Natürliche und ganze Zahlen, vollständige Induktion und Kombinatorik

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1 Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen, vollständige Indution und Kombinatori 2.1 N, Z (Gruppe; Ordnungsrelation Jeder hat eine intuitive Vorstellung von der Menge der natürlichen Zahlen N : {1, 2, 3... }, die sich in den Axiomen von Peano widerspiegelt und die im Wesentlichen von der Existenz einer Nachfolgeabbildung geprägt ist: i 1 ist eine natürliche Zahl 1 ; ii zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine nachfolgende natürliche Zahl (n + 1. Beobachtung. Die natürlichen Zahlen sind über die Nachfolgeabbildung mit einer Addition versehen. Was ist mit der Gleichung m + z n in N? Zur Lösung solcher Gleichungen (m, n N gegeben, gesucht z benötigt man eine Subtration, sodass die Menge N auf die Menge der ganzen Zahlen 1 Null ist im Sinne dieser Charaterisierung eine natürliche Zahl. Die Vereinigung der Menge der natürlichen Zahlen mit der Null wird mit N 0 bezeichnet. 33

2 34 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori erweitert werden muss: Z {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... }. Die algebraische Strutur der ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen versehen mit der Addition haben eine besondere Strutur, die man ommutative oder Abelsche Gruppe nennt. Die Gruppenstrutur findet man nicht nur in der Menge der ganzen Zahlen. Eine ganze Reihe grundlegender physialischer Operationen gehorcht den gleichen Spielregeln (vgl. Übungen. Definition 2.1. Gruppe Eine Menge G versehen mit einer Vernüpfung heißt Gruppe (G,, falls jedem geordneten Paar von Elementen g 1 und g 2 aus G ein Element g 1 g 2 aus G (Abgeschlossenheit zuordnet wird, mit: i Es gibt genau ein neutrales Element e G, sodass für alle g G e g g e g. ii Zu jedem g G existiert genau ein inverses Element g G mit g g g g e. iii Für alle g 1, g 2, g 3 aus G gilt das Assoziativgesetz g 1 (g 2 g 3 (g 1 g 2 g 3. Eine Gruppe heißt ommutativ (oder Abelsch, falls zusätzlich gilt: Für alle g 1, g 2 aus G ist g 1 g 2 g 2 g 1.

3 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori 35 Bemerungen. i Im Fall (Z,+ ist in Definition 2.1 G durch Z und durch + zu ersetzen. ii Das neutrale Element e ist in diesem Fall die 0. iii Das inverse Element z einer ganzen Zahl z bzgl. der Addition wird als z bezeichnet (Schreibweise: m + ( z m z. Die eindeutige Lösung der Gleichung m + z n ist z m + n. Die natürlichen Zahlen (und ebenso die ganzen Zahlen sind neben der Addition mit einer Multipliation versehen. Die Multipliation ann wie die Addition als Abbildung N N N aufgefasst werden, nämlich als : N N (m, n m n N, wobei der Malpunt meist weggelassen wird. Es gelten die beannten Rechenregeln, auf die im Rahmen der Axiomati der reellen Zahlen eingegangen wird. Schließlich ist in den natürlichen Zahlen eine sogenannte Ordnungsrelation < definiert, die den Eigenschaften genügt: i n < n + 1 (n leiner 2 als n + 1; ii je zwei ganze Zahlen m, n sind vergleichbar, entweder gilt m < n oder n < m oder m n. Notation. i Summenzeichen: Es seien a 1, a 2,..., a n Summanden mit Werten in den natürlichen oder ganzen (rationalen, reellen, omplexen Zahlen. 2 leiner gleich, größer, größer gleich : m n : m < n oder m n; m > n : n < m; m n : n m.

4 36 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori Dann wird die Summe a 1 + a 2 + a a n ürzer geschrieben (und mehr passiert hier nicht als a. 1 Man nennt den Summationsindex und die Menge aller, über die summiert wird, die Indexmenge. Der Summationsindex ann umbenannt oder durch einen anderen Ausdruc ersetzt werden, wobei sich die Indexmenge evtl. verändert. Die Indexmenge muss zudem nicht bei 1 anfangen. Beispiele. a 1 a 1 a l, l1 n+1 a j 1 j2 n 4 i 3 a i+4, 2 b 2m b 0 + b 2 + b 4 (gerade Indizes, m0 2 b 2m+1 b 1 + b 3 + b 5 (ungerade Indizes. m0 Im Falle onstanter Summanden (a 1 a 2 a n a gilt offensichtlich a a } + a + {{ + a } na. 1 n mal Ebenso offensichtlich sind die Rechenregeln m m m m a + b (a + b, c a n n n n m (ca. n

5 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori 37 ii Produtzeichen: Es seien a 1, a 2,..., a n Fatoren analog zu den Summanden im obigen Exurs zu Summenzeichen. Die abürzende Schreibweise für das Produt ist a 1 a 2... a n n a. 1 Der Produtindex und die Indexmenge werden genauso behandelt wie der Summationsindex und die Indexmenge. 2.2 Das Prinzip der vollständigen Indution Das fünfte Peanosche Axiom besagt: Gehört 1 zu einer Teilmenge A N und gehört mit jeder natürlichen Zahl n auch automatisch die nachfolgende natürliche Zahl n + 1 zu A, so umfasst A schon alle natürlichen Zahlen, A N. Auf dieser Eigenschaft basiert das Beweisprinzip der vollständigen Indution. Wie in Abbildung 2.1 angedeutet, erinnert es an eine Reihe von Dominosteinen. Fällt irgendein Stein (etwa der mit der Nummer n, so muss auch der nachfolgende Stein (also der mit der Nummer n + 1 fallen (Indutionsschluss. Stößt man den ersten Stein an (Indutionsanfang, so werden dann alle Steine fallen. Satz 2.1. Prinzip der vollständigen Indution Es sei n 0 N (meist n 0 1 und A(n, n n 0, seien Aussagen. Weiterhin gelte i Indutionsanfang: Die Aussage A(n 0 ist richtig.

6 38 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori Abbildung 2.1: Die vollständige Indution funtioniert nach dem Dominoprinzip. ii Indutionsschluss: Für jedes beliebige n n 0 folgt aus der Annahme, dass A(n wahr ist, der so genannten Indutionsannahme, dass auch automatisch die Aussage A(n + 1 wahr ist. Dann sind alle Aussagen A(n, n n 0, wahr. Beispiel. Die Behauptung n(n n 2 soll für jedes n N mithilfe vollständiger Indution gezeigt werden. Beweis. In der Notation des Satzes 2.1 ist für alle n N n(n + 1 A(n :. 2 1 Indutionsanfang: Die Aussage A(1, ist offensichtlich wahr: 1 1 1(

7 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori 39 Indutionsschluss (A(n A(n + 1: Man nehme nun an, dass A(n für ein beliebiges aber festes n N wahr ist. Um zu zeigen, dass unter dieser Hypothese A(n + 1 wahr ist, wird wie folgt umgeformt: n }{{} n(n+1/2 da A(n nach Annahme wahr ist n(n (n + 1(n ( n + (n + 1 (n (n + 1 Das ist genau die Aussage A(n + 1, die wie hiermit gezeigt richtig ist, falls A(n richtig ist. Nach dem Indutionsprinzip ist die Behauptung bewiesen. In den Übungsaufgaben zu diesem Kapitel finden sich zahlreiche weitere Beispiele zum Beweisprinzip der vollständigen Indution, mit dessen Hilfe auch die folgenden Aussagen aus der Kombinatori verifiziert werden. 2.3 Grundbausteine der Kombinatori (Binomialoeffizient; binomischer Lehrsatz; Permutation; Kombination; Urnenmodell Die Kombinatori ist die Lehre des Abzählens und als solche ein wichtiger Bestandteil der elementaren Wahrscheinlicheitsrechnung und Statisti. Als Vorbereitung für die folgenden Betrachtungen werden zunächst die Begriffe Faultät und Binomialoeffizient eingeführt.

8 40 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori Definition 2.2. Faultät, Binomialoeffizient Es seien n, m N und 1 m n. i Mit n-faultät wird das Produt n! : n n 1 bezeichnet. Man setzt 0! 1. ii Die natürlichen Zahlen (obwohl sie zunächst als Brüche definiert sind ( n n (n 1 (n m + 1 n! : m m! (n m! m! heißen die Binomialoeffizienten n über m. Man setzt (vgl. 0! 1 ( ( ( n n l 1 und 0 für l < m, l N. 0 n m Die Binomialoeffizienten gehorchen der Reursionsformel (1 m < n ( ( n n n! + m m 1 m!(n m! + n! (m 1!(n m + 1! n!(n + 1 m + n!m m!(n + 1 m! n!(n + 1 m + m m!(n + 1 m! (n + 1! m!(n + 1 m! ( n + 1. m Auf dieser wiederum basiert das sogenannte Pascalsche Dreiec (Tabelle 2.1, an dem die Binomialoeffizienten abgelesen werden önnen.

9 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori 41 1 n n n n n n 5 Tabelle 2.1: Das Pascalsche Dreiec. Nach der Reursionsformel folgt der Aufbau des Pascalschen Dreiecs der einfachen Regel, dass die Summe zweier Eintragungen in einer Zeile die darunter stehende Eintragung ergibt. Binomischer Lehrsatz. Es handelt sich hier nicht nur um ein Hilfsmittel in der Kombinatori. Als Verallgemeinerung binomischer Formeln ist der folgende Satz, der ebenfalls mit vollständiger Indution gezeigt werden ann (siehe Übungen, von grundsätzlichem Interesse. Satz 2.2. Der binomische Lehrsatz Für alle Zahlen a, b (auch für rationale, reelle oder omplexe Zahlen und für alle n N ist ( n (a + b n a n b. 0 Im Folgenden sei n N und M eine Menge bestehend aus n Elementen. Dabei wird in der Regel ohne Einschränung 3 M {1,..., n} angenommen. 3 Ohne Einschränung o.e. oder ohne Beschränung der Allgemeinheit o.b.d.a. bedeutet: Hier geht es nur um eine Vereinfachung in der Notation. Im allgemeinen Fall führen die gleichen Argumente zum Ziel.

10 42 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori Permutationen Zu N wird ein -Tupel von Elementen aus M betrachtet, d.h. (a 1, a 2,..., a M M... M }{{} -mal. i Permutationen ohne Wiederholung. Sind in einem solchen Tupel alle Eintragungen verschieden (insbesondere muss dann n gelten, so spricht man von einer -Permutation aus M ohne Wiederholung, die Menge aller derartigen Permutationen wird mit bezeichnet. Per n (ow : { (a 1,..., a : a j {1,..., n}, 1 j, a i a j für 1 i j } Satz 2.3. Permutationen ohne Wiederholung Insgesamt gibt es Per n (ow n(n 1(n 2... (n + 1 verschiedene -Permutationen aus M ohne Wiederholung. Idee. Für den ersten Eintrag in das Tupel gibt es n Wahlmöglicheiten, für den zweiten verbleiben noch n 1 Wahlmöglicheiten.... Beispiel Urnenmodell. In einer Urne befinden sich n nummerierte, ansonsten gleichartige Kugeln. Aus der Urne werden Kugeln gezogen.

11 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori 43 Kommt es auf die Reihenfolge der Ziehungen an (wie bei den Eintragungen in einem Tupel und werden die gezogenen Kugeln nicht wieder in die Urne zurücgelegt (wie in einem Tupel ohne Wiederholung, so gibt es n(n 1... (n + 1 verschiedene Ziehungsmöglicheiten. ii Permutationen mit Wiederholung. Müssen die Eintragungen in einem Tupel nicht verschieden sein, so spricht man von einer -Permutation aus M mit Wiederholung, die Menge aller derartigen Permutationen wird mit Per n (mw : { (a 1,..., a : a j {1,..., n}, 1 j } bezeichnet. Satz 2.4. Permutation mit Wiederholung Insgesamt gibt es Per n (mw n verschiedene -Permutationen aus M mit Wiederholung. Idee. Hier gibt es für jede der Eintragungen n Wahlmöglicheiten. Ein formaler Beweis mittels vollständiger Indution ann als Übungsaufgabe geführt werden. Beispiel Urnenmodell. Kommt es wieder auf die Reihenfolge der Ziehungen an und werden die gezogenen Kugeln wieder in die Urne zurücgelegt (wie in einem Tupel mit Wiederholung, so gibt es n verschiedene Ziehungsmöglicheiten.

12 44 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori Kombinationen Kommt es nicht auf die Reihenfolge an, so önnen wie bei den Lottozahlen die Elemente eines Tupels einfach der Größe nach angeordnet werden, (a 1, a 2,..., a M } M {{... M }, 1 a 1 a 2 a n. -mal i Kombinationen ohne Wiederholung. Sind in einem solchen der Größe nach geordneten Tupel alle Eintragungen verschieden (wieder muss in diesem Fall n gelten, so spricht man von einer -Kombination aus M ohne Wiederholung, die Menge aller derartigen Kombinationen wird mit Kom n (ow : { (a 1,..., a : a j {1,..., n}, 1 j, 1 a 1 <a 2 <... <a n } bezeichnet. Man beachte die strite Ungleichungsette in der Definition, die die Bedingung ohne Wiederholung widerspiegelt. Bemerung. Eine -Kombination aus M ohne Wiederholung entspricht genau einer -elementigen Teilmenge von M. Satz 2.5. Kombination ohne Wiederholung Insgesamt gibt es Kom n (ow ( n verschiedene -Kombinationen aus M ohne Wiederholung.

13 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori 45 Beispiel Urnenmodell. Kommt es nicht auf die Reihenfolge der Ziehungen an und werden die gezogenen Kugeln nicht wieder in die Urne zurücgelegt (ohne Wiederholung, so gibt es ( n verschiedene Ziehungsmöglicheiten. ii Kombinationen mit Wiederholung. Sind in einem solchen der Größe nach geordneten Tupel nicht notwendig alle Eintragungen verschieden, so spricht man von einer - Kombination aus M mit Wiederholung, die Menge aller derartigen Kombinationen wird mit Kom n (mw : { (a 1,..., a : a j {1,..., n}, 1 j, 1 a 1 a 2... a n } bezeichnet. Man beachte hier das in der Ungleichungsette, das die Bedingung mit Wiederholung widerspiegelt. Satz 2.6. Kombination mit Wiederholung Insgesamt gibt es ( n + 1 Kom n (mw verschiedene -Kombinationen aus M mit Wiederholung. Beispiel Urnenmodell. Kommt es nicht auf die Reihenfolge der Ziehungen an und werden die gezogenen Kugeln wieder in die Urne zurücgelegt (mit Wiederholung, so gibt es ( n + 1 verschiedene Ziehungsmöglicheiten.

14 46 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori 2.4 Übungsaufgaben zu Kapitel 2 Aufgabe 1. Es sei M die Menge {0, 1}. Auf M werde mittels Tabelle 2.2 eine Addition definiert (z.b. ist nach der Tabelle , Ist Tabelle 2.2: Definition einer Addition auf {0, 1} (M, + eine ommutative Gruppe? Aufgabe 2. Man betrachte die Ebene R 2 versehen mit den Rotationen um den Nullpunt. Handelt es sich um eine ommutative Gruppe? Wie sieht die Situation im R 3 aus? Aufgabe 3. Gilt die Gleichheit [ ] [ m ] a b l 1 l1 [ m ] a b l? 1 l1 Aufgabe 4. Wo stect der Fehler? Behauptung. In einem beliebigen n-tupel sind alle Eintragungen gleich! Beweis. Vollständige Indution. Indutionsanfang (n 1: In einem 1-Tupel sind sicherlich alle Eintragungen gleich.

15 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori 47 Indutionsschluss: Es sei (a 1, a 2,..., a n+1 ein Tupel mit (n + 1 Eintragungen. Dann betrachte man die beiden n-tupel Nach Indutionsannahme gilt Damit ist (a 1, a 2,..., a n und (a 2, a 3,..., a n+1. a 1 a 2 a n und a 2 a 3 a n+1. also folgt die Behauptung. a 1 a 2 a n a n+1, Bemerung. Demnach sind insbesondere alle natürlichen Zahlen gleich. Aufgabe 5.* Es sei 0 < q < 1. Beweisen Sie mit vollständiger Indution: 0 q 1 qn+1 1 q. Aufgabe 6. Beweisen Sie mit vollständiger Indution: i n 2 ii iii ( + 1 n n + 1 ; 2 2 n n. n(n + 1(2n + 1 ; 6

16 48 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori Aufgabe 7. Zeigen Sie die Bernoullische Ungleichung: Für alle n N und für x > 1 ist (1 + x n 1 + n x. Aufgabe 8.* Zeigen Sie den binomischen Lehrsatz. Aufgabe 9.* Man nennt N einen Teiler einer natürlichen Zahl n N, falls n l für eine weitere natürliche Zahl l N. Hat n > 1 nur sich selbst und 1 als Teiler, so wird n als Primzahl bezeichnet. Zeigen Sie: Jede natürliche Zahl n 2 ist als Produt von Primzahlen p 1 < p 2 < < p, darstellbar. n p 1... p }{{} 1 p 2... p 2... p }{{}... p, }{{} i 1 mal i 2 mal i mal Hinweis. Die Behauptung folgt aus der modifizierten Aussage A(n: Jede natürliche Zahl von 2 bis n lässt sich als Produt von Primzahlen darstellen. Aufgabe 10. Zeigen Sie: Für alle n N ist n 3 + 2n durch 3 teilbar. Aufgabe 11. Wie viele verschiedene n-tupel der Zahlen 1, 2,..., n mit paarweise verschiedenen Eintragungen gibt es?

17 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori 49 Aufgabe 12.* Zeigen Sie Satz 2.4. ( n Aufgabe 13.* Zeigen Sie: Es gibt verschiedene -elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge (Satz 2.5. Aufgabe 14.* Zeigen Sie: Eine n-elementige Menge A {a 1,..., a n } hat 2 n verschiedene Teilmengen, d.h.: Die Potenzmenge von A hat 2 n Elemente. Aufgabe 15.* Wie viele verschiedene Möglicheiten gibt es i im Fußballtoto; ii im Zahlenlotto 6 aus 49 (ohne Superzahl, vgl. Aufgabe 16? Aufgabe 16. Beim Zahlenlotto werden 6 Kugeln aus einer Urne mit 49 nummerierten (ansonsten gleichen Kugeln gezogen. Für den Hauptgewinn müssen diese 6 Nummern richtig getippt werden, wobei die Reihenfolge egal ist. Außerdem muss die Ziehung einer Superzahl (Ziffern 0 bis 9 richtig getippt sein. Wie viele Möglicheiten gibt es, 6 Richtige plus Superzahl zu tippen? Aufgabe 17. Es haben 3 Personen 20 Sitzplätze zur Auswahl. Wie viele Möglicheiten gibt es, i wenn nicht zwischen den Personen unterschieden wird;

18 50 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori ii wenn zwischen den Personen unterschieden wird? Aufgabe 18. Betrachten Sie zu n N, n 2, ein Rennen mit n nummerierten Läufern. i Wie viele mögliche Rennergebnisse gibt es insgesamt? ii Bei wie vielen möglichen Rennergebnissen belegt der Läufer mit der Nr. 1 den ersten Platz vor dem Läufer mit der Nr. 2 auf dem zweiten Platz? iii Wann ist die Anzahl der möglichen Rennergebnisse in den folgenden beiden Szenarien gleich? Der Läufer mit der Nr. 1 gewinnt. Die Läufer mit den Nummern 1 und 2 teilen sich die ersten beiden Plätze. Aufgabe 19. In einem Bücherregal sind 5 Plätze frei. i Wie viele veschiedene Möglicheiten gibt es, 5 verschiedene Bücher aufzustellen? ii Wie viele Möglicheiten gibt es, 3 gleiche Bücher auf die 5 Plätze zu verteilen? iii Wie viele Möglicheiten gibt es, 3 rote und zwei grüne Bücher aufzustellen, wie viele Möglicheiten gibt es, 3 rote, 1 grünes und ein blaues Buch aufzustellen (nur die Farbe zählt?

19 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori 51 Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben. Aufgabe 5. Indutionsanfang (n 1 noch einfacher wäre der Indutionsanfang bei n 0: q q (1 + q(1 q 1 q2 1 q 1 q. 0 Indutionsschluss: Ist die Annahme für ein beliebiges aber festes n N richtig, so folgt n+1 q q + q n qn+1 1 q 1 qn+2 1 q und der Indutionsschluss ist verifiziert. + q n+1 Aufgabe 8. Indutionsanfang (n 1: Offensichtlich gilt ( ( 1 1 (a + b 1 a 1 0 b 0 + a 1 1 b Indutionsschluss: Die Annahme sei für ein beliebiges aber festes n N richtig. Dann ist nach Indutionsannahme [ ( ] n (a + b n+1 (a + b n (a + b a n b (a + b 0 [ + ( n a n+1 + [ 1 a n +1 b + 1 ( n ( n ( n a n+1 b ] a n+1 b + b n+1 ] a n b +1.

20 52 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori Dabei wurde die Gleichheit n 1 ( n a n b +1 0 j1 ( n j 1 a n+1 j b j ausgenutzt und anschließend der Summationsindex wieder genannt. Aus ( ( n + 1 n n + 1 und der Reursionsformel ( n + folgt (a + b n+1 ( n ( n n + 1 n+1 0 ( n 1 ( n + 1 a n+1 0 b 0 + ( n a n+1 (n+1 b n+1 a (n+1 b, d.h. der Indutionsschluss ist ebenfalls richtig. ( n + 1 a n+1 b Aufgabe 9. Die Aussage A(n (vgl. Hinweis Jede natürliche Zahl von 2 bis n lässt sich als Produt von Primzahlen darstellen ann recht leicht mit vollständiger Indution verifiziert ann: Indutionsanfang (n 2: ist richtig. Indutionsschluss: Die Hypothese A(n sei nun richtig. Zu zeigen ist die Aussage A(n + 1.

21 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori 53 Dazu unterscheidet man die Fälle n + 1 ist Primzahl und n + 1 ist eine Primzahl. Ist n + 1 eine Primzahl, so ist A(n + 1 wegen n + 1 (n und der Indutionsannahme richtig. Ist n + 1 eine Primzahl, so existieren zwei Zahlen 2, l n mit n+1 l. Diese beiden Zahlen lassen sich aber nach Indutionsannahme jeweils als das Produt von Primzahlen schreiben und folglich ann l auch als das Produt von Primzahlen geschrieben werden, was zu zeigen war. Aufgabe 12. Es sei n N fixiert. Der Beweis wird mithilfe einer Indution nach geführt. Indutionsanfang ( 1: Die Aussage Es gibt n 1 verschiedene 1-Tupel der a j ist offensichtlich richtig. Indutionsschluss: Es gebe nach Indutionsannahme n verschiedene - Tupel der a j. Ein ( + 1-Tupel (a 1, a 2,..., a, a +1 besteht aus einem -Tupel und dem Eintrag a +1. Für das -Tupel gibt es nach Indutionsannahme n Möglicheiten und jede dieser Möglicheiten ann mit n unterschiedlichen Werten für a +1 ergänzt werden, d.h.: Es gibt n +1 verschiedene ( + 1-Tupel der a j und der Indutionsschluss ist ebenfalls richtig. Aufgabe 13. Nach Satz 2.3 gibt es n(n 1... (n + 1 verschiedene -Tupel mit unterschiedlichen Eintragungen aus einer n-elementigen Menge A {a 1,..., a n }.

22 54 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori Nach Aufgabe 11 (vgl. wieder Satz 2.3 unterscheiden sich aber jeweils! Tupel nur durch die Reihenfolge der Eintragungen, d.h.! verschiedene Tupel beschreiben die gleiche -elementige Menge. (Zur Erinnerung: In einer Menge spielt die Reihenfolge der Elemente eine Rolle. Wie behauptet gibt es also n (n 1 (n + 1! ( n verschiedene -elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge. Aufgabe 14. i Beweis durch vollständige Indution: Indutionsanfang (n 1: Eine ein-elementige Menge hat die leere Menge und die Menge selbst als Teilmengen, der Indutionsanfang ist gemacht. Indutionsschluss: Nach Indutionsannahme habe nun jede n- elementige Menge 2 n Teilmengen. A {a 1, a 2,..., a n, a n+1 } sei eine (n + 1-elementige Menge und B sei eine Teilmenge von A. Dann ist entweder a n+1 B oder a n+1 / B. Nach Indutionsannahme gibt es 2 n verschiedene Möglicheiten im ersten Fall und ebenfalls 2 n verschiedene Möglicheiten im zweiten Fall, insgesamt also wie zu zeigen 2 n+1 verschiedene Möglicheiten. ( n ii Alternativbeweis: Nach Satz 2.5 gibt es verschiedene - elementige Teilmengen und mithilfe des binomischen Lehrsatzes 2.2

23 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori 55 folgt 0 ( n 0 ( n 1 n 1 (1 + 1 n 2 n. Aufgabe 15. i Ein Spieltag mit 11 Spielen ann als geordnetes Tupel der Länge 11 interpretiert werden, wobei es für jeden Eintrag 3 Möglicheiten gibt. Nach Satz 2.4 gibt es 3 11 verschiedene Möglicheiten. ii Es gibt nach Satz 2.5 ( 49 6 verschiedene 6-elementige Teilmengen von {1, 2,..., 49}.

24 56 Kapitel 2. N, Z, Indution und Kombinatori