2 Zahlen. 2.1 Natürliche Zahlen Menge der natürlichen Zahlen. Der Ausgangspunkt für den Aufbau der Zahlenbereiche ist die Menge

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1 2.1 Natürliche Zahlen Menge der natürlichen Zahlen Der Ausgangspunt für den Aufbau der Zahlenbereiche ist die Menge N = {0,1,2,3,...} der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, Indutionsprinzip Unmittelbar verbunden mit den natürlichen Zahlen ist das Prinzip der vollständigen Indution. Satz 2.1 (Prinzip der vollständigen Indution). Für jedes n N n0 = {n 0,n 0 +1,...} seien A(n) von n N n0 abhängende mathematische Aussage. Wenn A(n 0 ) wahr ist und für jedes n n 0 aus A(n) auch A(n + 1) folgt, dann gilt A(n) für alle n N n0. Beispiel 2.2. Die Ungleichung n 2 n + 5 gilt für alle natürlichen Zahlen n 3. (Beweis durch vollständige Indution) 1. Indutionsanfang: Die Ungleichung gilt für n = n 0 = 3, da 3 2 = 9 8 = Indutionsschritt: Die Ungleichung gelte für ein beliebiges n 3, d. h., es sei n 2 n + 5. (2.1) Zu zeigen ist, dass sie dann auch für n + 1 gilt. Nun, es gilt unter Verwendung von (2.1) (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1 n n + 1 (n + 1)

2 2.1.3 Prinzip der reursiven Definition Ein Begriff B(n), der für alle natürlichen Zahlen n n 0 definiert werden soll, ann folgendermaßen festgelegt werden: 1. Definiere B(n) für n = n Definiere B(n) für n N n0 unter Zuhilfenahme der (hypothetisch) bereits erfolgten Definition von B(n 0 ),..., B(n 1). Definition 2.3. Für n N und x N definieren wir die Potenzen mit natürlichem Exponenten reursiv durch x 0 := 1, x n := x x n 1 (n N 1 ). Bemerung 2.4. Insbesondere wurde 0 0 := 1 definiert, was später z. B. beim binomischen Lehrsatz, Polynomen und Potenzreihen benutzt wird. 2.2 Kombinatori Permutationen Anordnung ohne Wiederholung Aufgabe ist, n verschiedeneobjete aufn Plätze anzuordnen. Anordnenheißtinsbesondere, die Reihenfolge zu beachten. Für den ersten Platz gibt es n Objete zur Auswahl, für den zweiten Platz sind es noch n 1 Objete,..., für den vorletzten Platz noch zwei Objete, auf den letzten Platz ommt das verbleibende Objet. Es sind somit Möglicheiten. n (n 1) 2 1 Für n N definieren wir n! (sprich: n-faultät) reursiv durch Damit gilt zum Beispiel 0! := 1, n! := n (n 1)! = n (n 1) 2 1 für n N 1. 0! = 1, 1! = 1 0! = 1, 2! = 2 1! = 2, 3! = 3 2! = 6, 4! = 4 3! = 24,

3 2.2 Kombinatori Definition 2.5. Sei M eine endliche Menge. Eine Anordnung aller Elemente von M unter Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung von Elementen heißt Permutation. Satz 2.6. Sei n N \ {0}. Dann besitzt eine n-elementige Menge genau n! Permutationen. Beispiel 2.7. Es werde die Menge {1,2,3} betrachtet. Deren Elemente ann man in folgenden Weisen anordnen: 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, Dies sind 6 = 3! Anordnungen. Beispiel 2.8. Ein Firmenvertreter hat sich beim Besuch von6kundena,b, C, D, E,F zu überlegen, welche der 6! = = 720 möglichen Reihenfolgen er wählt. Beispiel 2.9. Um 20 Studenten in einer Reihe antreten zu lassen, gibt es 20! = Möglicheiten. (WürdemanproAnordnungnur1Seundenbenötigen, bräuchte manwegen etwa 70 Milliarden Jahre. Das Weltall ist erst etwa 14 Milliarden Jahre alt Anordnung mit Wiederholung Aufgabe ist, insgesamt n Objete aus Klassen zu l 1, l 2,..., l Mitgliedern, l 1 + l l = n anzuordnen, wobei die Reihenfolge unter den Mitgliedern einer Klasse nicht beachtet werden soll. Unter Beachtung aller Reihenfolgen wären es n! Möglicheiten. Nun soll die Reihenfolge der l 1 Mitgliedern der ersten Klasse nicht beachtet werden. Dies sind l 1! Möglicheiten. Es verbleiben noch n!/l 1! Möglicheiten. Für man die Betrachtungen bis zu -ten Klasse weiter, so erhält man die Zahl der gesuchten Möglicheiten als n! l 1! l 2! l!. Eine andere Interpretation der Aufgabe ist, Objete unter Beachtung der Reihenfolge anzuordnen, wobei das erste Objet l 1 -mal, das zweite l 2 -mal,..., das -te l -mal auftreten soll (undmehrmals wiederholteobjete wegenihrergleichheitauchin derreihenfolge nicht unterscheiden werden önnen). Beispiel Es soll die Anzahl aller Zeichenetten aus den Buchstaben a, b und c bestimmt werden, bei denen a viermal, b dreimal und c zweimal vorommen. Hier haben wir l 1 = 4, l 2 = 3, l 3 = 2 und n = = 9. Somit ist die gesuchte Anzahl 9! 4!3!2! = ( ) (3 2 1) (2 1) = = = =

4 2.2.2 Variationen Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung Es sind n Objete aus n Objeten mit Beachtung der Reihenfolge ohne Wiederholung auszuwählen: Für das erste Objet haben wir n Möglicheiten, für das zweite n 1,..., für das -te Objet noch n + 1. Dies gesuchte Anzahl ist somit V n = n (n 1) (n +1) = n (n 1) (n + 1)(n ) 2 1 (n ) 2 1 Diese Auswahl heißt auch ohne Zurüclegen anstatt ohne Wiederholung. = n! (n )!. Definition Eine Auswahl von verschiedenen Elementen mit Berücsichtigung der Reihenfolge aus eine endlichen heißt Variation -ter Ordnung. Satz Ist M eine n-elementige Menge, so gibt es Variationen -ter Ordnung von M. V n = n! (n )! Beispiel Es seien vier Zahlen aus {1,2,...,6} vier Zahlen auszuwählen und in einer Reihe anzuordnen. Die Anzahl der möglichen Auswahlen ist V 6 4 = 6! (6 4)! = = = Beispiel Ein zehnöpfiges Leistungsgremium habe einen1. und 2. Sprecherzu wählen. Die Anzahl der möglichen Auswahlen ist V 10 2 = 10! (10 2)! = = 10 9 = Beispiel Ein Firmenvertreter, der 3 seiner 6 Kunden an einem Tag besuchen ann, überlegt sich, in vielen verschieden Reihenfolgen er sie besuchen önnte. Die Anzahl der möglichen Auswahlen ist V 6 3 = 6! (6 3)! = = = Beispiel Aus den n = 3 Buchstaben a, b, c önnen V2 3 = 3!/(3 2)! = 3! = 6 zweibuchstabige Zeichenetten ohne Wiederholung und unter Beachtung der Reihenfolge erzeugt werden, nämlich ab, ac, ba, bc, ca, cb. 28

5 2.2 Kombinatori Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung Es sind n Objete aus n Objeten mit Beachtung der Reihenfolge und mit zugelassener Wiederholung auszuwählen: Für jedes der Objete haben wirjeweils n Möglicheiten. Dies gesuchte Anzahl ist somit W V n = n. Diese Auswahl heißt auch mit Zurüclegen anstatt mit Wiederholung. Beispiel Aus den n = 2 Ziffern 0 und 1 önnen so 2 2 = 8 dreiziffrige Zeichenetten mit Wiederholung und unter Beachtung der Reihenfolge erzeugt werden: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, Kombinationen Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung Es sind n Objete aus n Objeten ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung auszuwählen: Wir haben V n Möglicheiten für die Auswahl von Objeten aus n unter Beachtung der Reihenfolge. Diese ausgewählten Objete lassen sich auf jeweils! Arten anordnen. Die gesuchte Anzahl ist damit C n = V n /! = n!!(n )!. Diese Auswahl heißt auch ohne Zurüclegen anstatt ohne Wiederholung. Definition Für, n N, n setzen wir ( ) n n! :=!(n )! und lesen n über oder aus n. Definition Sei M eine Menge. Die Auswahl von Elementen von M ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung von Elementen heißt Kombination zur -ten Klasse. Satz Seien n, N, 0 < n. Dann gibt es ( ) n C n = Kombinationen einer n-elementigen Menge zur -ten Klasse. 29

6 Beispiel Bei 6 aus 49 sind sechs Zahlen aus 49 ohne Wiederholung (d. h. ohne Zurüclegen) zu ziehen. Die Anzahl ist C 49 6 = 49! = = !(49 6)! Hier sehen wir auch einen Tric: Nicht 49! ausrechnen, sondern mit (49 6)! ürzen! Beispiel Aus {1,2,3,4,5,6} sind 4 Zahlen ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen. Die Anzahl der möglichen Auswahlen ist ( ) 6 C4 6 = 4 und zwar gibt es folgende Auswahlen: = = 15 {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,3,6}, {1,2,4,5}, {1,2,4,6}, {1,2,5,6}, {1,3,4,5}, {1,3,4,6}, {1,3,5,6}, {1,4,5,6}, {2,3,4,5}, {2,3,4,6}, {2,3,5,6}, {2,4,5,6}, {3,4,5,6}. Beispiel zu wählen. Es gibt hierfür Möglicheiten für diese Wahl. Ein zehnöpfiges Leistungsgremium habe zwei gleichberechtigte Sprecher C 10 2 = ( ) 10 = = 45 Rechenregeln für 1 n: ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n = = 1, = 0 n 1 n 1 = n, ( ) ( ) n n =, n ( ) n + 1 = ( ) n + 1 ( ) n. Diese Formeln sind Grundlage für das Pascalsche Dreiec: ( 0 0) 1 ( 1 ) 1 1 ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) Folgerung Seien n, N, 0 < n. Dann gibt es ( n ) verschiedene, -elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge. 30

7 2.3 Rationale und Reelle Zahlen Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung Es sind n Objete aus n Objeten ohne Beachtung der Reihenfolge aber mit zugelassener Wiederholung auszuwählen. Diese Anzahl ist omplizierter herzuleiten und sei nur der Vollständigeit halber angegeben: ( ) n + 1 W C n = Zusammenfassung Permutation Variation Kombination aus n auswählen anordnen mit Reihenfolge ohne Reihenfolge ohne Wiederh. n! = n (n 1) 1 V n = n! (n )! = ( n mit Wiederh. n! l 1! l 2! l! W V n = n )! C n = n!!(n )! = ( ) n W C n = ( ) n Rationale und Reelle Zahlen Weitere Zahlenbereiche Der Aufbau weiterer Zahlenbereiche lässt sich in folgendem Schema darstellen: N = {0,1,2,...} a,b N Menge der natürlichen Zahlen a + b N (Addition) a b N (Multipliation) Z = {..., 2, 1,0,1,2,...} a,b Z Menge der ganzen Zahlen a + b Z, a b Z a b Z (Subtration) Q = { p p Z q Z \ {0}} q a,b Q, a b Q, Menge der rationalen Zahlen a + b Q, a b Q, a : b Q für b 0 (Division) R a,b R, a b R Menge aller reellen Zahlen a + b R, a b R (Menge der Dezimalbrüche) a : b R (für b 0) 31

8 2.3.2 Gemeinsame Eigenschaften der rationalen und reellen Zahlen Im Folgenden sei K {Q, R}, K sei also die Menge der rationalen bzw. der reellen Zahlen Algebraische Eigenschaften Die Addition + und die Multipliation besitzen folgende Eigenschaften: x,y K: x+y = y + x (Kommutativgesetze) x,y K: x y = y x x,y, z K: x + (y + z) = (x + y) + z (Assoziativgesetze) x (y z) = (x y) z x,y, z K: x (y + z) = x y + x z (Distributivgesetz) x K: x + 0 = x, 1 x = x (neutrale Elemente 0 bzw. 1 x K: =1 x K: x + ( x) = 0 (additiv inverse Zahl) x K \ {0} =1 x 1 K: x 1 x = 0) (multipliativ inverse Zahl) Definition Eine Menge K mit Operationen + und und Elementen 0 1 und obigen Gesetzen heißt (Zahlen-) Körper. Zahlenörper sind also die Mengen, in denen wir richtig rechnen önnen, in dem Sinne, dass alle aus der Schule beannten Rechenregeln gelten. Wir werden später die omplexen Zahlen als einen weiteren Körper ennenlernen. In einem Körper sind Subtration und Division über Addition bzw. Multipliation definiert: x y := x + ( y), x : y := x y 1, die Division aber nur für y 0. Weitere Gesetze wie 0 x = 0 und 1 x = x folgen aus den Körpergesetzen. Bemerung Wenn man unter Beihaltung der bisherigen Eigenschaften von Addition und Multipliation eine Division durch0definieren will, so folgt0 = 1 und weiter K = {0}, was nicht sehr nützlich wäre Ordnungseigenschaften In K {Q, R} gibt es eine Ordnungsrelation und eine Relation < definiert durch x < y : x y und x y mit folgenden Eigenschaften: 32

9 2.3 Rationale und Reelle Zahlen x K: x x x,y K: (x y y x) x = y x,y, z K: (x y y z) x z x,y K: x y y x x,y K: x < y u K(x < u < y) x,y, z K: x < y x+z < y + z x,y, z K: z > 0 (x < y x z < y z) (Reflexivität) (Antisymmetrie) (Transitivität) (totale Ordnung) (Dichtheit) (Verträglicheit mit Addition) (Verträglicheit mit Multipliation) Damit gilt die Trichotomie-Eigenschaft: Für je zwei Zahlen x,y K gilt genau eine der drei Beziehungen x < y, x = y, x > y. Eine Zahl x K heißt positiv, nichtnegativ, nichtpositiv bzw. negativ, wenn x > 0, x 0, x 0 bzw. x < 0. Definition Ein Körper K mit einer Ordnungsrelation mit obigen Eigenschaften heißt total angeordneter Körper. Q und R sind also total angeordnete Körper. Der Körper C der omplexen Zahlen wird sich hingegen als nicht anordenbar erweisen Unterschiede der rationalen und reellen Zahlen Bezüglich der algebraischen und Ordnungseigenschaften gibt es eine Unterschiede zwischen den rationalen und den reellen Zahlen. Die Erweiterung der rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen ist jedoch notwendig, da allein schon Rechtece mit rationalen Seitenlängen eine rationale Diagonalenlänge haben müssen. Beispiel Wir betrachten ein Quadrat mit der Seitenlänge1. Dann ist nach dem Satz von Pythagoras = 2 die Diagonalenlänge dieses Quadrates. Angenomen, 2 wäre rational. Dann gibt es ganze Zahlen p und q mit q 0 und 2 = p q. Ohne Beschränung der Allgemeinheit önnen wir annehmen, dass p und q teilerfremd sind: Anderfalls teilen wir p und q durch ihren größten gemeinsamen Teiler. Durch Quadrieren und Multipliation mit q 2 folgt nun 2q 2 = p 2, (2.2) Wegen p 2 eine gerade Zahl ist. Da das Quadrat ungerader Zahlen ungerade ist, muss p folglich eine gerade Zahl sein, d. h. es existiert eine ganze Zahl p 0 mit p = 2 p 0. Setzen wir dies in (2.2) ein und dividieren dann durch 2, so folgt q 2 = 2p 0, weswegenauchq gerade seinmuss, im WiderspruchzurTeilerfremdheitvonp undq. Folglich ist die Annahme, 2 wäre rational, falsch. Durch die Erweiterung der rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen wird erst die Definition von Potenz- und Exponentialfuntion und weiterer Funtionen möglich. 33

10 2.4 Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen Ein Grundproblem der Mathemati ist die Ermittelung aller Lösungen von Systemen von Gleichungen und Ungleichungen. Am günstigsten ist immer eine äquivalente Umformung von Gleichungen und Ungleichungen Äquivalente Umformungen Äquivalente Umformungen sind Umformungen, welche die Lösungsmenge nicht verändern. Nichtäquivalente Umformungen führen zu einer Änderung der Lösungsmenge der Gleichungen oder Ungleichungen: Es önnen scheinbar Lösungen hinzuommen aber es önnen auch Lösungen verloren gehen. Folgende Regeln zur äquivalenten Umformung (für a,b, x, y,p, q R beliebig) ergeben sich aus den Eigenschaften der reellen Zahlen: x = y x + a = y + a x y x + a y + a x y x + a y + b, falls a b x = y ax = ay, falls a 0 { ax ay, falls a > 0 x y ax ay, falls a < 0 0 < x y 0 < 1 y 1 x. Folgende Regeln önnen zur Lösung von Gleichungen genutzt werden: wenn p 2 4q. xy = 0 x = 0 oder y = 0 x 2 = a 2 x = a oder x = a x 2 + px + q = 0 x = p p q oder x = p 2 p 2 4 q, Beispiel Man bestimme die Lösungsmenge L der folgenden Gleichung (x 2) 2 + x = 2. 34

11 2.4 Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen Es gibt mehrere Lösungsweg, einer davon ist der folgende: und damit L = {1,2}. (x 2) 2 + x = 2 x 2 4x x = 2 x 2 3x + 2 = 0 x = = 2 oder x = = 1, Rechnen mit Beträgen Das Rechnen mit Beträgen wird vom Anwender oft als unangenehm empfunden, da der Begriff "Betrag" zweigeteilt definiert ist. Man ann aber alle Schwierigeiten ausräumen, wenn man sich stur an die Definition und die Rechenregeln hält. Diese seien im folgenden benannt. Definition Für eine reelle Zahl a R wird der Betrag von a festgesetzt durch a := a, falls a 0 und a := a, falls a < 0. Beispiel Es gilt 3 = 3, aber auch 3 = 3 = ( 3). Rechenregeln (für a,b, x R beliebig): a = a a a a a b = a b 1 a = 1 (a 0) a a + b a + b (Dreiecsungleichung) a b b a b oder b a b x a b a b x a + b a 2 = a a 2 = a 2 Beispiel Es sei A = {x x 2 < 3}. Wegen { x 2 < 3 für x 2 0 x 2 < 3 x + 2 < 3 für x 2 < 0 folgt A = {x 1 < x < 5}. { x < 5 für x 2 x > 1 für x < 2 35

12 Beispiel Ein Unternehmen legt fest, dass der Preis x einer Ware höchstens 20% (von x) gegenüber dem unverbindlichen Richtpreis vone 48 variieren darf. Für die Preisspanne gilt also Für x 48 ergibt sich Für x < 48 ergibt sich x x x x, 0.8x 48, x x 0.2 x, 1.2 x 48, x 40. Das heißt, für den Preis x ergibt sich die Spanne 40 x 60. Eine Auflösung omplizierterer Betragsungleichungen geschieht in der Regel durch Fallunterscheidung oder durch Veranschaulichung auf der Zahlengeraden. Beispiel Man bestimme die Lösungsmenge L von x x 1 2. Fallunterscheidung: 1. Fall: x < 1. Dann gilt x x 1 2 (x + 1) (x 1) 2 x 1, und daher L 1 = ], 1[ [ 1, [ =. 2. Fall: 1 x < 1. Dann gilt x x 1 2 (x + 1) (x 1) 2 2 2, und daher L 2 = [ 1,1[ R = [ 1,1[. 3. Fall: 1 x. Dann gilt x x 1 2 (x + 1) + (x 1) 2 x 1, und daher L 3 = [1, [ ],1] = {1}. Zusammengefasst: L = L 1 L 2 L 3 = [ 1,1]. 2.5 Weitere Definitionen und Aussagen Summen und Produte Für vorgegebene Zahlen a,a +1,...,a n,... R setzen wir reursiv fest: 36

13 2.5 Weitere Definitionen und Aussagen n a i := 0 für n <, i= n a i := 1 für n <, i= n i= n i= n 1 a i := a n + a i = a + + a n für n, i= n 1 a i = a n a i = a a n für n. i= Aus der Dreiecsungleichung folgt mit vollständiger Indution: n a i i=0 n a i. i=0 Beispiel Für n N gilt n n! = i. i=1 Satz 2.36 (Binomischer Lehrsatz). Für a,b R und n N gilt n ( ) n (a + b) n = a b n. Folgerungen: 2 n = (1 + 1) n = n =0 =0 ( ) n 1 1 n = n =0 ( ) n, (1 + x) n = n =0 ( ) n x. Folgerung Sei n N >0. Dann hat die Potenzmenge 2 M einer n-elementigen Menge 2 n Elemente Potenzen und Wurzeln Wir definieren hier die Potenzen mit reellen Exponenten. Definition Für x R werden n-ten Potzenz x n reursiv definiert durch x 0 = 1, x +1 = x x. Definition Für x R 0 und n N 1 ist die n-te Wurzel n x definiert als die nichtnegative Lösung der Gleichung w der Gleichung w n = x. 37

14 Definition Für x R >0 und r Q 0, r = p q mit p, q N 1, definieren wir die Potenzen mit rationalen Exponenten durch x r := x p q := ( q x ) p und x r := 1 x r. Durch einen Grenzübergang ann die Definition von rationalen zu reellen Exponenten ausgedehnt werden. Die Definition ann zum Teil auch auf nichtpositive Basen fortgesetzt werden. Die Potenzen zu positiven Basen a, b genügen folgenden Potenzgesetzen: a r a s = a r+s, a r /a s = a r s, a r b r = (ab) r, a r /b r = (a/b) r, (a r ) s = a rs. Bemerung Die Potenzgesetze gelten nicht für negative Basen. Zum Beispiel gilt x 2 = x für x R und nicht x 2 = x (häufiger Fehler!), z.b. ( 1) 2 = Logarithmen Definition Es seien a > 0, a 1, b > 0. Wir definieren den Logarithmus von b zur Basis a als die Lösung x der Gleichung a x = b. Bemerung Es gilt also nach Definition a log a b = b. (2.3) Aus den Potenzgesetzen ergeben sich folgende Logarithmengesetze für a,b > 0, 1, x,y > 0, r R: log a b log b a = 1, log a (xy) = log a x + log a y, log a (x r ) = r log a x, log b x = log b a log a x. Übliche Basen sind 10, 2 (in der Informati) und die irrationale Zahl e =