C Aufgabenlösungen zu Kapitel 3

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1 C Aufgabenlösungen zu Kapitel 3 C.1 ösung de Übungsaufgabe 3.1 In Beispiel 3.5 (Buch S.92) wude eine komplexe Abschlussimpedanz Z A = (37,5+j150) übe eine eitung mit de änge l e / = 0,194 und dem eitungswellenwidestand Z = 75 tansfomiet. Mit dem Smith-Diagamm haben wi gaphisch eine ösung konstuiet und die Eingangsimpedanz Z E (15 j75) ehalten. Das Smith-Chat elaubt uns also die asche gaphische Emittlung de Eingangsimpedanz eine eitung unte Umgehung de komplexen Rechnung. Wi emitteln nun zum Vegleich die Eingangsimpedanz Z E echneisch mit Gleichung (3.74) Z 1+ j tan Z A Z E= ZA Z A 1+ j tan Z ( ) e ( ) e. (C.1) Die komplexe Rechnung fühen wi sinnvolleweise nicht von Hand, sonden mit MATAB [Matl10] duch und ehalten unmittelba Z E = (14,6 j75,2). Das Egebnis stimmt gut mit de gaphischen ösung (Smith Chat) übeein. C.2 ösung de Übungsaufgabe 3.2 In Bild 3.24 (Buch S.104) sind alle benötigen Gleichungen zusammengetagen. Wi beechnen die neuen Zahlenwete fü die Widestandeswete R I =15 und R A =10 mit den Reflexionsfaktoen am Anfang und Ende de eitung I= R -Z =- 0,538 und = R -Z =-0,667 R Z R Z I A A I+ A+. (C.2) Fü die hin- und ücklaufenden Impulse ehalten wi folgende Wete: Z = = 769mV U 1h U 0 I+ U1 AU1h 513mV U2h I AU1h 276mV (C.3) = =- (C.4) = = (C.5) 2 U2 = I AU1h =- 184 mv (C.6) U 2 2 3h I AU1h 99,1mV (C.7)

2 2 Anhang C An den eitungsenden übelagen sich dann jeweils ankommende und eflektiete Impulse, so dass wi folgende Amplituden am Eingang beobachten können: u ( t) U 769mV E = 1h= fü 0 t tp (C.8) ue( t) = (1 + I) U1=- 237 mv fü 2tD t 2tD+ tp (C.9) ue() t = (1 + I) U2=- 85mV fü 4tD t 4tD+ tp (C.10) Am Ausgang beechnen wi entspechend: ua( t) = (1 + A) U1h= 256mV fü td t td+ tp (C.11) ua() t = (1 + A) U2h= 92mV fü 3tD t 3tD+ tp (C.12) Bild C.1 Dastellung de Egebnisse mit dem HF-Schaltungssimulato ADS C.3 ösung de Übungsaufgabe 3.3 Die Abschlussimpedanz Z A =(120 j80) wid übe eine seielle 50- -eitung sowie eine an ihem Ende kuzgeschlossene 50- -Stichleitung an eine 50- -Quelle angepasst (f = 1 GHz). Die Aufgabe wid am einfachsten mit einem computeuntestützten Smith-Chat-Tool gelöst. Solche Softwaetools weden kostenfei ode zu Evaluation im Intenet zum Download angeboten (z.b. [Dell10]). Bild C.2 zeigt die ösung des Poblems mit dem kommeziellen Pogamm ADS (Advanced Design System) de Fima Agilent [Agil09].

3 C Aufgabenlösungen zu Kapitel 3 3 Da die eitungen einen Wellenwidestand von Z = 50 besitzen, wid die Abschlussimpedanz nomiet auf 50 im Smith-Chat eingetagen (oad). Da die Eingangsimpedanz de Schaltung Z E = 50 betagen soll, liegt unse Zielpunkt in de Mitte des Diagamms (Souce). Übe die seielle eitung wid diese Punkt im Uhzeigesinn bis zum Anpassungskeis in de Admittanzebene (ote Kuven) gedeht. Auf dem Anpassungskeis bewegen wi uns dann mit de paallelen kuzgeschlossenen eitung bis zum Anpassungspunkt. Bild C.2 Entwuf des Anpassnetzwekes mit dem Smith-Chat-Tool in ADS Das Pogamm zeigt uns die Schaltung und gibt die elektischen eitungslängen in Gad an: 50,461 fü die seielle eitung und 35,987 fü die paallele Stichleitung. Diese elektischen ängen können wi fü die luftgefüllte eitung (c = c 0 ) übe die Wellenlänge bei f = 1 GHz in geometische ängen umechnen. Es gilt: seiell 50,461 50,461 50,461 c0 = seiell = = = 4,2 cm (C.13) f stub 35,857 35,857 35,857 c0 = stub = = = 3,0 cm (C.14) f

4 4 Anhang C Bild C.3 Anpassschaltung zu Übungsaufgabe 3.3 Bild C.3 zeigt die Untesuchung de konzipieten Anpassschaltung mit dem Schaltungssimulato ADS. Als eitungssegmente weden physikalische eitungsmodelle (TINP= Tansmission INe Physical) vewendet mit dem eitungswellenwidestand Z = Z = 50, de geometischen änge und de elativen Dielektizitätszahl K = = 1. De negative Wet de Reaktanz X A = j80 bei eine Fequenz von f = 1 GHz wid duch eine Kapazität ealisiet. 1 1 jxa =- j80 = C = j C 80 (C.15) Die Egebnisse de Steupaamete sind in Bild C.4 dagestellt. Wie ewatet liegt bei eine Fequenz von f = 1 GHz Anpassung vo. Bild C.4 Anpassung bei eine Fequenz von f = 1 GHz

5 C Aufgabenlösungen zu Kapitel 3 5 C.4 ösung de Übungsaufgabe Beechnung de Ausbeitungsgeschwindigkeit Nach Gleichung (2.84) ist bei dielektischem Füllmateial ( = 1) c0 8 m c= = 2,5 10 = 83,3% c0. (C.16) s 2. Beechnung des eitungswellenwidestandes Wi ehalten übe Gleichung (3.64) mit C Z= und C' = sowie = 1 cc' 0 (C.17) schließlich Z = 32. (C.18) 3. Induktivitätsbelag Den Induktivitätsbelag beechnen wi, indem wi Gleichung (3.62) ' Z = (C.19) C' nach umstellen. Dies egibt 2 nh ' = ZC' = 128. (C.20) m 4. Ausbeitungskonstante Gleichung (3.60) liefet uns unmittelba die Ausbeitungskonstante 1 = + j = j ' C' = j6,28. (C.21) m Altenativ können wi auch den Weg übe die Phasenkonstante wählen, denn es gilt 2 c c0 = und 1m = f = f =. (C.22) Also 2 1 = j = j = j6,28 1m m. (C.23)

6 6 Anhang C 5. Eingangsimpedanz In vohegehenden Aufgabenteil haben wi eine Wellenlänge von c c0 = = = 1m (C.24) f f beechnet. Die eitung ist mit eine änge von = 0,25 m = / 4 geade eben eine Vietelwellenlänge lang. In Abschnitt (Buch S.83) hatten wi gesehen, dass eine leelaufende /4-lange eitung sich an ihem Eingang geade wie ein Kuzschluss vehält. Z E = 0 (Eingangsimpedanz) (C.25) C.5 ösung de Übungsaufgabe Bestimmung de eitungslänge Aus dem Velauf von u A (t) geht hevo, dass de am Eingang eingespeiste Spannungsspung nach de Zeit t 0 =200 ns das Ende de eitung eeicht. Die änge de eitung können wi einfach mit de kinematischen Gundgleichung v = s/t übe die aufzeit t 0 und die Ausbeitungsgeschwindigkeit v = c = c 0 beechnen. = ct 0 0= 60 m (C.26) 2. Beechnung de Elementwete R AS, R AP und C Wi betachten die Ausgangsspannung u A (t). Zum Zeitpunkt t 0 = 200 ns eeicht de Spannungsspung das eitungsende. Die Spannung an de Kapazität ist stetig und vehält sich dahe in dem Moment wie ein Kuzschluss. Wiksame Abschlussimpedanz ist folglich die Paallelschaltung von R AS und R AP. Z = R R (C.27) A0 AP AS De Reflexionsfakto in diesem Moment lautet A0 Z = Z A0 A0 -Z + Z. (C.28) Die Amplitude de Ausgangsspannung zum Zeitpunkt t 0 können wi nach Bild 3.22 dann beechnen. ut ( ) = U (1 + ) (C.29) 0 1h A0 Nach Bild 3.27 muss dies geade einem Wet von 0,8V entspechen. ut ( ) = U (1 + ) = 0,8V (C.30) 0 1h A0

7 C Aufgabenlösungen zu Kapitel 3 7 Aufgund de Spannungsteileegel am Anfang de eitung (R I = Z ) betägt die Spannung des hinlaufenden Spannungsspungs U 1h = 1 V. Somit ehalten wi fü den Reflexionsfakto A0 bzw. die Impedanz Z A0. 1+ Z Z R R (C.31) A0 A0 =- 0,2 und A0 = = 16,67 AP AS 1-A0 Wi betachten nun die Ausgangsspannung u A (t) fü t. Die Kapazität ist nun voll aufgeladen, es fließt also kein Stom, die Kapazität vehält sich dahe wie ein eelauf. Als Wiksame Abschlussimpedanz ehalten wi nun Z A = RAP. (C.32) Fü t haben wi Gleichstomvehältnisse, d.h. die velustlose eitung stellt einfach eine Duchvebindung da. Wi können dahe mit Hilfe de Spannungsteileegel ua( t ) Z 2V R = + (C.33) I A ZA den Wet de Abschlussimpedanz beechnen mit ZA = RAP= 80. (C.34) Da nun de Wet de Paallelschaltung von R AS und R AP sowie de Wet fü R AP bekannt sind, können wi R AS beechnen R + R = R R R AS = 21 (C.35) AP AS AP AS Im Folgenden betachten wi den zeitlichen Velauf de Ausgangsspannung im Zeitintevall [t 0, ]. In diesem Zeitintevall wid die Kapazität aufgeladen. De zeitliche Velauf entspicht eine Exponentialfunktion mit eine Zeitkonstante, die neben dem Kapazitätswet auch vom wiksamen Widestandswet abhängt. Die Funktion, die die zeitliche Abhängigkeit de Ausgangsspannung bescheibt, ist aus den Gundlagen de Elektotechnik bekannt und lautet: æ ( t t ) ö u t æ ö - t t ç è çè ø ø 0 A( ) = 0,8V + (1,524V-0,8V) 1-exp - fü ³ 0. (C.36) Wi übepüfen diesen Ansatz fü t = t 0 und t : u ( t ) = 0,8V = OK und u ( t ) = 1,524V= OK. (C.37) A 0 A Aus de Bedingung u A (t x ) = 1,182V können wi übe Gleichung (C.36) die Zeitkonstante beechnen. = 100 ns (C.38) Die Zeitkonstante hängt neben dem Kapazitätswet C auch vom wiksamen Widestandswet R ab.

8 8 Anhang C = RC (C.39) Um den Widestandswete zu beechnen, stellen wi uns vo, de Kondensato wäe aufgeladen und wüde übe die Schaltung entladen. Welchen Widestandswet sieht de Kondensato? De wiksame Widestand besteht aus dem Seienwidestand R AS und de Paallelschaltung aus R AP und Z. R= R + R Z = 40 (C.40) AS AP Hiemit ehalten wi C = = 2,5 nf (C.41) R (Stand: )