Übungen: Extremwertaufgaben

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Jürgen Langenberg
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Übungen: Extemwetufgben.0 Eine Stenwte ht meist die Fom eines Zylindes (Rdius, Höhe h) mit eine oben ufgesetzten Hlbkugel (siehe z. B. die im Bild unten gezeigte Fitz-Weiths-Stenwte in Neumkt).

1 Übungen: Extemwetufgben.0 Eine Stenwte ht meist die Fom eines Zylindes (Rdius, Höhe h) mit eine oben ufgesetzten Hlbkugel (siehe z. B. die im Bild unten gezeigte Fitz-Weiths-Stenwte in Neumkt). Die gesmte Obefläche eine neu gebuten Stenwte soll S = 50 π m betgen (wum uch imme...) Einheiten können im Folgenden ignoiet weden. h. Stellen Sie ds Volumen V des zylindefömigen Unteteils ls Funktion des Rdius d. (Egebnis: V() = π (75 ). Emitteln Sie eine im Schzusmmenhng sinnvolle Definitionsmenge D V diese Funktion V.. Beechnen Sie, fü welche Abmessungen und h ds Volumen m gößten wid, und geben Sie dieses gößte Volumen n..0 Ein lte Tum besteht us einem Keiszylinde und eine ufgesetzten Kuppel; sein Queschnitt ist in de Skizze unten dgestellt (dicke Stiche). De Queschnitt de Kuppel ist dbei eine Pbel, die duch die Gleichung p: y = x + mit D p = [ ;] beschieben wid. De Tum ist bufällig und soll innen duch eine ingfömige Mue (Rdius ) und eine keisfömige Zwischendecke (unten gestichelt dgestellt) bgestützt weden; de Punkt P liegt dbei uf de Pbel. y 4 G p P x

2 . Es bleibt ein zylindische Innenum übig. Emitteln Sie dessen Volumen V in Abhängigkeit von. Geben Sie eine im Schzusmmenhng sinnvolle Definitionsmenge de Funktion V n. Einheiten können dbei ignoiet weden. (4 BE) 4 (mögliches Egebnis: V() = ( ) π 9 ). Emitteln Sie so, dss de Innenum ein möglichst goßes Volumen ht. Geben Sie dieses Volumen uch n. Intepetieen Sie Ih Egebnis. (7 BE).0 Aus Dht de Gesmtlänge 90 cm soll ein Kntenmodell eines Pisms gebstelt weden, dessen Gundseite ein egelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge ist (Flächeninhlt: G = ); siehe Skizze: h. Zeigen Sie, dss sich fü ds Volumen V dieses Pisms in Abhängigkeit de Länge egibt: V() = (5 ), und geben Sie eine im Zusmmenhng sinnvolle Definitionsmenge D V n. (Einheiten können dbei ignoiet weden). Emitteln Sie echneisch, fü welche Abmessungen und h ds Volumen m gößten ist. 4.0 Bei eine qudtischen Pymide (siehe Skizze unten) sollen die vie Seitenknten jeweils die Länge s = 0 cm hben (Einheiten können im Folgenden ignoiet weden). s h s d 4. Begünden Sie, dss fü ds Volumen V diese Pymide in Abhängigkeit von ihe Höhe h gilt: V(h) = (00h h ), und geben Sie eine im Schzusmmenhng sinnvolle Definitionsmenge D V diese Funktion V n. (Tipp: zwischen de Seitenlänge de qudtischen Gundfläche und de Länge d de Digonlen besteht de Zusmmenhng d = ) Runden Sie Ihe Egebnisse im Folgenden uf zwei Dezimlen. 4. Beechnen Sie, fü welche Abmessungen und h ds Volumen m gößten wid, und geben Sie dieses gößte Volumen n.

3 Lösungen. gesucht: V Zylinde = π h (bechte: es ist nu nch dem Volumen des unteen Teils gefgt!) (V soll in Abhängigkeit von dgestellt weden h muss noch beechnet weden!) gegeben: S = 50π = M Zylinde + O Kugel = πh + π = π ( + h) (bechte: hie vewendet mn nicht die Fomel fü die Obefläche des Zylindes, sonden nu die fü die Mntelfläche, weil j Gund- und Deckfläche des Zylindes nicht zu Obefläche de Stenwte gehöen!) umstellen nch h: 75 = + h 75 h = oben einsetzen: V() = π 75 = π (75 ) (Klmmen setzen! nch dem Auflösen de Klmme: Büche küzen!). > 0 und h > 0 75 > 0 < 75 ( 8,66 ) (beim Wuzelziehen bucht mn hie nu die positive Lösung, weil j > 0 ist!) lso: D V = ]0; 75 [ (die 0 muss hie usgeschlossen weden, weil sonst h nicht definiet wäe; die Rechnung oben usgeschlossen weden, muss be nicht) 75 sollte wegen de. V () = π (75 ); V () = 6π Stellen mit wgechte Tngente: V () = 0 75 = 0 = 5 (m) (einfch) (beim Wuzelziehen bucht mn hie nu die positive Lösung, weil j > 0 ist!) V (5) = 0π < 0 Mximlstelle V(5) 785 (m ) Rndwete: V(0) = 0; V( 75 ) = 0 fü = 5 (m) ist ds Volumen m gößten (eigentlich müsste mn hie jeweils den Limes hinscheiben, sttt einfch nu einzusetzen, weil 0 und 75 j eigentlich beide nicht zu Definitionsmenge gehöen...) h beechnen: h = = 0 (m)

4 . gesucht: V Zylinde = π h mit h = y P = p() = π 9 einsetzen: V = π ( ) = ( ) > 0 und P G p D V = ]0;] (ob mn die 0 und die ein- ode usschließt, ist Geschmckssche). V () = ( 4 π. 78) ; V () = (. 78) Stellen mit wgechte Tngente: ( 4. 78) π π = = 0 4 ( 9,5) = 0 = 0 D V ode 9,5 = 0 = 9,5 4,4 D V (Es gibt lso in de Definitionsmenge g keine eltiven Extem! Flls mn die 0 zu Definitionsmenge dzu nimmt: V (0) = 6π > 0 Minimum!) Rndwete: V(0) = 0; V() = 90π 8 (m ) Ds gößtmögliche Volumen des Innenums ehält mn lso, wenn de Rdius des Innenums gleich dem des Tums ist die Stützmue muss lso diekt n de Innenmue hochgezogen weden.

5 . gesucht: V Pism = G h = h (V soll in Abhängigkeit von dgestellt weden h muss noch beechnet weden!) gegeben: s = 90 = + 6h (Gundfläche: 6 Seitenknten mit Länge ; Deckfläche: 6 Seitenknten mit Länge ; dzu 6 Knten de Länge h dzwischen) umstellen nch h: 90 = 6h h = 5 oben einsetzen: V() = (5 ) = (5 ) (Klmmen setzen!) > 0 und h > 0 5 > 0 < 7,5 lso: D V = ]0;7,5[ (die 0 und die 7,5 sollten wegen de Rechnung oben usgeschlossen weden, müssen be nicht). V () = (0 6 ) = 9 (5 ); V () = 9 (5 ) Stellen mit wgechte Tngente: V () = 0 (5 ) = 0 = 0 D V ; = 5 (cm) V (5) = 9 ( 5) < 0 Mximlstelle V(5) 5 (cm ) Rndwete: V(0) = 0; V(7,5) = 0 fü = 5 (cm) ist ds Volumen m gößten (eigentlich müsste mn hie jeweils den Limes hinscheiben, sttt einfch nu einzusetzen, weil 0 und 7,5 j eigentlich beide nicht zu Definitionsmenge gehöen...) h beechnen: h = 5 5 = 5 (cm)

6 4. gesucht: V Pymide = G h = h (V soll in Abhängigkeit von h dgestellt weden bzw. muss noch beechnet weden!) d gegeben: s = 0 + h = 0 (Stz des Pythgos ngewendet uf ds in de Skizze gezeigte echtwinklige Deiecke: eine Kthete ist hlb so lng wie die Digonle d, die zweite Kthete ist die Höhe h, die Hypotenuse ist s) + h = 00 (gegebene Zusmmenhng zwischen Digonle und Seitenlänge eingesetzt) + h = h = 00 (Klmme ufgelöst und Buch geküzt) umstellen nch : = 00 h = 00 h (Hinweis: Mn muss die Wuzel hie nicht ziehen, weil mn j sowieso nu bucht und nicht. Wenn mn die Wuzel be doch zieht, dnn ist ds Egebnis = 00 h, und ds ist nicht dsselbe wie = 00 h 4,4h!!! Hie steht eine Diffeenz, d knn mn nicht us den beiden Temen einzeln die Wuzel ziehen!!!) oben einsetzen: V(h) = (00 h ) h = (00h h ) (Klmmen setzen!) h > 0 und h < 0 (die Kthete muss ntülich küze ls die Hypotenuse sein) lso: D V = ]0;0[ (die 0 und die 0 sollten wegen de Rechnung oben usgeschlossen weden, müssen be nicht) 4. V (h) = (00 h ) ; V (h) = ( 6h) = 4h Stellen mit wgechte Tngente: V (h) = 0 00 h 00 = 0 h = 5,77 (einfch) (beim Wuzelziehen bucht mn hie nu die positive Lösung, weil j h > 0 ist!) V (5,77) = 4 5,77 < 0 Mximlstelle V(5,77) 56,60 Rndwete: V(0) = 0; V(0) = 0 fü h 5,77 (cm) ist ds Volumen m gößten, nämlich etw 56,60 (cm ) (eigentlich müsste mn hie jeweils den Limes hinscheiben, sttt einfch nu einzusetzen, weil 0 und 0 j eigentlich beide nicht zu Definitionsmenge gehöen...) beechnen: = 00 =,55 (cm)

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