Mögliche Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen und verschiedene Berechnungsvarianten

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Inge Maurer
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Mögliche Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen und veschiedene Beechnungsvaianten 1 Mögliche Lagebeziehungen Geneell untescheidet man dei veschiedene Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen E und

Veschiedene Beechnungsvaianten Im deidimensionalen Raum 3 können Ebenen in Paamete- ode in de Koodinatenfom voliegen Dementspechend sind dei veschiedene Kombinationsvaianten bei

1 Mögliche Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen und veschiedene Beechnungsvaianten 1 Mögliche Lagebeziehungen Geneell untescheidet man dei veschiedene Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen E und F 1 Möglichkeit 2 Möglichkeit 3 Möglichkeit g Abb 1: Zwei sich in eine gemeinsam Geaden schneidenden Ebenen Abb 2: Zwei identische Ebenen Abb 3: Zwei paallele Ebenen E F g E F E P F 2 Veschiedene Beechnungsvaianten Im deidimensionalen Raum 3 können Ebenen in Paamete- ode in de Koodinatenfom voliegen Dementspechend sind dei veschiedene Kombinationsvaianten bei Aufgabenstellungen möglich 21 Beide Ebenen liegen in Paametefom vo Wenn beide Ebenen in de Paametefom gegeben sind, dann bestimmt man die Lagebeziehung duch das Gleichsetzen und Lösen des daduch entstehenden LGS

2 9 F : x ;, I II III II' II 2 I III' III I III'' 6 III' II' Das LGS egibt in Zeile III'' wede eine falsche -, noch eine wahe Aussage Das LGS ist demnach lösba Da fü die 4 Unbekannten Paamete nu 3 Gleichungen zu Vefügung stehen, ist im Nomalfall eine de beiden "letzten" Paamete ode fei wählba E F= g Lagebez Im voliegenden Sondefall ist jedoch nu fei wählba, da duch die Gleichung III' eindeutig festgelegt ist Aus III'' 1) k 2) und in F: 9 g : x 2 k k ;k 9 2 F : x 3 1 ;, I II III II' II 2 I III' III I III'' III' II' Das LGS ist gemäß III'' fü beide Paamete und mehdeutig lösba Da fü die 4 Unbekannten Paamete jetzt nu noch 2 Gleichungen zu Vefügung stehen, sind die beiden Paamete ode fei wählba Aus III'' 1) k 2) m E F Lagebez 9 2 F : x 3 1 ;, I II III II' II 2 I III' III I III'' 1 III' II' Das LGS ist gemäß III'' nicht lösba Aus III'' 1(fA) E P F Lagebez

3 22 Eine Ebene liegt in Paametefom, die andee in Koodinatenfom vo Wenn z B die Ebene E in de Koodinatenfom gegeben ist, dann bestimmt man die Lagebeziehung duch das Einsetzen de Punktemenge de Ebene F in die Ebene E Daduch ehält man eine Gleichung mit zwei Unbekannten (das sind Paamete de Ebene F!) Diese Gleichung ist dann mehdeutig lösba, (1 ode beide Paamete sind fei wählba) ode nicht lösba 3 EINDEUTIG lösba fü beide Paamete ist NICHT möglich, da sich zwei Ebenen im NIE in genau einem Schnittpunkt schneiden können E :6x1 5x2 3x x 1 F : x x 2 ;, x 3 P, APktmenge F E : Die entstandene Gleichung ist wede eine falsche -, noch eine wahe Aussage Die Gleichung ist demnach lösba Da fü die 2 Unbekannten Paamete nu eine Gleichungen zu Vefügung steht, ist im Nomalfall eine de beiden Paamete ode fei wählba Im voliegenden Fall sind ode fei wählba E F= g Lagebez Wähle z B k 2 5 1k 5 1k 2 2k 4 und in F einsetzen: g : x 2k 4 1 k 2 ;k k 8 k 2k 4 2k 1 8k 16 2k 2 3k k k ;k APunkt-Richtungsfom eine Geaden E :6x1 5x2 3x F : x x x 2 ;, 1 2 x 3 Duch das Einsetzen entsteht z B die unten stehende Gleichung (wa) Die Gleichung ist fü beide Paamete mehdeutig lösba 1) k 2) m E F Lagebez E :6x1 5x2 3x F : x x 1 3 x 2 ;, 1 2 x 3 Duch das Einsetzen entsteht z B die unten stehende Gleichung 7 (fa) Die Gleichung ist nicht lösba E P F Lagebez

23 Beide Ebenen liegen in Koodinatenfom vo Wenn beide Objekte in de Koodinatenfom gegeben sind, dann bestimmt man die Lagebeziehung duch das Lösen des daduch entstehenden LGS Meke: VOR dem Aufstellen

4 23 Beide Ebenen liegen in Koodinatenfom vo Wenn beide Objekte in de Koodinatenfom gegeben sind, dann bestimmt man die Lagebeziehung duch das Lösen des daduch entstehenden LGS Meke: VOR dem Aufstellen des LGS sollte man übepüfen, ob die Ebenen eventuell Vielfache voneinande sind Sind die Koeffizienten vo den Koodinaten Vielfache zueinande und die Konstante NICHT, dann sind die Ebenen paallel zueinande Sind die Ebenen zusätzlich auch in den Konstanten Vielfache zueinande, dann sind die Ebenen identisch! E : x1 4x2 2x3 6 F : 2x1 7x2 x3 2 Die Koeffizienten vo den Koodinaten (x,x und x ) sind offensichtlich KEINE Vielfache zueinande E F= g Lagebez E : x1 4x2 2x3 6 F : 2x1 7x2 x3 2 x1 x2 x3 I II II' II 2 I E : x1 4x2 2x3 6 F : 2x1 8x2 4x3 12 Die Koeffizienten de Koodinaten von F und die Konstante sind das 2fache de Koeffizienten von E Demnach gilt : E F Lagebez E : x1 4x2 2x3 6 F : 2x1 8x2 4x3 2 Die Koeffizienten de Koodinaten von F sind das 2fache de Koeffizienten von E Die Konstante abe nicht Demnach gilt: P E F Lagebez Das LGS egibt in Zeile II'' wede eine falsche -, noch eine wahe Aussage Das LGS ist demnach lösba Da fü die 3 Unbekannten Paamete nu 2 Gleichungen zu Vefügung stehen, ist im Nomalfall eine de beiden "letzten" Koodinaten x ode x fei wählba 3 2 Wähle aus II' z Bx3 k 15x2 5k 1 15x2 1 5k x k x 2 und x 3 in I 2 1 x1 4 k 2 k 6 x k 2k 6 x k 6 x k k g : x 2 k 1 1 k 2 k 3 3 k APunkt-Richtungsfom eine Geaden ;k We sich im Intenet die Vogehensweisen mit Hilfe von Videos noch einmal vetiefen will, findet s zwei QR-Codes dazu (vgl [1] und [2]):

5 4 Quellen und Liteatuangaben Abb 1: Zwei sich in eine gemeinsam Geaden schneidenden Ebenen, ahukewiji_koeaahugzkqkhw64dhqqjrx6bagbeau&ul= zugegiffen am Abb 2: Zwei identische Ebenen ahukewiji_koeaahugzkqkhw64dhqqjrx6bagbeau&ul= zugegiffen am Abb 3: Zwei paallele Ebenen ahukewiji_koeaahugzkqkhw64dhqqjrx6bagbeau&ul= zugegiffen am [1] Video Lage Ebene/Ebene, Paametefomen gleichstellen, Lagebeziehung von Ebenen, Daniel Jung, [2] Video Lagebeziehung, Lage von 2 Ebenen in Koodinatenfom, Beispiel Schnittgeade, Daniel Jung, Vewendete, weitefühende Liteatu: W Olmscheid, A Pim: Analysis, lineae Algeba und analytische Geometie, FOS/BOS Nichttechnik 13, Bayen, Softfutti Velag, Saabücken 28 Anmekung: Dieses Handout-Beispiel soll Ihnen zeigen, wie ein solches Handout im Beeich Mathematik aussehen kann Bitte imme in enge Abspache mit Ihe beteuenden Lehkaft bleiben auch beim Handout Es gibt wie so oft viele ichtige Möglichkeiten

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