Physik für Pharmazeuten und Biologen MECHANIK II. Arbeit, Energie, Leistung Impuls Rotationen

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1 Physik fü Phamazeuten und Biologen MECHANIK II Abeit, Enegie, Leistung Impuls Rotationen

2 Mechanik II 1.3 Abeit, Enegie, Leistung mechanische Abeit W = F Einheit 2 2 [ W] = Nm = kgm s = J (Joule) Abeit ist Skala (Zahl), kein Vekto, abe abhängig von Winkel zwischen Kaft und Weg W = F = F cosα fü gekümmte Stecken als Summe (Integal) übe Teilstuktuen. Ändeung de Bewegung Abeit zufühen/entnehmen Enegie: Fähigkeit Abeit zu veichten z.b. Ändeung de Bewegung zu veusachen

3 Die Abeit Die Abeit W (wok) wid definiet als das Podukt aus dem Weg den ein Köpe zuücklegt und de Kaft, die in Richtung dieses Weges wikt. W = v F v s = F s cos(α) Die Abeit ist das Skalapodukt aus Kaft und Weg Einheit: 1 J(oule)=1 Nm=1 kgm 2 /s 2 v F v α s F cos(α) Bei veändeliche Kaft summieen wi übe kleine Wegelemente v v s W v = F s = F ds v F

4 Die elastische Vefomungsabeit x=0 s F Fü die Fedekaft gilt: F = D s W D v v = Fds = D s ds = D 2 2 s

5 Potentielle Enegie - Enegie ist die Fähigkeit, Abeit zu veichten. Ein Köpe, an dem mechanische Abeit geleistet woden ist, hat die Fähigkeit gewonnen diese Abeit wiede zuückzugeben. Die von ihm aufgenommene Enegie wid potentielle Enegie genannt Fede: E pot = WD = D 2 2 s Lage: E pot = W H = m g h

6 Konsevative Kaft und potentielle Enegie Expeiment: Potential-Landschaft F = de dx pot Im deidimensionalen Raum gilt : F = dv dx dv dv,, = gad V ( ) dy dz

7 Die Leistung Die Leistung P ist definiet als die veichtete Abeit po Zeiteinheit. P = dw dt Einheit: 1 W(att)=1 J/s=1 kgm 2 /s 3 - Ein Mensch kann ca. 100 W Daueleistung leisten (Glühbine). - 1 PS entspicht 735,5 W [Tafel]

8 Mechanik II Potential, Kaftfeld allgemein: Kaftfeld F = F( ) Kaft hängt nu von ab. F E = = gade Gadient Kaft auf MP egibt sich aus Ändeung de Enegie W=0 fü geschlossene Wege Expeiment: schiefe Ebene Paabel Pendel allgemeines Konzept: Potential (Enegiefeld)

9 Mechanik II Enegie Enegie fü Massepunkte (MP) MP in Bewegung: v Zuvo ist Beschleunigung notwendig, d.h. Kaft auf MP wähend bestimmte Zeit, bzw. übe best. Stecke (z.b. Auto) 2 2 vt v t at = + 2, fü 0 = 0 gilt = F v = at = 2a = 2 = m 2W m a aufgewendete Abeit: W = mv = 2 2 Ekin kinetische Enegie

10 Mechanik II Potentielle Enegie MP in Höhe h (Schwekaft wikt) potentielle Enegie: E = mgh pot Beispiel: Köpe auf Höhe h=0 mit Anfangsgeschwindigkeit v 0 nach oben (entgegengesetzt zu Kaft) Köpe wid abgebemst bis v =0 dann gilt: v = v gt, wenn v = 0: v = gt, bzw. t = v g x = at 2 2gh = v mv E = mgh = = E pot, t kin,0 wenn Köpe zu Ruhe kommt (Zeit t), hat e potentielle Enegie (= kinetische Enegie bei t=0). Diese kann ihm wiede zugefüht weden indem e auf Ausgangshöhe gebacht wid.

11 Mechanik II Enegiesatz Pendel: Umwandlung potentielle Enegie kinetische Enegie Enegiesatz: Enegie ist in abgeschlossenem System konstant

12 Enegiesatz de Mechanik Wenn nu konsevative Käfte wiken, also keine Reibung auftitt, dann gilt: Die Summe aus potentielle und kinetische Enegie eines abgeschlossenen Systems ist unveändelich. E pot + E = E kin ges = konstant

13 Kann man Abeit spaen? Goldene Regel de Mechanik: Bei eibungsfeien (idealen) Maschinen gilt: Die dem Kaftwandle zugefühte Abeit W zu ist gleich de von ihm abgegebenen Abeit W ab. W zu = W ab Geleistete Zugabeit : W zu = F s Ebachte Hub-Abeit : W ab = F G h Da am Flaschenzug mit eine losen Rolle F G = 2 F und h = s/2 gilt, egibt sich daaus W zu = W ab.

14 Beispiel Enegieumwandlung: Die schiefe Ebene (ohne Reibung) E pot +E kin =const m g h = m 2 v 2 α h v max = 2gh

15 Mechanik II Beispiel : Pendel Vesuch: Pendel asymmetisches Pendel P : E = 0, E = mgh 0 P : E = 0, E = mv /2 1 kin pot pot kin 2 aus Enegieehaltung: mgh = mv /2 v = 2gh 2 max Höhe links und echts gleich Enegie bleibt ehalten max

16 Beispiel Enegieumwandlung: Das Pendel E pot +E kin =const Es gibt 2 ausgezeichnete Punkte 1. ϑ=ϑ max mit E kin =0 und Eges = E pot ( ϑ max ) = mgh 2. ϑ=0 mit E pot =0 und E kin (0) = 2 mv max 2 1.)+2.) v max = 2gh

17 Expeiment: Das asymmetische Pendel links und echts gilt Eges = E pot ( ϑ max ) = mgh

18 De allgemeine Enegieehaltungssatz - In einem abgeschlossenen System ist Gesamtenegie konstant. - Enegie kann man wede venichten noch ezeugen. - Die Enegiefomen können nu ineinande umgewandelt weden. - Dies schließt alle Fomen von Enegie ein. (Elektische, mechanische, chemische Enegie, Wämeenegie, etc.) Pepetuum mobile Die von nicht-konsevativen Käften veichtete Abeit,W NK entspicht de Ändeung de mechanischen Gesamtenegie E = E + E = ges pot kin W dissipativ

19 Mechanik II Pendel: Umwandlung potentielle Enegie kinetische Enegie Enegiesatz: Enegie ist in abgeschlossenem System konstant Leistung: Enegieändeung po Zeiteinheit P = W t = F t = Fv 2 3 Einheit [ P] = J s = kgm s = W (Watt)

20 Mechanik II Enegiebilanz fü endotheme und exotheme Reaktionen

21 Die elastische Fedekaft Expeiment: Fedewaage Käfte können übe das dynamische Gundgesetz gemessen weden: 1 N ist die Kaft, die eine Masse von 1 kg mit 1 m/s 2 beschleunigt. ode auch übe ihe Defomationswikung auf einen Festköpe (Fede): F D = D ( x x0) Fedekonstante Fedeauslenkung Hook sches Gesetz F

22 Das Kaftmikoskop D =10 3 N m x = F nn m = D 0, NN 1 6 = 10 m

23 Mechanik II 1.4 Impuls F ma m dt in Käfte feiem System: dv = = = allgemeine: d( mv) F = dt = 0 Impuls: p = mv mehee Massen m 1, m 2,... 0 ohne äußee Käfte bleibt Impuls konstant (Geschwindigkeit konst.) (es kann sich auch Masse änden) p = p = mv i i= 1... n i= 1... n i i fü Analyse von Stößen definiee Schwepunkt: Zentum viele Massen m S = i= 1.. n m i i

24 Mechanik II Elastische-inelastische Stoß Vesuch: elastische inelastische Stoß v v 1 2 vohe nachhe m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 Vozeichen beachten! v 1 v 2 u 1 =u 2 =u vohe nachhe m v + m v = ( m + m ) u

25 Mechanik II Stoßgesetze Stoß: vohe m 1, v 1, m 2, v 2,... nachhe m 1, u 1, m 2, u 2,... Randbedingungen: Impulsehaltung: Enegieehaltung: mv + mv +... = mu + mu +... mv + mv +... = mu 1 1 mu 2 2 fü elastische Stöße: u2 2 = 1 v, sonst <1 θ Impulsübetag: p = m v u = 2mvsin z.b.: Rakete (Düsenantieb): ( ) 2 stößt wähend tmasse µmit Geschwindigkeit w aus, d.h. mit Impuls µw. Gesamtimpuls konst. Rakete nimmt Impuls auf, de ih v ehöht: w ( µ t) = m( v t) = ma

26 Mechanik II Chemische Reaktionen auch eaktive Stöße müssen den Impulssatz efüllen A BC K + + p A AB C + p BC = p AB + p C E E kin kin ( A) + E ( AB) + kin E ( BC) = kin ( C) + E chem Die kinetische Enegie ist nicht ehalten, sonden hängt von de Umwandlung innee Enegie ab.

27 Mechanik II 1.5 Rotationen Keisbahn: v v... Bahngeschwindigkeit θ... Winkel unte dem Massepunkt gesehen wid, ändet sich mit de Zeit t. θ( t2) θ( t1) d θ t Winkelgeschwindigkeit 2 t 1 t2 t1 dt = ω v = ω v = ω (Dei-Finge-Regel) Umlaufzeit (Zeit innehalb de Winkel von 2π übestichen wid) 2π 2π T = = Einschub: Winkel v ω Einheit: Radiant ( Gad) (Bogenmaß: Länge des Keisbogens mit Einheitsadius) 60 π/3 90 π/ π/3 180 π 360 2π

28 ϕ (t) = ω t Einschub: Keisbewegung y ϕ = sinϕ y s ) ( ) sin( ) cos( / ) ( ) cos( ) sin( / ) ( ) sin( ) cos( ) ( t s t t dt dv t a t t dt ds t v t t t s v v = = = = = = ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ϕ (t) = ω t x ϕ x = cosϕ Zentipetalkaft

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30 Keisbahnen Mechanik II [Tafel] F G = m a v = ω = ( 2π / T ) G m M 2 2 = m ω = m v 2 (Gavitationskaft = Zentipetalkaft) T = π Ditte Keplesche Gesetz G M (Keisbahn ist Spezialfall des allgemeinen Falls: Ellipse)

31 v Mechanik II Zentipetalkaft evtl. konstant, abe nicht geadlinig Ändeung von vimme nu duch Kaft, bzw. Beschleunigung Analyse übe ähnliche Deiecke v v AB v v v t a = = = = = = v v t v Beschleunigung duch eine, auf das Zentum geichtete Kaft v Zentipetalkaft a = = ω F = mω nach actio = eactio gibt es eine Gegenkaft: Zentifugalkaft in otieendem Bezugssystem weitee Kaft: Kugel aus Zentum kommend bewegt sich geadlinig, im ot. System wid sie abe abgelenkt Kaft vegleiche Ablenkung mit 2 2 at /2 = v Kωt a = 2v ω Coioliskaft c K Fc = 2mωv

32 Mechanik II Resumee Keisbahnen efoden Zentipetalkaft Gavitationskaft wikt als Zentipetalkaft (Planeten)

33 Mechanik II Zentipetalkaft nicht Usache fü Rotation, andee Göße! Betachte Enegie eines otieenden Köpes (Summe von MP): MP E kin =mv 2 /2, v i =ω i, (allgemeine: Integal übe Masseveteilung) E = mv = ω m ot 2 i i 2 i i i i wenn ω mit v identifiziet wid, muss Summe mit Masse identifiziet weden. = 2 Tägheitsmoment: J m ( ρ( ) dv) i i =

34 Mechanik II Tägheitsmomente, Satz von Steine Zentipetalkaft nicht Usache fü Rotation, andee Göße! Betachte Enegie eines otieenden Köpes (Summe von MP): MP E kin =mv 2 /2, v i =ω i, (allgemeine: Integal übe Masseveteilung) E = mv = ω m ot 2 i i 2 i i i i wenn ω mit v identifiziet wid, muss Summe mit Masse identifiziet weden. = 2 2 Tägheitsmoment: J m ( ρ( ) dv) Massenteile wiken sich bei Rotation umso meh aus, je weite sie von Dehachse entfent sind Satz von Steine: Tägheitsmoment um bel. Achse ist Summe des TM um Achse duch Schwepunkt und Tägheitmoment eines Massepunkts mit Gesamtmasse im Schwepunkt JA = JS + Mduu AS T = F T = F 2 = m ω = ω m = Dehmoment: ( ) Dehimpuls: L = m i i vi ( ) i i = i i i i i Jω

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36 Mechanik II Dehmoment und Stae Köpe Ungleiche Gewichte stehen im Gleichgewicht in Abständen, die sich umgekeht vehalten wie die Gewichte. (Achimedes, um 250 v. Ch.) Ist eine belastete Hebel im Gleichgewicht, so liegt sein Schwepunkt übe de Achse stabiles Gleichgewicht: SP unte Achse (sonst labil) (Stehaufmännchen)

37 Mechanik II Hebelgesetze Gleichgewicht (Köpe in Ruhe), wenn Summe alle angeifenden Käfte und Dehmomente veschwindet F = 0 und T = 0 i i= 1.. n i= 1.. n "Kaft x Kaftam = Last x Lastam" z.b.: Dehmomente beim Fahad Bizeps gebeugt gesteckt i

38 Mechanik II es fehlt Relativitätstheoie Äquivalenz von Masse und Enegie Ändeung de Masse bei v c Längenkontaktion, Zeitdilatation (Zwillingspaadox) Keisel, Planetenbahnen defomiebae Köpe Dehnung (siehe Fede, Hookesches Gesetz) Kontaktion etc.

39 Mechanik II Zusammenfassung Abeit, Enegie, Leistung unteschiedliche Enegiefomen (kinetische, potentielle...) Enegieehaltung in abgeschlossenen Systemen (Pendel) Impuls Impulsehaltung Stoßgesetze, Rückstoß Rotation Winkel Winkelgeschwindigkeit Dehmoment Tägheitsmoment Dehimpuls

40 Mechanik II Kaftmoment

41 Mechanik II Dehmoment

42 Mechanik II Gleichgewicht

43 Mechanik II Anwendung : Hebelgesetz

44 Mechanik II Beispiel aus de Anatomie : Bizeps-Sehne

45 Mechanik II Dehmomente beim Fahad

46 Mechanik II Untesetzung de Zahnäde

47 Mechanik II Resultieende Käfte/Dehmomente

48 Mechanik II Schwepunkt

49 Mechanik II Standfestigkeit/Gleichgewicht

50 Mechanik II Veallgemeinete Gleichgewichtsbedingung

51 Mechanik II Beispiel : Stabilität