Skriptum zum Brückenkurs. Mathematik

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1 Sriptum zum Brücenurs Mathemati gehalten in den Wintersemestern 008/09, 009/10, 010/11, 011/1, 01/13, 013/14 und in den Sommersemestern 011, 01, 013, 014 von Sven Kosub 11. April 014 Version v6.

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Arithmeti Zahlenbereiche Primzahlen Divisionsreste Algorithmus von Eulid Polynome 13.1 Definitionen Horner-Schema Rechnen mit Polynomen Binomische Formeln Nullstellen Indution Vollständige Indution Allgemeine Form der vollständigen Indution Literaturverzeichnis 8 Version v6. Fassung vom 11. April 014

4 vi Inhaltsverzeichnis Sriptum zum Brücenurs Mathemati

5 Arithmeti Zahlenbereiche Natürliche Zahlen. N ist die Menge der natürlichen Zahlen: 0, 1,, 3,... Die natürliche Zahl a ist eine Abürzung für } {{ + 1 } ; a n ist eine Abürzung für a mal a } a {{... a}. a mal 0 ist eine natürliche Zahl. (In der Mathemati wird sehr häufig 0 nicht als natürliche Zahl aufgefasst; wenn 0 zu den natürlichen Zahlen gezählt werden soll, wird N 0 verwendet.) Wird 0 als natürliche Zahl ausgeschlossen, so schreiben N +. (In der Mathemati wird dann N verwendet.) Rechenregeln: Es seien, n, m natürliche Zahlen. } 1. ( + n) + m + (n + m) Assoziativgesetze ( n) m (n m). (n + m) n + m Distributivgesetz 3. n + m m + n } n m m n Kommutativgesetze 4. n + 0 n } n 1 n neutrale Elemente 5. n 0 0 Aus diesen Rechenregeln und den oben eingeführten Abürzungen lassen sich leicht die Potenzrechenregeln herleiten: 1. a n a m a n+m.. (a n ) m a n m. 3. a n b n (a b) n. Insbesondere legt die 4. Regel nahe, dass die Definition a 0 def 1 für alle natürlichen Zahlen a vernünftig ist, um mit den Potenzen in natürlicher Weise rechnen zu önnen. Version v6. Fassung vom 11. April 014

6 Kapitel 1. Arithmeti Ganze Zahlen. Z ist die Menge der ganzen Zahlen:..., 3,, 1, 0, 1,, 3,... Die ganzen Zahlen ermöglichen es, alle Subtrationen stets auch ausführen zu önnen, wie z.b Die Zahl a (mit der natürlichen Zahl a) ist dabei eine Abürzung für ( 1) + ( 1) ( 1) a ( 1). }{{} a mal Rechenregeln: übertragen sich von N 6. Für ganze Zahl n gilt n + ( n) 0 inverses Element Beispiel: Wieso ist die Regel ( 1) ( 1) 1 plausibel? Mit Hilfe der Rechenregeln erhalten wir: 0 ( 1) 0 (5. Regel) ( 1) (1 + ( 1)) (6. Regel, inverses Element zu 1 für +) ( 1) 1 + ( 1) ( 1) (. Regel, Distributivgesetz) 1 + ( 1) ( 1) (4. Regel, neutrales Element 1 für ) Somit folgt weiter: (4. Regel, neutrales Element 0 für +) 1 + ( 1) + ( 1) ( 1) (siehe oben) 0 + ( 1) ( 1) (6. Regel, inverses Element zu 1 für +) ( 1) ( 1) (4. Regel, neutrales Element 0 für +) Rationale Zahlen. Q ist die Menge der rationalen Zahlen, d.h. die Menge der Brüche mit q 0 sowie p, q ganze Zahlen. p q Die rationalen Zahlen ermögliches es, jede lineare Gleichung q x p 0 stets zu lösen. Zur Definition der rationalen Zahlen genügt es auch zu fordern: p ist ganze Zahl und q ist natürliche Zahl, q 0 p ist natürliche Zahl und q ist ganze Zahl, q 0 Dezimalschreibweise: , 5 (Periodenlänge 0) 0, , 3 (Periodenlänge 1) 0, (Periodenlänge 6) Sriptum zum Brücenurs Mathemati

7 1.1. Zahlenbereiche , 03 (schließlich periodisch) Beachte: Die Dezimalschreibweise ist nicht eindeutig. Zum Beispiel gilt 1 0, 9, denn x 0, 9 10x 9, 9 Dann gilt 9x 10x x 9, 9 0, 9 9, d.h. x 1. Rechenregeln: übertragen sich von Z ( ) ( ) p q 7. Für p 0, q 0 gilt q p ( ) p 1 Als Schreibweise verwenden wir: 1 p q q 1. inverses Element def q p. Reelle Zahlen. R ist die Menge aller reellen Zahlen, d.h., die Menge der endlichen und unendlichen Dezimalzahlen. Beispiele: Jede rationale Zahl ist reell; r ist rational genau dann, wenn r eine schließlich periodische Darstellung besitzt. π 3, ist irrational und transzendent. e, ist irrational und transzendent. 1, ist irrational aber algebraisch. Irrationalität von π + e ist offen. Rechenregeln: übertragen sich von Q (mit r 1 r 1 für r 0 bei der 7. Regel) Insbesondere lässt sich in den reellen Zahlen die Gleichung a x natürlichen Zahlen lösen, und wir definieren: Es gilt also a log a b b. x def log a b b für alle positiven Aus den Potenzrechenregeln ergeben sich somit die Rechenregeln für den Logarithmus: 1. log a (b c) log a b + log a c Version v6. Fassung vom 11. April 014

8 4 Kapitel 1. Arithmeti. log a b c c log a b Reelle Zahlen önnen in natürlicher Weise angeordnet werden. Dies wird durch die folgenden Anordnungsaxiome beschrieben: 1. Für alle reellen Zahlen a, b gilt entweder a b, a < b oder a > b (Trichotomiegesetz).. Für alle reellen Zahlen a, b, c gilt: Ist a < b und ist b < c, so ist a < c (Transitivgesetz). 3. Für alle reellen Zahlen a, b, c gilt: Ist a < b, so ist a + c < b + c (Monotoniegesetz der Addition). 4. Für alle reellen Zahlen a, b, c gilt: Ist a < b und ist 0 < c, so ist a c < b c (Monotoniegesetz der Multipliation). Komplexe Zahlen. C ist die Menge der omplexen Zahlen, d.h., die Mengen der Zahlenpaare (a, b), wobei a und b reelle Zahlen sind, mit den folgenden Operationen: 1. Addition of C: (a, b) + (c, d) def (a + c, b + d). Multipliation auf C: (a, b) (c, d) def (ac bd, ad + bc) Eine alternative und die übliche Schreibweise für omplexe Zahlen ist mit i def (0, 1): (a, b) a + b i Hierbei steht i für die imaginäre Einheit: i 1. Damit gilt i 1 i, i 1, i 3 i sowie i 4 1 Ist z a + b i, so sind Re(z) der Realteil von z und Im(z) der Imaginärteil von z. Eine omplexe Zahl z heißt reell, falls Im(z) 0 gilt; z heißt imaginär, falls Re(z) 0. Rechenregeln: übertragen sich von R Für die omplexen Zahlen lassen sich einige bemerenswerte Gleichungen formulieren: 1. i 1 (1 + i). e iπ 1 3. i i e π Sriptum zum Brücenurs Mathemati

9 1.. Primzahlen 5 1. Primzahlen Es seien n und m ganze Zahlen. Dann teilt m die Zahl n (symbolisch m n), falls es eine ganze Zahl gibt mit n m. Bei dieser Definition ist zu beachten, dass jede Zahl 0 teilt. Eine Zahl n heißt Primzahl, falls 1 und n die einzigen natürlichen Zahlen sind, die n teilen. Die ersten Primzahlen sind somit: 1,, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., wobei 1 üblicherweise nicht zu den Primzahlen gezählt wird. Theorem 1.1 (Primzahlzerlegung) Es sei n ein natürliche Zahl n. Dann gibt es eindeutig bestimmte Primzahlen p 1 < p <... < p und positive natürliche Zahlen a 1, a,..., a mit n p a 1 1 pa... pa. Bevor wir das Theorem beweisen, wollen wir es an einigen Beispiel verdeutlichen. Beispiele: Die folgenden Zahlenbeispiele illustrieren das Konzept der Primzahlzerlegung Beweis: Wir beweisen die Aussage in zwei Schritten: Existenz: Es sei n eine natürliche Zahl. Dann gibt es zwei Fälle: Ist n eine Primzahl, dann sind wir fertig. Ist n eine Primzahl, dann gibt es natürliche Zahlen n 1, n mit n n 1 n. Für n 1 und n önnen wir nun wieder die gleichen Überlegungen anstellen, d.h., sind n 1 p a 1 1 pa... pa sowie n q b 1 1 qb... qa m Primzahlzerlegungen, so gilt n n 1 n p a 1 1 pa... pa qb 1 1 qb... qa m. Durch Zusammenfassen gleicher Fatoren erhalten wir die gewünschte Zerlegung. Das stets n > n 1, n gilt, bricht das Verfahren nach endlich vielen Schritten ab. Somit existiert eine Primzahlzerlegung stets. Version v6. Fassung vom 11. April 014

10 6 Kapitel 1. Arithmeti Eindeutigeit: Es seien für n zwei Zerlegungen gegeben: n p a pa qb qbm m Wir betrachten die leinste als Fator vorommende Primzahl. Ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit sei dies p 1. Dann teilt p 1 sowohl die line als auch die rechte Zerlegung. Somit gibt es ein j mit p 1 q j. Da q j eine Primzahl ist, gilt p 1 q j. Dividieren wir also beide Prinzahlzerlegungen durch p 1, so erhalten wir zwei Primzahlzerlegungen mit einem Fator weniger. Diese Argumentation önnen wir wiederholen, bis auf einer Seite eine Fatoren mehr übrig sind. Dann sind aber auch auf der anderen Seite eine Fatoren übrig. Somit ommen alle Fatoren auf der linen Seite als Fatoren auf der rechten Seite vor und auch umgeehrt. Damit ist das Theorem bewiesen. 1.3 Divisionsreste Es seien n eine ganze Zahl, m eine natürliche Zahl, m. Dann teilt m die Zahl n mit Rest r, 0 r m 1, falls eine ganze Zahl existiert mit n m + r. Die in der Definition vorommende Zahl ist eindeutig, denn aus m + r m + r folgt ( ) m 0, also. Damit definieren wir die Modulo-Funtion für n und m: mod(n, m) r def m teilt n mit Rest r Beispiele: Wir bestimmen die Werte der Modulo-Funtion für verschiedene Argumente: mod(7, 3) 1, denn mod( 7, 3), denn 7 ( 3) 3 + mod(9, 3) 0, denn mod( 9, 3) 0, denn 9 ( 3) 3 Das folgende Theorem, das wir ohne Beweis angeben, fasst wichtige Rechenregeln für Divisionsreste zusammen. Theorem 1. Es seien, n und m ganze Zahlen, m. 1. mod( + n, m) mod(mod(, m) + mod(n, m), m).. mod( n, m) mod(mod(, m) mod(n, m), m). 3. mod(n, m) mod(mod(n, m), m), falls > 0. Sriptum zum Brücenurs Mathemati

11 1.3. Divisionsreste 7 Beispiele: Die ersten drei Beispiele veranschaulichen die Korretheit der drei Rechenregeln aus Theorem 1.: mod(5 7, 4) mod(mod(5, 4) mod(7, 4), 4) mod(1 3, 4) 3 mod(35, 4) mod(5 + 7, 4) mod(mod(5, 4) + mod(7, 4), 4) mod(1 + 3, 4) 0 mod(1, 4) mod(5 7, 4) mod(mod(5, 4) 7, 4) mod(1 7, 4) 1 mod(7815, 4) Die Rechenregeln önnen verwendet werden, um Divisionsreste omplexer Ausdrüce zu bestimmen, ohne diese explizit auszurechnen: mod ( ( ) 113, 4 ) mod ( mod(13, 4) 73 mod(17, 4) 5 + mod(( ), 4) 56 mod(, 4), 4 ) mod ( , 4 ) 1 Wie finden wir die in der Definition der Teilbareit von n durch m mit Rest r angegebene Zahl, so dass n m + r gilt? Dafür verwenden wir Rundungsregeln, die durch Gauß-Klammern ausgedrüct werden. Für eine beliebige reelle Zahl x definieren wir: x def größte ganze Zahl z mit z x x def leinste ganze Zahl z mit z x Die untere Gauß-Klammer x bewirt, dass die Zahl x auf die nächst leinere ganze Zahl abgerundet wird; mit der oberen Klammer x wird x zur nächst größeren ganzen Zahl aufgerundet. Beispiele: Einige Zahlbeispiele verdeutlichen die Rundungsregeln: ,,, 1 Version v6. Fassung vom 11. April 014

12 8 Kapitel 1. Arithmeti Mit Hilfe der Gauß-Klammern ann die Modulo-Funtion wie folgt dargestellt werden (ohne dass auf eine geeignetes abgestellt werden muss): a a m + mod(a, m) m für ganze Zahlen a und m mit m. Dies ist leicht einzusehen: Für r mod(a, m) gibt es ein mit a m + r. Also gilt wegen r < m a + m r. m Proposition 1.3 Für jede ganze Zahl n gilt n n + n. Beweis: (Fallunterscheidung) Es sei n eine ganze Zahl. 1. Fall: n ist gerade, d.h., es gilt n für eine ganze Zahl. Dann gilt n n n.. Fall: n ist ungerade, d.h., es gilt n + 1 für eine ganze Zahl. Dann gilt n n (+1) +1 n. Damit ist die Proposition bewiesen. 1.4 Algorithmus von Eulid Definition 1.4 Es seien n und m positive natürliche Zahlen. 1. Das leinste gemeinsame Vielfache von n und m, symbolisch gv(n, m), ist die leinste natürliche Zahl, so dass n und m jeweils teilen.. Der größte gemeinsame Teiler von n und m, symbolisch ggt(n, m), ist die größte natürliche Zahl, so dass jeweils n und m teilt. Beispiele: 1. gv(3, 5) 15 und ggt(3, 5) 1.. gv(3, 6) 6 und ggt(3, 6) gv(4, 6) 1 und ggt(4, 6). Sriptum zum Brücenurs Mathemati

13 1.4. Algorithmus von Eulid 9 Lemma 1.5 Es seien n und m positive natürliche Zahlen mit Primfatordarstellungen n p a 1 1 pa pa und m p b 1 1 p b p b, wobei a i 0 bzw. b i 0, falls n bzw. m nicht durch p i teilbar ist. Es gelte weiterhin b > 0 oder a > 0. Dann gelten folgende Gleichungen: gv(n, m) p max(a 1,b 1 ) 1 p max(a,b ) p max(a,b ) ggt(n, m) p min(a 1,b 1 ) 1 p min(a,b ) p min(a,b ) Beweis: (nur erste Gleichung) Es seien n und m mit den Primfatordarstellungen wie oben beschrieben gegeben. Es sei x p max(a 1,b 1 ) 1 p max(a,b ) p max(a,b ). Dann teilen die Primfatoren p a i i von n und p b i i von m jeweils p max(a i,b i ) i. Mithin teilen n und m die Zahl x. Jede weitere Zahl y, die von n und m geteilt wird, muss durch die Primfatoren p a i i und p b i i teilbar sein, also auch durch p max(a i,b i ) i. Damit teilt x die Zahl y. Also gilt x y. Folglich gilt gv(n, m) x. Beispiele: Mit den Primzahlzerlegungen und 36 3 gilt gv(4, 36) sowie ggt(4, 36) Theorem 1.6 Es seien n und m positive natürliche Zahlen. Dann gilt: n m gv(n, m) ggt(n, m) Beweis: Es seien n p a pa und m p b p b Lemma 1.5 beschrieben. Nach Lemma 1.5 folgt: Primfatorzerlegungen wie in gv(n, m) ggt(n, m) p max(a 1,b 1 ) 1... p max(a,b ) p min(a 1,b 1 ) 1... p min(a,b ) p max(a 1,b 1 )+min(a 1,b 1 ) 1... p max(a,b )+min(a,b ) Damit ist das Theorem bewiesen. p a 1+b p a +b p a pa pb p b n m Korollar 1.7 Es seien n und m natürliche Zahlen. Dann gilt gv(n, m) n m ggt(n, m) bzw. ggt(n, m) n m gv(n, m). Version v6. Fassung vom 11. April 014

14 10 Kapitel 1. Arithmeti Algorithmus: Eulid Eingabe: positive natürliche Zahlen n, m mit m n Ausgabe: ggt(m, n) 1. IF m teilt n. RETURN m 3. ELSE 4. RETURN Eulid(mod(n, m), m) Abbildung 1.1: Algorithmus von Eulid Wie bestimmen wir ggt(n, m)? Sind die Primfatorzerlegungen von n und m beannt, so gibt uns Lemma 1.5 eine einfache Möglicheit dafür an die Hand. Allerdings ist die Bestimmung von Primfatorzerlegungen algorithmisch nicht einfach. Einen eleganten Ausweg, der ohne die Primfatorzerlegung ausommt, ist der Algorithmus von Eulid (siehe Abbildung 1.1). Dieser ist eine direte Umsetzung der reursiven Anwendung der folgenden Resultate. Lemma 1.8 Sind m, n positive natürliche Zahlen mit m n und m teilt nicht n, so gilt ggt(m, n) ggt(n m, m). Beweis: Wir müssen zeigen: Jeder Teiler von m und n ist auch ein Teiler von n m und m und umgeehrt. Zunächst sei d ein Teiler von n und m, d.h., d n und d m. Es gilt n d und m d für geeignete,. Somit gilt n m d d ( ) d und mithin d n m. Es sein nun d ein Teiler von n m und m, d.h., d n m und d m. Es gilt wieder n m d und m d für geeignete,. Somit erhalten wir n n m + m d + d ( + ) d und mithin d n. Korollar 1.9 Sind m und n positive natürliche Zahlen mit m n und m teilt nicht n, so gilt ggt(m, n) ggt(mod(n, m), m). Beweis: Es sei n m+mod(n, m) für geeignetes 0. Durch wiederholte Anwendung von Lemma 1.8 erhalten wir ggt(m, n) ggt(m, n m) ggt(m, n m) ggt(m, n m) Damit ist das Korollar bewiesen. ggt(m, mod(n, m)) Sriptum zum Brücenurs Mathemati

15 1.4. Algorithmus von Eulid 11 Beispiele: Wir wollen die Anwendungen des Eulidischen Algorithmus an zwei Beispielen verdeutlichen, die auch einen Eindruc davon geben, wie unterschiedlich die Anzahlen der reursiven Aufrufe sein önnen. Eulid(36, 10) Eulid(1, 36) 1 Die jeweiligen Primfatorzerlegungen sind 36 3 sowie Gemäß Lemma 1.5 gilt ggt(36, 10) Eulid(89, 144) Eulid(55, 89) Eulid(34, 55) Eulid(1, 34) Eulid(13, 1) Eulid(8, 13) Eulid(5, 8) Eulid(3, 5) Eulid(, 3) Eulid(1, ) 1 Die beiden Zahlen 89 und 144 sind benachbarte Fibonacci-Zahlen, die für den Algorithmus von Eulid schlechteste Eingaben bezüglich der Reursionsanzahl darstellen. Version v6. Fassung vom 11. April 014

16 1 Kapitel 1. Arithmeti Sriptum zum Brücenurs Mathemati

17 Polynome.1 Definitionen Ein univariates Polynom p ist eine Funtion der Form p(x) a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, wobei n eine natürliche Zahl und a 0, a 1,..., a n die Koeffizienten des Polynoms sind. Sind die Koeffzienten reelle Zahlen, so heißt p reelles Polynom; sind die Koeffizienten omplex, so heißt p omplexes Polynom. Ein Term x n heißt Monom. Der Grad eines Polynoms p(x) a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 ist die größte Zahl m mit a m 0. Beispiele: x x + 1 ist ein Polynom vom Grad. Die (quasi-)lineare Funtion a x + b mit a 0 ist ein Polynom vom Grad 1. Konstante Funtionen f(x) c sind Polynome vom Grad 0.. Horner-Schema Um den Wert eines Polynoms p an einer Stelle x 0 auszurechnen, sollte man wie folgt vorgehen: p(x) a n x n + a n 1 x n 1 + a n x n + + a x + a 1 x + a 0 (a n x n 1 + a n 1 x n + a n x n a x + a 1 ) x + a 0 ((a n x n + a n 1 x n 3 + a n x n a ) x + a 1 ) x + a 0. ((... ((a n x + a n 1 ) x + a n ) x + ) x + a 1 ) x + a 0 Version v6. Fassung vom 11. April 014

18 14 Kapitel. Polynome In dieser gewonnen Darstellung wird das Polynom nun an der Stelle x 0 von innen nach außen suzessive ausgewertet. Beispiel: Wir wollen den Wert von p(x) def x 4 + 3x 3 x + 11x 1 (((x + 3)x )x + 11)x 1 an der Stelle x 0 3 bestimmen. Die Auswertung ann durch folgendes Schema von Horner veranschaulicht werden: a 5 a 4 a 3 a a 1 a 0 p p(3) Wenn die Koeffizienten in einem Feld (Array) A[0..n] (mit A[i]a i ) gespeichert sind, so wird der Funtionswert p(x 0 ) wie folgt berechnet: pa[n]; for (int in-1; i>0; i--) pp*x 0 +A[i] Mit dem Horner-Schema sind somit nur n Multipliationen notwendig. Im Vergleich benötigt die Standardauswertung gemäß der Polynomdefinition insgesamt n n(n 1) i 1 n 1 n O(n ) Multipliationen. i1.3 Rechnen mit Polynomen Addition. Es seien zwei Polynome a(x) def a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 und b(x) def b n x n + b n 1 x n b 1 x + b 0 gegeben. Bei unterschiedlichem Grad der Polynome werden die fehlenden Koeffizienten auf 0 gesetzt. Die Summe von a und b ist definiert als (a + b)(x) def c n x n + c n 1 x n c 1 x + c 0, wobei c i def a i + b i. Es gilt grad(a + b) max(grad(a), grad(b)). Beispiel: Für a(x) def x 4 +x 3x+7 und b(x) def x 5 +7x 3 +4x +5x 4 gilt (a + b)(x) x 5 + x 4 + 7x 3 + 6x + x + 3 und grad(a + b) 5 grad(b). Für a(x) def x und b(x) def x gilt (a + b)(x) und grad(a + b) 0 < 4 max(grad(a), grad(b)) Sriptum zum Brücenurs Mathemati

19 .4. Binomische Formeln 15 Multipliation. Es seien zwei Polynome a(x) def a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 und b(x) def b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 gegeben. Das Produt von a und b ist definiert als (a b)(x) def c n+m x n+m + + c 1 x + c 0, i wobei c i def a j b i j (mit a n+1 a n+m b m+1 b n+m 0). j0 Es gilt grad(a + b) grad(a) + grad(b). Beispiel: Für a(x) def x 3x + 5 und b(x) def 4x + ergibt sich (a b)(x) (1 4)x 3 + (1 + ( 3) 4)x + (( 3) + 5 4)x + (5 ) 4x 3 10x + 14x + 10 Division. Die Division von zwei Polynomen ist analog zur Division ganzer Zahlen mit Rest definiert. Wir führen sie daher an Hand eines Beispiels vor. Beispiel: Für a(x) def x 4 + x 3 + x + 3 und b(x) def x + x 1 berechne Damit gilt 4 + x 3 + x + 3 : x + x 1 x x + 3 x 4 x 3 + x x 3 + x + x + 3 x 3 + x x 3x + 3 3x 3x + 3 3x + 6 x 4 + x 3 + x + 3 }{{} a(x) mit grad(r) < grad(b). (x x + 3) (x + x + 1) }{{}}{{} t(x) b(x) + ( 3x + 6) }{{} r(x) Theorem.1 Für Polynome a(x) und b(x) mit b 0 gibt es eindeutig bestimmte Polynome t(x) und r(x) mit a(x) t(x) b(x) + r(x) und r 0 oder grad(r) < grad(b)..4 Binomische Formeln Es gelten die folgenden binomischen Formeln: (x + y) x + xy + y (x y) x xy + y (x + y) (x y) x y Version v6. Fassung vom 11. April 014

20 16 Kapitel. Polynome Eine Verallgemeinerung auf die dritte Potenz ist wie folgt: Im Allgemeinen ann man den Ansatz (x + y) 3 (x + xy + y ) (x + y) x 3 + x y + xy + x y + xy + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 (x + y) n n a n, x y n aufstellen, wobei a n, gerade die Anzahl der Möglicheiten angibt, die Binome x y n aus den Fatoren x und y zusammenzusetzen. Damit gilt: ( ) n n! a n, def!(n )! Dabei setzen wir ( ) n def 0 für n < bzw. < 0 sowie ( n ) def 1. Theorem. (Binomialtheorem) Für alle reellen Zahlen x und y und jede natürliche Zahl n gilt n ( ) n (x + y) n x y n. Wie önnen wir den Binomialoeffizienten ( n ) bestimmen, ohne algorithmisch teure Multipliationen auszuführen? Lemma.3 (Pascalsches Dreiec) Für natürliche Zahlen n > 0 und gilt ( ) ( ) ( ) n n 1 n Beweis: (rechnerisch; ohne Randfälle) Für 0 < < n rechnen wir aus: ( ) ( ) n 1 n 1 (n 1)! (n 1)! ( 1)!(n )!!(n 1 )! (n 1)! ( 1)!(n )! + (n 1)!!(n 1 )! n n (n 1)!!(n )! + (n 1)!( + n )!(n )! (n 1)!(n )!(n )! Sriptum zum Brücenurs Mathemati

21 .5. Nullstellen 17 (n 1)! n!(n )! ( ) n Damit ist das Lemma durch Nachrechnen bewiesen. Beispiel: Der Dreiecsaufbau des reursiven Zusammenhangs in Lemma.3 lässt sich leicht veranschaulichen und ist schon aus der Schule beannt: ( ) 0 1 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) 3 ( ) Nullstellen Es sei p(x) ein Polynom. Eine Zahl x 0 heißt Nullstelle von p(x), falls p(x 0 ) 0 gilt. Beispiel: Das Polynom x 1 hat die Nullstellen 1 und 1. Das Polynom x + 1 hat eine Nullstellen (in den reellen Zahlen). Es sei p(x) def ax + bx + c mit den reellen Zahlen a, b, c gegeben. Zur Bestimmung der Nullstellen von p rechnen wir: ( ax + bx + c a x + b a x + c ) a ( a x + b ) b a 4a + c Für p(x) 0 gilt somit ( a x + b ) b a 4a c bzw. ( x + b ) b a 4a c a. Version v6. Fassung vom 11. April 014

22 18 Kapitel. Polynome Durch Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten erhalten wir x + b b a 4a c a, oder aufgelöst nach x: x b a ± b 4a c a b a ± 1 b a 4ac Damit eine Lösungen im Bereich der reellen Zahlen existiert, muss also b 4ac 0 gelten. Gilt b 4ac > 0, so hat das Polynom p zwei verschiedene reelle Nullstellen. Das Polynom p(x) def x 3 + 3x x 1 hat die Nullstellen 1, 1 + und 1, denn: ( ( (x 1) x 1 + )) ( ( x 1 )) x 3 + 3x x 1. Theorem.4 Ein reelles Polynom p(x) 0 mit dem Grad n hat höchstens n Nullstellen in den reellen Zahlen. Beweis: Ist p vom Grad 0, so gilt die Aussage wegen p(x) 0. Ist p vom Grad n > 0, so hat p entweder eine Nullstelle (womit die Aussage gilt) oder p besitzt mindestens eine Nullstelle x 0. Nach Theorem.1 gibt es somit Polynome t(x) und r(x) mit p(x) t(x) (x x 0 ) + r(x) und grad(r) < grad(x x 0 ). Wegen grad(x x 0 ) 1 gilt grad(r) 0, d.h., r(x) r 0 für eine reelle Zahl r 0. Damit gilt aber 0 p(x 0 ) t(x 0 )(x 0 x 0 ) + r 0 r 0 Mithin gilt p(x) t(x) (x x 0 ) mit grad(t) n 1. Wenn wir bereits wissen, dass Polynome bis zum Grad n 1 höchstens n 1 Nullstellen besitzen, so hat folglich p höchstens n Nullstellen. Ohne Beweis geben wir die allgemeine Aussage für die Anzahl der Nullstellen von Polynomen an. Theorem.5 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes omplexe Polynom p mit p 0 und Grad n hat genau n omplexe Nullstellen (mit Vielfachheiten). Ein Polynom p(x) def a n x n + + a 0 von Grad n heißt normiert, falls a n 1. Korollar.6 Es seien p und q normierte Polynome vom Grad n. Stimmen p und q bei n paarweise verschiedenen Argumenten überein, so sind p und q identisch. Sriptum zum Brücenurs Mathemati

23 .5. Nullstellen 19 Als Anmerung sei erwähnt, dass das Korollar auch für omplexe Argumente gilt. Beweis: Es seien p und q normiert vom Grad n. Es seien x 1,..., x n paarweise verschiedene reelle Zahlen mit p(x i ) q(x i ). Betrachten wir das Differenzpolynom r(x) def p(x) q(x), so gilt r(x i ) 0 für alle x i, d.h., r besitzt n Nullstellen. Da p und q normiert sind, gilt grad(r) n 1. Nach Theorem.4 muss folglich r 0 gelten. Damit gilt p q. Korollar.7 Es sei p ein normiertes Polynom vom Grad n mit den paarweise verschiedenen Nullstellen α 1,..., α n. Dann gilt p(x) (x α 1 ) (x α )... (x α n ). Beweis: Es sei q(x) def (x α 1 ) (x α )... (x α n ). Dann ist q normiert und vom Grad n. Weiterhin besitzen p und q die gleichen n Nullstellen. Folglich gilt p q. Eine Verallgemeinerung des Korollars auf vielfache Nullstellen ist möglich. Version v6. Fassung vom 11. April 014

24 0 Kapitel. Polynome Sriptum zum Brücenurs Mathemati

25 Indution Vollständige Indution Die vollständige Indution ist eine Methode zur Lösung des folgenden Problems: Wie weisen wir nach, dass alle natürlichen Zahlen eine bestimmte Eigenschaft E erfüllen? Die Lösungsmethode Vollständige Indution von n 1 nach n besteht in zwei Schritten, die zusammengenommen folgenden logischen Schluss ermöglichen: Indutionsanfang: Erfüllt 0 die Eigenschaft E und Indutionsschritt: folgt für alle n > 0 die Gültigeit von E für n aus der Tatsache, dass n 1 die Eigenschaft E erfüllt (Indutionsvoraussetzung), so erfüllen alle Zahlen die Eigenschaft E. Wir wollen diese Beweismethode an einigen Beispielaussagen nachvollziehten: Proposition 3.A Für alle natürlichen Zahlen n gilt n n(n + 1). Beweis: (Indution) Wir definieren zunächst für alle natürlichen Zahlen n: a n def n Die Eigenschaft E, die wir für alle natürlichen Zahlen zeigen wollen, ist die Gleichheit: E(n) : a n n(n + 1) Wir führen einen Beweis mittels vollständiger Indution über n. 0 Indutionsanfang: Für n 0 gilt a (0 + 1), d.h., E(0) gilt. Version v6. Fassung vom 11. April 014

26 Kapitel 3. Indution Indutionsschritt: Für n > 0 führen wir die Aussage E(n) auf die Aussage E(n 1) zurüc, um daraus mittels Indutionsvoraussetzung die Aussage E(n) zu beweisen. Für n 1 lautet die als wahr vorausgesetzte Aussage E(n 1) : a n 1 (n 1)((n 1) + 1) (n 1)n Damit erhalten wir durch Abspalten des Summanden für n aus a n : a n n + a n 1 (n 1)n n + n + (n 1)n n( + (n 1)) n(n + 1) Damit ist die Proposition bewiesen. (nach Indutionsvoraussetzung) Proposition 3.B Für alle natürlichen Zahlen n gilt n ( + 1) (n + 1). Beweis: (Indution) Die Eigenschaft E, die wir für alle natürlichen Zahlen zeigen wollen, ist die Gleichheit: n E(n) : ( + 1) (n + 1) Wir führen einen Beweis mittels vollständiger Indution über n. Indutionsanfang: Für n 0 gilt ( 0 + 1) 1 (0 + 1), d.h., E(0) gilt. Indutionsschritt: Für n > 0 führen wir die Aussage E(n) auf die Aussage E(n 1) zurüc, um daraus mittels Indutionsvoraussetzung die Aussage E(n) zu beweisen. Für n 1 lautet die Aussage E(n 1) : n 1 ( + 1) ((n 1) + 1) n Damit erhalten wir durch Abspalten des Summanden für n: n n 1 ( + 1) n ( + 1) n n (nach Indutionsvoraussetzung) (n + 1) Sriptum zum Brücenurs Mathemati

27 3.1. Vollständige Indution 3 Damit ist die Proposition bewiesen. Proposition 3.C Für alle natürlichen Zahlen n gilt n 3 n (n + 1). 4 Beweis: (Indution) Die Eigenschaft E, die wir für alle natürlichen Zahlen zeigen wollen, ist die Gleichheit: n E(n) : 3 n (n + 1) 4 Wir führen einen Beweis mittels vollständiger Indution über n. Indutionsanfang: Für n 0 gilt (0 + 1), d.h., E(0) gilt. 4 Indutionsschritt: Für n > 0 führen wir die Aussage E(n) auf die Aussage E(n 1) zurüc. Für n 1 lautet die Eigenschaft E: E(n 1) : n 1 3 (n 1) ((n 1) + 1) 4 Damit erhalten wir durch Abspalten des Summanden für n: (n 1) n 4 n n 1 3 n n 3 + (n 1) n 4 4n3 + n 4 n 3 + n 4 n4 + n 3 + n 4 n (n + n + 1) 4 n (n + 1) 4 (nach Indutionsvoraussetzung) Damit ist die Proposition bewiesen. Ein wichtiges Resultat ist die folgende explizite Formel für die geometrische Reihe. Proposition 3.D Es sei q 1. Für alle natürlichen Zahlen n gilt n q qn+1 1 q 1. Version v6. Fassung vom 11. April 014

28 4 Kapitel 3. Indution Insbesondere ergibt sich für den Spezialfall q : n n+1 1 Beweis: (Indution) Die Eigenschaft E, die für alle natürlichen Zahlen bewiesen werden soll, lautet: n E(n) : q qn+1 1 q 1 Wir führen einen Beweis mittels vollständiger Indution über n. Indutionsanfang: Für n 0 gilt q 0 1 q0+1 1 q 1 für q 1, d.h., E(0) gilt. Indutionsschritt: Für n > 0 führen wir die Aussage E(n) wieder geeignet auf die Aussage E(n 1) zurüc. Dieses hat folgendes Aussehen: E(n 1) : n 1 q q(n 1)+1 1 q 1 qn 1 q 1 Durch Abspalten des Summanden für n erhalten wir somit: n n 1 q q n + q q n + qn 1 q 1 qn (q 1) + q n 1 q 1 qn+1 q n + q n 1 q 1 qn+1 1 q 1 (nach Indutionsvoraussetzung) Damit ist die Proposition bewiesen. Proposition 3.E Für alle natürlichen Zahlen n gilt (n + 1)! n. Beweis: (Indution) Wir führen einen Beweis mittels vollständiger Indution über n. Indutionsanfang: Für n 0 gilt (0 + 1)! Sriptum zum Brücenurs Mathemati

29 3.1. Vollständige Indution 5 Indutionsschritt: Für n > 0 erhalten wir mittels Abspaltung des größten Fators: (n + 1)! (n + 1) n! (n + 1) n 1 (nach Indutionsvoraussetzung) n 1 (wegen n 1) n Damist die Proposition bewiesen. Theorem. (Binomialtheorem) Für alle reellen Zahlen x und y und jede natürliche Zahl n gilt n ( ) n (x + y) n x y n. Beweis: (Indution) Für beliebige reelle Zahlen x und y führen wir einen Beweis mittels vollständiger Indution über n. Indutionsanfang: Es sei n 0. Dann gilt (x + y) 0 1 Indutionsschritt: Es sei n > 0. Dann gilt: (x + y) n (x + y) (x + y) n 1 n 1 ( ) n 1 (x + y) x y n 1 n 1 ( ) n 1 x +1 y n (+1) + n 1 ( ) n 1 x y n + 1 ( ) n 1 x n y n n + n 1 ( ) n x n y n n + n n ( ) n x y n n n 1 ( ) n 1 x y n n 1 ( ) n 1 x y n n 1 [( ) n 1 1 ( n ) x y n + ( n 1 + ( ) 0 x 0 y 0. 0 (nach Indutionsvoraussetzung) )] x y n + ( ) n 1 x 0 y n 0 0 ( ) n x 0 y n 0 (nach Lemma.3) 0 Version v6. Fassung vom 11. April 014

30 6 Kapitel 3. Indution Damit ist das Theorem bewiesen. Mittels Indution önnen wir sogar die folgende sensationelle Proposition beweisen. Proposition 3.F Alle natürlichen Zahlen sind gleich. Beweis: Um die Aussage der Proposition zu beweisen, zeigen wir folgende Aussage. Für alle natürlichen Zahlen m, a, b gilt: Ist max(a, b) m, so gilt a b. (3.1) Dies ist leicht einzusehen mittels folgenden Indutionsbeweises über m: Indutionsanfang: Es sei m 0. Ist max(a, b) 0, so folgt a b 0. Indutionsschritt: Es sei m > 0. Ist max(a, b) m, so ist max(a 1, b 1) m 1. Nach Indutionsvoraussetzung gilt somit a 1 b 1 und mithin a b. Damit ist die Aussage (3.1) bewiesen. Es seien nun a und b natürliche Zahlen. Es sei m def max(a, b). Wegen Aussage (3.1) sind alle natürlichen Zahlen gleich m. Da die Aussage der Proposition ganz offensichtlich falsch ist, haben wir im Beweis einen Fehler gemacht. Welchen? 3. Allgemeine Form der vollständigen Indution Die Lösungsmethode besteht in zwei Schritten, die zusammengenommen folgenden logischen Schluss ermöglichen: E sei die nachzuweisende Eigenschaft E und n 0 sie eine natürliche Zahl: Indutionsanfang: Erfüllen 0, 1,..., n 0 die Eigenschaft E und Indutionsschritt: folgt für alle n > n 0 die Gültigeit von E für n aus der Tatsache, dass alle m < n die Eigenschaft E erfüllen (Indutionsvoraussetzung), so erfüllen alle Zahlen die Eigenschaft E. Wir wollen auch diese Beweismethode an einigen Beispielaussagen nachvollziehten: Proposition 3.G Für alle natürlichen Zahlen n 4 gilt n! n. Sriptum zum Brücenurs Mathemati

31 3.. Allgemeine Form der vollständigen Indution 7 Beweis: (Indution) Wir führen einen Bewies mittels Indution über n für n 4. (Wir setzen n 0 def 4.) Indutionsanfang: Für n 0, 1,, 3 muss nichts gezeigt werden, d.h., die Aussage ist richtig. Für n 4 gilt 4! Indutionsschritt: Für n > 4 erhalten wir mittels Abspaltung des größten Fators: n! n (n 1)! n n 1 (nach Indutionsvoraussetzung) n 1 (wegen n 5) n Damit ist die Proposition bewiesen. Die Fibonacci-Folge (in der hier verwendeten Form) ist wie folgt reursiv definiert: F 0 def 1, F 1 def, F n def F n 1 + F n für n Die ersten Glieder dieser Folge sind: 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89,... Im Folgende wollen wir zeigen, dass die Fibonacci-Folge exponentiell wächst. Wegen der reursiven Definition der Folgenglieder bietet sich dafür ein Indutionsbeweis geradezu an. Proposition 3.G Für alle natürlichen Zahlen n gilt F n ( ) n Beweis: (Indution) Wir führen einen Beweis mittels Indution über n. ( Indutionsanfang: Wir überprüfen zwei Fälle. Für n 0 gilt F 0 1 ( ) und für n 1 gilt F 1. Indutionsschritt: Für n > 1 erhalten aus der Definition von F n : ) 0 F n F n 1 + F n ( ) n 1 ( ) n (nach Indutionsvoraussetzung) ( ) n ( ) Version v6. Fassung vom 11. April 014

32 8 Kapitel 3. Indution ( ) n ( ( ) n ) Damit ist die Proposition bewiesen. Sriptum zum Brücenurs Mathemati

33 Literaturverzeichnis [MM06] Christoph Meinel und Martin Mundhen. Mathematische Grundlagen der Informati. Mathematisches Denen und Beweisen. Eine Einführung. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. B. G. Teubner Verlag, Wiesbaden, 006. [Ste07] [SS0] Angelia Steger. Disrete Struturen. Band 1: Kombinatori-Graphentheorie- Algebra.. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, 007. Thomas Schicinger und Angelia Steger. Disrete Struturen. Band : Wahrscheinlicheitstheorie und Statisti. Springer-Verlag, Berlin, 00. [WHK04] Manfred Wolff, Peter Hauc und Wolfgang Küchlin. Mathemati für Informati und Bioinformati. Springer-Verlag, Berlin, 004. Version v6. Fassung vom 11. April 014

34 30 Literaturverzeichnis Sriptum zum Brücenurs Mathemati