12. Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz

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1 72 Andeas Gathmann 2. Beechnung eelle Integale mit dem esiduensatz Wi haben geade gesehen, dass man mit Hilfe des esiduensatzes nahezu beliebige geschlossene komplexe Kuvenintegale beechnen kann. In diesem Kapitel wollen wi nun zeigen, dass sich manchmal auch eelle Integale seh einfach mit dem esiduensatz beechnen lassen unte andeem auch einige, an die man mit den nomalen Methoden de eellen Analysis nicht hean kommt, weil man keine Stammfunktion des Integanden angeben kann. Es handelt sich hiebei in de egel um uneigentliche Integale de Fom f xdx, wobei f eine eelle Funktion ist, die im Unendlichen schnell genug abfällt, so dass das Integal im iemannschen Sinne konvegiet. Die Idee, wie man solche Integale unte Umständen mit Hilfe de Funktionentheoie beechnen kann, ist schnell Im eklät: zunächst einmal betachten wi das eelle Integal von bis fü goße >0 und intepetieen es als komplexes Wegintegal U f xdx f zdz übe den echts eingezeichneten Weg, de auf de eellen Achse von nach veläuft. e Wi vesuchen nun, die uspünglich gegebene Funktion f in eine eellen Vaiablen zu eine holomophen Funktion in eine komplexen Vaiablen zu eweiten bei den Standadfunktionen wie z. B. Polynomen, Exponential- ode Winkelfunktionen bzw. Kombinationen davon ist dies natülich einfach möglich. Damit können wi dann den Integationsweg mit einem weiteen Wegstück in de komplexen Ebene so egänzen, dass sich insgesamt eine geschlossene Kuve egibt z. B. duch einen Halbkeisbogen wie im Bild oben echts. Mit dem esiduensatz aus Bemekung.8 können wi das Integal übe f entlang dieses geschlossenen Weges dann einfach beechnen und ehalten f zdz + f zdz 2πi es z f. z U In diese Situation betachten wi nun den Genzwet fü, also einen imme göße wedenden Halbkeis. Wenn de Integand im Unendlichen schnell genug abfällt, können wi hoffen, dass das Integal übe den imme weite nach außen laufenden Halbkeisbogen gegen Null konvegiet. Gelingt es uns, dies zu zeigen, bleibt in im Genzfall also nu noch das Integal übe und damit das gesuchte uneigentliche Integal f xdx übig, das wi dann duch einfach beechenbae esiduen von f ausgedückt haben. Wi weden dieses Vefahen in diesem Kapitel fü eelle Integale de Fom px qx dx, px qx cosxdx und px qx sinxdx duchfühen, wobei p und q jeweils beliebige Polynomfunktionen sind und q keine eellen Nullstellen hat, so dass de Integand auf de gesamten eellen Achse definiet ist. In jedem diese Fälle ehalten wi so ein seh einfaches esultat fü diese Integale. Analoge Techniken können auch fü viele andee Typen von Integanden eingesetzt weden, alledings muss natülich in jede Klasse von Beispielen eneut übepüft weden, dass das Schließen des Integationsweges im Unendlichen das esultat nicht ändet, d. h. dass das Integal übe oben im Genzfall wiklich gegen 0 konvegiet. Da diese Abschätzungen in de egel nu wenig spannend sind, weden wi hie auf die Behandlung weitee Beispiele vezichten.

2 2. Beechnung eelle Integale mit dem esiduensatz 73 Definition 2. ationale Funktionen und ih Gad. Es seien p,q: zwei eelle Polynome, die nicht identisch 0 sind und Gad k bzw. l haben. Dann heißt die Abbildung f : U, x px qx mit U {x : qx 0} eine eelle ationale Funktion vom Gad deg f : k l. Bemekung 2.2. a Natülich können wi jede eelle ationale Funktion f auch als komplexe meomophe Funktion auffassen, indem wi komplexe Zahlen in die Polynome einsetzen. Wi weden diese komplexifiziete Funktion im folgenden de Einfachheit halbe ebenfalls mit f bezeichnen. b Haben p und q in Definition 2. Leitkoeffizient, so wissen wi nach Aufgabe 4.7, dass es ein >0 gibt mit pz 2 3 z k und qz 2 z l, also mit f z pz 3 qz 2 z k 3 z k l 2 z l fü alle z C mit z. Fü eine allgemeine ationale Funktion vom Gad k l, also einen Quotienten von Polynomen vom Gad k bzw. l mit beliebigen Leitkoeffizienten, ehalten wi also die Abschätzung f z c z k l fü geeignete Konstanten c, >0 und alle z C mit z. Als Estes müssen wi eine Aussage de eindimensionalen eellen Analysis zeigen, die mit Funktionentheoie eigentlich nichts zu tun hat: nämlich dass das uns inteessieende Integal f xdx konvegiet und als Genzwet de Integale f xdx mit symmetischen Integationsgenzen fü beechnet weden kann. Beachte, dass dies nicht offensichtlich ist, da uneigentliche iemann- Integale mit beidseitig unendlichen Integationsgenzen zunächst einmal als f xdx : lim c f xdx + lim c f xdx mit eine beliebigen Zwischenstelle c übe zwei sepaate Genzwete definiet sind, die beide existieen müssen [G2, Definition 2.27 b]. Lemma 2.3. Es sei f : eine stetige Funktion, fü die es Konstanten c, >0 gibt mit f x cx 2 fü alle x mit x nach Bemekung 2.2 b also z. B. eine eelle ationale Funktion vom Gad höchstens 2 ohne eelle Polstellen. Dann konvegiet das uneigentliche Integal f xdx, und es gilt f xdx lim f xdx. Beweis. Es genügt zu zeigen, dass die beiden Genzwete in de Summe lim f xdx + f xdx + lim f xdx in existieen, denn nach de Definition des uneigentlichen iemann-integals [G2, Definition 2.27 b] und de Additivität des Integals [G2, Satz 2.4] ist diese Summe dann gleich dem gesuchten uneigentlichen Integal f xdx, und nach den Genzwetsätzen dann auch gleich lim f xdx. Wi zeigen die Existenz fü den zweiten Genzwet lim f xdx; fü den esten ist die Agumentation natülich analog. Es seien f + : max f,0 und f : min f,0 de positive bzw. negative Anteil von f, so dass also f + 0, f 0, und f f + + f gilt. Dann genügt es wiedeum, die Existenz des Genzwets lim f +xdx und analog lim f xdx zu beweisen, denn nach den Genzwetsätzen existiet dann auch lim f xdx lim f + x + f xdx lim f + xdx + lim f xdx.

3 74 Andeas Gathmann Dies folgt nun abe sofot, da die Funktion f +xdx wegen f + 0 monoton wachsend, und wegen f + xdx cx 2 dx [ cx ] c c c nach oben beschänkt ist. Wi haben nun alle Vobeeitungen getoffen, um die in de Einleitung dieses Kapitels motiviete esiduenfomel fü Integale übe ationale Funktionen zu beweisen. Satz 2.4. Es sei f eine eelle ationale Funktion mit deg f 2, die auf de eellen Achse keine Polstellen hat. Dann gilt f xdx 2πi es z f, d. h. man ehält bis auf einen Vofakto 2πi genau die Summe de esiduen von f in den Polstellen de obeen Halbebene. Beweis. Es seien c und wie in Bemekung 2.2 b. Fü genügend goße liegen alle Polstellen von f de obeen Halbebene wie im folgenden Bild beeits im Halbkeis übe de Stecke [,] C. Polstellen von f Im e Nach dem esiduensatz wie in Bemekung.8 gilt dann f zdz + f zdz 2πi es z f mit den Wegen und wie im Bild. Das zweite Integal können wi dabei mit Lemma 4.4 b duch f zdz L max f z π z c 2 πc abschätzen. Diese Ausduck konvegiet abe fü gegen 0, und so ehalten wi aus fü lim f xdx 2πi es z f. Die Behauptung folgt damit aus Lemma 2.3. Bemekung 2.5. Vielleicht übeascht euch das Aufteten des Faktos i in de Fomel aus Satz 2.4 etwas, da das zu beechnende Integal natülich eell sein muss. In de Tat wid abe auch die Summe de zu beechnenden esiduen imme ein imaginä sein, so dass sich insgesamt wie ewatet ein eelles Endesultat egibt. Beispiel 2.6. Wi wollen fü n N >0 das eelle Integal x 2 + n dx

4 2. Beechnung eelle Integale mit dem esiduensatz 75 beechnen. Dazu müssen wi nach Satz 2.4 beachte, dass de Integand Gad 2n und keine eellen Polstellen hat lediglich die komplexen Polstellen des Integanden suchen und an den Polstellen mit positivem Imaginäteil die esiduen aufaddieen. Das ist hie seh einfach: wegen z 2 + n z + i n z i n gibt es nu die beiden Polstellen ±i, von denen nu +i in de obeen Halbebene liegt. Also ist das gesuchte Integal gleich x 2 + n dx 2πi es i z 2 + n. Das esiduum können wi nun noch einfach mit Lemma.8 beechnen: da bei +i eine Polstelle de Odnung n voliegt, ist es i + z 2 n n! lim z i n n z 2 + n n! lim z + i n n n! lim n n 2n + 2z + i 2n+ n! 2n 2! n n! 2i 2n+ i 2n 2 2 2n. n Einsetzen egibt damit x 2 + n dx π 2 2n 2 2n 2. n In diesem Beispiel hätten wi das Integal genauso gut mit Hilfe eelle Stammfunktionen beechnen können, auch wenn die entspechende echnung weit aufwändige gewesen wäe. Wi wollen dahe nun noch andee Funktionen behandeln, bei denen sich mit den üblichen Mitteln de eellen Analysis keine Stammfunktionen emitteln lassen und die Funktionentheoie die einzige Möglichkeit dastellt, diese Integale zu beechnen. Wie schon angekündigt handelt es sich dabei um Funktionen, bei denen im Integanden zusätzlich zu eine ationalen Funktion wie oben noch ein Fakto cosx ode sinx steht. De Einfachheit halbe fassen wi diese beiden Fälle zusammen und beechnen fü beliebige ationale Funktionen f das komplexwetige Integal f xe ix dx f x cosxdx + i f x sinxdx, aus dem man die beiden Einzelintegale duch Aufspalten in eal- und Imaginäteil natülich sofot wiede zuückgewinnen kann. De folgende Satz ist dann sowohl in de Aussage als auch im Beweis völlig analog zu Satz 2.4: Satz 2.7. Es sei f eine eelle ationale Funktion mit deg f 2, die auf de eellen Achse keine Polstellen hat. Dann gilt f xe ix dx 2πi es z f ze iz. Beweis. Die Beweisidee ist dieselbe wie bei Satz 2.4: mit denselben Bezeichnungen wie im dotigen Beweis ehalten wi aus dem esiduensatz diesmal die Gleichung f ze iz dz + f ze iz dz 2πi es z f ze iz.

5 76 Andeas Gathmann In diesem Fall können wi das Integal übe den Halbkeisbogen mit Lemma 4.4 b und Bemekung 2.2 b nun wie folgt abschätzen: es ist f ze iz dz L max f ze iz z Imz 0 π max f z max z Imz 0 eiz π c 2 max Imz 0 eiez Imz πc max Imz 0 e Imz }{{} πc, was wiedeum fü gegen Null konvegiet. Damit ehalten wi genau wie im Beweis von Satz 2.4 in diesem Genzfall aus 2πi es z f ze iz lim lim f xe ix dx f x cosxdx + i lim f x sinxdx. Nun gilt abe f x cosx f x cx 2 und analog fü f x sinx fü alle x mit x, und damit können wi diese Gleichung nach Lemma 2.3 wie gewünscht umscheiben zu 2πi es z f ze iz f x cosxdx + i Beispiel 2.8. Wi beechnen das uneigentliche eelle Integal f x sinxdx f xe ix dx. cosx + x 2 dx e e ix + x 2 dx mit Hilfe von Satz 2.7. Wie in Beispiel 2.6 müssen wi hiezu nu das esiduum im Punkt i beechnen: es gilt es i + z 2 lim e z i Insgesamt egibt sich damit also das gesuchte Integal zu cosx + x 2 dx e e iz e ix dx e + x2 iz z + iz i e 2i. 2πi es i e iz Aufgabe 2.9. Zeige mit Hilfe des esiduensatzes, dass 0 + z 2 e 2πi e π 2i e. x dx π 8. Aufgabe 2.0. Beechne das eelle Integal e x dx + e x mit Hilfe des echts eingezeichneten Integationsweges. iπ 2 Aufgabe 2.. Beechne das eelle Integal 0 x 3 + dx. Hinweis: Vegleiche das Integal mit dem Wegintegal übe z 3 + entlang des Stahls 0 e 2πi 3.