Musterlösung Serie 4
|
|
|
- Sara Vogt
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 D-MATH Lineae Algeba I HS 218 Pof Richad Pin Mustelösung Seie 4 Summen Podute und Matizen 1 Beweisen Sie: (a Fü jede ganze Zahl n gilt n ( n 2 n (b Fü alle ganzen Zahlen n gilt ( ( n n n (c Fü alle ganzen Zahlen n m gilt m ( n+ ( n+m+1 m *(d Fü alle ganzen Zahlen n m mit m + n gilt ( ( m n ( m+n wobei sich die Summe übe alle Z mit m und n estect Lösung: (a Dies folgt aus dem Binomischen Lehsatz 2 n (1 + 1 n n ( n 1 1 n (b Aus de Dastellung des Binomialoeffizienten mit Faultäten ehalten wi die Gleichung: ( n ( n!!(n! n! n (n!(n (n! n (c Wi benutzen Indution nach m Indutionsveaneung m : Hie ist ( n + ( n 1 ( n Indutionsschitt: Ist m > und die Aussage gilt fü m 1 so folgt ( n + m 1 ( ( n + n + m + m ( ( IV n + m n + m + m 1 m ( n + m + 1 m wobei die letzte Gleichung in de Volesung gezeigt wude 1
2 (d Um lästige Falluntescheidungen zu vemeiden setzen wi ( n : fü < ode > n Dann ist die line Seite de Gleichung ( ( m n ( m+n eine fomal unendliche Summe übe alle Z bei de abe alle bis auf endlich viele Teme veschwinden Aussedem gilt die Aussage ( ( ( n 1 n 1 n ( + 1 die in de Volesung fü alle n > > bewiesen wude dann schon fü alle n > und Z Wi beweisen die gesuchte Gleichung duch Indution übe n Fü n ist Z ( m ( ( m ( m + Fü n > nehmen wi als Indutionsvoaussetzung (IV an die Aussage gelte fü n 1 Fü n gilt sie dann auch im Fall wegen ( ( ( ( ( m n m n m + n 1 Z Im Fall > echnen wi ( ( ( m + n ( m + n 1 m + n (IV ( ( m n 1 + ( ( m n 1 1 Z Z ( (( ( m n 1 n Z ( ( ( m n Z 2 Sei m > eine ganze Zahl Veeinfachen Sie das folgende Telesoppodut: m (1 1 n2 Lösung: Mit de Gleichung 1 1 n2 1 (n+1(n 1 und den Rechenegeln fü 2
3 Podute echnen wi m (1 1 n2 m (n + 1(n 1 n2 n2 (n + 1 n2 n +1 j3 j j2 j 1 l1 l l2 l n2 (n 1 n2 n m m + 1 2m Wobei in de ditten Zeile im Zähle die Substitutionen j : n + 1 und l : n 1 und im Nenne die Substitutionen j : n und l : n gemacht wuden 3 Seien x 1 x 2 x 3 Vaiabeln Lösen Sie das folgende lineae Gleichungssystem in R: 1 m 2x 1 + 3x 2 x 3 2 5x 1 3x 2 7x 3 5 x 1 + x 2 3x 3 1 Lösung: Wi subtahieen das 2-fache de ditten Zeile von de esten Zeile und ehalten x 2 + 5x 3 5x 1 3x 2 7x 3 5 x 1 + x 2 3x 3 1 Wi subtahieen das 5-fache de ditten Zeile von de zweiten Zeile und ehalten x 2 + 5x 3 8x 2 + 8x 3 x 1 + x 2 3x 3 1 Wi addieen das 8-fache de esten Zeile zu zweiten Zeile und ehalten x 2 + 5x 3 48x 3 x 1 + x 2 3x 3 1 Jetzt önnen wi das System lösen: aus de zweiten Zeile folgt x 3 und damit folgt aus de esten Zeile x 2 Mithilfe de letzten Zeile sehen wi dann dass x 1 1 ist Die Lösung ist also (x 1 x 2 x 3 (1 Wi haben mit diesem Lösungsansatz auch gezeigt dass die Lösung eindeutig ist 3
4 4 Beweisen Sie die Linsdistibutivität de Matixmultipliation das heisst: Zeigen Sie dass fü alle Matizen A B C geeignete Gösse übe einem Köpe K gilt A (B + C A B + A C Lösung: Damit die Fomel einen Sinn egibt müssen B und C die gleiche Gösse haben und die Anzahl de Spalten von A gleich de Anzahl de Zeilen von B und C sein Seien also n m l natüliche Zahlen so dass A eine (n m-matix und B und C beides (m l-matizen sind Bezeichne mit X ij den Eintag eine Matix X an de Stelle (i j Dann gilt nach Definition de Matixaddition und -multipliation: (A (B + C i A ij (B + C j j1 A ij (B j + C j j1 A ij B j + j1 j1 A ij C j (A B i + (A C i (A B + A C i Da die Matizen A (B + C und A B + A C eintagsweise übeeinstimmen sind sie gleich 5 Beechnen Sie das folgende Podut von Matizen: a 1 b 1 c 1 1 e 1 f h d 1 g 1 i 1 j 1 Lösung: Das Egebnis ist 1 a 1 b e 1 c f h 1 d g i j 1 6 Zeigen Sie duch vollständige Indution: Falls a c ist so gilt fü jedes m Z ( m c ( a m b am c m 4 a c c m
5 Leiten Sie eine ähnliche Fomel fü den Fall a c he Lösung: a c: Wi benutzen vollständige Indution übe m Im Basisfall m gilt ( c ( 1 1 ( a b a c a c c Angenommen die Behauptung gilt fü ein m Z Dann gilt Wegen ( m+1 c IV ( m ( c c ( ( a m b am c m a c c m c ( a m+1 a m b + b am c m c a c c m+1 a m b + b am c m a c c am+1 b a m bc + ba m c bc m+1 a c folgt die Aussage damit auch im Fall m + 1 a c: In diesem Fall sind die esten paa Potenzen: ( ( ( 1 a 2 2ab 1 a a 2 Wi vemuten dahe die allgemeine Fomel ( m a ( a 3 3a 2 b a 3 ( a m ma m 1 b a m b am+1 c m+1 a c ( a 4 4a 3 b a 4 wobei wi im Fall m den Ausduc ma m 1 als intepetieen Diese Fomel gilt also schon fü m und wenn sie fü ein m gilt so folgt sie duch die Rechnung ( m+1 a ( m ( IV a a ( a m a a m b + ma m 1 ba a m a ( ( a m ma m 1 b a m a ( a m+1 (m + 1a m b a m+1 auch fü m + 1 Nach Indution gilt die Fomel also fü alle m 5
6 *7 Zeigen Sie dass die Menge {( } a b H : C b a zusammen mit de Addition und Multipliation von Matizen sowie dem Nullelement ( ( und dem Einselement 1 1 ein nichtommutative Schieföpe ist ( ( a b u v Lösung: Betachte beliebige Elemente A und B von H b a v u Dann gilt ( a + u (b + v A + B b + v a + u ( ( au bv av bu au bv (av + bu A B ub + av bv + au (av + bu (au bv Insbesondee liegen A+B und AB in H Also ist die Menge H unte Addition und Multipliation abgeschlossen Aussedem liegen die Nullmatix und die Einheitsmatix beide in H Somit folgen alle Axiome eines Schieföpes mit Ausnahme de Existenz von additiven und multipliativen Invesen diet aus den Gundeigenschaften vo 2-Matizen Sodann liegt auch ( ( A b a b a wiede in H Wegen A + ( A zeigt dies die Existenz de additiven Invesen Ist A von de Nullmatix veschieden so ist mindestens eine de beiden omplexen Zahlen ungleich Null Also ist aa + bb a 2 + b 2 > und wi önnen die Matix ( 1 C : aa + bb b a bilden Diese liegt wiede in H und eine schnelle Rechnung zeigt C A A C I 2 Das zeigt die Existenz alle multipliativen Invesen Wi folgen dass H ein Schieföpe ist Schliesslich zeigt die Rechnung ( ( ( 1 i i 1 i i ( i i dass das Kommutativgesetz in H nicht efüllt ist ( i i ( 1 1 6
B.3 Kugelflächenfunktionen und Legendre-Polynome
B.3 Kugelflächenfunktionen und Legende-Polynome 113 B.3 Kugelflächenfunktionen und Legende-Polynome B.3.1 Kugelflächenfunktionen B.3.1 a ::::::: :::::::::: Definition Sei die Einheitskugelfläche von R
1. Die zu berechnende Boje hat in etwa die folgende Gestalt: r 2
Lösungen fü die Püfung zu Einfühung in das mathematische Abeiten (14.3.003) 1. Die zu beechnende Boje hat in etwa die folgende Gestalt: h Zunächst bestimmen wi die Obefläche diese Boje. Sie ist zusammengesetzt
Seminar Algebra. LECTURES ON FORMS IN MANY VARIABLES Funktionenkörper. Sommersemester 2005 Steffen Schölch Universität Ulm Stand: 17.
Semina Algeba LECTURES ON FORMS IN MANY VARIABLES Funktionenköpe Sommesemeste 2005 Steffen Schölch Univesität Ulm Stand: 17. Juli 2005 Funktionenköpe Definition 1: Ein Köpe K heißt Funktionenköpe in j
Die Zahlbereiche N, Z, Q
Die Zahlbereiche N, Z, Q Ausgangspunt: N = {1,, 3...} Menge der natürlichen Zahlen schrittweise Konstrution 1 := { }, := {, { }}, 3 := {, { }, {, { }}}... (also: n + 1 := n {n} J.v. Neumann 193 N wird
Skript Montag Stetigkeit, Funktionengrenzwerte, Ableitung und Taylorentwicklung
Skipt Montag Stetigkeit, Funktionengenzwete, Ableitung und Tayloentwicklung Jonas Habel, Floian Kollmannsbege 18. Mäz 2018 1 Beweistechniken Beginnen wi mit zwei häufigen Beweistechniken. (a) : (A B) (
Einführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrüc SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 12 Ringe Wir beginnen einen neuen Abschnitt dieser Vorlesung, in dem es um Ringe geht. Definition 12.1. Ein Ring R ist eine Menge
Grundwissen. 9. Jahrgangsstufe. Mathematik
Gundwissen 9. Jahgangsstufe Mathematik Seite Reelle Zahlen. Rechnen mit Quadatwuzeln a ist diejenige nicht negative Zahl, die zum Quadat a egibt. d.h.: ist keine Wuzel aus. Eine Wuzel kann nicht negativ
SS 2017 Torsten Schreiber
SS 7 Tosten Scheibe 7 Eine Mati ist eine Kombination aus eine bestimmten nzahl von, die in Zeilen und Spalten unteteilt sind, die das eine Mati bestimmen, wobei jede die jede Komponente duch die zugehöige
Die Einheitsmatrix E ist das neutrale Element der Multiplikationen; E muss quadratisch sein!
Matizen - Algoithmen Ac Matizen sind Tabellen mit ze Zeilen und sp Spalten Man kann mit ihnen Opeationen duchfühen, die in veschiedenen Beeichen benötigt weden (zb Lösen von Lineaen Gleichungssystemen)
Beispiellösungen zu Blatt 49
µathematische κoespondenz- zikel Mathematisches Institut Geog-August-Univesität Göttingen Aufgabe 1 Beispiellösungen zu Blatt 49 Bei Familie Lösche wid Ästhetik goß geschieben: Man vesucht, die vie Kezen
Lösen einer Gleichung 3. Grades
Lösen eine Gleichung Gdes We sich uf dieses Abenteue einlssen will, bucht einige Kenntnisse übe komlee Zhlen Es eicht be, wenn mn folgende Schvehlte kennt und kochezettig (mn nehme) nwenden knn: Es gibt
Lösung zu Serie 3. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. Sei K ein beliebiger Körper.
Lineare Algebra D-MATH, HS 204 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 3 Sei K ein beliebiger Körper.. [Aufgabe] Sei n Z 0 eine gegebene nicht-negative ganze Zahl. Übersetzen Sie die folgenden Aussagen in eine
Theorie klassischer Teilchen und Felder I
Mustelösungen Blatt 9.0.006 Theoetische Physik I: Theoie klassische Teilchen und Felde I Pof. D. G. Albe Dipl.-Phys. O. Ken Das Zwei-Köpe-Poblem. Zeigen Sie, dass fü die Potentialfunktion U x x gilt mit
Grundwissen. 9. Jahrgangsstufe. Mathematik
Gundwissen 9. Jahgangsstufe Mathematik Seite 1 1 Reelle Zahlen 1.1 Rechnen mit Quadatwuzeln a ist diejenige nicht negative Zahl, die zum Quadat a egibt. d.h.: ist keine Wuzel aus 4. Eine Wuzel kann nicht
Allgemeine Mechanik Musterlo sung 4.
Allgemeine Mechanik Mustelo sung 4. U bung. HS 03 Pof. R. Renne Steuqueschnitt fu abstossende Zentalkaft Betachte die Steuung eines Teilchens de Enegie E > 0 in einem abstossenden Zentalkaftfeld C F x)
Übungsaufgaben zum Prüfungsteil 1 Lineare Algebra /Analytische Geometrie
Übungsaufgaben zum Püfungsteil Lineae Algeba /Analytische Geometie Aufgabe Von de Ebene E ist folgende Paametefom gegeben: 3 E: x= 4 + 0 + s 3 ;,s 0 3 4 a) Duch geeignete Wahl de Paamete und s ehält man
Elemente der Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrüc SS 2015 Elemente der Algebra Vorlesung 2 Ringe Die wichtigsten mathematischen Struturen wie Z, Q, R besitzen nicht nur eine, sondern zwei Vernüpfungen. Definition 2.1. Ein
Über die so definierten Potenzen beweisen wir nun einige einfache Aussagen. = a m+n a Def.
4 NATÜRLICHE ZAHLEN UND VOLLSTÄNDIGE INDUKTION 15 der Eigenschaften von N streng begründen, was hier aber nicht geschehen soll. (Statt Zahlen önnen die a n auch Elemente irgendwelcher Mengen sein.) Über
Lineare Algebra die Darstellungsmatrix von f bezüglich A. Es ist B = (b 1, b 2, b 3 ) mit. A = M A A (f) =
Techische Uivesität Dotmud Sommesemeste 2017 Fakultät fü Mathematik Übugsblatt 3 Pof. D. Detlev Hoffma 22. Mai 2017 Maco Sobiech/ Nico Loez Lieae Algeba 1 Lösug zu Aufgabe 3.1: Voaussetzuge: Sei V ei deidimesioale
Binomialkoeffizient. Für n, k N 0 mit n k definiert man den Binomialkoeffizienten. ( ) n n! n(n 1)(n 2) (n k + 1) Binomialkoeffizient 1-1
Binomialoeffizient Für n, N 0 mit n definiert man den Binomialoeffizienten n! n(n 1)(n 2) (n + 1) = =. (n )!! 1 ( 2)( 1) Binomialoeffizient 1-1 Binomialoeffizient Für n, N 0 mit n definiert man den Binomialoeffizienten
2 Vollständige Induktion
Vollständige Indution Wir unterbrechen jetzt die Disussion der Axiome der reellen Zahlen, um das Beweisverfahren der vollständigen Indution ennenzulernen. Wir setzen voraus, dass die natürlichen Zahlen
Kapitel II. Algebraische Grundbegriffe
Kapitel II. Algebraische Grundbegriffe 1 Ringe und Körper Für das Rechnen in Z haben wir in Kap. I, 1 Regeln aufgestellt, welche auch in Q und R gelten. Damit werden Z, Q und R zu Ringen im folgenden Sinn:
5.3 Die hypergeometrische Verteilung
5.3 Die hypegeometische Veteilung Das Unenmodell fü die hypegeometische Veteilung ist die Ziehung ohne Zuücklegen. Die Une enthalte n Kugeln, davon s schwaze und w n s weiße. De Anteil p : s n de schwazen
12. Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz
72 Andeas Gathmann 2. Beechnung eelle Integale mit dem esiduensatz Wi haben geade gesehen, dass man mit Hilfe des esiduensatzes nahezu beliebige geschlossene komplexe Kuvenintegale beechnen kann. In diesem
2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).
17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften
aus A folgt B ). Sie ist falsch, wenn die Aussage A wahr ist und die Aussage B falsch. Ansonsten ist sie wahr. Wichtig ist auch die Aussage A B (
3 1. Die reellen Zahlen Die reellen Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir gewöhnlich rechnen. Sie enthalten Elemente wie e, π oder 5 3. In diesem Kapitel geht es darum, ihren axiomatischen Aufbau und die
Natürliche und ganze Zahlen, vollständige Induktion und Kombinatorik
Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen, vollständige Indution und Kombinatori 2.1 N, Z (Gruppe; Ordnungsrelation Jeder hat eine intuitive Vorstellung von der Menge der natürlichen Zahlen N : {1, 2, 3...
Geometrie der Cartan schen Ableitung
Geoetie de Catan schen Ableitung - - Notation Sei + Sei + Wi bezeichnen it ( L den Vektoau alle fach ultilineaen Abbildungen f : -al 2 Wi bezeichnen it S die Guppe alle Peutationen σ : {,, } {,, } Des
Lineare Algebra 2. A m. A 3 XI n3
Techische Uivesität Dotmud Sommesemeste 27 Fakultät fü Mathematik Übugsblatt 6 Pof D Detlev Hoffma 6 Jui 27 Maco Sobiech/ Nico Loez Lieae Algeba 2 Lösug zu Aufgabe 6: Voaussetzuge: Sei K ei Köpe ud sei
Wir nehmen an, dass die Streuung elastisch ist; d.h., dass die Energie des Teilchens erhalten bleibt. Die Streuung ändert die Wellenfunktion bei r =
Volesung 9 Die elastische Steuung, optisches Theoem, Steumatix Steuexpeimente sind ein wichtiges Instument, das uns elaubt die Eigenschaften de Mateie bei kleinsten Skalen zu studieen. Ein typisches Setup
2 Grundstrukturen. 2.1 Gruppen. Prof. Dr. Peter Schneider. Vorlesung WS Lineare Algebra 1 2 GRUNDSTRUKTUREN
Vorlesung WS 08 09 Lineare Algebra 1 Prof. Dr. Peter Schneider 2 Grundstrukturen Notation: Sind M und N zwei Mengen, so heißt die Menge M N := {(m, n) : m M, n N} das cartesische Produkt oder auch die
2 Lineare Gleichungssysteme
2 Lineare Gleichungssysteme Betrachte ein beliebiges System von m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x,,x n : a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 () a m x + a m2 x
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 DER KREIS
ARBEITSBLATT 15 DER KREIS Zunächst einmal wollen wi uns übelegen, was man mathematisch unte einem Keis vesteht. Definition: Ein Keis ist die Menge alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt ( Keismittelpunkt)
Mögliche Portfolios: Zulässiger Bereich
Veeinfachende nnahme: zwei Finanztitel ( und ) ekannte Infomationen: ~ ~ ~, Va, t1 Cov~ Ewatete Renditen, t1,, t1 Vaianzen de Renditen Va ~, t 1 Kovaianz zwischen den Renditen, ~, t1, t1 Man kann unteschiedliche
2 Partielle Ableitungen
2 Patielle Ableitungen Wi kommen nun zu Diffeentiation von Funktionen im R n. Um fü diese Ableitungen zu definieen, ist die einfachste und vielfach beste Idee, alle Vaiablen bis auf x j als konstant aufzufassenunddieesultieendefunktiondeeinenvaiablen
Mathematik I. Vorlesung 5
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrüc WS 2009/2010 Mathemati I Vorlesung 5 Für zwei natürliche Zahlen n, m gilt n m genau dann, wenn man n = m+ mit einem N schreiben ann (siehe Aufgabe 4.12). In diesem Fall ist
$Id: reell.tex,v /11/15 13:12:24 hk Exp $
$Id: reell.tex,v.8 200//5 3:2:24 h Exp $ 4 Die reellen Zahlen 4.3 Das Vollständigeitsaxiom Wir hatten das Supremum einer Menge M R als die leinste obere Schrane von M definiert, sofern eine solche überhaupt
1 Aufbau des Zahlensystems
1 Aufbau des Zahlensystems 1.1 Die Menge N der natürlichen Zahlen 1.1.1 Definition Die mathematischen Eigenschaften dieser durch das Abzählen von Gegenständen motivierten Zahlenmenge lassen sich auf die
QFT entfernt den Shift
QFT entfent den Shift Lemma Entfenen des Shifts duch QFT QFT m z,b = 1 1 e 2πi b l ml Beweis: Es gilt QFT m z,b = 1 m m 1 1 m 1 m 2 y=0 l=0 k=0 QFT m k + b Umfomung liefet m 1 k=0 k+b e2πi m y y Wi ziehen
Aufgabe 1: a) Die Effektivverzinsung einer Nullkuponanleihe lässt sich anhand der folgenden Gleichung ermitteln: F =
Aufgabe : a Die Effektivvezinsung eine Nullkuponanleihe lässt sich anhand de folgenden Gleichung emitteln: Hie gilt P( c( aktuelle Maktpeis de Anleihe Nennwet de Anleihe 4 und folglich i P( / c( c( i c(
Seminarvortrag Differentialgeometrie: Rotationsflächen konstanter Gaußscher
Seminavotag Diffeentialgeometie: Rotationsflächen konstante Gaußsche Kümmung Paul Ebeman, Jens Köne, Mata Vitalis 1. Juni 22 Inhaltsvezeichnis Vobemekung 2 1 Einfühung 2 2 Este Fundamentalfom 2 3 Vetägliche
Endliche Körper. Von Christiane Telöken und Stefanie Meyer im WS 03/04 Ausgewählte Titel der Kryptologie
Endliche Köpe Von Chistiane Telöken und Stefanie Meye im WS 03/04 Ausgewählte Titel de Kyptologie Gliedeung. Einleitung. Kyptologie im Altetum. Definitionen de Kyptologie.3 Kyptologie heute. Endliche Köpe.
1. Die reellen Zahlen
3 1. Die reellen Zahlen 1.1. Undefinierte Begriffe. Wir verwenden eine Reihe von Begriffen ohne mathematisch genaue Definition: Eine Aussage nennen wir etwas, von dem wir sagen önnen, ob es wahr ist oder
Diskrete Strukturen Klausur
Technische Univesität München Winte 2017/18 Pof. J. Esaza / D. M. Luttenbege, S. Sicket Diskete Stuktuen Klausu 14.02.2018 Beachten Sie: Soweit nicht andes angegeben, ist stets eine Begündung bzw. de Rechenweg
$Id: reell.tex,v /11/11 12:32:08 hk Exp $
Mathemati für Physier I, WS 203/204 Montag. $Id: reell.tex,v.23 203// 2:32:08 h Exp $ Die reellen Zahlen.5 Potenzen mit rationalen Exponenten Wir behandeln gerade die Bernoulli-Ungleichung +x) n +nx gültig
Die Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoffatom lautet Op2 e2 Or. mit
4 Stak-Effekt Als Anwendung de Stöungstheoie behandeln wi ein Wassestoffatom in einem elektischen Feld. Fü den nichtentateten Gundzustand des Atoms füht dies zum quadatischen Stak-Effekt, fü die entateten
Theoretische Physik 1 (Mechanik) Lösung Aufgabenblatt 1
Technische Univesität München Fakultät fü Physik Feienkus Theoetische Physik 1 (Mechanik) SS 018 Aufgabenblatt 1 Daniel Sick Maximilian Ries 1 Aufgabe 1: Diffeenzieen Sie die folgenden Funktionen und entwickeln
Dr. Jan Friedrich Nr L 2
Übungen zu Expeimentalphysik 4 - Lösungsvoschläge Pof. S. Paul Sommesemeste 5 D. Jan Fiedich N. 4 9.5.5 Email Jan.Fiedich@ph.tum.de Telefon 89/89-1586 Physik Depatment E18, Raum 3564 http://www.e18.physik.tu-muenchen.de/teaching/phys4/
Bevor wir mit Analysis anfangen, legen wir erst einige mathematische Symbole fest.
Analysis, Woche Zahlen A. Elementares Bevor wir mit Analysis anfangen, legen wir erst einige mathematische Symbole fest... Logische Symbole Seien A und B Aussagen. So eine Aussage ist zum Beispiel: Gras
Kapitel II. Vektoren und Matrizen
Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft
Teil I. Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester Olga Holtz. MA 378 Sprechstunde Fr und n.v.
Teil I Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester 2011 Olga Holtz MA 378 Sprechstunde Fr 14-16 und nv holtz@mathtu-berlinde Sadegh Jokar MA 373 Sprechstunde, Do 12-14 und nv jokar@mathtu-berlinde Kapitel
Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2016 Prof. Manfred Einsiedler Philipp Wirth. Lösung 3
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analsis I HS 016 Prof Manfred Einsiedler Philipp Wirth Lösung 3 Diese Woche werden nur Lösungen zu den Aufgaben 4, 5 und 6 zur Verfügung gestellt 4 a Nach Folgerung (i aus den Axiomen
Abstandsbestimmungen
Abstandsbestimmungen A) Vektoechnungsmethoden (mit Skalapodukt): ) Abstand eines Punktes P von eine Ebene IE im Raum (eine Geade g in de Ebene ): Anmekung: fü Geaden im Raum funktioniet diese Vektomethode
[( r. = dv. Für D = 0 muss folglich die Klammer verschwinden. Die Differentialgleichung WS 2008/ PDDr.S.Mertens
PDD.S.Metens Theoetische Physik I Mechanik J. Untehinninghofen, M. Hummel Blatt 7 WS 28/29 2.2.28. Runge-enz-Vekto.EinMassenpunktdeMassemmitdemDehimplus bezüglichdes (4Pkt. Kaftzentums bewege sich in einem
Aufgabe S 1 (4 Punkte)
Aufgabe S 1 (4 Punkte) In ein gleichschenklig-echtwinkliges Deieck mit Kathetenlänge 2 weden zwei Quadate so einbeschieben, dass a) beim esten Quadat eine Seite auf de Hypotenuse liegt und b) beim zweiten
3 Matrizen und Lineare Gleichungssysteme
3 Matrizen und LGS Pink: Lineare Algebra HS 2014 Seite 38 3 Matrizen und Lineare Gleichungssysteme 3.1 Definitionen Sei K ein Körper, und seien m,n,l natürliche Zahlen. Definition: Eine Matrix mit m Zeilen
Übungen zur Kursvorlesung Physik II (Elektrodynamik) Sommersemester 2008
Übungsblatt 4 zu Physik II Von Patik Hlobil (38654), Leonhad Doeflinge (496) Übungen zu Kusvolesung Physik II (Elektodynamik) Sommesemeste8 Übungsblatt N. 4 Aufgabe 3: Feldstäke im Innen eines Ladungsinges
Vorkurs Mathematik. Arbeitsblatt 5. Verknüpfungen
Prof Dr H Brenner Osnabrüc WS 2009/2010 Vorurs Mathemati Arbeitsblatt 5 Vernüpfungen Aufgabe 51 Betrachte die ganzen Zahlen Z mit der Differenz als Vernüpfung, also die Abbildung Z Z Z, (a, b) a b Besitzt
Lineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 3 Gruppen In der linearen Algebra wird im Allgemeinen ein Grundkörper K zugrunde gelegt, über den sich
U y. U z. x U. U x y. dy dz. 3. Gradient, Divergenz & Rotation 3.1 Der Gradient eines Skalarfeldes. r dr
PHYSIK A Zusatvolesung SS 13 3. Gadient Divegen & Rotation 3.1 De Gadient eines Skalafeldes Sei ein skalaes eld.b. ein Potential das von abhängt. Dann kann man scheiben: d d d d d d kann duch eine Veändeung
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das Studium linearer Gleichungssysteme und ihrer Lösungen ist eines der wichtigsten Themen der linearen Algebra. Wir werden zunächst einige grundlegende Begriffe
Teilbereich 5: Exponential Funktionen 1. Grundkursniveau. Hier eine Musteraufgabe mit Lösung Auf CD alles komplett. Datei Nr
Püfungsaufgaben Mündliches Abitu Analysis Teilbeeich 5: Eponential Funktionen Gundkusniveau Hie eine Musteaufgabe mit Lösung Auf CD alles komplett Datei N. 495 Fiedich Buckel Oktobe 003 INTERNETBIBLIOTHEK
Über eine ziemlich allgemeine Zahlenfolge und eine ziemlich allgemeine Funktion
Übe eine ziemlich allgemeine Zahlenfolge und eine ziemlich allgemeine Funktion Beat Jaggi, beat.jaggi@phben.ch Abstact Ausgehend von einem veallgemeineten Mittelwet wid eine Zahlenfolge definiet, die eine
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Matrizen und Vektoren, LGS, Gruppen, Vektorräume 1.1 Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A := 1 1 2 0 5 1 8 7 Berechnen Sie alle möglichen
Mathematik I. Vorlesung 5
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrüc WS 2009/2010 Mathemati I Vorlesung 5 Für zwei natürliche Zahlen n, m gilt n m genau dann, wenn man n = m+ mit einem N schreiben ann (siehe Aufgabe 4.12). In diesem Fall ist
3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen
3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange
6 Die Gesetze von Kepler
6 DIE GESETE VON KEPER 1 6 Die Gesetze von Kele Wi nehmen an, dass de entalköe (Sonne) eine seh viel gössee Masse M besitzt als de Planet mit de Masse m, so dass de Schweunkt in gute Näheung im entum de
7 Trigonometrie. 7.1 Defintion am Einheitskreis. Workshops zur Aufarbeitung des Schulsto s Wintersemester 2014/15 7 TRIGONOMETRIE
7 Tigonometie Wi beschäftigen uns hie mit de ebenen Tigonometie, dabei geht es hauptsächlich um die geometische Untesuchung von Deiecken in de Ebene. Ein wichtiges Hilfsmittel dafü sind die Winkelfunktionen
Beweis. herleiten. Ist also z S α, so haben wir eine Darstellung der Form. Da log α die Umkehrfunktion ist gilt somit. log α (z) = x + iy.
Tuto: Matin Fiesen, matin.fiesen@gmx.de Übungsblatt 6 - Funktionentheoie, Pof. G. Hemion Hie weden wi die theoetischen Übelegungen de analytischen Fotsetzungen anhand diese beiden Beispiele diskutieen.
(λ), t P j i = P j i. heißt symmetrisch, wenn t A = A und antisymmetrisch, wenn
3. 1 Transposition der Elementarmatrizen aus R n n. Für 1 i, j n und λ G(R) bzw. λ R gilt t S i (λ) S i (λ), t Q j i (λ) Qi j (λ), t P j i P j i. 3. 11 Definition. Eine Matrix A R n n t A A. heißt symmetrisch,
2.12 Dreieckskonstruktionen
.1 Deieckskonstuktionen 53.1 Deieckskonstuktionen.1.1 B aus a, b und c. Keis um mit Radius b 3. Keis um B mit Radius a 4. Schnittpunkt de Keise ist Bemekung: Es entstehen zwei konguente B..1. B aus α,
Tutoriumsaufgaben. 1. Aufgabe. Die Eulerschen Formeln für Geschwindigkeiten und Beschleunigungen auf einem Starrkörper lauten:
Technische Univesität elin Fakultät V Institut fü Mechanik Fachgebiet fü Kontinuumsmechanik und Mateialtheoie Seketaiat MS 2, Einsteinufe 5, 10587 elin 9. Übungsblatt-Lösungen Staköpekinematik I SS 2016
Das Ski-Rental-Problem
Da Ski-Rental-Poblem (Voläufige Veion, 15. Mai 212) Pof. D. Hanno Lefmann Fakultät fü Infomatik, TU Chemnitz, D-917 Chemnitz, Gemany lefmann@infomatik.tu-chemnitz.de 1 Da Ski-Rental-Poblem Bei dem Ski-Rental-Poblem
1 Lineare Bewegung der Körper
Lineae Bewegung de Köpe.3 Regentopfen und Fallschimspinge (v 0 (t) = g v(t)) In beiden Fällen handelt es sich um Objekte, die aus goßen Höhen fallen und von dem duchfallennen Medium (Luft) gebemst weden.
Lösung V Veröentlicht:
1 Bewegung entlang eines hoizontalen Keises (a) Ein Ball de Masse m hängt an einem Seil de Länge L otiet mit eine konstanten Geschwindigkeit v auf einem hoizontalen Keis mit Radius, wie in Abbildung 2
Determinanten. I. Permutationen
Determinanten Durch Bildung der Determinante wird einer quadratischen (! Matrix eine gewisse Zahl zuordnet. Die Determinante tritt besonders bei Fragen der Flächen- bzw. Volumsberechnung auf (siehe auch
Der Lagrange- Formalismus
Kapitel 8 De Lagange- Fomalismus 8.1 Eule-Lagange-Gleichung In de Quantenmechanik benutzt man oft den Hamilton-Opeato, um ein System zu bescheiben. Es ist abe auch möglich den Lagange- Fomalismus zu vewenden.
Technische Universität München. Aufgaben Montag WS 2011/12
Technische Universität München Andreas Wörfel Ferienurs Analysis 1 für Physier Aufgaben Montag WS 2011/12 Aufgabe 1 Ne Menge Mengen a Zeigen Sie: A B A B B Zeige: A B A B B x (A B x A B x B, also: (A B
Integration von Ortsgrößen zu Bereichsgrößen
Integation von Otsgößen zu Beeichsgößen 1 Integation von Otsgößen zu Beeichsgößen Stömungen sind Bewegungen von Teilchen innehalb von Stoffen. Ihe wesentlichen Gesetzmäßigkeiten gehen aus Zusammenhängen
Serie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q:
![Serie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q:](/thumbs/72/66491799.jpg "Serie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q:")
Lineare Algebra D-MATH, HS 214 Prof Richard Pink Serie 5 1 [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q: 1 a) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 b) 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 1 c) 1 3 3 2 2 1 5 3 1 2 6 1 [Lösung]
Neunte Vorlesung: Die Kruskal-Metrik
Neunte Volesung: Die Kuskal-Metik 9.1 Poblemstellung 9. Eigenzeit fei fallende Teilchen 9.3 Metik von Lemaite 9.4 Eddington-Finkelstein-Metik 9.5 Kuskal-Metik 9.1 Poblemstellung De metische Tenso hängt
Parametergleichung der Geraden durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor u r t R heisst Parameter
8 3. Dastellung de Geaden im Raum 3.1. Paametegleichung de Geaden Die naheliegende Vemutung, dass eine Geade des Raumes duch eine Gleichung de Fom ax + by + cz +d 0 beschieben weden kann ist falsch (siehe
Rechnen mit Vektoren im RUN- Menü
Kael 09.. CASIO Teach & talk Jügen Appel Einen deidimenionalen Vekto kann man al Matix mit dei Zeilen und eine Spalte auffaen. Daduch kann man mit Vektoen echnen. D.h. konket, man kann Vektoen addieen
Teil I. Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester Olga Holtz. MA 378 Sprechstunde Fr und n.v.
Teil I Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester 2 Olga Holtz MA 378 Sprechstunde Fr 4-6 und nv holtz@mathtu-berlinde Sadegh Jokar MA 373 Sprechstunde, Do 2-4 und nv jokar@mathtu-berlinde Kapitel 4 Der
7 Trigonometrie. 7.1 Definition am Einheitskreis. Workshops zur Aufarbeitung des Schulstoffs Sommersemester TRIGONOMETRIE
7 Tigonometie Wi beschäftigen uns hie mit de ebenen Tigonometie, dabei geht es hauptsächlich um die geometische Untesuchung von Deiecken in de Ebene. Ein wichtiges Hilfsmittel dafü sind die Winkelfunktionen
Determinanten. I. Permutationen
Determinanten Durch Bildung der Determinante wird einer quadratischen (! Matrix eine gewisse Zahl zuordnet. Die Determinante tritt besonders bei Fragen der Flächen- bzw. Volumsberechnung auf (siehe auch
Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie
Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie 1.0 Teilbarkeit In diesem Abschnitt werden wir einerseits die ganzen Zahlen an sich studieren und dabei besonders wichtige Zahlen, die Primzahlen, entsprechend
(das heißt, dass a, b K, a + b K und a b K). (K, +, ) bildet ein Körper wenn die folgenden Axiome gelten:
FU Berlin: WiSe 13-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 3 Voraussetzungen Körperaxiome Sei K eine Menge, und seien +, zwei Verknüpfungen + :K K K, : K K K (a, b) a + b (a, b) a b (das heißt, dass
Transformation der Cauchy-Riemann-DGLen
Tansfomation de Cauchy-Riemann-DGLen von Benjamin Schwaz 4 Mai 27 Tansfomationsfomel Fü gewöhnlich weden die Cauchy-Riemannschen Diffeentialgleichungen fü eine Abbildung f : U R 2 mit U R 2 bezüglich de
PN 2 Einführung in die Experimentalphysik für Chemiker und Biologen
PN 2 Einfühung in die alphysik fü Chemike und Biologen 2. Volesung 27.4.07 Nadja Regne, Thomas Schmiee, Gunna Spieß, Pete Gilch Lehstuhl fü BioMolekulae Optik Depatment fü Physik LudwigMaximiliansUnivesität
Universität Ulm Abgabe: Donnerstag,
Univesität Ulm Abgabe: Donnestag, 6.5.23 Pof. D. W. Aent Stephan Fackle Sommesemeste 23 Punktzahl: 3 Lösungen Elemente e Diffeenzialgleichungen: Blatt 3 Am 9. Mai entfallen ie Übungen wegen Chisti Himmelfaht.
Lineare Algebra II Lösungen der Klausur
Prof Dr K Doerk 673 Jens Mandavid Christian Sevenheck Lineare Algebra II Lösungen der Klausur (a Diese Aussage ist richtig, sie stimmt nämlich für k = Sei nämlich n N beliebig und bezeichne N die Menge
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Lösung 3
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler Lösung 3 Hinweise 1. Verwenden Sie in a) für die ersten beiden Gleichungen die Eindeutigkeit des additiven Inversen (Folgerung (b)) und
1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente:
Lösung 1. Übung Elemente der Algebra WS018/19 1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente: (e) {(x,y) IR 7x+3y 6}.
a i j (B + C ) j k = n (a i j b j k + a i j b j k ) =
Lösungen Lineare Algebra für Physiker, Serie 2 Abgabe am 25.10.2007 1. Es seien A K m n, B,C K n p und D K p q gegeben. 9 P (a) Beweisen Sie das Distributivgesetz A(B + C ) = A B + AC. (b) Beweisen Sie
= = = = =
7 6-6 7 = 8 5-5 8 = 6-6 = 9 1-1 9 = 6 4-4 6 = Meine Foschemappe zu Name: Beabeitungszeitaum: vom bis zum Augabe 1 Schau di die Augaben genau an und echne sie aus. Finde viele weitee Augaben mit dem gleichen
Mathematische Strukturen
Mathematische Strukturen Lineare Algebra I Kapitel 3 18. April 2012 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/ holtz Email: holtz@math.tu-berlin.de