ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 1. Übung Übersicht
|
|
- Thomas Färber
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 . Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel und 2 Aufgabe : Drei klassische Ungleichungen Aufgabe 2: ) Beweis einer Summenformel Induktion) Aufgabe : ) Teleskopsummen Aufgabe 4: Noch etwas Formelmanipulation Aufgabe 5: Mengenoperationen, kartesisches Produkt Aufgabe 6: Eine weitere Ungleichug Aufgabe 7: ) Der Multinomialsatz Aufgabe 8: ) Ein Beispiel zu Mengen und kombinatorischen Abbildungen Aufgabe 9: Unendlicher Durchschnitt Aufgabe 0: Ein bisschen Populationsdynamik
2 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe / Beweisen Sie die Ungleichungen a) [L] x y 2 δ x 2 + δ y 2), δ > 0 b) [L] x y x+y 2, x, y 0 c) [L] x y + x 2 y 2 x 2 + x2 2 y 2 + y2 2 Hinweis zu a) : Bringen Sie alles auf eine Seite. Hinweis zu b), c) : Quadrieren geht über Studieren. a) Die Ungleichung ist äquivalent zu wir setzen δ : ε) : 0 δ x 2 2 xy + δ y 2 ε 2 x 2 2 εx ε y + ε 2 y 2 ε x ε y) 2 b) Die Ungleichung ist äquivalent zu 4 x y x + y) 2 x x y + y 2 0 x 2 2 x y + y 2 x y) 2 b) besagt: Das geometrische Mittel x y geom. Interpretation!) ist nie größer als das arithmetische Mittel x+y 2. c) Die Ungleichung ist äquivalent zu x y + x 2 y 2 ) 2 x 2 + x 2 2) y 2 + y 2 2 ) x 2 y x y x 2 y 2 + x 2 2 y2 2 x 2 y 2 + x 2 y2 2 + x 2 2 y 2 + x 2 2 y2 2 2 x y 2 ) x 2 y ) x 2 y x 2 2 y 2 0 x y 2 x 2 y ) 2 Anmerkung: c) ist ein Spezialfall der Cauchy-Schwarz schen Ungleichung siehe Lineare Algebra).
3 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe 2/ ) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion. 4k n n + für alle n N 0 Anmerkung: Der Induktionsschluss erfordert etwas Rechenarbeit. Schauen Sie sich auch einige Summenglieder an, um zu verstehen, wieso die Summe immer positiv ist. n 0 Induktionsanfang): 0 4k n n + Induktionsschluss): n+ 4k 2 4k n + ) 2 IND n + 2 n n + ) 2 n + 2 n + 4 n n + Um dies auf gleichen Nenner zu bringen, faktorisieren wir: 4 n n + 4 n n + 4 ) 4 n ) 2 n + ) 2 n + ) mit nochmaliger Faktorisierung): n + 2 n + 4 n n + n + 2 n + 2 n + ) 2 n + ) n + )2 n + ) 2 n + ) 2 n + ) 2 n2 + 5 n n + ) 2 n + ) 2 n ) + 2 n + ) 2 n + ) 2 n + ) + Die Summe: bleibt immer > 0.
4 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe / ) Eine Teleskopsumme ist eine Summe der Gestalt a k+ a k ) a a 0 ) + a 2 a ) a n+ a n ) a n+ a 0 oder ähnlich eine Summe von Differenzen.) a) [L] Fortsetzung von Aufgabe 2): Beweisen Sie 4k n n + in direkter Weise, indem Sie diese als Teleskopsumme identifizieren. D.h., versuchen Sie a k so zu bestimmen dass für alle k die Identität a k+ a k 4k 2 gilt. b) [L] Analog wie a), für die geometrische Summe q k q ). Anmerkung: Die Bestimmung der a k ist nicht ganz straightforward man muss ein wenig herumprobieren. Wissen Sie, was eine Partialbruchzerlegung ist? In VO: später.) Das hilft für a); ansonsten ist das etwa mühsam. a) Mit der Identität Partialbruchzerlegung!) 4k 2 2 2k + ) 2 2k ) 4 k + 2 ) 4 k 2 ) 4 k + ) }{{ 2 } ) 4 k }{{ 2 } ) a k+ a k folgt 4k 2 a n+ a 0 4 n + ) 2 ) ) 4 n + 2 ) + 2 n + 2 n +
5 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe /2 b) Mit der Identität q ; kleiner Trick!) q k qk q ) q qk+ q k q qk+ q k } q {{ }} q {{ } a k+ a k folgt q k a n+ a 0 qn+ q q0 q qn+ q Man sieht, dass die Aufgabenstellung, eine Summe als Teleskopsumme zu identifizieren und damit elementar berechenbar zu machen was nicht immer möglich ist) tatsächlich nicht unmittelbar straightforward ist. Diese Problematik ist verwandt zum Aufsuchen einer Stammfunktion in der Integralrechnung.)
6 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe 4/ Zeigen Sie: + + N für alle n N Anmerkung: Dies funktioniert am besten mittels direkter Vereinfachung ohne Induktion). Wie wird man wohl mit ± umgehen? Verwende Binomi : + n k k k n k ) k k + + Hier ist + ) k weil k/2 N für k gerade. k/2 k ) k k/2 k + ) k ) k/2 k { 0, k ungerade 2, k gerade... n k gerade k/2 N k Beispiel: n 2 + ) 2 + ) ) ) 8 Anmerkung: Der Beweis zeigt, dass die Aussage offenbar allgemeiner gilt: + m + m N für alle n N für beliebige m N. Notation für Summe: Hier sollte klar sein, wie es gemeint ist.
7 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe 5/ a) [L] Sei A eine nichtleere Menge. Wie sieht A { } aus? b) [L] Seien A und B beliebige Mengen. Zeigen Sie A B) 2 A 2 A B) B A) B 2 c) [L] Unter welcher Bedingung an A und B gilt A B B A? d) [L] Falls A und B disjunkte Mengen sind, d.h. falls sie kein gemeinsames Element haben A B { }), schreibt man für die Vereinigungsmenge manchmal auch A B : A + B. Zeigen Sie für diesen Fall A B) 2 A 2 + A B) + B A) + B 2 als Spezialfall von b), d.h., zu zeigen ist dass tatsächlich alle vier rechts auftretenden kartesischen Produkte paarweise disjunkt sind. Visualisieren Sie dies in geeigneter Weise anhand zweier einfacher Mengen. a) A { } { a, b): a A b { } } { } b) A B) 2 A B) A B) {x, y): x A B y A B} {x, y): x A x B) y A y B)} {x, y): x A y A} {x, y): x A y B} {x, y): x B y A} {x, y): x B y B} A 2 A B) B A) B 2 c) 2 Fälle: A B A B A 2 B A A B x A mit x B oder umgekehrt) Für b B gilt x, b) A B, jedoch b, x) A B. A B B A
8 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe 5/2 d) Vgl. b)) Für A B { } sind die Mengen A 2, A B, B A, B 2 paarweise disjunkt: sie können paarweise betrachtet) keine gemeinsamen Elemente enthalten. Einfaches Beispiel, visualisiert in Form einer Tabelle: A {, 2}, B {} A 2 A B A + B) 2 B A B 2, ), 2), ) 2, ) 2, 2) 2, ), ), 2), )
9 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe 6/ a) [L] Sei q > eine reelle Zahl. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion: q n + n q ) für alle n N 0 b) [L] Beweisen Sie die Aussage aus a) direkt mit Hilfe eines aus der Vorlesung bekannten Satzes. Hinweis: Setzen Sie q + δ mit δ > 0). a) Mit q + δ δ > 0) ist zu zeigen: + δ + n δ für alle n N 0 Diese Ungleichung wird als Bernoulli-Ungleichung bezeichnet. Induktionsanfang: n 0 Induktionsschluss: n n + : + δ) δ + δ+ + δ + δ) IND + n δ) + δ) + n + ) δ + n δ 2 + n + ) δ b) Verwende Binomi : + δ + n δ + + n δ n k δ k k nn ) δ } 2 {{} 0
10 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe 7/ ) Eine Verallgemeinerung des Binomischen Lehrsatzes ist der Multinomialsatz:. Für alle m, n N gilt a + + a m n ) k,..., k m k + +k m n a k ak 2 2 ak m m, mit ) n : k,..., k }{{ m } Multinomialkoeffizient n! k! k m! Dabei ist die Summe k + +k m n... so zu verstehen, dass alle möglichen geordneten Tupel Multi-Indizes) k,..., k m ) mit k l {0,,..., n} berücksichtigt werden, deren Summe k + + k m gleich n ist. a) [L] Zeigen Sie, dass sich für m 2 genau der Binomische Lehrsatz ergibt. b) [L] Tabellieren Sie für den Fall m die Multinomialkoeffizienten zu n, 2,. a) Für m 2 : a + a 2 k, k 2 k +k 2 n k 0 mit k 2 n k ) ) a k ak 2 n 2, mit k, k 2 n! k! n k )! } {{ ) } n k a k an k 2 n! k! k 2!
11 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe 7/2 b) m : n k k2 k ) Multinomialkoeffizient ) 0 0 ) 0 0 ) a + a 2 + a ) a + a 2 + a n 2 k k2 k ) Multinomialkoeffizient ) ) ) 0 ) 2 0 ) 2 0 ) 2 a + a 2 + a ) 2 ) ) a 2 + a a a a 2 + a 2 a + a a n k k2 k ) Multinomialkoeffizient ) 0 0 ) 0 0 ) 2 0 ) 0 2 ) 0 2 ) 2 0 ) 0 2 ) 2 0 ) ) 6 a + a 2 + a ) ) a + a 2 + a + ) a 2 a 2 + a 2 2 a + a 2 a + a a a 2 a 2 + a a a a 2 a
12 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe 8/ ) Seien M, N Mengen bestehend aus m bzw. n Elementen, wobei n > m. Weiters sei f : N M eine Abbildung. a) [L] Zeigen Sie: Für jede derartige Abbildung f gibt es zwei verschiedene n, n 2 N mit fn ) fn 2 ). Wie haben wir eine derartige Eigenschaft einer Abbildung bezeichnet? b) [L] Die Eigenschaft a) ist elementar und sehr einfach und kann trotzdem sehr nützlich sein. Beispiel: Beweisen Sie: In einem Seminar mit n 2 Teilnehmern gibt es zwei Teilnehmer, die mit einer gleichen Anzahl von Teilnehmern befreundet sind. Hinweis: Identifizieren Sie N, M und f. Jeder kann zwischen 0 und n Freunde haben. Wichtig ist hier: Befreundet ist eine symmetrische Relation, d.h. A ist mit B befreundet genau dann wenn B mit A befreundet ist.) a) Die Behauptung besagt genau, dass f nicht injektiv sein kann. Beweis indirekt): Angenommen, f ist injektiv. Dann besteht ihr Bild fn) {fx): x N} aus n Elementen, was jedoch wegen fn) M mit M m < n nicht möglich ist. Die Aussage wird oft als Schubfachprinzip bezeichnet: Wenn n > m Objekte in m Schubfächern unterzubringen sind, ist es unmöglich, dass in jedem Schubfach nur ein einziges Objekt zu liegen kommt. b) In Anwendungen besteht die Hauptproblematik darin, Objekte die Menge N) und Schubfächer die Menge M) geeignet zu identifizieren. Lösung des Beispiels: Die Objekte sind die n Personen Menge N; nennen wir sie lieber P ), und Schubfächer sind die möglichen Anzahlen von Freunden 0 bis n ) Menge M; nennen wir sie lieber F ). Also: f : P F, fp) : Anzahl von Freunden der Person p.
13 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe 8/2 Dann gibt es aber genau so viele Schubfächer wie Teilnehmer, m n, und das Schubfachprinzip ist nicht direkt anwendbar. Jedoch ist es wegen der Symmetrie der Freundschaftsrelation!icht möglich, dass zugleich jemand teilnimmt, der mit jedem anderen befreundet ist also n Freunde) und jemand, der gar keine 0) Freunde hat. Die Schubfächer 0 und n können also nicht beide belegt sein, und damit können wir m n setzen, d.h. BildP ) F besteht aus maximal m n Elementen. Also ist das Schubfachprinzip auf die Abbildung f : P BildP ) anwendbar und die Aussage somit bewiesen.
14 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe 9/ Beweisen Sie in formal sauberer Weise: 0, ) n n N { } Notation: a, b) : {x R: a < x < b}.) Beweis indirekt: Angenommen es gilt 0, ) { } n Es gibt ein x > 0 mit n N x < n für alle n N. Letzteres ist ein Widerspruch zu x > 0. Beachte: Für ein beliebiges x > 0 gilt x > /n für hinreichend großes n N.)
15 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe 0/ a) [L] Für eine Population p n, n 0,, 2,... gelte p n+ w p n, n 0,, 2,... wobei der Anfangswert p 0 > 0 vorgegeben ist. Dabei sei w > eine gegebene Wachstumsrate; die n 0,, 2,... entsprechen diskreten Zeitpunkten. Geben Sie für p n in Abhängigkeit von n einen expliziten Formelausdruck an. Eigentlich ist das ein Induktionsargument, allerdings ein sehr einfaches.) b) [L] Sei ˆp n eine weitere Population, charakterisiert durch ˆp n+ ŵ ˆp n mit ŵ > w und gegebenem ˆp 0 > 0. Zeigen Sie: Egal wie klein ˆp 0 auch im Vergleich zu p 0 ist, für hinreichend große n wird gelten ˆp n > p n. Wie verhält sich ˆp n /p n konkret für n? c) [L] Sei w 2. Zeigen Sie: n p k < p n für alle n N d) [L] Ist die Aussage aus c) auch richtig für < w < 2? Begründung!) Hinweis: Leiten Sie eine Ungleichung der Gestalt w n... her, die für alle n gelten muss, damit die Aussage richtig ist. a) Offensichtlich ist p n eine geometrische Progression: p n w n p 0, n 0,, 2,... b) Mit ˆp n ŵ n ˆp 0, n 0,, 2,... gilt ˆp n ŵn ˆp ŵ ) 0 ˆp 0 n : q n ˆp 0 p n w n p 0 w p 0 p 0 wobei laut Annahme q ŵ w > qn + n q ) für n. Hier wurde die Bernoulli-Ungleichung verwendet.)
16 . Übung [zur Übersicht] Aufgabe 0/2 c) Geometrische Summe für w 2 p n 2 n p 0 ) : n p k n p 0 2 k p 0 2 n 2 < p 0 2 n p n d) Für allgemeines w : n p k n p 0 w k p 0 w n w? <? p n p 0 w n Also: Zu klären ist, ob für < w < 2 folgende Ungleichung für alle n besteht: w n w wn w n w ) w n 2 w w w w n 2 w w Dies ist nicht möglich für alle n, da w n für n.
A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E ( ) 1. Übungstest (FR, ) (mit Lösung )
Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien W. Auzinger WS 05/6 A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E (03.088). Übungstest (FR, 6..05) (mit Lösung ) Aufgabe. a ) Wandeln Sie die periodische Dezimalzahl
MehrBeispiel 27 (Beweis durch Widerspruch) Satz 28 3 ist irrational, d. h. Beweis: Widerspruchsannahme: 3 Q.
Beispiel 27 (Beweis durch Widerspruch) Wir nehmen an, dass die zu zeigende Aussage falsch ist und führen diese Annahme zu einem Widerspruch. Satz 28 3 ist irrational, d. h. 3 / Q. Beweis: Widerspruchsannahme:
MehrANALYSIS I FÜR TPH WS 2018/19 3. Übung Übersicht
ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel 5 und 6 Aufgabe : Konvergenz von Reihen (i) Aufgabe 2: Konvergenz von Reihen (ii) Aufgabe 3: ( ) Konvergenz von Reihen (iii) Aufgabe 4:
Mehraus der Bedingung/Annahme A folgt ein Widerspruch ), so ist A falsch!
Bemerkungen: 1 Die Bedeutung von (und damit ) ist klar. wird oft, vor allem in Beweisen, auch als geschrieben (im Englischen: iff, if and only if). 2 Für zwei boolesche Aussagen A und B ist A B falsch
Mehr4.6 Beweistechniken Die meisten mathematischen Behauptungen sind von der Form
4.6 Beweistechniken Die meisten mathematischen Behauptungen sind von der Form A B bzw. (A 1 A k ) B. Um A B zu beweisen, können wir zeigen: 1 Unter der Annahme A können wir B zeigen (direkter Beweis).
MehrKapitel 1. Grundlagen Mengen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
MehrInstitut für Analysis WiSe 2018/2019 Prof. Dr. Dirk Hundertmark Dr. Markus Lange. Analysis 1. Aufgabenzettel 4
Institut für Analysis WiSe 2018/2019 Prof. Dr. Dirk Hundertmark 08.11.2018 Dr. Markus Lange Analysis 1 Aufgabenzettel 4 Abgabe bis 14. November 2018, 19:00 Uhr Erinnerung: Die Anmeldung für den Übungsschein
MehrFolgen und Reihen Folgen
Folgen und Reihen 30307 Folgen Einstieg: Wir beginnen mit einigen Beispielen für reelle Folgen: (i),, 4, 8, 6, (ii) 4,, 6, 3, 7, (iii) 0,,,, 3,, (iv), 3, 7,,, Aufgabe : Setzt die Zahlenfolgen logisch fort
MehrVollständige Induktion. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg
Universität Freiburg 26.10.2011 Vollständige Induktion Wir unterbrechen jetzt die Diskussion der Axiome der reellen Zahlen, um das Beweisverfahren der vollständigen Induktion kennenzulernen. Wir setzen
Mehr2. Grundlagen. A) Mengen
Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2019) 5 A) Mengen 2. Grundlagen Eine Menge ist durch Angabe ihrer Elemente bestimmt. Man kann eine Menge aufzählend oder beschreibend definieren. Im ersten Falle werden
Mehr3 Vom Zählen zur Induktion
7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,
MehrKapitel 1. Grundlagen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
MehrSurjektive, injektive und bijektive Funktionen.
Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens
MehrMusterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt. Teil 1 von Martin Fabricius. Aufgabe 1
Musterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt Teil von Martin Fabricius Aufgabe a) Diese Aufgabe kann z. B. durch ausmultiplizieren gelöst werden: (433) 7 = 4 7 3 +3 7 + 7 +3 7 0 = 4 343+3 49+ 7+3 = 37+47+4+3
MehrKapitel 1. Grundlagen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
Mehr: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch
% 1.3 Funktionen Seien und Mengen nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. Bezeichnungen: : Definitionsbereich : Bildbereich (Zielmenge) von Der Graph einer Funktion: graph!
MehrMathematische Strukturen
Mathematische Strukturen Lineare Algebra I Kapitel 3 16. April 2013 Kartesisches Produkt Das kartesische Produkt (benannt nach René Descartes) von n Mengen M 1,..., M n ist M 1 M n := {(x 1,..., x n )
Mehr2.1 Definitionen Sätze und Beweise Erklärungen zu den Definitionen... 15
Mengen Übersicht.1 Definitionen................................................. 11. Sätze und Beweise............................................ 14.3 Erklärungen zu den Definitionen...............................
MehrTechnische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. Aufgaben mit Musterlösung
Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen Aufgaben mit Musterlösung 21. März 2011 Tanja Geib 1 Aufgabe 1 Geben Sie zu B = {0, 2, 4} und
MehrLösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }
Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 12. November 2015 Satz 3.16 (Binomischer Lehrsatz) Seien a, b R. Dann gilt für alle
MehrElemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen, Beweise
Elemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen, Beweise Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 15. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/
MehrAlternativ kann man auch die Differenz a n+1 a n betrachten:
Aufgabe 1 Folgen auf Monotonie und Beschränktheit prüfen. a) Beschränktheit? Die Folge ( ) n N mit = n + ( 1) n ist nach unten beschränkt, denn es gilt n + ( 1) n n 1 1 für alle n N. Allerdings ist die
MehrAnalysis I. Guofang Wang Universität Freiburg
Universität Freiburg 30.11.2016 5. Teilmengen von R und von R n Der R n ist eine mathematische Verallgemeinerung: R n = {x = (x 1,..., x n ) : x i R} = } R. {{.. R }. n mal Für x R ist x der Abstand zum
Mehr1. Grundlagen. Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen
1. Grundlagen Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen Peter Buchholz 2016 MafI 2 Grundlagen 7 1.1 Was ist Analysis? Analysis ist
Mehr1. Grundlagen. 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen
. Grundlagen Gliederung. Was ist Analysis?.2 Aussagen und Mengen.3 Natürliche Zahlen.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen. Was ist Analysis? Analysis ist neben der linearen Algebra ein Grundpfeiler der Mathematik!
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen)
WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16
MehrVorkurs Mathematik. Prof. Udo Hebisch WS 2017/18
Vorkurs Mathematik Prof. Udo Hebisch WS 2017/18 1 1 Logik 2 1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrElementare Beweistechniken
Elementare Beweistechniken Beispiel: Satzform (Pythagoras) Voraussetzung: Gegeben sei ein beliebiges rechtwinkeliges Dreieck, die Länge der Hypothenuse sei c und die Längen der anderen Seiten seien a und
MehrANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 3. Übung Übersicht
ANALYSIS I FÜR TPH WS 206/7 3. Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel 5 und 6 Aufgabe : Untersuchung von Reihen mittels Konvergenzkriterien Aufgabe 2: Konvergenz und Berechnung von Reihen I Aufgabe 3: ( )
MehrMengenlehre und vollständige Induktion
Fachschaft MathPhys Heidelberg Mengenlehre und vollständige Induktion Vladislav Olkhovskiy Vorkurs 018 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 1 Mengen.1 Grundbegriffe.................................. Kostruktionen
MehrÜber die so definierten Potenzen beweisen wir nun einige einfache Aussagen. = a m+n a Def.
4 NATÜRLICHE ZAHLEN UND VOLLSTÄNDIGE INDUKTION 15 der Eigenschaften von N streng begründen, was hier aber nicht geschehen soll. (Statt Zahlen önnen die a n auch Elemente irgendwelcher Mengen sein.) Über
MehrDie Mengenlehre ist ein Grundelement der Sprache der Mathematik und geht als
Kapitel 1 Naive Mengenlehre 1.1 Mengen (Mengenalgebra; kartesisches Produkt) Die Mengenlehre ist ein Grundelement der Sprache der Mathematik und geht als naive Mengenlehre (im Gegensatz zur strengen Axiomatik)
Mehr24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN
24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN x 2 = 0+x 2 = ( a+a)+x 2 = a+(a+x 2 ) = a+(a+x 1 ) = ( a+a)+x 1 = x 1. Daraus folgt dann, wegen x 1 = x 2 die Eindeutigkeit. Im zweiten Fall kann man für a 0 schreiben
MehrZusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung 1
Mathematik I für E-Techniker C. Erdmann WS 011/1, Universität Rostock, 1. Vorlesungswoche Zusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung 1 Wiederholung - Theorie: Mengen Der grundlegende Begriff
MehrKonstruktion der reellen Zahlen
Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert
MehrKombinatorik. Dr. Lucia Draque Penso. Universität Ulm. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 1 / 26
Kombinatorik Dr. Lucia Draque Penso Universität Ulm Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 1 / 26 Erste Vorlesung Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 2 / 26 Formales Vorlesung:
MehrTutorium: Diskrete Mathematik
Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 01.12.2017 (Teil 1) 22. November 2017 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017
MehrVorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG
Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober
MehrKapitel 1 Mengen. Kapitel 1 Mengen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 25
Kapitel 1 Mengen Kapitel 1 Mengen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 25 Kapitel 1 Mengen Definition 1.1 (Menge) Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen.
MehrKapitel 1. Mengen und Abbildungen. 1.1 Mengen
Kapitel 1 Mengen und Abbildungen 1.1 Mengen Die Objekte der modernen Mathematik sind die Mengen. Obwohl die Logik einen axiomatischen Zugang zur Mengenlehre bietet, wollen wir uns in dieser Vorlesung auf
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 08/9 c Dr. K. Rothe Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Hörsaalübung mit Beispielaufgaben zu Blatt Mengen Darstellung durch: a) Aufzählung
MehrVorsemesterkurs Informatik
Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 2. Oktober 2015 Vorsemesterkurs Informatik Inhalt 1 Relationen 2 Funktionen 3 Beweistechniken Motivation Direkter Beweis Beweis
MehrAnalysis I - Notizen 1. Daniel Lenz Jena - Wintersemester 2016
Analysis I - Notizen 1 Daniel Lenz Jena - Wintersemester 2016 1 Es handelt sich nicht um ein Skriptum zur Vorlesung. Besten Dank an alle, die zu Verbesserungen früherer Notizen zur Analysis I beigetragen
MehrNumerische Verfahren und Grundlagen der Analysis
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 26 1. Folgen R. Steuding (HS-RM)
Mehr1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente:
Lösung 1. Übung Elemente der Algebra WS017/18 1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente: (e) {(x,y) IR 3x+4y 1}.
MehrTutorium: Diskrete Mathematik
Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 24.11.2016 (Teil 2) 23. November 2016 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016
MehrDr. Regula Krapf Sommersemester Beweismethoden
Vorkurs Mathematik Dr. Regula Krapf Sommersemester 2018 Beweismethoden Aufgabe 1. Überlegen Sie sich folgende zwei Fragen: (1) Was ist ein Beweis? (2) Was ist die Funktion von Beweisen? Direkte Beweise
MehrÜbungen zur Linearen Algebra 1
Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 014/015 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 7 Abgabetermin: Freitag, 05.1.014, 11 Uhr Aufgabe 7.1 (Vektorräume
MehrWS 20013/14. Diskrete Strukturen
WS 20013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
MehrKommutativität. De Morgansche Regeln
1. Formale Logik Proposition 1.1. Die logischen Elementarverknüpfungen gehorchen folgenden Äquivalenzen: (1.1) (1.2) p p p p p p Idempotenz (1.3) (1.4) p q q p p q q p Kommutativität (1.5) (1.6) (p q)
MehrÜbungen zur Vorlesung Einführung in die Mathematik
Übungen zur Vorlesung Einführung in die Mathematik von G. Greschonig und L. Summerer, WS 2017/18 Aufgabe 1. Zeige, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl, vermindert um 1, stets durch 4 teilbar ist. Folgere
Mehra 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter.
7 Folgen 30 7 Folgen Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen a 0, a, a 2, a 3,.... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. Bezeichnung Wir bezeichnen mit N die Menge der
MehrGrundlegendes der Mathematik
Kapitel 2 Grundlegendes der Mathematik (Prof. Udo Hebisch) 2.1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig
MehrElementare Beweismethoden
Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe
Mehr2 Mengen und Abbildungen
2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:
MehrAbbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe
Kapitel 5 Abbildungen 5.1 Definition: (Abbildung) Eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschrift f : M N, die jedem Element x M ein Element f(x) N zuordnet. Schreibweise: x f(x) 5. Beispiel:
MehrKombinatorik von Zahlenfolgen
6. April 2006 Vorlesung in der Orientierungswoche 1 Kombinatorik von Zahlenfolgen Einige Beispiele Jeder kennt die Fragen aus Intelligenztests, in denen man Zahlenfolgen fortsetzen soll. Zum Beispiel könnten
MehrVorkurs Beweisführung
Vorkurs Beweisführung Fachschaft Mathematik und Informatik 30.08.2013 Agenda 1 Einleitung 2 Direkter Beweis 3 Widerspruchsbeweis 4 Vollständige Induktion 5 Aussagen widerlegen 6 Gleichheit von Mengen 7
MehrD-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Lösung 4
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 017 Prof. Manfred Einsiedler Lösung 4 Hinweise 1. Zeigen Sie, dass inf X die kleinste obere Schranke von X ist.. Dass z 1, z Lösungen sind, kann man durch Einsetzen
MehrDer mathematische Beweis
Der mathematische Beweis Im Studium wird man wesentlich häufiger als in der Schule Beweise führen müssen. Deshalb empfiehlt es sich, verschiedene Beweisverfahren intensiv zu trainieren. Beweisstruktur
MehrLösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }
Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird
MehrEin fundamentales mathematisches Beweisprinzip p ist die vollständige Induktion: Sei p : Falls
Beweisprinzip der vollständigen Induktion Ein fundamentales mathematisches Beweisprinzip p ist die vollständige Induktion: Sei p : Falls ein totales Prädikat. 1. p(0) (Induktionsanfang) und 2. für beliebiges
MehrVorlesung. Vollständige Induktion 1
WS 015/16 Vorlesung Vollständige Induktion 1 1 Einführung Bei der vollständigen Induktion handelt es sich um ein wichtiges mathematisches Beweisverfahren, mit dem man Aussagen, die für alle natürlichen
MehrOrdinalzahlen. Sei (X, ) eine total geordnete Menge und a X. Dann
Ordinalzahlen Im Rahmen der Ordnungsrelationen wurden bisher die Begriffe Partialordnung und Totalordnung (lineare Ordnung) erwähnt. Ein weiterer wichtiger Ordnungsbegriff ist die Wohlordnung. Wohlgeordnete
MehrSkript und Übungen Teil II
Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrKapitel 1. Grundlegendes
Kapitel 1 Grundlegendes Abschnitt 1.4 Vollständige Induktion Charakterisierung der natürlichen Zahlen Die Menge N 0 = {0, 1, 2, 3,...} der natürlichen Zahlen läßt sich wie folgt charakterisieren: 1. 0
MehrWiederholung. Operationen auf Mengen. Relationen, Abbildungen/Funktionen. Beweistechniken: Landau-Notation A B, A Å B, A B, A \ B, P(A)
Wiederholung Operationen auf Mengen A B, A Å B, A B, A \ B, P(A) Relationen, Abbildungen/Funktionen Reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv Injektiv, surjektiv, bijektiv Beweistechniken: Indirekter
Mehr(a) Welche der folgenden Funktionen ist injektiv, surjektiv beziehungsweise bijektiv? x 1 + x
Aufgabe Injektiv und Surjektiv) a) Welche der folgenden Funktionen ist injektiv, surjektiv beziehungsweise bijektiv?. f : Z N; x x 2. 2. f : R R; x x x.. f : R [, ]; x sin x. 4. f : C C; z z 4. b) Zeigen
MehrD-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Lösung 2
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler Lösung 2 Hinweise 1. Eine Möglichkeit ist, auf diese Forderungen massgeschneiderte Relationen explizit anzugeben. Dies ist aber nicht
Mehr5 Teilmengen von R und von R n
5 Teilmengen von R und von R n Der R n ist eine mathematische Verallgemeinerung: R n = {x = (x 1,...,x n ) : x i R} = R }... {{ R }. n mal Für x R ist x der Abstand zum Nullpunkt. Die entsprechende Verallgemeinerung
Mehr8 Summen von Quadraten
8 Summen von Quadraten A. Summen von zwei Quadraten. Sei p eine Primzahl. Beispiele. = 1 + 1, 5 = 1 +, 13 = + 3 Aber 3 und 7 sind nicht Summen von zwei Quadraten. 8.1 Satz. Genau dann ist p Summe von zwei
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufgabe 45. Polynome sind stets stetig. Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester
MehrKapitel 2 Mathematische Grundlagen
Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Ziel: Einführung/Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen 2.1 Mengen, Relationen, Ordnungen Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrAufgaben zur Verbandstheorie
TU Bergakademie Freiberg WS 2005/06 Institut für Diskrete Mathematik & Algebra Prof. Dr. Udo Hebisch Aufgaben zur Verbandstheorie 1. Für ein beliebiges n IN sei X n die Menge aller Teiler von n. Definiert
MehrSerie 1 Lösungsvorschläge
D-Math Mass und Integral FS 2014 Prof. Dr. D. A. Salamon Serie 1 Lösungsvorschläge 1. a) Seien A, B X zwei Mengen, so dass keine der Mengen A \ B, B \ A, A B und X \ (A B) leer ist. Bestimmen Sie die Kardinalität
MehrGrundlagen. Kapitel Mengen
Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Mengen Grundobjekte mathematischer Theorien sind Mengen. Zwar stellt man sich darunter Gesamtheiten von gewissen Dingen (den Elementen der Menge) vor, doch führt die uneingeschränkte
MehrAnmerkungen zu Mengen und Abbildungen
Anmerkungen zu Mengen und Abbildungen Kartesisches Produkt von n Mengen und n-stellige Relationen Sind M 1, M,, M n nichtleere Mengen, so ist ihr kartesisches Produkt erklärt als Menge aller geordneter
MehrAnalysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME
Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 23. Februar 2015 1 Topologische Grundbegriffe Sei (X, d) ein metrischer Raum, d.h. X ist eine Menge und d : X X R ist
MehrMengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } }
Mengen Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1,
MehrUniversität Innsbruck WS 2013/2014. Brückenkurs. Formale Konzepte. 3. Auflage. Harald Zankl. 15. Januar 2014
Universität Innsbruck WS 013/014 Brückenkurs Formale Konzepte 3. Auflage Harald Zankl 15. Januar 014 Institut für Informatik Innsbruck, Österreich Inhaltsverzeichnis 1 Definition, Satz, Beweis 1.1 Aufgaben................................
Mehr5 Der Transzendenzgrad
$Id: trgrad.tex,v 1.6 2009/05/11 14:48:57 hk Exp $ 5 Der Transzendenzgrad Wir stellen nun einige der Tatsachen über die Mächtigkeit von Mengen zusammen, die Ihnen wahrscheinlich aus den ersten Semester
MehrKapitel 2. Folgen und ihre Konvergenz
Kapitel 2 Folgen und ihre Konvergenz Zur Erinnerung Denition. Eine Folge (reeller Zahlen) ist eine Funktion von N 0 nach R. Schreibweisen. Im Falle einer Folge f : N 0 R schreibt man an Stelle von f (n)
MehrMengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit
Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {
MehrKapitel 2: Multiplikative Funktionen. 3 Multiplikative Funktionen. Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion)
Kapitel 2: Multiplikative Funktionen 3 Multiplikative Funktionen Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion) (a) Eine Funktion α : Z >0 C heißt arithmetisch (oder zahlentheoretisch).
Mehr15. September 2010 Prof. Dr. W. Bley. Universität Kassel Klausur SS 2010 Diskrete Strukturen I (Informatik) Name:... Matr.-Nr.:... Viel Erfolg!
15. September 010 Prof. Dr. W. Bley Universität Kassel Klausur SS 010 Diskrete Strukturen I (Informatik) 1 3 4 5 6 Name:................................................ Matr.-Nr.:............................................
Mehr13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma
13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma Handout zur Funktionalanalysis I von H. Glöckner, 25.11.2008 Wichtige Teile der modernen Mathematik beruhen auf dem sogenannten Auswahlaxiom der Mengenlehre. Dieses
MehrVorsemesterkurs Informatik
Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Elizaveta Kovalevskaya WS 2017/18 6. Oktober 2017 Vorkurs Informatik - WS 2017/18 1/44 Vorsemesterkurs Informatik Übersicht 1 Relationen 2 Funktionen
MehrPrüfungsfragen zur Theorie
Prüfungsfragen zur Theorie Formulieren Sie die Monotoniegesetze (Rechenregeln für Ungleichungen)! Satz: Für alle a,b,c,d gilt: a b und c.d a+c b+d Satz: Für alle a,b,c,d + o gilt: a b und c d ac bd 1 Satz:
Mehr2 Lösungen zu Kapitel 2
2 Lösungen zu Kapitel 2 2. Lösung. Die Funktion f ist nicht injektiv. So gibt es (unendlich) viele Paare (x, y) mit f(x, y) = 0, etwa (0, 0) und (/2, ). Die Funktion f ist surjektiv. Zum Beispiel gilt
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 16. November 2017 1/35 Modulare Arithmetik Modulare Arithmetik Definition 3.33 Es sei
MehrMengenoperationen, Abbildungen
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Z6 Rechengesetze für Mengenoperationen Lineare Algebra 1 WS 2006/07 en Blatt 3 06.11.2006 Mengenoperationen,
Mehr,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5
3 Folgen 3.1 Definition und Beispiele Eine Abbildung a : Æ Ê heißt (reelle) Zahlenfolge. Statt a(n) schreiben wir kürzer a n und bezeichnen die ganze Folge mit (a n ) n Æ oder einfach (a n ), was aber
MehrÜberblick. 3. Mathematische Grundlagen 3.1 Mengen und Abbildungen 3.2 Boolsche Algebra 3.3 Induktion und Rekursion
Überblick 3. Mathematische Grundlagen 3.1 Mengen und Abbildungen 3.2 Boolsche Algebra 3.3 Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 92 / 708 Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Mehr