2. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1962/1963 Aufgaben und Lösungen

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1 2. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Keisolympiade) Klasse 9 Saison 1962/1963 Aufgaben und Lösungen 1

2 OJM 2. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Keisolympiade) Klasse 9 Aufgaben Hinweis: De Lösungsweg mit Begündungen und Nebenechnungen soll deutlich ekennba in logisch und gammatikalisch einwandfeien Sätzen dagestellt weden. Zu Lösungsgewinnung heangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nu wenn eine so zu vewendende Aussage aus dem Schulunteicht ode aus Abeitsgemeinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachvehalt anzufühen. Aufgabe : Bei dem Guppenflug de sowjetischen Kosmonauten Andijan Nikolajew und Pawel Popowitsch hatten die Raumschiffe Wostok III und Wostok IV zeitweilig einen Abstand von nu 6,5 km voneinande. De Einfachheit halbe sei angenommen, daß sie genau hinteeinande flogen. Dabei legten sie eine Edumundung ( km) in und 88 Minuten zuück. Welchen Abstand müßten zwei mit eine Geschwindigkeit von 100 km/h auf de Autobahn fahende Autos haben, wenn ih Zeitabstand de gleiche wie bei den Raumschiffen wäe? Aufgabe : Ein Auto fäht mit eine Geschwindigkeit von 100 km/h. Es wid gebemst. a) In welche Zeit kommt es zum Stehen, wenn duch die Bemsung seine Geschwindigkeit in jede Sekunde um 5 m/s abnimmt? b) Welchen Bemsweg legt es in diese Zeit zuück? Aufgabe : Pete macht mit Jügen eine Wette. E will nach einem Schitte entfenten Ot hin- und zuückgehen, bevo Jügen 150 Mumeln in ein Köbchen gesammelt hat. Die Mumeln sollen dabei in eine Reihe mit je einem Schitt Abstand voneinande liegen und einzeln in das Köbchen gebacht weden, das in einem Schitt Abstand vo de esten Mumel steht. Beide Jungen sollen genau gleich schnell gehen. We gewinnt die Wette? Begünden Sie die Behauptung! Aufgabe : Gegeben sei ein Keis. In diesem Keis seien ein Tapez und ein Deieck so einbeschieben, daß eine Seite des Tapezes ein Duchmesse des Keises ist und die Seiten des Deiecks paallel zu den Tapezseiten velaufen. Es ist zu beweisen, daß Tapez und Deieck in diesem Falle gleichen Flächeninhalt haben! Aufgabe : Zeichnen Sie eine Geade g und auf deselben Seite von g zwei Punkte A und B, die veschiedenen Abstand von g haben und deen Vebindungsstecke velänget die Geade g nicht unte einem echten Winkel schneidet! Konstuieen Sie auf g einen Punkt P, fü den de Winkel zwischen AP und g gleich dem Winkel zwischen BP und g ist! Begünden Sie die Konstuktion! 2

3 Aufgabe : An de Endstation eine Staßenbahnlinie soll eine Gleisschleife gebaut weden. Sie wid so angelegt, daß die geade Stecke in einen Keis mündet, dessen letztes Vietel als Gegenkuve zu geaden Stecke zuückfüht. a) Beechnen Sie die Gleislänge von Weichenspitze bis wiede zu Weichenspitze! b) Wie goß ist das Flächenstück, das von de Schleife eingeschlossen wid? 3

4 OJM 2. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Keisolympiade) Klasse 9 Lösungen Hinweis: De Lösungsweg mit Begündungen und Nebenechnungen soll deutlich ekennba in logisch und gammatikalisch einwandfeien Sätzen dagestellt weden. Zu Lösungsgewinnung heangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nu wenn eine so zu vewendende Aussage aus dem Schulunteicht ode aus Abeitsgemeinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachvehalt anzufühen. Lösung : Die beiden Raumschiffe haben eine Geschwindigkeit von was einen Zeitabstand von v = km 88 min t = 60 min/h km/h, 6, 5 km 0, h km/h egibt. Bei eine Geschwindigkeit von 100 km/h entspicht das eine Entfenung von Lösung : a) Aus de Fomel v = a t ehält man b) Das Auto legt in diese Zeit einen Weg von zuück. 0, h 100 km/h = 0, km = 23, 25 m. t = v 100 a = 3,6 m/s 5 m/s 2 = 20 s 5, 56 s. 3, 6 s = a 2 t2 = 2, 5 m/s 2 (5, 56 s) 2 77, 3 m Lösung : Pete gewinnt. E muss = Schitte gehen. Jügen dagegen muss 2 ( ) = = Schitte gehen. 4

5 Lösung : J sei de Höhenfußpunkt im Deieck MF E von Punkt M auf de Seite EF. Dann gilt MF J MEJ nach SSW: C F I B 01 E 00 11K J M H A G D (1) MF = ME = (2) M J in beiden Deiecken enthalten (3) MJF = MJE = 90 Analog sei I de Höhenfußpunkt im Deieck MBC von Punkt M auf de Seite BC. Die Punkte M, I und J liegen auf eine Geaden, da die Winkel MJF und MIC gleich goß und die Stecken EF BC sind. Sei Winkel BCD := α. Dann gilt auch EF G = α (Stufenwinkel an geschnittenen Paallelen). Nach Innenwinkelsatz im Deieck EF H gilt dann fü Winkel F EH = 90 α und nach Innenwinkelsummensatz im Deieck MEJ: JME = α. Demzufolge gilt MEJ MCI nach WWS: (1) ME = MC = (2) JME = MCB = α (3) MJE = MIC = 90 Damit hat man soga 4 konguente Deiecke: F MJ MEJ MCI MBI Nun bleibt zu zeigen, daß gilt: F HM MBK, wobei H und K die Höhenfußpunkte in den Deiecken F GM und MAB wie in de Zeichnung esichtlich sind. Dazu betachte man zuest Winkel MF G = 180 F HM MF E F EM = MF E, wobei MF E = α = 90 α im Deieck JF M gilt. Damit egibt sich MF G = 90 2 (90 α) = 2 α 90. Als nächstes wid Winkel BMK betachtet: BMK = 90 CMI CMI = 90 2 ( α) = 2 α 90. Beide Deiecke F HM und MBK sind nach WWS konguent: (1) MF = MB = (2) MF G = BMK = 2 α 90 (3) MHF = BKM = 90 Mithin ist eine Hälfte des Deiecks aus den Teilflächen F HM, MF J und JME flächengleich zu eine Tapezhälfte, die aus den Teilflächen MBK, BMI und CMI besteht. Aufgeschieben und gelöst von Manuela Kugel 5

6 Lösung : Man spiegelt zuest den Punkt A an de Geaden g und ehält den Punkt A. De Schnittpunkt von g mit AA sei C. De Schnittpunkt von g mit A B sei P. Dann sind die beiden Deiecke ACP und A CP wegen SWS konguent zueinande. Demnach ist A P C = CP A. Außedem ist auch A P C genauso goß wie de Winkel zwischen g und P B, weil es sich um Wechselwinkel handelt. De gefundene Punkt P efüllt also die Anfodeungen. B A C P g A Lösung : a) Die Gleislänge ist 2 + 2π. b) Das Flächenstück beinhaltet einen Keis mit de Fläche π 2 und die Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen 2 und abzüglich de Fläche de beiden Vietelkeise. Als eingeschlossene Fläche ehält man π π 2 /2 = π 2 /2. 6