B.3 Kugelflächenfunktionen und Legendre-Polynome

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1 B.3 Kugelflächenfunktionen und Legende-Polynome 113 B.3 Kugelflächenfunktionen und Legende-Polynome B.3.1 Kugelflächenfunktionen B.3.1 a ::::::: :::::::::: Definition Sei die Einheitskugelfläche von R 3, deen Punkte sich duch den Polawinkel 2 [0, ] und den Azimutwinkel ' 2 [0, 2 ] kennzeichnen lassen. Die (skalaen) Kugelflächenfunktionen Y`,m, wobei ` 2 N eine beliebige natüliche ahl ist und m 2 { `, `+1,...,0,...,`} ganzzahlig ist, sind komplexwetige Funktionen auf, die gleichzeitig Eigenfunktionen zu den Diffeentialopeatoen sin 2 (B.13) mit den jeweiligen Eigenweten `(` + 1) und m sind: ') 2 Y`,m (, sin 2 = `(` + 1)Y`,m (, ') (B.14a) und ') = my`,m (, '). Solche Eigenfunktionen sind nu bis auf eine multiplikative komplexe Konstante definiet. Um die letztee festzulegen, weden zusätzliche Anfodeungen an Y`,m gestellt: Die Kugelflächenfunktionen sind auf 1 nomiet: apple 2 Y`,m (, ') Y`,m (, ')d' sin d = Y`,m (, ') Y`,m (, ')d 2 =1 0 0 wobei d 2 das Raumwinkelelement bezeichnet. (44) (B.15) Die elativen Phasen von Kugelflächenfunktionen mit dem gleichen Wet von ` sind so, dass die e + i Y`,m (, ') = p`(` + 1) m(m 1) Y`,m 1 (, ') gilt. Y`,0 (0, 0) ist eell und positiv. Die beiden letzten Anfodeung entspechen de Condon Shotley-Phasenkonvention. Diese Eigenschaften weden duch die folgenden Funktionen efüllt: fü ` =0 Y 0,0 (, ') = 1 p 4 ; (B.17a) fü ` =1 3 Y 1,0 (, ') = 4 cos 3 Y 1,±1 (, ') = 8 sin e±i' ; (B.17b) (B.17c) (44) Anstatt Y`,m (, ') findet man auch die Scheibweise Y`,m ( ).

2 114 Spezielle Funktionen und othogonale Polynome fü ` =2 usw. Allgemeine gilt Y`,m (, ') =( 5 Y 2,0 (, ') = 16 (3 cos2 1) (B.17d) 15 Y 2,±1 (, ') = sin cos e±i' (B.17e) 8 15 Y 2,±2 (, ') = 32 sin2 e ±2i' ; (B.17f) 1) m s 2` +1(` m)! 4 (` + m)! P`,m(cos )e im' (B.18) wobei die Funktionen P`,m im Abschn. B.3.2 unten definiet und weite diskutiet weden. B.3.1 b ::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Einige Eigenschaften de Kugelflächenfunktionen Jetzt weden ein paa wichtige Eigenschaften de Kugelflächenfunktionen {Y`,m } ohne Beweis aufgelistet. Kugelflächenfunktionen als othonomiete Hilbet-Basis von L 2 ( ) Die Kugelflächenfunktionen Y`,m sind nicht nu auf 1 nomiet, sie sind auch othogonal zu einande: Y`0,m 0(, ') Y`,m (, ')d 2 = ``0 mm0. (B.19) Die Kugelflächenfunktionen bilden einen vollständigen Satz von quadatintegablen Funktionen auf : 1X `X Y`,m ( 0,' 0 ) Y`,m (, ') = ( 0 ) (' 0 ') = (2) ( 0 ). (B.20) sin `=0 m= ` Aus den beiden letzteen Eigenschaften folgt, dass sich jede quadatintegable Funktion f auf als Summe 1X `X f(, ') = a`,m Y`,m (, ') (B.21a) `=0 m= ` von Kugelflächenfunktionen scheiben lässt, wobei die Koeffizienten a`,m eindeutig duch a`,m = Y`,m (, ') f(, ')d 2 gegeben sind. (B.21b) Paität Unte de gleichzeitigen Tansfomation (, ')! (, ' + ), entspechend dem Winkelanteil de Raumspiegelung ~! ~, hat die Kugelflächenfunktion Y`,m die Paität ( 1)`: Y`,m (, ' + ) =( 1)` Y`,m (, '). (B.22) Rekusionselation Kugelflächenfunktion mit unteschiedlichen Weten von ` genügen de Beziehung s s (` +1+m)(` +1 m) (` + m)(` m) Y`,m (, ') cos = Y`+1,m (, ')+ (2` + 3)(2` + 1) (2` + 1)(2` 1) Y` 1,m(, '). (B.23) Die Gleichung gilt auch im Fall m = ±`: dann ist de Tem unte de Wuzel im zweiten Summanden automatisch Null, so dass die Fage de Bedeutung von Y` 1,±` keine Rolle spielt.

3 B.3 Kugelflächenfunktionen und Legende-Polynome 115 B.3.2 Legende-Polynome B.3.2 a ::::::: ::::::::::::::::::::: Legende-Polynome Die Legende (am) -Polynome P n (x) mit n 2 N sind Lösungen fü x 2 [ Diffeentialgleichung (Legende-Diffeentialgleichung) 1, 1] de gewöhnlichen (1 x 2 )y 00 (x) 2xy 0 (x)+n(n + 1)y(x) =0 (B.24) mit de zusätzlichen (Nomieungs-)Bedingung y(1) = 1. Bei gegebene n 2 R hat diese Diffeentialgleichung zwei linea unabhängige Lösungen, die im Allgemeinen singulä in x = 1 ode x =1sind. Nu im Fall n 2 N gibt es eine einzige Lösung P n mit P n (1) = 1, dieauchinx = 1 egulä ist. Fü diese Lösungen gilt die Rodigues-Fomel P n (x) = 1 d n (1 x 2 2 n n! dx n ) n 8n 2 N. (B.25) Mithilfe diese Fomel kann man die esten Legende-Polynome beechnen: P 0 (x) =1 P 1 (x) =x P 2 (x) = 3x2 1 2 P 3 (x) = 5x3 3x 2 P 4 (x) = 35x4 30x (B.26) Allgemeine findet man ekusiv, dass P n ein Polynom vom Gad n ist, das im Intevall ] 1, 1[ genau n Nullstellen hat. Weitee nützliche Eigenschaften de Legende-Polynome sind die Rekusionsfomel (45) und die Othogonalitätselation (n + 1)P n+1 (x) =(2n + 1)xP n (x) np n 1 (x) fü n 2 N (B.27) 1 1 P m (x)p n (x)dx = 2 mn 2n +1. (B.28) Hie bezieht sich die Othogonalität auf das hekömmliche Skalapodukt von (eellen) quadatintegablen Funktionen auf dem Intevall [ 1, 1]. Aus de Rodigues-Fomel (B.25) folgt sofot die Paität de Legende-Polynome: P n ( x) =( 1) n P n (x). (B.29) (45) Diese Fomel lässt sich auch in de Fom xp n(x) = n +1 2n +1 Pn+1(x)+ n 2n +1 Pn ähnlich de Gl. (B.4a) mit n =(n +1)/(2n +1), n =0und n = n/(2n +1) = n 1 P n 2 L 2/ Pn 1 2 L 2 scheiben, wobei in de letzteen Gleichung die aus Gl. (B.28) folgenden quadieten L 2 ([ 1, 1])-Nomen de Legende-Polynome benutzt wuden. (am) A.-M. Legende, (x),

4 116 Spezielle Funktionen und othogonale Polynome In den physikalischen Anwendungen weden die Legende-Polynome meistens mit dem Agument x = cos benutzt, wobei 2 [0, ] einen Winkel meistens den Polawinkel des Kugelkoodinatensystems bezeichnet. Ausgedückt duch wid die Legende-Diffeentialgleichung (B.24) zu Dann lautet die Rodigues-Fomel y 00 ( ) + cot y 0 ( )+n(n + 1)y( ) =0. P n (cos ) = 1 d n (sin ) 2n 2 n n! d(cos ) n Schließlich wid die Othogonalitätselation (B.28) zu 0 P m (cos )P n (cos ) sin d = 2 mn 2n +1. (B.30) (B.31) (B.32) B.3.2 b ::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::: ugeodnete Legende-Polynome Die sogenannten zugeodneten Legende-Polynome P`,m (x), die eigentlich nicht imme Polynome sind, sind Lösungen fü x 2 [ 1, 1] de veallgemeineten Legende-Diffeentialgleichung apple (1 x 2 )y 00 (x) 2xy 0 m 2 (x)+ `(` + 1) y(x) =0. (B.33) 1 x2 Genaue ist P`,m eine nicht-singuläe Lösung diese Diffeentialgleichung, die nu fü ` 2 N und m 2 { `, ` +1,...,0, 1,...,`} existiet. Offensichtlich egibt sich fü m =0und beliebige ` 2 N das Legende-Polynom P`: P`,0 (x) =P`(x) 8` 2 N. (B.34) Fü m 0 kann P`,m duch sukzessive Ableitungen von P` abgeleitet weden: (46) P`,m (x) =(1 x 2 m/2 dm ) dx m P`(x) fü ` 2 N,m2{0, 1,...,`}. (B.35a) Unte Nutzung de Rodigues-Fomel (B.25) fü das Legende-Polynom P` egibt sich P`,m (x) = 1 2` `! (1 x2 m/2 d`+m ) (1 dx`+m Fü m<0 wid P`,m duch die Beziehung P`,m (x) =( x 2 )` definiet. Die esten zugeodneten mit ` apple 2 und m 6= 0lauten fü ` 2 N,m2{0, 1,...,`}. (B.35b) m (` + m)! 1) (` m)! P`, m(x) (B.36) P 1,1 (x) = p 1 x 2 = 2P 1, 1 (x) (B.37a) P 2,1 (x) =3x p 1 x 2 = 6P 2, 1 (x), P 2,2 (x) = 3(1 x 2 ) = 24P 2, 2 (x). (B.37b) Dazu findet man noch P`,`(x) =(2` 1)!!(1 x 2 )`/2, (B.37c) wobei die Doppelfakultät (2` 1)!! das Podukt alle ungeaden ahlen kleine gleich 2` 1 ist: (2` 1)!! = (2` 1)(2` 3) 3 1= (2`)! 2``!. (46) Genaue definieen diese Fomeln P`,m,weildieDiffeentialgleichunginvaiantuntedeSubstitutionm! m ist, und somit den Unteschied zwischen positiven und negativen Weten von m nicht elaubt.

5 B.3 Kugelflächenfunktionen und Legende-Polynome 117 Allgemeine wid P`,m mit geade m ein Polynom vom Gad ` sein, wähend P`,m (x) im Fall eine ungeaden m das Podukt aus p 1 x 2 mit eine Polynomfunktion vom Gad ` 1 ist. Die zugeodneten Legende-Polynome genügen veschiedene Othogonalitätselationen, fü Funktionen mit gleiche ` ode mit gleiche m. Die letztee lautet 1 P`,m (x)p`0,m(x)dx = 2 ``0 1 2` +1 (` + m)! (` m)!, (B.38) entspechend eine Veallgemeineung de Beziehung (B.28) fü Legende-Polynome. Wenn man die Substitution x = cos macht, wid die veallgemeinete Legende-Diffeentialgleichung zu apple y 00 ( ) + cot y 0 m 2 ( )+ `(` + 1) sin 2 y( ) =0. (B.39) Dann lauten die zugeodneten Legende-Polynome mit nicht-negative m d m P`,m (cos ) =(sin ) m d(cos ) m P`(cos ) fü ` 2 N,m2{0, 1,...,`}, (B.40) woaus sich die Funktion mit negative m mithilfe de Beziehung (B.36) ableiten lassen. Schließlich lautet die Othogonalitätselation bei feste m 0 P`,m (cos )P`0,m(cos ) sin d = 2 ``0 (` + m)! 2` +1(` m)!. (B.41)