Flächenberechnungen 2b

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1 Flächenbeechnungen b Teil b: Flächenbeechnungen mit Integal (Fotsetzung) Datei N. 8 Juni Fiedich Buckel Intenatsgymnasium Schloß Togelow

2 Inhalt Datei 8. Rechtecksmethoden. Ein estes goßes Beispiel. Heleitung eine Flächeninhaltsfomel. Wichtige Bemekungen 8 Aufgabe Lösung de Aufgaben Datei 8. Flächenbeechnung mit dem Integal. Wie kam man auf die Ableitung. Hauptsatz de Diffeential- und Integalechnung. Eine gute Integalfomel fü Ku-Li-Taps 6. Aufgaben zu Flächenbeechnung 9 Datei 8 Datei 8.5 Lösungen.6 Ku-Li-Taps unte de -Achse 5.7 Es geht dunte und dübe 5.8 Flächen zwischen zwei Kuven 5.9 Flächen, die bis uns Unendliche Reichen 55. Flächen zwischen zwei Kuven 57. Zusammengesetzte Flächen 59. Abschätzung von Flächen 6 Datei 85. Näheungsvefahen zu Flächenbeechnung 6. Rechtecksvefahen 6. Sehnen-Tapez-Regel 6. Simpson-Regel 65. Zusatz: Acus-Tangens als Stammfunktion 67

3 8 Flächenbeechnungen b 5. Flächenbeechnung mit Integal.6 Ku-Li-Taps unte de -Achse Beispiel (): f = Das Schaubild K von f begenzt mit de -Achse zwei Flächen. Die echte davon liegt unte de -Achse. De Vesuch diese Fläche auf dieselbe Weise wie bishe zu beechnen füht zu einem negativen Wet. 6 6 d = = 6 = = 8 Wi fühen einen Vesuch duch und spiegeln das Schaubild an de -Achse. Dann wid daaus diese Kuve: y = + +. Wi echnen neu: d = + + = = 8 Jetzt wid diese Fläche ein positive Inhalt zugeodnet. Wi ekennen also die Methode: Liegt ein Ku-Li-Tap unte de -Achse, muß man entwede Vozeichen de Funktion umkehen ode die Genzen vetauschen: b a a A = f d = f d b a b Beispiel (): Die im Kasten dagestellte Fläche gehöt zu Randfunktion f = : ( ) [ ] 6 A = d = = 8 8 = A = + = = = Beispiel (): f = Die schaffiete Fläche hat diesen Inhalt: A d ln = + = 9 A = 9 ln ln,6 = +

4 8 Flächenbeechnungen b 5.7 Es geht dunte und dübe... Damit meine ich Flächen, die einen Teil übe de -Achse haben und einen Teil daunte. () f = Gesucht ist die Gesamtfläche, die das Schaubild K und die -Achse begenzen.. (sinnlose) Vesuch: [ ] [ ] A = d = = 8 8 = Dies geht schief, weil wegen de Punktsymmetie de Kuve (nu ungeade Eponenten!) beide Teilflächen gleich goß sind, und weil die echte Teilfläche mit diese Integation einen negativen Inhalt bekommt. Zusammen wid dies dann.. (gute) Vesuch: [ ] [ ] A = d = = 8 = 8 (5) Die Funktion f = ( 6 + ) hat die Nullstellen -, und. Gesucht ist die Gesamtfläche, die das Schaubild K und die -Achse begenzen. 6 A Wi müssen jetzt die beiden Teil-Flächen getennt beechnen. Zuest die echte Fläche: ( ) 5 ( 5 ) A = 6 + d = + 6 = + 6 Achtung: Ausklammen von veeinfacht die Rechnung bedeutend: 8 5+ A = + = 6 = 6 = Nun die zweite Fläche. Da diese untehalb de -Achse liegt, vetauschen wi die Genzen, damit sie einen positiven Inhalt ehält: ( ) 5 ( 5 ) A = 6 + d = + 6 = + 6 Jetzt klammen wi =8 aus: A = = + 5 = = Gesamtfläche: A = A + A = + = = = 6,9 5 A Meke: Besteht eine Fläche aus Ku-Li-Taps, die obehalb und untehalb de -Achse liegen, so sind diese getennt zu beechnen. Im günstigen Falle von Punktsymmetie genügt die Vedoppelung de einen Teilfläche.

5 8 Flächenbeechnungen b 5.8 Flächen zwischen zwei Kuven Beispiel (6): Wie goß ist die Fläche, die von den Schaubilden de f = und f = + + Funktionen begenzt wid? Hinfühung: Zunächst betachten wi die linke Abbildung. Diese zeigt die gesuchte Fläche zwischen den beiden Paabeln.. Schitt: Wi veschieben beide Kuven und damit auch die zu beechnende Fläche um eine Stecke +C so nach oben, daß die Zielfläche ganz obehalb de -Achse liegt. Die Funktionsgleichungen änden sich damit in: g = + C und g = C. Schitt: Wi denken uns nun die gesuchte Fläche als Diffeenz zweie kummlinige Tapeze (echtes Bild): Das goße Ku-Li-Tap wid oben duch das Schaubild von g begenzt. Sein Inhalt ist A = g d Das kleine Ku-Li-Tap wid duch das Schaubild von g Begenzt. Sein Inhalt ist: A = g d. Schitt: Die gesuchte Fläche hat dahe diesen Inhalt: ( ) ( ) A = A A = g d g d = C C d Beim genauen Hinsehen ekennt man, daß de zu Veschiebung übe die -Achse eingefügte Summand +C duch die Subtaktion de beiden Funktionen wiede wegfällt. Dahe kann man ihn eigentlich weglassen und gleich mit den Funktionen f und f abeiten. Damit ehält man folgende Beechnung: A = A A = f d f d = f f d g f g f

6 8 Flächenbeechnungen b 5 Beechnung de Fläche: ( ) ( ) A = A A = f f d = + + d [ ] A = d = = = 7+ = Veallgemeineung diese Methode Fläche zwischen zwei Kuven Wid eine Fläche von eine obeen und eine unteen Kuve begenzt, die zu den Funktionen F und g gehöen, dann kann man die von ihnen begenzte Fläche so beechnen: b A = f g d a a g f b Diese Regel fomulieen Schüle auch gene so: Integal aus obee Kuve minus untee Kuve...(wobei man natülich Kuven nicht subtahieen kann!) De Beweis fü diese Regel geht analog zu de in Beispiel (6) gezeigten Methode: Man veschiebt die Kuven um eine solche Stecke nach oben ( + C ), daß die besagte Fläche obehalb de -Achse liegt. Dann kann man die Fläche als Diffeenz zweie Ku-Li-Taps beechnen. Scheibt man dazu die beiden Funktionen unte ein gemeinsames Integal, fällt die Veschiebungskonstante + C wiede weg. Weitees Beispiel: (7) Das Schaubild K de gebochen ationalen Funktion f mit f = + hat die waageechte Asymptote a: y =. Beechne die Fläche zwischen K, a und den Geaden = und = 5. Lösung: 5 5 ( + ) A = d = d A = d Substitution: u = + ; du = d A = du = [ lnu] = ln6 ln= ln6 = ln 6 = ln 6 u

7 8 Flächenbeechnungen b 55.9 Flächen, die ins Unendliche eichen (8) f = Das Schaubild diese Funktion nähet sich asymptotisch De -Achse an. Dahe schließen das Schaubild K, die -Achse und die Geade mit de Gleichung = eine bis ins unendliche eichende Fläche ein. Die Scheibweise A = d (*) ist leide nicht zulässig, und das hat einen einfachen Gund: Man muß ja die beiden Genzen in die Stammfunktion einsetzen und sollte dann mit Unendlich echnen. Dies geht nicht, obwohl man mit diesem Begiff natülich echenähnliche Übelegungen anstellen kann. Abe ist nun mal keine Zahl!. Dennoch findet man Scheibweisen wie in (*) dagestellt seh oft. Vo allem Physike neigen dazu, in ihen Integalanwendungen deatige Scheibweisen zu vewenden. Dann abe bezeichnen sie damit das Egebnis nach Abschluß de Beechnungen. Abe zum Duchfühen de Rechnung ist das Zeichen als Integationsgenze veboten. = Zum Beechnen eine bis ins Unendliche eichenden Fläche vewendet man eine Flächeninhaltsfunktion und setzt auf de Seite de Fläche eine vaiable Genze an, auf de die Fläche ins Unendliche eichen soll. Dann beechnet man die Flächeninhaltsfunktion, etwa A () = f d und beechnet im Anschluß den Genzwet a A* = lim A =... Wenn diese Genzwet eistiet, dann kann man de ins Unendliche eichenden Fläche einen endlichen Inhalt zuodnen. In unseem Beispiel sieht das so aus: A() = d = = + = Und nun veschiebt man den echten Rand ins Unendliche: A* = lim A =, denn lim =. (9) f = Gleiche Aufgabenstellung wie in (8): A () = d = [ ln ] = ln ln= ln De Genzwet fü eistiet jedoch nicht, weil fü ln. Hie kann man diese Fläche keinen endlichen Inhalt zuodnen.

8 8 Flächenbeechnungen b 56 () f = + Das Schaubild K von f hat die waageechte Asymptote y = -. Es schneidet diese bei =. Nach echts schließen also Kuve und waageechte Asymptote eine Fläche ein. Besitzt diese einen endlichen Inhalt.? Ansatz: A () = d ( + ) Substitution: u = + also = u und d = du ( u ) A () = d = d + u u u+ A() = d = du u lnu u + u u = u A () = ln [ ln] Jetzt können wi diese Rechnung schon beenden, denn die Flächeninhaltsfunktion enthält den Summanden ln ( - ) und de hat fü keinen endlichen Wet. Egebnis: Diese Fläche hat keinen endliche Inhalt. ln () f =, Zeige, daß das Schaubild K zusammen mit de -Achse im. Feld eine bis ins Unendliche eichende Fläche mit endlichem Inhalt begenzt. Lösung: Wi stellen die Flächeninhaltsfunktion auf: z z ln A( z) = d= ln d Patielle Integation: [ ] u' = u = = v = ln v' = z z z z z z z z z A z = u v u v 'd = ln d = ln + d A ( z) = ln ln ( ln ) + = = + A ( z) = ( lnz+ ) ln ( lnz ) z + = + + z + lnz z lim A ( z) = lim = lim = = z wobei die Regel von de L Hospital zu Anwendung gekommen ist. = z

9 8 Flächenbeechnungen b 57. Flächen zwischen Kuven und ihen Asymptoten. Gebochen ationale Funktionen (und andee Funktionen) haben die angenehme Eigenschaft, daß Flächen, die von de Kuve und de Asymptote begenzt weden, besondes einfach zu beechnen sind, wie wi an dei Beispielen sehen weden: (): f + = = + hat die schiefe Asymptote y =. Eine Fläche wid begenzt duch K, die schiefe Asymptote und den Geaden = und = (>). Diese hat folgenden Inhalt: A () = ( f ) d = + d = d Die untee Kuve ist die Asymptote: y =. Diese Funktionstem ist Teil de Funktion f. Dahe fällt bei de Fomel fü die Fläche zwischen zwei Kuven de Asymptotentem heaus. A() = = + =. Fü die ins Unendliche eichende Fläche gilt dahe: A* = lima() =, denn lim =. () f = + + Um die schiefe Asymptote zu bestimmen benötigt man Polynomdivision: = ( + ):( + ) = + ( + ) ( + ) Daaus folgt, daß man die Funktion so zelegen kann: + f = = Wegen lim = ist y = + die schiefe Asymptote. II + Nun kann man die schaffiete Fläche beechnen A () = + + d = d + + We nicht mit de Polynomdivision abeitet, geht so vo: ( ) A () = + d = d = d + + +

10 8 Flächenbeechnungen b 58 Dann folgt Substitution: u = + also du = d. + + A () = du= [ lnu] = ln(+ ) ln= ln( + ) u Ist eine feste endliche Zahl, haben wi einen Flächeninhalt. Lassen wi abe gegen Unendlich gehen, dann geht auf die Logaithmusfunktion nach Unendlich, so daß die ins Unendliche eichende Fläche keinen endlichen Inhalt hat. 6 () f = e + Zuest sei bemekt, daß es nicht Gelingen wid, eine Stammfunktion zu f zu finden. Hie hilft keine Substitution. Beechnet man jedoch die Fläche zwischen de waageechten Asymptote y = und de Kuve, dann wid das Integal lösba: e + 66 e A = ( )d = d = d e + e + e + Substitution: u = e + du = e d e d = du 5 + e 5 du + e 5 A = = [ ln u] = ln( + e ) ln... u Soll man eine Fläche zwischen de Kuve und de -Achse im. Feld beechnen, dann stößt man zuest an das Poblem de nicht auffindbaen Stammfunktion. Wenn man jedoch heausgefunden hat, daß das Schaubild punktsymmetisch zum Wendepunkt W ( - ln I ), de beechnet eben die am W gespiegelte Fläche, die dann wie eben beechnet wid, da sie nun zwischen de Geaden y = und K liegt. (5) f ln + ln = = + Das Schaubild K von f und das Schaubild H de Funktion g mit g = ln und die Geaden = und = begenzen eine Fläche vom Inhalt A(). ( ) A = f g d = ln + ln d = d =,5,5,5 A = = + =,5 7 Die Kuve H ist hie Näheungskuve fü K. Und genau wie bei Kuve und Asymptote Veeinfacht sich auch hie das Integal fü fü Fläche zwischen den beiden Kuven.

11 8 Flächenbeechnungen b 59. Zusammengesetzte Flächen (6) Gegeben ist die Funktion f = 8 Das Schaubild K, die schiefe Asymptote, die -Achse und die Geade = ( > ) begenzen eine Fläche. Beechne deen Inhalt A() sowie deen Genzwet fü gegen Unendlich. Lösung: A A Jetzt ist es wichtig, zu ekennen, daß die Fläche zwei veschiedene untee Begenzungen hat, weshalb Man sie auch nicht auf einmal beechnen kann. Die Teilfläche A ist in diesem Fall ein Deieck und kann entwede mit de Deiecksfomel A = gh = = ode mittels Integal beechnet weden: = = =. A d Die Teilfläche A wid zunächst als Flächeninhaltsfunktion beechnet: A () = d d = = = + = 8 8 Gesamtfläche: A() = A + A() = + 6 =. 8 Genzwet fü : A* = lim A = 6, denn lim = (7) Die Kuve mit de Gleichung y = + 6 und die Geade y = + 6 schneiden sich in Punkten. Se begenzen eine aus Teilen zusammengesetzte Fläche. A A A Zunächst muß man die Schnittpunkte beechnen. Aus de Zeichnung liest Man = - und = ab. Diese sind zu bestätigen und die estlichen müssen beechnet weden. Schnittgleichung: + 6 = = + bzw = Da zwei bekannte Lösungen voliegen, kann man die zugehöigen Lineafaktoen ausklammen: ( + ) und ( ). Dies geht am schnellsten mit dem Hone-Schema, ode auch mittels Polynomdivision, indem man duch 8 + = dividiet:

12 8 Flächenbeechnungen b 6 Honeschema aus den Koeffizienten de Schnittgleichung: = = - Das Honeschema liefet uns die Zelegung: von = in + )( + = Dasselbe eeicht man mit de Polynomdivision: : 8 = + ( 8 ) ( 6) ( ) Die Schnittgleichung wude duch die abgelesenen Lösungen zelegt in ( + )( + ) = Man ehält die Schnittstellen und : ± + 8 ± 5 ±,6, = = = = ±,6 Flächenbeechnung: Die Teilflächen und haben K als obee Begenzung, lassen sich also nach diesem Schema bestimmen: =, b A, f g d wobei mit g die zu Geaden a gehöende Funktion bezeichnet woden ist. Die Teilfläche hat nun K als untee und g als obee Begenzung. Wenn man dahe dasselbe Integal vewendet, wid das Egebnis wegen de vetauschen Vozeichen negativ, was man daduch kompensieen kann, daß man fü diesen Fall die Genzen vetauscht. Nun empfiehlt sich folgendes Vogehen (mit Näheungsweten fü die Genzen) ( ) 5 A = + 6 d + 6 = F F,6 6 8,6 ( + 6 ) = ( ),6 ( + 6 ) =,6 A 6 d F F,6 A 6 d F F,6 Gesamtfläche: A = F F(,6) F(,6) + F() =... De Rest ist Taschenechneabeit!

13 8 Flächenbeechnungen b 6. Abschätzung von Flächen.. Fall Eingenzung duch einfachee Funktionen- (Abitu 98, BW) Das Schaubild von f = + e begenzt mit de -Achse und de Geaden = eine Fläche. Da das Integal d + e jedoch fü uns nicht beechenba ist, kann man diese Fläche nach oben und unten abschätzen. K K U K O = De este Teil dazu ist folgende Aufgabe: + Zeige, daß fü o e f e (Beweis nächste Seite) Dies bedeutet, daß echts von de -Achse unsee Kuve K zwischen den beiden Eponentialkuven K O und K U veläuft. Also ist unsee gesuchte Fläche eineseits höchstens so goß wie das von K O begenzte Ku-Li-Tap, und mindestens so goß wie das von K U begenzte andee Ku-Li-Tap. R gilt: Beechnung de beiden Ku-Li-Taps: AO = e d = e = 8 e = 8e + 8e = 8 8e AU = e d = e = e = e + e = e Es folgt: () e A 8 8e Lassen wi nun die echte Genze = gegen Unendlich ücken, dann müssen wi beachten: Also folgt fü den Genzwet A*: lim e = lim e = lim e = < A* < 8 d.h. 5,66 < A* < 8 Nun kennen wi zwa nicht den genauen Wet de Fläche, doch wissen wi, daß diese bis ins Unendliche eichende Fläche einen endlichen Inhalt haben muß, de zwischen 5,66 und 8 liegen muß.

14 8 Flächenbeechnungen b 6 Beweis de Doppelungleichung:. Teil e () + e Beide Seiten sind positiv, also bleibt beim Quadieen die Ungleichung ehalten: 6 8 e + e + e e e + e () Und diese letzte Ungleichung gilt fü alle, denn y = e fällt steng monoton und e =. Nun muß man nu noch feststellen, daß man von () aus alle Schitte ückwäts gehen kann, so daß aus de fü gültigen Ungleichung die Ungleichung (= folgt.. Teil: e + e e e + e e + e + e () Die Ungleichung () gilt fü alle, und alle Schitte sind ückwäts machba, sodaß aus () die () folgt. Damit ist die Ungleichung () e f e bewiesen.. Fall Tapez-Näheungsvefahen mit Sekanten ode Tangenten. Es gibt veschiedene Vefahen, nicht beechenbae Flächen näheungsweise duch Tapeze zu beechnen. Dazu zelegt man die Fläche duch Paallelen zu y-achse in mehee Ku-Li-Taps und esetzt dann den obeen Kuvenbogen duch geadlinige Stücke, die aus Tangenten- ode Sekanten-Stücken bestehen. Die sich so egebenden Fomeln heißen z.b. Sehnen-Tapezfomel ode Simpson- Regel. Dies wid in de Datei 85 (Flächenbeechnungen ) gezeigt.