiet die bei einem Umlauf duch die Vefomung vebauchte ( in Wämeenegie umgewandelte) Enegie W: dw F dx F σ A l dx d( l) l d l dε l dw A σ l dε dw Vol. σ dε Zeiteffekte ichtige Festköpe sind Einkistalle. Sie haben definiete Genzen fü die Vefomung, Zeiteinfluss. Viele feste Köpe sind ungeodnet (amoph). Bei ihnen hängt die Vefomung auch von de Zeitdaue de Einwikung de Spannung ab: kuze Einwikung: elastisches bzw. spödes Vehalten lange Einwikung: plastisches Vehalten 7

78 Mechanik Flüssigkeiten. Flüssigkeiten In diesem Kapitel weden uhende Flüssigkeiten behandelt (sogenannte Hydostatik)... Einleitung Wi eden übe ichtige Flüssigkeiten, keine amophen Festköpe Atome sind fei gegeneinande veschiebba, an de Obefläche eine Flüssigkeit können keine Tangentialkäfte aufteten. Eine feie Flüssigkeits-Obefläche stellt sich senkecht zu Resultieenden alle Käfte ein. Beispiel: beschleunigt bewegte Tog M. a. W.: De Schubmodul eine idealen Flüssigkeit ist gleich Null. Beispiel: Gestalt von Flüssigkeitsobeflächen bei Rotation m/ ω x tan α m/ g dz dx dz... Steigung de OF-Kuve dx Kuve ist eine Paabel ω z x g.. Statische Duck Duck in de Flüssigkeit: F p () A Maßeinheit: N Pa 0-5 ba m SI zum Vegleich: atm 03 mba 760 To 73

79 Mechanik Flüssigkeiten De Duck in eine Flüssigkeit ist allseitig, d.h. wikt in alle Richtungen gleich. Kompessibilität: in völlige Analogie zu Gl. ( - 6) bildet man κ K V dv dp κ... Kompessibilität K... Kompessionsmodul () Es zeigt sich, dass fü fast alle Flüssigkeiten κ so klein bzw. K so goß ist, dass faktisch keine Kompimiebakeit besteht. Flüssigkeiten sind paktisch volumenstabil. hydaulische Pesse, Hebe, o.ä.: Felsbocken mit Masse M F M g p F A M g A wegen Allseitigkeit des Duckes muss nun auch gelten p m g A m A A M Beispiel 000 kg (Felsbocken) A /A /000 Masse m kg hält die Waage Ist de Enegiesatz veletzt? Wi ehöhen m um ein seh kleines m, so dass sich de kleine Kolben um h nach unten senkt. geleistete Abeit: Win h F h A F p A Win p () mit: A V... Flüssigkeitsvolumen h 74

80 Mechanik Flüssigkeiten Das Flüssigkeitsvolumen V stömt in den dicken Kolben und hebt diesen um h gegen die Kaft F : am Fels geleistete Abeit: Wout h F h A F p A Wout p () Wobei wiedeum A V ist. h Weil V in beiden Fällen gleich ist und p sowieso konstant, ist W in W out. Hydaulik spat Kaft und baucht meh Weg Goldene Regel de Mechanik. Die Enegie bleibt ehalten..3. Schweeduck Wi haben bis jetzt auße Acht gelassen, dass sich in eine Flüssigkeit ein Schweeduck aufbaut: Gewicht eine Flüssigkeitssäule (Queschnitt A, Höhe h, Dichte ρ) F G A h ρ g (3) Schweeduck p(h): p(h) F G A h ρ g (4) Schweeduck nimmt mit de Tiefe zu und hängt nu von de Tiefe ab, sofen ρ duckunabhängig ist, d.h. Inkompessibilität besteht. 3 kg Beispiel: Wasse ( ρ 0 ) 3 m 0 Pa ba atm po 0 m Tiefe, Kompessibilität κ 5 0 K In m Tiefe (bei 000 atm) ist Dichte nu um 5% ehöht Schweeduck und statische Duck wiken zusammen. Oft ist eine de beiden venachlässigba: Mee (s.o.) statische Luftduck venachlässigba Hydaulikanlage Schweeduck venachlässigba hydostatisches Paadoxon: De Bodenduck ist unabhängig von de Fom des Gefäßes. (nu abhängig von de Höhe) 75

81 Mechanik Flüssigkeiten Alle diese Gefäße haben gleichen Bodenduck Wenn wi die Gefäße unten vebinden (z.b. ein beeits gefülltes Vebindungsstück anfügen), wid sich wegen des einheitlichen Ducks in Bodennähe nichts änden. kommunizieende Gefäße haben gleiches Flüssigkeitsniveau Beispiele: Wassestandsanzeige: Schlauchwaage.4. Auftieb und Schwimmen quadefömige Köpe in eine Flüssigkeit, Höhe H, Gundfläche A: Schweeduck de Flüssigkeit in de Tiefe h betägt: p h ρ g (5) Fl auf obee Fläche wikt Kaft F h ρfl g A nach unten auf untee Fläche wikt F h ρ g A nach oben Fl In de Summe efäht de Köpe die Auftiebskaft F A F F A A F F ρ g ρ V Fl Fl g Volumen V (h - h H) A h h ( ) (6) Die Auftiebskaft entspicht dem Gewicht de vedängten Flüssigkeitsmenge. Die o.g. Heleitung ist zwa veeinfacht, Gl. (6) gilt abe fü beliebig gefomte Köpe. 76

82 Mechanik Flüssigkeiten Das Vehalten des Köpes wid von F A + FG bestimmt: F A < F G Sinken; Köpe ist schwee F A F G Köpe schwebt F A > F G Köpe schwimmt, d.h. e taucht nu soweit ein, wie nötig ist, damit F A F ist: G Also: Gewicht de vedängten Wassemenge Gesamtgewicht des Schiffes Stabilität: Schwepunkt S des Schiffes Angiffspunkt de Schwekaft Schwepunkt S F de vedängten Flüssigkeit Angiffspunkt de Auftiebskaft völlige Kentesicheheit nu, wenn S tiefe liegt als S F (schwee Kiel); ansonsten existieen unteschiedliche kitische Kippwinkel.5. Obeflächenspannung Expeimente zeigen: Flüssigkeiten sind bestebt, ihe Obefläche klein zu halten Deutung: gegenseitige Anziehung de Moleküle de Flüssigkeit, woduch diese zusammengehalten wid. Moleküle an de Obefläche efahen esultieende Kaft in die Flüssigkeit hinein Gummihaut Seiten eine Sache Enegiedeutung: Ausbildung eine chemischen Bindung bedeutet Enegieminimieung (Bindungsenegie wid fei). Moleküle an de Obefläche sind unvollständig abgebunden Obefläche ist enegetisch benachteiligt ( zusätzliche W ob ) Steben nach Minimieung de Obefläche Obeflächenenegie W ob ist popotional zu Obefläche: Wob σ σ A W ob A σ... spezifische Obeflächenenegie (7) 77

83 Mechanik Flüssigkeiten Maßeinheit: [σ] J m (Enegie po Fläche) SI Die spezifische Obeflächenenegie heißt auch Obeflächenspannung. Expeiment: Aufspannen eines Flüssigkeitshäutchens mittels Dahtbügel: Die mechanische Abeit W F ds (8) vegößet die Obeflächenenegie um W ob σ A A b ds Obeflächen σ b ds (9) W ob Gleichsetzung von (8), (9) F ds σ σ b ds F b (0) Wi können σ also auch als Zugkaft po Länge (in de Obefläche), also als sogenannte Linienspannung auffassen: Maßeinheit: [σ] N m N m... (Kaft/Länge) SI m J... (Enegie/Fläche), also identisch zu Gl. (6) m De Innenduck in eine Seifenblase: Eine Vekleineung des Radius um d eduziet die Obefläche OF eine Seifenblase um dof dof d d dof 8π d d 4π d ( ) 8π () Die Seifenblase hat eine äußee und eine innee Obefläche, dahe egibt das dof lt. Gl. () eine Reduzieung de Obeflächenenegie um dw ob 6π d σ () 78

84 Mechanik Flüssigkeiten Bei -Reduzieung muss abe gegen den Innenduck mechanische Abeit geleistet weden: dw F d dw 4π p d F Kugelobefläche 4π Kaft Kugelobefläche p (3) Im Gleichgewicht haben sich und p so eingestellt, dass dw dw ob ist. Gleichsetzung von () und (3) liefet p 4σ (4) Kommenta: p ist de in de Blase gegenübe de Umgebung heschende Übeduck p wächst mit zunehmendem σ und abnehmendem Entspechend Gl. (4) hescht auch in jede einfachen, nach außen mit Radius gekümmten Obefläche ein Duck: p σ (5).6. Fest-flüssig-Genzflächen.6.. Benetzung Wi betachten jetzt 3 Phasen: Festköpe, Flüssigkeit, Gasphase (Luft + Dampf de Flüssigkeit + Dampf des Festköpes). Einstellen des Gleichgewichts an eine senkechten Wand in eine Flüssigkeit bedeutet Einstellung eines Randwinkels θ so, dass σ (6) ffl + σfld cos θ σfd (YOUNGsche Gleichung) De gezeichnete Fall ist de de Benetzung (θ < 90 σ fd > σ ffl ) 79

85 Mechanik Flüssigkeiten andee Möglichkeit: Nichtbenetzung (θ > 90 σ fd < σ ffl ) Wenn nun selbst θ 0 nicht eicht, um σ fd zu kompensieen, gilt σ fd > σ fld + σ ffl Dann findet vollständige Benetzung statt, d. h. die Flüssigkeit kiecht als seh dünne Schicht ganz die Wand hoch; θ 0 ; σ fd ist unendlich goß. ähnlich beim Topfen auf eine Obefläche: Benetzung ist wichtig Waschmittel (Reinigungswikung) Spülmittel ( ohne abzutockenen ) Benetzung Gefiede de Wassevögel selbsteinigende Obeflächen Nichtbenetzung.6.. Kapillaität In seh dünnen Röhen steigen Flüssigkeiten höhe als in ihe Umgebung. Zu Deutung nehmen wi veeinfachend an, dass vollständige Benetzung voliegt, d.h. θ 0 ist. (Ansonsten titt diese Effekt auch auf, abe nicht so ausgepägt.) veschiedene Deutungen möglich (mehee Seiten deselben Medaille): a) Die zusätzliche Flüssigkeitssäule mit F G π h ρ g hängt an ihe Randlinie (Länge π) mit de Linienspannung σ fest. Infolge diese Spannung titt eine Haltekaft F auf: F π σ 80

86 Die Haltekaft kompensiet das Gewicht de zusätzlichen Flüssigkeitssäule: Mechanik Flüssigkeiten π hρg h πσ σ ρg (7) Also: Effekt umso göße, je göße σ ist und je kleine und ρ sind. b) De Schweeduck de Zusatzsäule ist p s Gewichtskaft Gundfläche π hρg π hρg E wid kompensiet duch den negativen Duck (d.h. Zug) de hie konkav gewölbten Obefläche lt. Gl. (5), also σ hρg Gl. (5) Gl. (7) c) Man ehält ebenfalls das gleiches Egebnis, wenn man alle Enegien betachtet (Obeflächenenegien, E pot de Säule, usw.) und das Minimum sucht. Im nichtbenetzendem Fall (z.b. Glas/Hg) titt Kapilladepession auf: 8

87 Mechanik Gase 3. Gase 3.. Kompessibilität Expeiment: Egebnis: p V const. (bei konst. T) () (Gesetz von BOYLE-MARIOTTE) bzw. const. V p nach Ableitung folgt dv const V :V dp p p dv V dp p κ K ( -) Also: Kompessibilität... κ (plausibel) () K p gegeben: Gas de Masse M im Volumen V fü Massendichte ρ gilt mit Gl. () M ρ V p V const. p ρ M const. ρ ρ ~ p bzw. const p (3) 8

88 Mechanik Gase 3.. Schweeduck in Gasen vgl. <.3.>: Schweeduck in Flüssigkeiten (dot: Inkompessibilität) Bei Gasen jedoch Kompessiblität Dichte in jede Höhe wid von de daübe liegenden Säule bestimmt Gl. ( - 4) gilt nu noch fü Säule mit infinitesimale Höhe dh: dp ρ(h) g dh (4) ρ Lösung de Diffeentialgleichung (4): Wi wissen aus Gl. (3), dass const p ist. Dies gilt gilt auch fü die Edobefläche (Index 0) bzw. jede beliebige Höhe h: ρ ρ const p p0 (h) p(h) 0 ρ (5) Mit Gl. (5) wissen wi nun, dass ist, also ρ ρ(h) 0 p(h) p 0 ρ dp p 0 0 p(h) g dh (4 ) Gl. (4 ) umgestellt liefet: p(h) dp p(h' p 0 ) p(h) ln p 0 p(h) ρ p 0 0 g h 0 ρ0 g h p p 0 0 e ρ0 g h p0 dh' (6) Dies ist die baometische Höhenfomel. Das negative Vozeichen gilt wegen de p-abnahme mit h-zunahme. - In <.> wa dies bedeutungslos 83

89 Mechanik Gase Kommenta: Wenn wi die ichtigen ρ 0, p 0, g einsetzen, folgt, dass p(5500 m) 0,5 p 0 ist. Außedem füht jede weitee Vedopplung von h zu eine Halbieung von p np n (Potenzgesetz ( a ) p a ). Innehalb de Höhenbeeiche, in dem p faktisch 0 wid, daf g const. betachtet weden. Gl. (6) gilt fü T const. 84

90 Mechanik Stömende Flüssigkeiten und Gase 4. Stömende Flüssigkeiten und Gase 4.. Vobemekungen Es gibt viele Analogien zwischen Flüssigkeiten und Gasen (wegen de feien Veschiebbakeit de Teilchen); Hauptunteschied liegt in de Kompessibilität jedoch: Bei v << v Schall vehalten sich auch stömende Gase paktisch inkompessibel, d.h. es efolgt kein Aufbau von Duckwellen. Dahe im folgenden Annahme eines inkompessiblen Fluids. Bescheibung von Stömungen nach EULER ( ) anhand des Geschwindigkeitsfeldes v( ). Sondefall: v( ) zeitlich const. stationäe Stömung stationäes Stömungsfeld beschieben duch Stomlinien: Stomöhe Bündel von Stomlinien Tangente an de Stomlinie Richtung von v Dichte de Stomlinien Betag von v Die Abbildung zeigt, dass po Zeiteinheit t ein stömendes Volumenelement V an jede Stelle de Stomöhe konstant ist V V & A v const. (innehalb de Stomöhe) () t V &... Volumenstom Gl. () heißt Kontinuitätsgleichung: Wenn in de Stomöhe kein Medium ezeugt ode venichtet wid, muss I konstant bleiben und v sich entspechend A einstellen. Kommenta: Hie ist die Quellen- und Senkenfeiheit eigentlich fast selbstveständlich (ein Beispiel fü eine Ausnahme wäe eine chemische Reaktion im stömenden Gas, die das Volumen veändet). In de Elektodynamik ist das andes, obwohl ansonsten viele Analogien existieen 85

91 Mechanik Stömende Flüssigkeiten und Gase 4.. Innee Reibung... in stömenden Medien Beispiel: Löffel aus Honig heausziehen Geschwindigkeitsübegang... von v 0 (entfent vom Löffel) auf v v Löffel (an de Löffel-Obefläche) Es zeigt sich, dass fü die Reibungskaft F R gilt dv F R ~ A dx mit: A... Wechselwikungsfläche dv F R η A dx mit: η... Viskosität, dynamische Zähigkeit F dv τ R R η A dx τ R... Reibungs-Schubspannung; viskose Schubspannung () (3) Maßeinheit: [η] N s m SI Gl. (), (3) heißen NEWTONsches Gesetz de inneen Reibung. Beispiele: Substanz h in Nsm - Glycein 0 C,53 H O 0 C 0,008 0 C 0, C 0,0003 (typisch: Abnahme mit steigendem T) Luft 0 C 0,0000 H 0 C 0,0000 dv Vozeichen in Gl. () stimmt, da < 0 dx 86

92 Mechanik Stömende Flüssigkeiten und Gase Deutung: Übewindung de Potentialhügel beim Gegeneinande-Veschieben de Flüssigkeitsschichten Stömungen, deen Vehalten duch die innee Reibung bestimmt ist, d.h., bei denen sich nicht vemischende Schichten des Mediums gegeneinande veschoben weden, heißen laminae Stömungen Beispiele fü laminae Stömungen Laminae Rohstömung Die Flüssigkeit haftet an de Wand und hat in de Mitte des Rohes maximale Geschwindigkeit Wi betachten nun einen Flüssigkeitszylinde um die Rohachse: An de Mantelfläche wikt die Reibungskaft (mit Gl. ()) F R πl η dv d ( A Mantel ) (4) Auf seine Gund- und Deckflächen wikt die Netto-Duckkaft Fp π (p p ) ( A Gund/Deck ) (5) F p teibt die Flüssigkeit voan und übewindet genau F R : F p F R. 87

93 Mechanik Stömende Flüssigkeiten und Gase aus (4), (5) ehalten wi dv p p d ηl und nach Integation v() p 4ηl ( R ) (6) Dies ist ein paabolisches Geschwindigkeitspofil v() A - B, wie in de Skizze schon gezeigt. Inteessant ist die Duchflussmenge V & (Volumen/Zeit) bei gegebenen p, η, R. Wi betachten einen Hohlzylinde mit de Dicke d: De Volumenstom im Queschnitts-Flächenelement da ist dv dt Fl. Element (dz da dv) dz da v() π d dt Gesamt-Volumenstom im Roh duch Integation übe alle Flächen-Elemente: R V& v() π d mit v() lt. Gl. (6) folgt 0 V& π p R 8ηl 4 (7) Dies ist das HAGEN-POISEUILLEsche Gesetz. Kommenta: Radius geht mit 4. Potenz ein Gl. (7) stellt das OHMsche Gesetz fü die laminae Rohstömung da: I V & U R Tiebkaft (Stömungs)Widestand p 8ηl 4 πr 88

94 Mechanik Stömende Flüssigkeiten und Gase Laminaes Umstömen eine Kugel An diesem Beispiel soll eine in de Stömungsmechanik häufig vewendete, seh nützliche Betachtungsweise eläutet weden: die Unteteilung in einen Nahbeeich, in dem das Fluid anhaftet, und den unbeeinflussten Außenbeeich de Stömung. Expeiment: Wi ziehen eine Kugel mit de Geschwindigkeit v duch eine Flüssigkeit. Nahe Kugel-Obefläche ist Stömungsgeschwindigkeit v (Anhaften de Flüssigkeit) In einige Entfenung von de Kugel uht die Flüssigkeit ( mekt nichts ) dv v ; Wechselwikungs-Fläche A Kugel-OF 4π d Damit egibt sich fü Gl. () F R F R η A 4πη dv dx v η 4π v Die ungleich schwieigee koekte Heleitung liefete F R 6πηv (3-9) 4.4. Tubulente Stömungen, Ähnlichkeit, Stömungsgenzschicht Expeiment zeigt: Bei bestimmte Geschwindigkeit bicht laminae Stömung zusammen: Wibelbildung; Nichtlineaität, chaotisches Vehalten Tubulenz Es zeigt sich, dass v kit in Abhängigkeit von ρ... Dichte η... Viskosität l... Abmessung (z.b. Kugel-Duchmesse) unteschiedliche Wete annehmen kann also: entscheidend ist nicht v, sonden eine Göße Re ρ v l Re (8) η Re... REYNOLDsche Zahl Die hie betachete "-Umgebung" ist nicht identisch mit de Genzschichtdicke in <4.4>. 89

95 l ist eine typische Abmessung des stömenden Systems. Re ist dimensionslos: Mechanik Stömende Flüssigkeiten und Gase Maßeinheit: kg m m m s [Re] 3 SI m s kg Re hat die physikalische Bedeutung des Quotienten aus kinetische Enegie und Reibungsenegie. Bei einem bestimmten Re schlägt die Stömung um. De Übegang ist jedoch nicht schaf, sonden ein Beeich (z.b. Re ) Günde: Einfluss de Obeflächen-Rauheit, u.ä. Stömung kann instabil-lamina sein (gewisse Analogie zu untekühlten Flüssigkeit) Stömungen mit gleiche Re sind ähnlich Modellieung im Wind- ode Stömungskanal kleines l (Schiffsmodell) Anpassung von v sowie gegebenenfalls ρ, η damit gleiches Re heauskommt. Stömungsgenzschicht: Fluid haftet an umstömten Obeflächen (Kugel, Rohwandung), d.h. v 0, und gleicht sich dann allmählich an die in einige Entfenung heschende ungestöte Stömung an. Beispiel: Fluid an eine Wand Heausziehen eine Platte aus uhendem Fluid Die beiden dagestellten Fälle sind völlig analog Deswegen ist die Fage Was ist die typische Länge bei eine bestimmten unegelmäßigen Fom? auch nicht so kitisch 90

96 Mechanik Stömende Flüssigkeiten und Gase Übegangsbeeich wid duch Genzschicht definiete Dicke D mit lineaem Geschwindigkeitsübegang angenähet (s. Abbildung zu bewegten Platte): v(x) x v 0 fü x < D D 0 fü x D (9) Mit Gl. (9) veeinfacht sich das NEWTONsche Reibungsgesetz (Gl. ()) zu F R v0 η A D dv ( - ) dx (0) Um die Platte heauszuziehen, muss stetig eine Kaft F - F R aufgewandt weden. Diese füht lt. Gl. (3-6) zu einem Impulsübetag an das Fluid: dp F dt (3-6) Wenn F - F R die Zeit t lang wikt, wid übetagen: p F t F R ( v 0 t l... heausgezogene Länge) v0 t +η A t D () p findet sich im Fluid wiede, das - in seinen einzelnen Schichten unteschiedlich beschleunigt wude: Aufintegation des im Fluid steckenden Impulses: p D 0 p ρ A v(x) dm D 0 v(x) dx dm ρ dv ρ A dx x v(x) v0 lt. Gl. (9) D x p ρ A v0 dx D p ρ A v 0 D 0 D () 9

97 Wegen de Impulsehaltung müssen () und () gleich sein Mechanik Stömende Flüssigkeiten und Gase mit η A D l D ηl ρ ρ A v v 0 0 D (3) D ist die Dicke de (PRANDTLschen) Stömungsgenzschicht. Kommenta: Gl. (3) ist eine Näheung, gibt die Tendenz de Abhängigkeit von η, l, ρ, v 0. l hat die Bedeutung eine chaakteistischen Länge. Die Annahme, dass v(x) linea ist, gilt natülich besondes fü D << l, wenn das Fluid nu eine goße ebene Wand sieht : D ηl ρ << l [ ] v 0 η l << ρ l ρv 0 η ρv l << 0 Re (8) η v 0 Also: Die Näheung des lineaen v(x)-velaufs gilt fü goße Re, wo unte Umständen beeits Tubulenz auftitt. Bedeutung de Stömungsgenzschicht a) als Modell: b) physikalisch: Duch das Anhaften de Stömung wid de Tanspot beeinflusst: Feuchtigkeit, Wäme usw. müssen duch D hinduch diffundieen; die Möglichkeiten des zwangsweisen Anode Abtanspots enden am Genzschichtand. Jedoch: goßes v 0 kleines D Tanspot eleichtet 4.5. Reibungsfeies Fluid: BERNOULLIsche Gleichung Wi betachten jetzt ein eibungsfeies Fluid, d. h. eine existieende Duckdiffeenz (p p ) wid nicht zu Aufechtehaltung de Stömung benötigt. 9

98 Mechanik Stömende Flüssigkeiten und Gase Das Roh weise eine Veengung auf: Wegen de Gültigkeit de Kontinuitätsgleichung (Gl. ()) ist V V& A v A v t const. ( ) Im Beispiel lt. Abbildung nimmt v zu Ebenfalls veändet sich an de Veengung de Duck von p auf p : Duckabeit links: Duckabeit echts: W pa x p ( F ) W pa x p ( F ) V V W wid zum Teil vewendet, den Duck p zu übewinden, also W zu leisten. De Rest ( W - W ) wid zu Beschleunigung des Fluids aufgewendet: W W (p p ) V ρ V (v v ( m) ) (4) nach Umstellung folgt p ρ veallgemeinet ρ + v p + v ρ p + v p ges const. (5) Dies ist die BERNOULLIsche Gleichung. 93

99 Mechanik Stömende Flüssigkeiten und Gase ρ v hat die Dimension eines Duckes und heißt Stauduck. p heißt statische Duck. Kommenta: Fü v 0 ist p p ges, de (maximale) statische Duck. Mit zunehmendem v sinkt p. Bei p 0 ( ducklose Ausfluss ) wid de Stauduck maximal. Wid v eduziet, baut sich wiede zunehmende p auf. Bishe betachtet: Waageechte Stömung, d.h. potentielle Enegie im Edschweefeld wa konstant. Wenn wi unteschiedliche Höhen einbeziehen wollen, müssen wi noch den Schweeduck ρ g h beücksichtigen und ehalten: ρ p + v + ρ g h p ges const. (6) Dies ist die veallgemeinete BERNOULLIsche Gleichung. Die BERNOULLIsche Gleichung ist de Enegiesatz (bezogen auf das Volumen) fü das Fluid. Diesbezügliche Bedeutung de einzelnen Gliede: m ρgh g h V m ρ V v v A x p p V E pot (Schweeduck) V E kin V (Stauduck) Duckabeit V (statische Duck) Beispiele zu BERNOULLIschen Gleichung hydodynamisches Paadoxon Bunsenbenne Wassestahlpumpe Zestäube "v p " Kavitation: Wi betachten Gl. (5) und fomen um p ges v entspicht p 0 ρ p ges v > entspicht einem statischen Duck p < 0 ρ kg m m N Kaft kg m s s m m Fläche kg m m N Kaft Dimension von ρ g h : kg 3 m s s m m Fläche 94

100 Mechanik Stömende Flüssigkeiten und Gase Dies unte Umständen leicht eeicht, z.b. bei H O fü v 4m s - Bildung von Dampf-/Gasbläschen (z.b. vedampfte Flüssigkeit) die bei Reduzieung von v implosionsatig zusammenbechen Duckwellen Mateialzestöung (Kavitation) Dynamische Auftieb: Infolge de Anfahtswibel entsteht Tagflächenumstömung: v o > v u p o < p u Auftieb 4.6. Stömungswidestand... kann übe die BERNOULLIsche Gleichung vestanden weden: a) langsame Stömung völlig symmetisches Bild v-veteilung vo und hinte de Kugel gleich keine esultieende Kaft b) schnelle Stömung Bildung von Wibeln hinte dem Hindenis: v hinte de Kugel ehöht (Die unegelmäßige Richtung von v spielt keine Rolle, die BERNOULLIsche Gleichung ist eine Enegieangelegenheit) statische Duck p hinte de Kugel ist eduziet Kaft, die die Kugel miteißen will Diese Duckwidestandskaft ist dem Stauduck popotional. Kommenta: ( Stauduck) F c w ρv A A... Queschnittsfläche c w... Widestandsbeiwet Wi sind wiede ein mal am Rand de Gültigkeit des Modells. Die Initiieung des Wibelfeldes setzt natülich Reibung voaus, wenn auch dann die Agumentation wiede auf de BERNOULLIschen Gleichung beuht. (7) 95

101 Mechanik Stömende Flüssigkeiten und Gase Deutung: Stauduckabhängigkeit (Stauduck koeliet mit E kin, s.o.) deshalb, weil infolge Wibelbildung diese E kin de Kugel nu von von, nicht auch von hinten zugefüht wid esultieende Kaft c w ist abhängig von de Köpefom. Beispiele (Stömung von links):,35, 0,40 0,056 (PKW 0,5... 0,50) 96

102 Mechanik Schwingungen II 5. Schwingungen II vgl. hiezu auch <6..> Fedeschwinge 5.. D-Übelageung von Schwingungen Wi wissen, dass die Gesetze de Mechanik fü jede Dimension einzeln gelten und sich die Bewegungen dann übelagen. Beispiel: Schwingungen mit ω x ω y ohne Phasenveschiebung (Kuve a): in x-richtung: x(t) in y-richtung: y(t) A sin ωt A sin ωt mit Phasenveschiebung π (Kuve b): in x-richtung: (t) in y-richtung: y(t) x A sin( ωt + π ) A cos ωt A sin ωt mit beliebige Phasenveschiebung: alle Übegänge Linie Ellipse Keis Schwingungen nun mit ω x ω y : ω n fü ationales x : geschlossene Kuven (LISSAJOUS-Figuen) ode in ωy m sich zuücklaufende Linien (analog de Geaden (n, m natüliche Zahlen) fü ω x ω y ) fü iationales ω x : vollständiges Übesteichen de Fläche ω y 5.. Schwebungen Übelageung zweie gleich geichtete Schwingungen mit nahezu deselben Fequenz: xˆ (t) xˆ xˆ (t) (A iωt i( ω+ε)t (t) + xˆ (t) A e + A e iεt iωt + A e ) e  Eine Schwingung mit Fequenz ω und eine zeitlich veändelichen komplexen Amplitude  () () 97

103 Mechanik Schwingungen II Realteil de Schwingung: x (t) Re{xˆ (t)} (3) Beispiel: Schwingungen mit gleiche Amplitude bei nahezu gleiche Fequenz x (t) A cos ωt x (t) A cos( ω + ε) t x (t) A cos ( ω + ε )t cos ( ε )t x (t) x (t) + Realisieung: z.b. Übelageung zweie fast gleich hohe Töne (schlecht gestimmtes Instument) 5.3. Die FOURIER-Analyse gegeben: Schwingung beliebige zeitlich peiodische Vogang, d.h. x (t) x(t + T) T... Peiodendaue Die Abbildung zeigt den allgemeinen Fall. Nicht alle Schwingungen sind hamonisch 98

104 Mechanik Schwingungen II FOURIER (8): Jede zeitlich peiodische Funktion mit de Peiodenlänge T lässt sich aus hamonischen Schwingungen aufbauen (FOURIER-Reihe). π x (t) x(t + T) ; ω πν T (t) x + x cos( ωt + ϕ ) + x cos (ωt + ϕ ) +K x 0 x(t) n 0 bzw. in komplexe Fom: x n cos (nωt + ϕn ) (4) xˆ (t) n 0 xˆ in t n e ω (4 ) Beispiel: Gleiche Töne bei unteschiedlichen Musikinstumenten untescheiden sich in ihen Obetönen, d.h. den Glieden de Fouieeihe mit n >. 99

105 Mechanik Schwingungen II 5.4. Gekoppelte Schwinge z.b. gekoppelte Pendel ode gekoppelte Fedeschwinge (Luftkissenbahn): Gegeben sind: Fedeschwinge im entspechenden Zustand + Vebindungsfede passende Länge, so dass alle 3 Feden gleichzeitig entspannt sind: ohne Vebindungsfede gilt z.b. fü m : d D x + m x dt 0 (6 - ) nunmeh noch zusätzliche Fedekaft, die von x - x abhängt : F * (x x ) D * (5) Wenn x x ist, hat die Fede ihe Gleichgewichtslänge und übt keine Kaft aus Diffeentialgleichungen * d fü m : D x + D (x x ) + m x 0 dt * d fü m : D x + D (x x) + m x 0 dt Dies ist ein System von gekoppelten Diffeentialgleichungen. (6) Bescheibung de Lösung: Fundamentallösungen a) beide Feden schwingen paallel, Fede wid nicht beanspucht (wie beim Einzelpendel): b) beide Feden schwingen gegeneinande (diese Schwingung ist schnelle, wegen de Zusatzfede): ω 0 ω 0 D m D + D m * Allgemeine Fall Lineakombination beide Lösungen ( mathematische Aussage ) Vozeichen: Fü x < x ist x - x > 0 F * wikt in gleiche Richtung ( dückt ) wie F bei x > 0 00

106 Mechanik Schwingungen II Nun sehen wi uns die Physik an: Hin- und Hefluten de Schwingungsenegie Schwebung Dies beeinflusst von de Stäke de Kopplung, d.h. D * > < D Fü veschwindende Kopplung ehält man eine Lösung, die <5..> entspicht. (Dot hatten wi ja die Übelageung zweie unabhängige Schwingungen betachtet) 5.5. Ezwungene Schwingungen Die Diffeentialgleichung fü den feien gedämpften Schwinge lautete: D x + k x& + m & x 0 Fede- Reibungs- Tägheitskaft (6-6 ) Jetzt vesuchen wi, diesen Schwinge duch eine peiodische äußee Kaft F zum Schwingen anzuegen: F F0 cos ωt (7) damit folgt fü Gl. (6-6 ): D x + k x& + m & x F0 cos ωt (8) Man könnte vemuten, dass das System bestebt ist, mit de Fequenz ω GS des gedämpften Schwinges zu schwingen: ω GS D m k m (6- ) Efahung zeigt jedoch: nach gewisse Zeit (Einschwingzeit) efolgt Schwingung gemäß: x x 0 cos( ωt α) (9) Also: Mit Anegungsfequenz ω, abe gegenübe F um α pasenveschoben. (9) in (8) liefet: 0 ω Dx cos( ωt α) kωx 0 sin ( ωt α) mω x 0 cos( ωt α) F0 cos t (0) allgemein: Rückstellkaft 0

107 Mechanik Schwingungen II Betachtung von Gl. (0): sin und cos sind stets welche Gliede von Bedeutung sind, wid duch die Vofaktoen entschieden. a) ω << D. Fü diesen Fall folgt aus Gl. (0): m Dx cos( ωt α) F0 cos 0 ω t F0 x 0 D ; α 0 b) ω >> D. Fü diesen Fall folgt aus Gl. (0): m mω x 0 cos( ωt α) F0 cos ωt 0 x 0 c) Wi betachten F ; α π (weil cos( ω t α) cos ωt ist) mω π α. Fü diesen Fall ist: x& π ωx 0 sin ωt +ωx 0 cosωt ~ F Also: x& und F sind in Phase maximale Enegieeintag Leistung: Abeit/Zeit P da dt J F dx dt F x& [P] W... Watt SI s () 0

108 Mechanik Schwingungen II Die äußee Kaft leistet: P a F x& F cosωt F 0 x& ωx 0 cos ωt P a F ωx 0 0 cos ωt () Die Reibungskaft vebaucht an Leistung: PR F R x& mit de Beziehung F R k& x folgt PR kω x 0 cos ωt (3) Fü P a P R folgt aus () und (3): F 0ωx 0 kω x 0 π F0 x 0 α (4) kω Fü diesen Fall sind das Reibungsglied und das Glied de äußeen Kaft in Gl. (0) einande gleich, d.h., das Tägheits- und Rückstellglied müssen sich zu Null egänzen. Aus Gl. (0) folgt dann: Dx π cos ωt mω π cos ωt 0 x 0 0 π D ω α ω (Fequenz des ungedämpften Schwinges) (5) m 0 Also wa auch das ω in Gl. (4) identisch mit ω 0 x 0 α π F 0 kω 0 (4 ) Diskussion: π Fü ω ω 0 ist α maximale Enegieeintag, maximales x 0 (ω) Dieses maximale x 0 steigt mit veingete Dämpfung Resonanzkatastophe 03

109 Mechanik Wellen 6. Wellen 6.. Einleitung Beispiele: gekoppelte Pendeleihe Wellenmaschine Seilwelle (hin und he) Was passiet? Das schwingende Medium/Teilchen bewegt sich nicht fot, sonden schwingt um eine Ruhelage. Was sich fotbewegt/ausbeitet, ist de Schwingungszustand. expeimentelles Modell: Welle äumliche Ausbeitung eines Schwingungszustandes Welle in x-richtung: v Ph Geschwindigkeit de Bewegung de Wellenbege, -täle usw. Wie dückt man das mathematisch aus? Offenba ist und zwa genaue y f (x, t) y (x, t) f (x vph t) v Ph...Phasengeschwindigkeit, die Ausbeitungsgeschwindigkeit de Welle () Plausibilitätsekläung:. Momentaufnahme bei t 0:. Zustand zum Zeitpunkt t t : Also: Fü jeden Punkt x ist y jetzt so, wie vohe um v Ph t weite links 04

110 Mechanik Wellen De Schwingungszustand y(x, t) ist also nicht von x und t einzeln abhängig, sonden von de Kombination x - v Ph t. Dies ist die Phase de Welle, sie bestimmt y eindeutig. (Eigentlich ist dies einfach Ausduck de Tatsache, dass sich de Schwingungszustand mit v Ph bewegt und dabei nicht veändet.) Gl. () bescheibt eine Welle allgemein. Diese können auch nichtpeiodische Wellen sein (z. B. Seilwelle, Stoßwelle) Die gößte Bedeutung haben hamonische Wellen (sin, cos), auf die wi uns im Folgenden konzentieen: v Ph fü eine hamonische Welle ist v Ph λ T λ ν ω πν λ v Ph ω () π Man definiet die Wellenzahl k k π (3) λ (3) in () liefet somit v Ph ω k (4) Wie gleich plausibel gemacht wid, lautet die Wellenfunktion fü eine hamonische Welle in x-richtung y(x, t) y0 sin ( ωt kx) (5) Plausibilitätsekläung: Offenba ist de Schwingungszustand eindeutig festgelegt duch ω t kx. Dann muss das abe auch de Fall sein fü ( ωt kx) k ω x t k x v t Ph Das Agument de Sinusfunktion (Gl. (5)) dückt dasselbe Wechselspiel zwischen äumliche und zeitliche Bewegung aus wie Gl. () 05

111 Mechanik Wellen 6.. Wellengleichungen Wie sieht die Diffeentialgleichung aus, de eine Welle gehocht? Im eindimensionalen Fall, also fü y f(x, t), lautet sie: t y v Ph y x (6) Dies ist die d ALEMBERTsche Wellengleichung. Diese Gleichung wid von jede Funktion y f(x ± v Ph t), also von jede allgemeinen Wellenfunktion nach Gl. () efüllt, nicht nu von Funktionen lt. Gl. (5) fü hamonische Wellen Andeutung des Beweises: f (x ± v t f (x ± v x Ph Ph t) t) f (x ± v (x ± v f (x ± v (x ± v f (x ± v (x ± v Ph Ph Ph Ph Ph Ph t) (x ± v t) t t) ( ± v t) Ph ) Ph t) (x ± v t) x Ph t) t) (7) (8) aus (7) und (8) folgt somit f t ± v Ph f x (9) Leitet man Gl. (9) auf beiden Seiten noch einmal ab, ehält man Gl. (6) Aten von Wellen Schwingung que zu Ausbeitungsichtung Tansvesalwellen (z. B. bestimmte elastische Wellen in Festköpen; elektomagnetische Wellen) Schwingung längs zu Ausbeitungsichtung Longitudinalwellen (z. B. bestimmte elastische Wellen in Festköpen; Schallwellen in Gasen und Flüssigkeiten) Tansvesalwellen: Die Fomulieung Schwingung Ausbeitungsichtung ist nicht eindeutig 06

112 Mechanik Wellen Entscheidend ist die Lage de Schwingungsichtung/-ebene: konstante Lage linea polaisiete Welle gleichmäßige Dehung zikula (elliptisch) polaisiete Welle ansonsten: nicht polaisiete Wellen Wellen sind eine seh allgemeine Escheinung (definiet übe Gl. (), (6)): Seilwellen, Wellen in Membanen,... Meist jedoch betachtet: Wellen im Volumen (Festköpe, Gas, Flüssigkeit, Vakuum). Physikalische Natu de Wellen kann veschieden sein: elastische Wellen, Schallwellen, elektomagnetische Wellen,... Obeflächenwellen in Flüssigkeiten: Teilchen bleiben paktisch am Ot, was sich bewegt, ist de Bewegungszustand (also wie bei allen Wellen) Wasseteilchen fühen keisende Bewegung aus Im Pinzip seh komplexe Escheinung, da beeinflusst von de Wassetiefe, dem Wind, de Obeflächenspannung Oben: Teilchengeschwindigkeiten in de Wassewelle, die de mitfahende Beobachte feststellt. Mitte: Teilchengeschwindigkeiten, die de uhende Beobachte in seinem System konstuiet. Unten:Obitalbewegung de Teilchen an de Obefläche. ({}, S. 84) Unteteilung de Wellen nach de Geometie ihe Ausbeitung (geometische Ot de Punkte gleiche Phase Wellenfont): ebene Welle Zylindewelle/Keiswelle Kugelwelle 6.4. Wellenausbeitung in veschiedenen Medien elastische Longitudinalwelle im Festköpe Elastische Welle ist ein ständiges Wechselspiel von Dehnung (Auslenkung) und Spannung. Koodinate: Auslenkung: x ξ ξ(x) 07

113 Wenn sich zwischen x und x + dx die Auslenkung ändet (d.h. ξ + dξ), heißt das, dass dot eine elastische Spannung hescht: Mechanik Wellen σ ξ E x ε (vgl. <..>) (0) Wi betachten ein Volumenelement im Festköpe: Hinweis: Wi kümmen uns nicht um Quekontaktion, betachten also eine sogenannte ebene Welle, die unendlich beit ist. σ σ( x + dx) σ(x) + dx x () Auf das Volumenelement dv A dx wikt nu die Diffeenz de Spannungen bzw. Käfte also: links wikt Fl echts wikt F σ( x) A σ σ( x + dx) A σ(x) A + dx A ( ) x Die wiksame Nettokaft ist: bzw. mit Gl. (0) σ df dx A x dv ξ df E dv x () Die Kaft füht zu eine Beschleunigung de in dv veköpeten Masse dm ρ dv: ξ df dm t (3- ) bzw. ξ df ρ dv t (3) 08

114 Mechanik Wellen Gleichsetzung von () und (3): ξ E ξ t ρ x (4) Dies ist de hie gültige Sondefall von Gl. (6) Vegleich mit Gl. (6) liefet: mit: v E Ph (5) ρ v Ph... Geschwindigkeit de longitudinalen Schallwelle im Festköpe also: Goßes E / kleines ρ bedeutet goße Schallgeschwindigkeit elastische Tansvesalwelle im Festköpe Heleitung völlig analog zu <6.4..>, abe wegen Quedefomation ist G statt E zu vewenden: v G Ph (6) ρ Schallwelle in Gasen (ode Flüssigkeiten)... ist stets longitudinal ("Schemodul G 0 ) Hie wiedeum (weitgehend) analoge Heleitung, wobei anstelle von E de Kompessionsmodul K zu vewenden ist. Man ehält: K v Ph (7) ρ κ ρ Aus Gl. (3 - ) wissen wi, dass fü Gase K p ist (je göße p, desto schwee ist Gas kompimieba). Nu fü Gase (und nicht fü Flüssigkeiten) gilt deswegen : v p Ph (7 ) ρ Das Poblem de adiabatischen Zustandsändeung bei Gasen wid hie zunächst venachlässigt (Gl. (7 ) liefet eigentlich fü v khz um einen Fakto 7 5 zu geinge Wete, vgl. <0.4.>). 09

115 Beispiele: Mateial v Ph (longitudinal) H (0 C) 84 m s - Luft (0 C) 33 m s - ( 4, ) Wasse (0 C) 40 m s - (4fache Wet von Luft) Mechanik Wellen Al (0 C) 640 m s - (ρ,7 g cm -3 ) Ti (0 C) 6070 m s - (ρ 4,5 g cm -3 gößees E) Pb (0 C) 960 m s - (ρ,3 g cm -3 geinges E) Diamant 7000 m s - Spitzenwet 6.5. Übelageung von Wellen; Guppengeschwindigkeit Wellen übelagen sich ungestöt (ungestöte Supeposition). Mathematisch steckt das in de Lineaität de d ALEMBERTschen Wellengleichung (Gl. (6)) : y (t) ist Lösung y (t) ist Lösung Lineaität von Gl.(6) y (t) + y (t) ist auch Lösung Voaussetzung: Auslenkung geing genug, damit die physikalischen Voaussetzungen noch stimmen, z.b. σ ~ ε (Gl. (0)), also HOOKEsches Vehalten, o.ä. Wellen können sich beim Übelagen vestäken ode schwächen (gegebenenfalls auslöschen). Beispiele: Chladnische Klangfiguen Rubenssches Flammenoh Kundtsches Roh Stehende Wellen: Übelageung hin- und helaufende Wellen so, dass sich de Schwingungszustand ga nicht meh äumlich ausbeitet. Wenn man abe - auch bei eine tansvesalen stehenden Welle - etwas dazwischenschiebt, bicht die Welle ab. Es ist eben doch ein Hin und he, wenn auch ein seh spezielles Stehende Wellen haben goße Beduetung: Akustik, Lase, Quantenmechanik... beühmte Ausnahme: Wechselwikung seh intensive Lasestahlung mit Mateie Die stehenden Wellen sind spezielle Lösungen de Wellengleichung unte gegebenen Randbedingungen 0

116 Mechanik Wellen Guppengeschwindigkeit: Eine hamonische Welle (ein ω) übetägt kein Signal. Ein Signal, z.b. ein Licht- ode Funkimpuls, ist aus vielen hamonischen Wellen aufgebaut vostellba (FOURIER-Reihe) Beispiel (Modell): Übelageung nu zweie hamonische Wellen a) ω; k b) ω + ω; k + k Sie übelagen sich konstuktiv, wenn ihe Phasen übeeinstimmen, d.h. fü kx ωt ( k + k) x ( ω + ω) t kx + kx ωt ωt (8) kx ωt (9) Die Efüllung de Bedingung (9) sichet also die Bildung und Ehaltung eine At Mini-Impuls : bei t 0 gilt dies fü x 0 bei t t gilt dies fü x ω k t Die Wellenguppe ( Mini-Impuls ) bewegt sich also mit v x t ω d k dk ω Dies ist die Guppengeschwindigkeit: v G dω dk (0) Wi hatten beeits kennengelent v Ph ω, also ω k v Ph (4), (4 ) k Wenn v Ph fü alle Wellenlängen (d.h. alle k) bzw. fü alle Fequenzen den gleichen Wet hat, liefet Gl. (4 )

117 Mechanik Wellen dω d(k vph ) v G v dk dk Ph () Dann sind also v G und v Ph gleich Beispiele dafü sind: elektomagnetische Wellen im Vakuum Schall in Luft Oft ist abe v Ph f(ω) bzw. f(k), d.h. ω ~ k (Gl. (4 )) gilt nicht meh Dispesion Wellenpakete (Impulse) zefließen / dispegieen, da jede hamonische Elementawelle ihe eigene Geschwindigkeit hat. Beispiele fü Dispesion: Licht in Glas v Ph f(ω), d.h. die Lichtgeschwindigkeit hängt von de Fabe ab Schall im Festköpe (Eis) hohe Töne laufen schnelle ("Piúh")

118 Mechanik Wellenausbeitung 7. Wellenausbeitung Im Folgenden weden einige allgemeine Pinzipien / Bescheibungsmöglichkeiten / Vehaltensweisen / Eigenschaften von Wellen behandelt. Sie gelten fü alle Wellen. Bei konketen Wellen (z.b. Schall, Licht, Funkwellen,...) teten alledings bestimmte diese Escheinungen in unteschiedliche Weise in den Vodegund. Dot weden sie gegebenenfalls auch noch vetieft. 7.. Steuung... ist die Wechselwikung eine Welle mit einem Hindenis. Seh vielfältig Lichtwelle an einem Staubkon in de Luft elastische Welle im Festköpe an einem Hohlaum (Luftblase) im Festköpe Schallwelle an einem Hindenis ( Kind hinte einem Baum ) Wassewelle am Pfahl im Wasse kleines Hindenis, a << λ: Kugel-Steuwelle (liefet Infomation übe Existenz des Hindenisses, nicht übe seine Fom) Hie also: Hindenis als Steuzentum; gesteute Welle hat feste Phasenbeziehung mit de Pimäwelle kohäente Steuung Gegensatz: Hindenis gibt Wellenenegie vezöget ab konstante Phasenbeziehung geht veloen inkohäente Steuung 7.. Das HUYGENSsche Pinzip (HUYGENS-FRESNELsches Pinzip) Man kann Wellenausbeitung seh gut vestehen, wenn man sich vostellt, dass jede Punkt, de von eine Welle getoffen wid, wiede zum Ausgangspunkt eine Kugel- (3D) ode Keiswelle (D) wid. Dies ist tivial fü ungestöte Wellenausbeitung, z.b. ebene Welle: Inteessant und leheich wid es, wenn Hindenisse aufteten: d.h. an entspechende Stelle im Rahmen de Volesung 3

119 Mechanik Wellenausbeitung Reflexion: Einfallswinkel Ausfallswinkel Übegang in ein Medium mit andee Ausbeitungsgeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit): v Ph, v Ph, λ T λ T v v Ph, Ph, λ λ AB AB AB AB λ AB λ AB sin α sin β v v Ph, Ph, sin α sin β () Dies ist das aus de Optik bekannte Bechungsgesetz, das fü alle Wellen gilt 7.3. Das FERMATsche Pinzip Eine Welle läuft zwischen zwei Punkten imme so, dass sie dazu möglichst wenig Zeit baucht. Seh allgemeines Pinzip Reflexions- und Bechungsgesetz sind Sondefälle davon. A P B ist küzeste Weg, weil A P B auf eine Geade liegen. Jedes A Q B wäe länge, weil A Q B länge ist Plausibilitätsekläung: Weg lt. Bechungsgesetz nutzt die höhee Phasengeschwindigkeit bestmöglich aus. 4

120 Mechanik Wellenausbeitung Beispiel: geologische Untesuchung Kommenta: Jede de dei Wellen folgt fü sich dem FERMATschen Pinzip: a) die diekte Welle, die sich geadlinig ausbeitet, b) die Mintop-Welle, die die schnellste nicht-diekte Welle ist, c) die sogenannte egulä eflektiete Welle, die existiet, weil an de Genzfläche A B nicht alle Intensität duchgehen daf und die ( fü sich optimiet ) dem Reflexionsgesetz folgt. Wohe wissen die Wellen den küzesten Weg? Dies ist nicht leicht vostellba. Oft ist es zu ekläen mit dem Agument, dass die nicht optimalen Wellen destuktiv intefeieen und sich auslöschen Beugung... ist die Eigenschaft von Wellen, in gewissem Maße hinte Hindenisse gelangen zu können. Nu Hindenisse a >> λ wefen schafen Schatten. Beispiel: Man kann eine Peson hinte einem Baum höen (a), abe nicht sehen (b): a) Schallwellen (Beispiel Kammeton a): 440 Hz 330 m s m s λ 0,75 m 440 s b) Wellenlängenbeeich fü sichtbaes Licht: λ nm. allgemeine Deutung de Beugung mit HUYGENSschem Pinzip: 5

121 Mechanik Wellenausbeitung etwas anspuchsvollee Ekläung übe die Übelageung von Wellen: De Gangunteschied de Wellen echts und links vom Spalt betägt: d sin α d α Die Wellen löschen sich gegenseitig aus, wenn α so goß wid, dass gilt: λ d α α Genz λ d λ d Die Beite x des Eindingbeeiches betägt: x D tan α D α λ x D x d (Näheung) d x D λ () Beispiel: Hindenisbeite 0,5 m (Baum) Abstand 0,5 m Kammeton a: x 0,6 m Wellenfont "längst wiede geschlossen" Licht (0,5 µm): x 0,5 mm typische Unschäfe eines Schattens 7.5. DOPPLER-Effekt; MACHsche Wellen Wellenezeuge bewegt sich mit Geschwindigkeit v elativ zum Medium. Welle läuft um v Ph T Quelle läuft um v T wähend de Peiodendaue T λ veinget sich von: λ v Ph T auf: λ ( v Ph v) T (3) ν ehöht sich auf: ν v Ph λ (v Ph vph v) T v v Ph ν (4) Bei Beachtung weitee Einflüsse ist diese Annahme sichee. 6

122 Mechanik Wellenausbeitung Wenn sich Wellenezeuge vom Beobachte wegbewegt, sinkt ν auf: ν v + v Ph ν (5) Die Fequenzveschiebung lt. Gl. (4) bzw. (5) heißt DOPPLER-Effekt. Geschwindigkeitsschätzung anhand Tonumschlags möglich (Feueweh, Hupe) Kommenta: Gl. (3), (4) und (5) beteffen die Bewegung de Quelle elativ zum Medium und zum (im Medium uhenden) Beobachte. Eine elativ zum Medium uhende Quelle bei bewegtem Beobachte füht (bei eine Bewegung auf die Quelle zu (+) bzw. von ih weg (-)) auf: v ± ν (4 ) v ν Ph Bei Lichtwellen gibt es ein solches Medium nicht und die Fomeln Gl. (4) und Gl. (4 ) veschmelzen MACHsche Wellen: Fü v v Ph wid die Welle vo Quelle meh ode wenige zusammengedängt: Fü v > v Ph "tümen sich die Wellenfonten zum Übeschallkegel auf: Fü den Öffnungswinkel α des Kegels gilt: v sin α Ph v M M... MACHzahl (6) Die Machzahl gibt an, wieviel Mal v göße als die Schallgeschwindigkeit v Ph (Phasengeschwindigkeit des Schalls) ist. De Übeschallknall ist das Übesteichen des Otes des Beobachtes duch den Kegel, kein einmaliges Duchstoßen de Schallmaue 7

123 Mechanik Wellenausbeitung 7.6. Intensität eine Welle Wi betachten nun die von de Welle (po Zeit- und Flächeneinheit) tanspotiete Enegie, d.h. die Enegiestomdichte bzw. Intensität de Welle. Die Betachtung efolgt am Beispiel elastische Wellen, gilt abe paktisch allgemein. Es findet ein ständiges hin und he von E kin und E pot statt (analog <6..>): Genzzustände:. ξ ξ0 (Auslenkung maximal) ξ & v 0 E ges E pot, E kin 0. ξ v0 (Geschwindigkeit maximal) also ξ 0 (Nullduchgang) E ges E kin, E pot 0 Die hie vewendete Geschwindigkeit v ξ & ist die sogenannte Schallschnelle, die Geschwindigkeit des Schwingens. Sie daf nicht mit de Ausbeitungsgeschwindigkeit des Schwingungszustandes, d.h. de Ausbeitungsgeschwindigkeit de Welle, vewechselt weden. Da E ges sowieso konstant ist, nehmen wi Genzfall fü die Emittlung de Gesamtenegie W eines Volumenelementes V mit de Masse m: W m v 0 m ρ V ρ V v 0 w ρ v 0 W V (7) Die Enegiedichte w ( Enegieinhalt de Welle ) bewegt sich mit de Ausbeitungsgeschwindigkeit v Ph de Welle. Damit egibt sich fü die Intensität I I w v Ph v Ph ρ v 0 (8) Aus Genzfall ehält man analog: I v Ph ρ w ξ 0 Dies ist allgemeingültig: Die Intensität de Welle ist imme popotional dem Quadat de Amplitude (8 ) 8

124 Ohne Beweis: Das Podukt v Ph ρ heißt Wellenwidestand Z. Mechanik Wellenausbeitung Z v Ph ρ (9) Kommenta: Gl. (9) ist plausibel, da mit zunehmende v Ph und zunehmendem ρ die po Zeiteinheit in Schwingungen vesetzte Masse ansteigt, was den Ausbeitungswidestand de Welle (po Volumeneinheit) ehöht Reflexion und Tansmission an eine Genzfläche Wi betachten das Vehalten eine Welle an de Genzfläche zweie Medien: gegeben: Medium Medium vph, v Ph, ρ ρ Z v Ph, ρ Z v Ph, ρ Indizes: e - einfallend d - duchgehend -eflektiet Enegiesatz an de Genzfläche: Ie I + I d (0) bzw. mit Gl. (8) und (9): Z v e Zv + Zv d () Gl. () umgestellt liefet: Z (ve v ) Z vd () Damit nicht unendlich goße Defomationen aufteten, muss die Welle an de Genzfläche stetig sein, d.h. Auslenkung ξ und Geschwindigkeit ξ & v müssen links und echts gleich sein: (u.a.) v e + v vd Geschwindigkeit links Geschwindigkeit echts (3) De Index 0 wid de Einfachheit halbe weggelassen, d.h. v 0, e v e, usw. 9

125 Mechanik Wellenausbeitung Gl. () und (3) aufgelöst nach v d bzw. v egibt: v d v e Z Z + Z v Z Z (b) ve (4) Z + Z Daaus schließlich emittelba: I d I Z v d Z v 4I I e e Z Z (Z + Z ) (Z (Z Z + Z ) ) (a) (5) Diskussion: a) Im Allgemeinen Reflexion und Tansmission. Fü Z Z geht die gesamte Welle duch, d.h. die Reflexion wid Null. Fü Z << Z bzw. Z << Z geht I d 0 (vollständige Reflexion). b) Bei Z > Z (Übegang ins dünnee Medium) ist das Vozeichen von v gleich dem von v e, d.h. die Welle wid mit gleiche Phase eflektiet. Bei Z < Z ist das Vozeichen von v entgegengesetzt dem von v e, d.h., bei de Reflexion am dichteen Medium gibt es einen Phasenspung um π. Dies sind allgemeingültige Aussagen, die fü alle Wellen gelten. 0

126 Mechanik Akustik 8. Akustik 8.. Einleitung Akustik ist bis zu gewissem Gad am Menschen oientiet: Infaschall ν 6 Hz höbae Schall 6 Hz ν 6 khz Ultaschall v > 6 khz Poblem de Lautstäke: iesige Intensitätsbeeich, den das menschliche Oh auch tatsächlich in stakem Maße ( : 0 3 ) übesteicht. Lösung: Intensität de Wahnehmung (d.h. die Lautstäke) hängt vom Logaithmus de Schallintensität ab. I L 0 log () I 0 L... Lautstäke I 0... geade noch höbae Intensität, Höschwelle log... dekadische Logaithmus Maßeinheit: [L]... Phon ode Dezibel (db) SI I I 0 L 0 Phon Höschwelle I 0 I 0 L 0 Phon Flüsten I 0 5 I 0 L 50 Phon nomales Spechen I 0 3 I 0 L 30 Phon Schmezschwelle Kommenta: Das Oh efasst 3 Zehnepotenzen Die untee Genze liegt nahe de Höbakeit de Bownschen Bewegung 8.. Töne und Klänge Ton eine Sinusschwingung Klang eale Ton eines Instumentes, d.h. Sinus + Obetöne lt. FOURIER Geäusch nichtpeiodische Vogang Angabe de obeen Höschwelle ist ein Mittelwet. Die tatsächliche Höschwelle kann von 4 khz (Geis) biz zu 0 khz (Kind) eichen.

127 Mechanik Akustik Mehee Klänge (eale Töne) gleichzeitig klingen dann besondes hamonisch, wenn sie viele Obetöne gemeinsam haben. ν besondes gut klingt es, wenn : ν ist Oktave Tonleite Unteteilung de Oktave in 7 Zwischenstufen, so dass es gut klingt C-Du-Tonleite: Ton c d e f g a h c ν x νc 9/8 5/4 4/3 3/ 5/3 5/8 ν x ν x 9/8 0/9 6/5 9/8 0/9 9/8 6/5 Intevall (goße) (goße) Sekunde Tez Quate Quinte (goße) Sexte (goße) Septime Oktave Dies ist die so genannte eine Stimmung. Sie füht zu Poblemen bei Instumenten mit fest eingestellten Tönen (z. B. Klavie): Beispiel C-Du: D-Du:. Ton. Ton d Taste 9 (Fequenzvehältnis) c Taste 8 e Taste 0 d Taste 9 Um Tasteninstumente fü alle Tonaten nutzba zu machen, veteilt man die unvemeidlichen Abweichungen gleichmäßig (so genannte tempeiete Stimmung). Oktave 5 Ganztonschitte + Halbtonschitte 6 Ganztonschitte bishe wa (eine Stimmung): Ganztonschitt Halbtonschitt 9 8 bzw. 0 9,5 bzw., 6 5,067 nun ist (tempeiete Stimmung): 6 Ganztonschitt Fakto, 46 also konstantes Fequenzvehältnis von Halbtonschitt Fakto, Ton zu Ton elative Fequenz Fequenzvehältnis zum Nachbaton

128 Mechanik Akustik 8.3. Stehende Wellen; Musikinstumente Stehende elastische Wellen lassen sich duch Mehfacheflexion (Hin- und Helaufen) im elastischen Medium ezeugen. Bestimmend ist das Vehältnis de Wellenwidestände am Ende des Mediums. Beispiel: An einem Ende Übegang zum gößeen, am andeen Übegang zum kleineen Wellenwidestand, also einmal ein Phasenspung von π, einmal nicht. mögliche physikalische Realisieungen: ) einseitig eingespannte Stab de Länge l ) einseitig offene Röhe de Länge l Phasenspung π Knoten kein Phasenspung Bauch l l l 4 λ 3 λ 4 5 λ 4 3 l (n ) λ 4 n vph (n ) v Ph ν n (mit n,, 3,...) () λ 4l n Die ν n sind die Eigenschwingungen, die sich bei geeignete Anegung ezeugen lassen bzw. die als Obetöne stets in gewissem Maße mitschwingen. Bei beidseitig gleichem (offenem ode geschlossenem) Ende egibt sich analog zu Gl. () also vph n v Ph ν n (mit n,, 3,...) (3) λ l n 3 l,,,, K λ 3

129 Je nachdem, ob die Enden beide fest ode beide lose sind, egeben sich unteschiedliche Schwingungsfomen: Mechanik Akustik Oben: Gund- und Obeschwingungen eines an beiden Enden feien, longitudinal schwingenden Stabes Unten: Longitudinalschwingungen eines Stabes a) an einem Ende fest, am andeen fei b) an beiden Enden fest Die Veschiebungen in Richtung de Stabachse sind senkecht zum Stab gezeichnet. (Veschiebung nach echts - nach oben, Veschiebung nach links - nach unten). ({}, S. 7) Kommenta: mögliche Realisieungen: a) beidseitig eingespannte Saite b) einseitig geschlossene Röhen c) effektiv beidseitig offene Röhen konisches Ende wikt wie offenes 4

130 Mechanik Akustik Beispiele zu a) Geige zu b) viele Blasinstumente, z.b. Klainette (geade Obetöne fehlen zum Teil - vgl. Gl. ()) zu c) Oboe (alle Obetöne vohanden - vgl. Gl. (3)) Instumente besitzen in de Regel Eege (Lippen des Bläses, Schilfoh bei Holzblasinstumenten, Geigenbogen). Es efolgt eine Selektion und Fomung des Tons übe Resonanz (Luftsäule, Geigensaite). In Gl. () und (3) steht v Ph Dies hat Auswikungen: Bei Gasen wa: v p Ph (6-7 ) ρ p ~ N ρ ~ N M Tonhöhe vom Gas abhängig (Beispiel Tonhöhen in He und O ) mol ρ ρ(t) Einfluss de Tempeatu 5

131 Liteatuliste LITERATURLISTE Titel Autoen Velag ISBN DM Physik Gethsen; Vogel Spinge ,- Physik in Expeimenten und Beispielen Expeimentalphysik Mechanik und Wäme Expeimentalphysik Elektizität und Optik Paus, Hans J. Hanse ,- Demtöde, W. Spinge ,- Demtöde, W. Spinge ,- Physics Pinciples & Applications Physik (Teil ) Physik (Teil ) Hais; Hemmeling; Mallmann Halliday, David; Resnick, Robet Halliday, David; Resnick, Robet McGaw-Hill de Guyte X 98,- de Guyte ,- Physik und ihe Anwendungen in Technik und Umwelt Leute, Ulich Hanse ,- Physik Tiple, Paul A. Spektum ,- Physik fü Ingenieue Lindne, Helmut Fachbuch-Velag ,- Physik fü Ingenieue Mechanik, Akustik, Wäme; Bd. CD-ROM: CliXX Physik Heing; Matin; Stohe Begmann; Schaefe Baue; Benenson; Westfall Spinge ,- de Guyte ,- Hai Deutsch ca. 50,- Taschenbuch de Physik Stöcke Hai Deutsch ,- Taschenbuch de Physik Kuchling, H. Fachbuch-Velag ,- V

132 Quellenvezeichnis QUELLENVERZEICHNIS {} Wolfgang Demtöde, Expeimentalphysik, Belin; Heidelbeg; New Yok; London; Pais; Tokyo; Hong Kong; Bacelona; Budapest (Spinge), 994 {} Chistian Gethsen, Helmut Vogel, Physik, Belin; Heidelbeg; New Yok; London; Pais; Tokyo; Hong Kong; Bacelona; Budapest (Spinge), 7. Auflage 993 VI

133 Sachegiste SACHREGISTER A abgeschlossenes System 9 Aktionspinzip 6, 7 Akustik 5 apeiodische Genzfall 40 Abeit 3 7 Beschleunigungs- 4 Hub- 4 mechanische 3 Auftieb 76 dynamische 95 Ausbeitungsgeschwindigkeit 04 B Bahnkuve 9 baometische Höhenfomel 83 Benetzung 79, 80 BERNOULLIsche Gleichung 93 Beschleunigung 0 mittlee 0 Momentan- 0 Nomal- Tangential- 0 Beugung 5 Bewegung geadlinig gleichfömig 5 gleichmäßig beschleunigt 9 Keis-, 0 Bewegungsgleichung Dehschwinge 56 ezwungene Schwingung 0 Fedeschwinge 34 gedämpfte Fedeschwinge 38 gekoppelte Fedeschwinge 00 mathematisches Pendel 37 Bezugssysteme bewegte 47 5 köpefeste 60 Labosystem 43 linea beschleunigte mit konstante Relativgeschwindigkeit 47 otieende 49 5 Schwepunktsystem 45 Bechung 4 Coioliskaft 5 C D Dehnung 65 Dichte 5 Dispesion DOPPLER-Effekt 6 Dehimpuls 8, 57 Dehimpulssatz 30, 57 Dehmoment 9, 53 Dehschwingung siehe Schwingung Duck Schwee- 75 statische 73, 94 Dynamik 5 E Eigenschwingung 3 Elastizitätsmodul 65 Enegie 3 7 kinetische 4, 35, 54 mechanische 3 4, 7 potentielle 4, 5, 3, 36 Enegiedichte 8 Enegiesatz de Mechanik 7 Enegiestomdichte 8 F Fedekonstante 34 Fedekaft 34 Fedeschwinge 34 FERMATsches Pinzip 4 Flächentägheitsmoment 70 FOURIER-Reihe 99 Fequenz 0 G Galilei-Tansfomation 47 Geäusch Geschwindigkeit 9 Guppen- mittlee 0 Momentan- 0 Gesetz von BOYLE-MARIOTTE 8 Gleiteibung VII

134 Sachegiste Goldene Regel de Mechanik 3, 75 Gavitationsfeld 3 Gavitationsgesetz 30 Gavitationskaft 3 Gavitationspotential 3 Guppengeschwindigeit siehe Geschwindigkeit H Hafteibung Hafteibungskoeffizent HAGEN-POISEUILLEsches Gesetz 88 Haupttägheitsachsen 60 Haupttägheitsmomente 60 HOOKEsches Gesetz 65 Höschwelle HUYGENSsches Pinzip 3 Hysteese elastische 7 I Impuls 8 Impulsehaltung 9 Impulssatz 4 Inetialsysteme 48 innee Reibung Intensität 8 K Kapillaität 80 katesische Koodinaten siehe Koodinaten Kavitation 95 KEPLERsche Gesetze 3 Kinematik 9 4 kinetische Enegie siehe Enegie siehe Enegie Klang Kohäenz 3 Kompessibilität 74, 8 Kompessionsmodul 66, 74 konsevatives Kaftfeld siehe Potentialfeld Kontinuitätsgleichung 85 Koodinaten katesische 9, 3 Pola- Zylinde- Kaft 5 Käftepaa 53 Kaftfeld 6, 5 Keisbewegung siehe Bewegung Keisel 6 Keisfequenz 0 Kiechfall 40 L Labosystem siehe Bezugssysteme Länge 3 Lautstäke Leistung 0 Linienspannung 78 LISSAJOUS-Figuen 97 Longitudinalwelle siehe Welle M MACHkegel 7 MACHsche Welle 7 MACHzahl 7 Masse 6, 5 Massepunkt 9 momentane Dehachse 63 N Nabla-Opeato 6 NEWTONsche Axiome 7 Nomalbeschleunigung siehe Beschleunigung Nutation 6, 63 O Obeflächenenegie 78 spezifische 77 Obeflächenspannung 78 Obeton 99, Otsvekto 9 P Paadoxon hydodynamisches 94 hydostatisches 75 Pendel mathematisches 37 Phase 05 Phasengeschwindigkeit 04 Phasenspung 0 Phasenveschiebung 0 Planetenbewegung 3 POISSONzahl 66 Polaisation 07 Polakoodinaten siehe Koodinaten Potentialfeld 5 potentielle Enegie siehe Enegie Päzession 64 Päzessionsfequenz 64 Punktmasse 4 VIII

135 Sachegiste Q Quekontaktion 66 R Raumwinkel 7 Reaktionspinzip 7 Reflexion 4, 0 Reibkoeffizent Reibungskaft 86 Resonanz 03 REYNOLDsche Zahl 89 Richtmoment 56, 69 Rotation, 5 58, Rotationsenegie 54 S Satz von STEINER 55 Schall Schallgeschwindigkeit 09 Schallschnelle 8 Schemodul 67 Schespannung 67 Schewinkel 67 Schwebung 97, 0 schwee Masse 3 Schweeduck siehe Duck Schwepunkt 4, 5 Schwepunktsystem siehe Bezugssysteme Schwingung Deh- 56 ezwungene 0 3 Fundamental- 00 gedämpfte gekoppelte 00 hamonische 36 Tosions- 56 SI-System 3 Spannung 65 Spannungs-Dehnungs-Diagamm 7 stae Köpe 5 statische Duck siehe Duck Stauduck 94 Stoß 4 46 elastisch inelastisch 45 nichtzental 46 zental 43 Stoßpaamete 46 Steuung 3 Stomlinien 85 Stomöhe 85 Stömung ähnliche 90 lamina 87 stationä 85 tubulente 89 Stömungsgenzschicht 90 Stömungswidestand Supeposition 0 T Tangentialbeschleunigung siehe Beschleunigung Tempeatu 6 Ton Tonleite Tosion 68 Tosionsschwingung siehe Schwingung Tosionswinkel 68 täge Masse 6, 3 Tägheit 5 Tägheitskaft 49 Tägheitsmoment 54 Tägheitspinzip 5, 7 Tägheitstenso 59 Tanslationsenegie 4 Tansmission 0 Tansvesalwelle siehe Welle Ü Übeschallknall 7 Umdehungsfequenz siehe Fequenz Umlaufbeschleunigung Umlaufgeschwindigkeit Umlaufzeit 0 V Viskosität, 86 Volumenstom 85 W Welle 04 elastische 08, 09, 3 elliptisch polaisiete 07 hamonische 05 linea polaisiete 07 Longitudinal- 06, 08, 09 Schall- 09 stehende 0, 3 Tansvesal- 06, 09 zikula polaisiete 07 Wellenfont 07 Wellengleichung 06 Wellenwidestand 9 Wellenzahl 05 Widestandsbeiwet 95 Winkel 7 Winkelbeschleunigung Winkelgeschwindigkeit, 0 IX

136 Sachegiste Z Zeit 6 Zentalfeld 5, 30 Zentifugalkaft 49 Zentipetalkaft Zylindekoodinaten siehe Koodinaten X