Parametergleichung der Geraden durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor u r t R heisst Parameter

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Meta Grosser
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1 8 3. Dastellung de Geaden im Raum 3.1. Paametegleichung de Geaden Die naheliegende Vemutung, dass eine Geade des Raumes duch eine Gleichung de Fom ax + by + cz +d 0 beschieben weden kann ist falsch (siehe Koodinatengleichung de Ebene). In de Skizze ist die Geade g duch die Punkte A(6,0,7) und B(5,1,6) und ih Gundiss g' im Schägiss dagestellt. Eine Geade im Raum kann duch einen Punkt A mit dem zugehöigen Otsvekto a und einen Richtungsvekto u 0 (ode duch zwei Punkte A und B) festgelegt weden. Ist P ein uuu beliebige Geadenpunkt, dann ist AP ein geeignetes Vielfaches des Richtungsvektos u d.h. uuu es gilt: AP t u mit t R (Skizze: t 5). Fü den Otsvekto eines beliebigen Geadenpunkts gilt damit: a + t u Paametegleichung de Geaden duch den Punkt A mit dem Richtungsvekto u t R heisst Paamete Setzt man fü t eine eelle Zahl ein, so ehält man den Otsvekto nach einem Geadenpunkt P (d.h. die Koodinaten des Punktes P) und umgekeht gehöt zu jedem Geadenpunkt ein geeignete Wet des Paametes t. pagl_3.docx /ul

2 9 Die Paametegleichung bescheibt die Bewegung eines Massenpunktes, de zu Zeit t 0 in A statet und sich mit de Geschwindigkeit u gleichfömig bewegt. t misst den Abstand des Massenpunkts vom Statpunkt A in Einheiten von u. Bem: De Statpunkt A kann duch einen anden Geadenpunkt, de Richtungsvekto u duch ein Vielfaches esetzt weden (Intepetation: Dies entspicht eine Ändeung des Statpunkts bzw. de Geschwindigkeit). Bestimme echneisch (und konstuktiv) die Schnittpunkte de oben skizzieten Geaden mit den Bildebenen. x 6 1 Paametegleichung von g: y 0 + t 1 z 7 1 In de xy-ebene ist z 7 - t 0 also gilt: t 7 Setzt man den Paametewet in die Paametegleichung ein, so ehält man die Koodinaten des Schnittpunkts S1(-1, 7, 0). Konstuktiv egibt sich S1 dot, wo sich die Geade g und ih Gundiss g schneiden. Bem.: Die Duchstosspunkte eine Geaden mit den Koodinatenebenen (xy-ebene, yz-ebene, xz-ebene) heissen Spupunkte. Analog egeben sich die weiteen Schnittpunkte mit de yz-ebene S(0, 6, 1) bzw. mit de xz-ebene S3(6, 0, 7) Zusatzfage: Welche Koodinaten hat de Geadenpunkt Q mit de z-koodinate 10? Wegen z 7 - t 10 ist t -3. Koodinaten des gesuchten Punkts lauten damit Q(9, -3, 10). Duch eine Koodinate ist also de Wet des Paametes t festgelegt. Damit sind auch die beiden anden Koodinaten bestimmt. Übungsaufgabe: Bestimme eine Paametegleichung a) de Koodinatenachsen b) eine Paallelen zu z-achse duch den Punkt A(1,, 3) c) eine Paallelen zu Geaden g: y x in de xy-ebene, welche duch den Punkt A(1,, 3) geht pagl_3.docx /ul

3 10 Eine Ameise bewegt sich geadlinig-gleichfömig. Sie statet zu Zeit t 0 in P0( 5, 1, 6) und befindet sich zu Zeit t 1 in P1(4,, 5). a) Wo befindet sich die Ameise nach 4 Sekunden? b) Nach welche Zeit und wo eeicht die Ameise die xy-ebene? c) Wo befindet sich die Ameise, wenn sie eine Stecke de Länge 7 zuückgelegt hat? 5 1 Fahplan de Ameise: 1 + t a) t 4 P4 (1, 5, ) b) in de xy-ebene ist z 6 t 0 ode t 6 (P6 (1, 1, 0) c) Die Ameise legt in de Zeiteinheit u 3 zuück. Um eine Stecke de Länge zuückzulegen, benötigt sie 3 Sekunden. Sie befindet sich dann in P3 (, 4, 3). Untesuche, ob die Punkte P(17,-9, 9) bzw. Q(1, -1, 6) auf de Geaden g: 5 t liegen. Gesucht ist ein Paametewet t, de das folgende (übebestimmte) Gleichungssystem efüllt: t t 3t Dies ist fü t 3 de Fall. Damit liegt P auf g. Das. Beispiel füht auf das folgende übebestimmte Gleichungssystem: 1 + 5t 1 3 4t 6 3t De aus de 3. Gleichung emittelte Paametewet t efüllt zwa die 1. Gleichung, nicht abe die. Damit liegt Q nicht auf g (hingegen Q*(1, -5, 6) mit "angepasste" y-koodinate). Übungsaufgabe: Suche auf de Geaden duch die Punkte A(4, 3, ) und B(6, -3, 5) a) den Schnittpunkt mit de yz-ebene b) den Punkt H, de von A den Abstand 8 hat c) Suche auf de x-achse den Punkt P so, dass das Deieck PAB bei A echtwinklig ist Lösung a) G(0, 15, -4) b) H1 (1, -1, 14), H (-4, 7, -10) c) P(-, 0, 0) pagl_3.docx /ul

4 11 3. Gegenseitige Lage von Geaden Zu Vobeeitung ein Beispiel in de Gundebene: Bestimme die Koodinaten des Schnittpunkts de beiden Geaden g1 und g g1: t1 g: t Im Schnittpunkt stimmen die entspechenden Komponenten übeein: x: -1 - t1 10-3t y: 6 + t1 8 - t Die Lösung des Gleichungssystems t1 - und t 3 liefet den Schnittpunkt S(1,). In de Gundebene sind zwei weitee Fälle möglich: 1. Die Geaden sind echt paallel. Die Geaden fallen zusammen. pagl_3.docx /ul

5 1 Bezüglich de gegenseitigen Lage zweie Geaden können im Raum die folgenden 4 Fälle aufteten. Sie können in einem Wüfel mit Geaden illustiet weden, die duch die Kanten ode Flächendiagonalen bestimmt sind. Speziell ist in de Skizze de Fall windschiefe Geaden dagestellt. 1. Die Richtungsvektoen sind paallel (linea abhängig): 1.1 Liegt de Anfangspunkt von g1 nicht auf g, dann sind g1 und g echt paallel 1. Liegt de Anfangspunkt von g1 auf g, dann fallen g1 und g zusammen. Die Richtungsvektoen sind nicht paallel (linea unabhängig):.1 Haben g1 und g einen Punkt gemeinsam, dann schneiden sich g1 und g. Haben g1 und g keinen Punkt gemeinsam, dann sind g1 und g windschief (vgl. die Skizze) Beispiele zu.1: g1 und g schneiden sich 0 3 g1 : 0 + t1 g : 1 + t De Richtungsvekto de. Geaden ist kein Vielfaches des Richtungsvektos de 1. Geaden (die beiden Richtungsvektoen sind linea unabhängig). Damit sind die Geaden nicht paallel. Die aus den beiden esten Gleichungen emittelten Paametewete t1 und t 1 efüllen auch die 3. Gleichung. Damit schneiden sich die Geaden im Punkt S(6, 4, 7). Bem.: Die Paametewete t1 und t sollten veschieden bezeichnet weden. Zwei Geaden können sich nämlich schneiden, ohne dass die beiden Paametewete im Schnittpunkt übeeinstimmen. Dies wüde bedeuten, dass die beiden Massenpunkte im Schnittpunkt zusammenstossen müssen. pagl_3.docx /ul

6 13 Wi änden nun schittweise die Gleichung de 1. Geaden so ab, dass die estlichen Fälle aufteten: zu.: g1 und g sind windschief 0 3 g1 : 0 + t1 g : 1 + t 3 * 3 6 Esetzt man * duch igendeine eelle Zahl 1, dann ist die 3. Gleichung nicht efüllt, die Geaden sind windschief. zu 1.1: g1 und g sind paallel De Richtungsvekto de 1. Geaden muss ein Vielfaches des Richtungsvektos de. Geaden sein (d.h. die beiden Richtungsvektoen sind linea abhängig). ein Beispiel: 0 1 g1 : 0 + t1 9 g : 1 + t Da de Statpunkt von g1 nicht auf g liegt, sind die beiden Geaden echt paallel. zu 1.: g1 und g fallen zusammen Die Koodinaten des Statpunkts sind so abzuänden, dass e auf g liegt. Wählt man z.b. t -5 dann stimmen die z-koodinaten übeein, fü die x- bzw- y- Koodinaten egibt sich x -18 bzw. y g1 : 14 + t1 9 g : 1 + t In diesem Beispiel fallen die Geaden zusammen. Gegenseitige Lage zweie Geaden (Zusammenfassung) pagl_3.docx /ul

7 Abstands-, Winkelpobleme Tage auf de Geaden g AB von A aus den Abstand d ab. B: A(-, -4, ) B(-1, -, 4) d 6 1 g : 4 + t De Richtungsvekto hat den Betag 3. Dies bedeutet: Vegösset man t um 1, so legt man auf de Geaden eine Stecke de Länge 3 zuück. Den gesuchten Punkten entspechen die Paametewete t1 und t -. Koodinaten de gesuchten Punkte: P1(0, 0, 6) bzw. P(-4, -8, -). Wählt man als Richtungsvekto insbesondee einen Einheitsvekto, so misst t geade den Abstand des Geadenpunktes vom Statpunkt A. Uebungsaufgabe: Bestimme eine Gleichung de Winkelhalbieenden von zwei sich schneidenden Geaden a: S(, 4, 3) A(4, 8, 7) und b: S B(5, 6, 9) Tip: Wählt man fü die Richtungsvektoen von a und b Vektoen mit gleichem Absolutbetag, so spannen diese einen Rhombus auf. Die Diagonalen eines Rhombus halbieen die Winkel. Lösung: t bzw. 1 t Kontolle: Die Richtungsvektoen sind othogonal! Bestimme den Zwischenwinkel de sich schneidenden Geaden a und b. a: S(1, 1, 1)A(3, 4, 7) b: SB(3,, 3) De Schnittwinkel ϕ wid von den beiden Richtungsvektoen u und v eingeschlossen: uu u SA 3 6 u v cos ϕ u v uu u 7 v SB v 3 ϕ 5. De Zwischenwinkel ist auch fü windschiefe Geaden als Winkel zwischen zwei Richtungsvektoen eklät (z.b. windschief senkecht) pagl_3.docx /ul

8 15 Gegeben sind die Punkte A(6, 0, 6) und B(6, 6, 6). Bestimme den Punkt P auf de Geaden 6 1 g : 0 + t 1 so, dass das Deieck APB bei P echtwinklig ist. 3 1 uuu uuu uuu uuu Da die Vektoen PA und PB einen echten Winkel einschliessen gilt: PA PB 0 t t uuu uuu PA PB t 6 t t 4t + 3 ( t 1) ( t 3) 0 3 t 3 t Den Paameteweten t1 1 und t 3 entspechen die Punkte P1 (3, 3, 6) und P(5, 1, 4) pagl_3.docx /ul

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