1. Physikalische Grössen und Einheiten

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2 Physikalische Gössen I. Mechanik 1. Physikalische Gössen und Einheiten 1.1 Physikalische Gössen Definition de physikalischen Gösse Physikalische Gössen sind fundamentale Elemente zu Bescheibung physikalische Gesetze. Beispiele: Länge, Kaft, Geschwindigkeit, magnetische Feldstäke, Aktivität (eine adioaktiven Quelle), elektische Spannung,... Eine physikalische Gösse ist quantitativ bestimmt duch das Podukt von Masszahl und Einheit physikalische Gösse Masszahl Einheit Beispiel: Länge l = 5.7 1m = 5.7 m

3 Physikalische Gössen und Einheiten 1.2 Basiseinheiten und abgeleitete physikalische Einheiten Basiseinheiten weden duch Eichnomale ode Messvoschiften definiet. Abgeleitete Einheiten entstehen duch die Veknüpfung mehee Basiseinheiten übe Definitionsgleichungen und physikalische Gesetze. Das 'Système Intenational d'unités' (SI-System) Im Laufe de Entwicklung de Physik wude beeits eine gosse Zahl veschiedene Systeme von Basiseinheiten vewendet. Heute wid in den meisten Staaten das SI-System als vebindliches Einheitensystem vewendet. Dieses weden wi auch in diese Volesung konsequent benützen. Das SI-System basiet auf den folgenden sieben Basiseinheiten: Basisgösse Einheit (Symbol) 1 Länge (l) Mete (m) 2 Zeit (t) Sekunde (s) 3 Masse (m) Kilogamm (kg) 4 elektische Stomstäke (I) Ampèe (A) 5 Tempeatu (T) Kelvin (K) 6 Stoffmenge (n) Mol (mol) 7 Lichtstäke (I) Candela (cd) Diese sieben Basiseinheiten sind definiet duch ein Eichnomal (im Falle des Kilogamms) bzw. duch entspechende Messvoschiften. Diese sind im Anhang wiedegegeben.

4 Basiseinheiten und abgeleitete Einheiten Mit den Basiseinheiten des SI Systems können alle abgeleiteten physikalischen Gössen ausgedückt weden. Beispiele : Mete Kilogamm Sekunde Kaft 1 m kg / s 2 ( = 1 Newton) Geschwindigkeit 1 m / s elektische Ladung 1 A s ( = 1 Coulomb) Sekunde Ampèe elektische Spannung 1 m2 kg ( = 1 Volt) s 3 A Anfodeungen an Basiseinheiten übeall epoduzieba (Unabhängigkeit von Eichnomalen; heute beuht nu noch die Definition de Masse auf einem Eichnomal Ukilogamm) konstant (zeitlich unveändelich)

5 Physikalische Gössen und Einheiten Beispiel : fühee Zeitdefinition beuhte auf de Daue eines (mittleen) Stentages. Diese unteliegt jedoch Schwankungen, die fü die heutige Genauigkeitsanfodeungen de Zeitdefinition zu goss sind. Abweichungen de Tageslängen in Millisekunden (1 ms = 10-3 s) in den Jahen Waum geade diese (sieben) Basiseinheiten? Das System de Basiseinheiten könnte auch andes gewählt weden. Beispiel: Basisgösse/Einheit Geschwindigkeit/Geschwindigkeit des Lichts im Vakuum, c abgeleitete Gösse/Einheit Länge/ 1 Lichtsekunde, 1 c s 1 Lichtjah: Weg, den das Licht in einem Jah zuücklegt. (Anwendung in de Astonomie) Zeit Sekunde, s

6 Die Dimension eine physikalischen Gösse 'elaubte' Einheiten neben den SI-Einheiten gibt es eine Reihe von alten Einheiten, die weite vewendet weden düfen. Beispiel : Tempeatu C (Gad Celsius) Länge Å (Angstöm, 1Å = m) Genauigkeit de physikalischen Messungen Beispiel: die Gafik zeigt die Entwicklung de Genauigkeit de Zeitmessung. Aufgetagen ist die Zeit, die vesteicht, bis die beteffende Uh eine Abweichung von eine Sekunde aufweist. 1.3 Die Dimension eine physikalischen Gösse Die Dimension eine physikalischen Gösse ist ihe Dastellung als Podukt von Basisgössen. Beispiele : Dimension de Geschwindigkeit [v] = [ l/t ] Dimension de Kaft [F] = [ l m/t 2 ] Es existieen auch dimensionslose Gössen: Beispiel : Bechungsindex eines Mediums [n] = 1

7 Physikalische Gössen und Einheiten Scheibweise physikalische Gössen Intenational eingefühte Vosätze fü Einheiten 1'000'000'000'000' Peta P 1'000'000'000' Tea T 1'000'000' Giga G 1'000' Mega M 1' Kilo K Hekto h Deka da Dezi d Zenti c Milli m 0.000' Miko µ 0.000'000' Nano n 0.000'000'000' Piko p 0.000'000'000'000' Femto f Beispiele : 0.000'001'27 m = m = 1.27 µm 2'450'000'000 Hz = Hz = 2.45 GHz Hetz ( 1 Hz = 1 s -1 )

8 Skalae und vektoielle physikalische Gössen 1.4 Skalae und vektoielle physikalische Gössen Skalae Gössen sind duch Angabe de Masszahl und Einheit eindeutig definiet. Vektoielle physikalische Gössen sind est dann eindeutig definiet, wenn neben Masszahl und Einheit auch noch die Richtung im Raum definiet ist. Beispiele : Skalae physikalische Gössen : Zeit, Masse, Enegie, elektische Ladung, Stoffmenge, Aktivität, Stahlendosis Vektoielle physikalische Gössen : Weg, Kaft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, elektische Feldstäke Scheibweise : Kaft : F = ( F x, F y, F z ) Betag de Kaft : F = F = F 2 x +F 2 2 y +F z = (F 2 x +F 2 y +F 2 z ) 1/2 wobei F x, F y, F z die Komponenten de Kaft F im deidimensionalen Raum dastellen. z F z F x F x F y y

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10 Bewegung eines Punktes 2. Kinematik Bewegungslehe, Bescheibung von Bewegungen 2.1 Bewegung eines Punktes Ein Punkt füht auf eine Geaden x eine Bewegung aus. Die Bewegung wid beschieben duch die Otsangabe x fü jeden Zeitpunkt t, ode andes ausgedückt, duch die Funktion x(t). x x (m) t 1 t 2 t 3 t 4 Duch die Angabe de Funktion x(t) im betachteten Zeitintevall (z.b. von t 0 = 0 bis t 4 = 8 s) ist die Bewegung des Punktes eindeutig definiet. Fü die Bescheibung des Bewegungszustandes zu einem bestimmten Zeitpunkt weden die Physikalischen Gössen Geschwindigkeit und Beschleunigung definiet t (s) 2.2 Geschwindigkeit Legt ein Punkt im Zeitintevall t ( = t 2 - t 1 ) die Stecke x ( = x 2 - x 1 ) zuück, dann betägt die mittlee Geschwindigkeit in diesem Zeitintevall v= x t Einheit: 1 m/s

11 Kinematik Beispiel: x (m) t 1 t 2 t 3 t 4 in obige Bewegung betägt die Duchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintevall t = t 3 - t 2 = 2s v = x t = = 0.25 m s t x Momentangeschwindigkeit x Im Genzübegang fü t 0 ehalten wid aus dem Diffeenzenquotienten t dx Diffeentialquotienten und wi ehalten die allgemeine Definition fü die Geschwindigkeit : dt t (s) den v(t) = dx dt =x Die Geschwindigkeit v(t) ist die Ableitung des Weges x(t) nach de Zeit t. Beispiel: Die Bewegung in obigem Beispiel kann duch die Funktionen beschieben weden Otsfunktion (Annahme fü unse Beispiel) im Zeitintevall x = t t 2 t 0... t 3 und x = 1.5 t 3... t 4 Die Geschwindigkeit kann nun fü jeden Zeitpunkt beechnet weden: t = 2.5 s t = 5 s v (2.5) = dx dt v (5) = dx dt = t = m/s =0m/s

12 Die Beschleunigung und gaphisch dagestellt v (m/s) t t (s) 2.3 Die Beschleunigung Analog zu obigen Geschwindigkeitsdefinitionen lässt sich die mittlee Beschleunigung und die momentane Beschleunigung definieen. Mittlee Beschleunigung Ändet sich im Zeitintevall t ( = t 2 - t 1 ) die Geschwindigkeit um v ( = v 2 - v 1 ), dann betägt die mittlee Beschleunigung in diesem Zeitintevall a= v t Einheit: 1 m/s 2 Momentanbeschleunigung a(t) = dv dt =v Die Beschleunigung a ist die Ableitung de Geschwindigkeit v(t) nach de Zeit t..

13 Kinematik Im obigen Beispiel gilt im Intevall t = (t 3 - t 0 ) = 4 s : v 1 a = = = 0.25 m/s t 2 4 ode duch ableiten de Geschwindigkeits-Zeit Funktion v = t dv a = = 0.25 m/s 2 dt Im Intevall t 3... t 4 ist v = 0 und demnach a = 0 m/s 2 a (m/ s 2 ) t v (m/s) t 3 t (s) t (s) Die Ots-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktion sind in den nebenstehenden Diagammen nochmals dagestellt. x (m) t 1 t 2 t 3 t t (s)

14 Bewegung im deidimensionalen Raum 2.4 Bewegung im deidimensionalen Raum In den Abschnitten 2.2 und 2.3 wuden die Geschwindigkeit und die Beschleunigung als skalae physikalische Gössen definiet. Fü eine Bewegung im deidimensionalen Raum weden diese Gössen als Vektoen definiet. Die Bewegung eines Punktes in einem deidimensionalen Raum wede beschieben duch den Otsvekto (t) (t) = x(t), y(t), z(t) z Bahn Die Geschwindigkeit v (t) ist definiet v(t) = d(t) dt = (t) = x(t), y(t), z(t) (t 1 ) (t 2 ) y und analog die Beschleunigung x a(t) = dv(t) dt =v(t) = v x (t), v y (t), v z (t) ode a(t) = d2 (t) dt 2 = (t) Die Ableitung de Ots- ode Geschwindigkeitsfunktion nach de Zeit efolgt komponentenweise. Jede Raumichtung kann getennt behandelt weden.

15 Kinematik Zusammenfassung de mathematischen Zusammenhänge Otsfunktion (t) d(t) dt v(t) dt Geschwindigkeitsfunktion v(t) dv(t) dt a(t) dt Beschleunigungsfunktion a(t) denn aus folgt und v(t) = d(t) dt d(t) = v(t) dt d(t) = (t) = v dt und analog fü die Geschwindigkeit gilt v(t) = a dt

16 Spezielle Bewegungen 2.5 Spezielle Bewegungen Die gleichmässig beschleunigte Bewegung Eine gleichmässig beschleunigte Bewegung liegt dann vo, wenn a = konstant ist. 1. Beispiel : eindimensionale Bewegung auf x - Achse mit Beschleunigung a = konstant und a = vt ( ) v dv dt dv = a dt vt () v = a t vt () = v + a t xt ( ) x t t dx = v dt 0 0 t 1 xt () x0 = ( v0 + a tdt ) = vt 0 + at xt ()= x0 + v0 t+ at 2 2. Beispiel: feie Fall (ohne Reibung) 2 Beschleunigung beim feien Fall auf Edobefläche z Achse a = -g = m/s 2 Ein Köpe wid mit de Anfangsgeschwindigkeit v 0 = -5 m/s aus eine Höhe z 0 = 100 m zu Zeit t 0 = 0 senkecht nach unten gewofen. a = - g = m/s 2 Auf welche Höhe z befindet e sich nach t 1 = 3 s?

17 Kinematik z = z 0 + v 0 t + 1/2 a t 2 = z 0 + v 0 t - 1/2 g t 2 z (3s) = / = m 3. Beispiel: Schiefe Wuf (ohne Reibung) z g v 0 v 0z 0y h α v 0x d x Ein Köpe wid mit v 0 gewofen. v 0 = 10 m/s α = 60 a = (0, 0, - g) = (0, 0, -9.81) m/s 2 Beechne den Ot = (x, y, z) und die Geschwindigkeit v = (v x, v y, v z ) fü t 1 = 1.5 s

18 Spezielle Bewegungen v 0 = (v 0 cos α, 0, v 0 sin α) = (v 0x, v 0y, v 0z ) m/s = (5, 0, 8.66) m/s getennte Behandlung de Raumichtungen : Beechnung de Geschwindigkeit : v(t) = (v x (t), v y (t), v z (t)) v x (t) = v ox + v y (t) = v oy + v z (t) = v oz + t a x 0 t a y 0 t a z 0 dt = v ox dt = v oy = 0 t dt = v oz - g dt= v oz - g t 0 Beechnung des Otes : (t) = (x (t), y (t), z (t)) x(t) = x 0 + y(t) = y 0 + z(t) = z 0 + t v x 0 t v y 0 t v z 0 (t) dt = x 0 + (t) dt = 0 (t) dt = z 0 + t v ox dt= v ox t 0 t (v oz - g t) dt= v oz t g t2 0 ( x 0 = 0 ) ( y 0 = 0 ) ( z 0 = 0 ) (1.5 s): x (1.5 s) = v ox t = = 7.5 m y (1.5 s) = 0 z (1.5 s) = v oz t - 1/2 gt 2 = / (1.5) 2 = 1.95 m (1.5s) = (7.5, 0, 1.95) m v (1.5 s): v x (1.5 s) = v 0x = 5 m/s v y (1.5 s) = 0 v z (1.5 s) = v 0z - g t = = m/s v (1.5 s) = (5, 0, -6.06) m/s

19 Kinematik Keisbewegung und hamonische Schwingung Gleichfömige Bewegung Ein Punkt bewege sich mit konstante Bahngeschwindigkeit auf eine Keisbahn in de x/y Ebene. Ot des Punktes : (t) = (x (t), y (t)) y v(t) x (t) = cos ϕ(t) y (t) = sin ϕ(t) ϕ P x Definition de Winkelgeschwindigkeit : Winkelgeschwindigkeit ω = dϕ dt = ϕ Einheit : 1/ s = 1 Hetz = 1 Hz ϕ imme im Bogenmass (ad) (360 entspechen 2π ) aus de Definition folgt : dϕ = ω dt ϕ( t) ϕ dϕ = t 0 0 ωdt ϕ (t) = ϕ 0 + ω t fü ω = konstant

20 Spezielle Bewegungen Ot des Punktes auf Keisbahn : x (t) = cos (ωt + ϕ 0 ) y (t) = sin (ωt + ϕ 0 ) ode fü ϕ 0 = 0 (t) = ( cos (ω t), sin (ω t)) Geschwindigkeit des Punktes : v (t) = v (t) = v (t) = ( x (t), y (t)) ( - ω sin (ωt), ω cos (ωt)) ω 2 2 [sin 2 (ωt) + cos 2 (ωt)] = ω v(t) Beschleunigung des Punktes : a (t) = v (t) a (t) = ( - ω 2 cos (ωt), - ω 2 sin (ωt)) (t) a(t) a (t) = ω 4 2 [cos 2 (ωt) + sin 2 (ωt)] = ω 2 zusammengefasst: v(t) = ω Richtung v(t) (t) a(t) = ω 2 Richtung a(t) (t)

21 Kinematik Zusammenhang zwischen Umdehungszeit T, Fequenz ν und Winkelgeschwindigkeit Zeit T fü eine Umdehung : ω T=2π T= 2 π ω Anzahl Umdehungen po Zeit : ν = 1 T = ω 2 π bezeichnen wi als Fequenz (ν) de Bewegung. Einheit: 1/s = 1 Hetz = 1 Hz Die Winkelgeschwindigkeit ω bezeichnen wi auch als Keisfequenz. Winkelgeschwindigkeit als vektoielle Gösse Die Winkelgeschwindigkeit ω kann als Vekto definiet weden : ω = 2πν = ϕ Richtung von ω : auf Ebene (, v ), v und ω bilden ein Rechtssystem ω v

22 Spezielle Bewegungen Damit egeben sich folgende Zusammenhänge : v = ω x und a = dv dt = d (ω x ) = ω x d dt dt a = ω x d dt a = ω x v = ω x (ω x ) = - ω 2 a = - v2 2 Hamonische Schwingung Die Pojektionen de Keisbewegung auf die x- bzw. y- Achse stellen hamonische Schwingungen da. Definition de hamonischen Schwingung: Eine hamonische Schwingung wid beschieben duch : A (t) = A 0 cos (ωt + ϕ 0 ) ode A (t) = A 0 sin (ωt + ϕ 0 ) auch hie gilt : T = 2π ω = 1 ν T bezeichnen wi hie als Schwingungsdaue Die hamonische Schwingung weden wi in Kapitel 8 ausfühlich behandeln.

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24 Täge und schwee Masse 3. Die Dynamik Masse und Kaft 3.1 Täge und schwee Masse Täge Masse ist eine Eigenschaft de Mateie. Täge Masse hat die Eigenschaft eine Ändeung des Bewegungszustandes entgegenzuwiken. Schwee Masse äusset sich in de Anziehungskaft zweie Massen, de Gavitationskaft. Gundsätzlich könnten täge Masse und schwee Masse zwei veschiedene Eigenschaften de Mateie sein. Expeimentell ist jedoch mit eine Genauigkeit von ewiesen, dass sich täge und schwee Massen nicht untescheiden. Das Kilogamm ist definiet duch die Masse des Eichnomals (Ukilogamm, Pt - I Block, de in Sèves bei Pais aufbewaht wid) Einheit de Masse: 1 Kilogamm = 1kg Die Relativitätstheoie von A. Einstein zeigt, dass die Masse eine Gösse ist, die vom Bewegungszustand abhängig ist. Es gilt : m = m v2 c 2 wobei m die Masse ist, die ein nicht mitbewegte Beobachte sieht, m 0 ist die Ruhemasse (Masse, die ein mitbewegte Beobachte feststellt), v die Geschwindigkeit des Köpes und c die Lichtgeschwindigkeit (c = 2.997' m/s m/s) bedeuten. Beachte, dass fü v c die Masse m.

25 Dynamik 3.2 Newtonsche Axiome Käfte, die auf Köpe einwiken, können veschiedene Auswikungen haben : Defomation des Köpes Beschleunigung des Köpes Die Wikung von Käften, die an einem Köpe angeifen weden duch die 3 Axiome von Newton (Isaac Newton, ) beschieben: 1. Tägheitspinzip Jede Köpe vehat im Zustand de Ruhe ode de geadlinig gleichfömigen Bewegung, falls e nicht duch einwikende Käfte gezwungen wid diesen Bewegungszustand zu änden. 2. Aktionspinzip Einwikende Käfte sind die Usache fü die Ändeung des Bewegungszustandes. F = d (m v) dt = dp dt 3. Reaktionspinzip Jede Kafteinwikung bewikt eine gleichgosse, entgegengesetzt wikende Gegenkaft ('Actio = Reactio').

26 Abgeschlossene Systeme, Impuls und Impulssatz De Impuls Definition: De Impuls p eine Masse m mit de Geschwindigkeit v betägt p =m v Einheit: 1 kg m/s Das Aktionspinzip d (m v) F = d t lässt sich unte de Annahme m = konst. auch scheiben als F = m dv dt = ma Aus dem 2. Newtonschen Axiom folgt auch die Einheit de Kaft : 1 kg m/s 2 = 1 Newton = 1 N 3.3 Abgeschlossene Systeme, Impuls und Impulssatz Ein abgeschlossenes System efäht keine Kafteinwikung von aussen. Da nach dem 3. Newtonschen Axiom alle Käfte paaweise aufteten, muss gelten : F 1 +F F n = n i=1 F i =0 F 4 nach dem Aktionspinzip muss dann gelten : F 3 n Σ F i i=1 n Σ p i=1 i n = Σ p i =0 i=1 =p tot =0 und somit p tot = konstant F 1 F 2

27 Dynamik Das bedeutet, dass de Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems konstant ist. Impulssatz In einem abgeschlossenen System gilt : n p i =p tot = konstant i=1 3.4 Die Gavitationskaft Expeimentelle Beobachtung: Massen üben aufeinande anziehende Käfte aus Beispiele : Ede - Sonne, Gavitationswaage von Cavendish F 12 = - F 21 (Reaktionspinzip) Gavitationsgesetz von Newton m 1 m 2 F12 F F = γ m 1 m Nm2 γ = kg 2 γ : Gavitationskonstante ode vektoiell geschieben F 12 = γ m 1 m m 1, m 2 bedeuten hie 'schwee' Massen. Wie beeits oben ewähnt sind jedoch 'schwee' und 'täge' Massen (expeimentell) identisch.

28 Die Gavitationskaft Das Gavitationsfeld De Begiff 'Feld' bedeutet, dass jedem Punkt im Raum ein Wet eine physikalischen Gösse (Skala ode Vekto) zugeodnet wid. Beispiele von Felden : Kaft, Geschwindigkeit, Tempeatu, Duck, elektische Feldstäke Definition des Gavitationsfelds G eine Masse M: G = Gavitationskaftauf Pobemasse m Pobemasse m G = F m = γ M m 2 m = γ M 2 M F m Richtung von G: Richtung - Die Masse M veändet den sie umgebenden Raum duch das Gavitationsfeld. Dieses kann mit eine Pobemasse (m) nachgewiesen weden. Gavitationsfeld de Ede Gavitationskaft auf m: F G = γ mm E E 2 Gavitationsfeld von M E auf Edobefläche: G( E ) = γ M E E 2 = ( ) 2 G( E ) = 9.8 N m kg 2 s N kg Das Gewicht eine Masse m = 1 kg betägt somit 9.8 N. M E F G m E

29 Dynamik Andeeseits wissen wi, dass alle Köpe (ohne Reibung) gleich schnell fallen. Die 'Edbeschleunigung' betägt g = 9.81 m/s 2 F Gavitation = F Newton II γ M E m s 2 =m t g g = 9.8 m s E m t { m s 2 Expeiment:( m s m t 1)< Tägheitskäfte Eine Masse m wid beschleunigt. Ein uhende Beobachte stellt fest: F = d(m v) = ma (m = konst.) dt (F besitzt gleiche Richtung wie a ) Ein mitbewegte Beobachte stellt fest: Auf ihn wikt eine (Tägheits-) Kaft, die de Beschleunigungsichtung entgegengesetzt ist. Nach dem ditten Newtonschen Axiom (Actio = Reactio) ist die Summe von äussee Kaft und Tägheitskaft gleich null. F - ma = 0 Die Tägheitskaft -ma vespüt nu de mitbewegte Beobachte. Käfte bei de Keisbewegung F m aus de Kinematik wissen wi: a = ω 2 ode vektoiell a = ω 2 m a v = konstant v

30 Tägheitskäfte Um die Masse m auf de Keisbahn zu halten ist die Kaft notwendig: F = m a = m ω 2 Zentipetalkaft Fü einen mitbewegten Beobachte ist wähend de Keisbewegung die Zentipetalkaft im Gleichgewicht mit de Tägheitskaft + mω 2. Diese Kaft (welche ein mitbewegte Beobachte eal vespüt) nennen wi Zentifugalkaft. F Zentipetal F Zentifugal 3.6 Dynamik de Rotationsbewegung Fagestellung: an einem Köpe mit eine Dehachse geift die Kaft F an. Welche Wikung hat F? F Dehachse Definition des Dehmoments: Das Dehmoment M eine Kaft F im Abstand von eine Dehachse M F ist gegeben Einheit ( M): duch das Vektopodukt : 1Nm M Dehachse M Dehachse ϕ F

31 Dynamik Rotationsbewegung eines Massenpunktes mit konstante Richtung de Dehachse: Betäge Vektoen M = F sinϕ M = F = F = m dv = m d v dt dt = m d(ω) = m d( ω ) dt dt M = m 2 dω M = m 2 d ω dt dt ϕ F F F = m d v Analogie zu Tanslationsbewegung dt M = m123 2 d ω { dt Tägheitsmoment 'Winkelbeschleunigung' Definition des Tägheitsmoments: Das Tägheitsmoment de Masse m im Abstand von eine Dehachse betägt: J = m 2 analog definiet man das Tägheitsmoment eines ausgedehnten Köpes: dj = 2 dm J= dj= 2 ρ dv Definition des Tägheitsmoments eines beliebigen Köpes: J= dj Köpe = 2 ρ()dv dm = ρ dv ρ : Dichte des Köpes ( Masse / Volumen)

32 Dynamik de Rotationsbewegung Beispiele (ohne Heleitung): R dünnwandige Hohlzylinde Hohlkugel h ρ J HZ = mr 2 J HK = 2/3 mr 2 m Vollzylinde Vollkugel R J Z = 1/2 mr 2 J K = 2/5 mr 2 De Satz von Steine Die hie beechneten Tägheitsmomente beziehen sich übewiegend auf Achsen, die duch den Schwepunkt gehen. Es ist indessen häufig notwendig, das Tägheitsmoment eines Köpes auch in Bezug auf eine nicht duch den Schwepunkt gehende Achse zu kennen. Bezeichnet J S das Tägheitsmoment um eine duch den Schwepunkt gehende Achse und J A das Tägheitsmoment desselben Köpes um eine zu diese Schwepunktsachse paallele Achse, so gilt de Steinesche Satz: J A =J S +m 2 wenn m die Gesamtmasse und de Abstand de beiden Achsen bedeutet. Impuls und Kaftstoss De Impuls p wude beeits fühe definiet (s. zweites Newtonsches Axiom) Impuls p = m v Einheit: 1 kgms -1 = 1 Ns Eine andee Intepetation des Impuls egibt sich aus dem 2. Newtonschen Axiom: d F (t) p p = p 2 p t 2 dt = F 1 = Fdt t 2 t 1 dp t 2 = F Fdt = p dt t 1 t 1 wid als Kaftstoss bezeichnet t t 1 t 2

33 Dynamik Definition des Dehimpulses: L De Dehimpuls (ode Dall) L = p daaus egibt sich L = mv = m ω [ ] = m 2 ω L = J ω entspicht p = m v m p und andeeseits F = d p dt F = d p dt M = d L dt de Tanslationsbewegung F = d p entspicht dt de Tanslationsbewegung Analogie zwischen Tanslations- und Rotationsbewegung Tanslation Rotation Weg s Winkel ϕ Geschwindigkeit v =s Winkelgeschwindigkeit Beschleunigung a =v=s Winkelbeschleunigung ω = ϕ ω = ϕ Masse m Tägheitsmoment J Impuls p =m v Dehimpuls L = p =J ω Kaft F = p Dehmoment M = L kinetische Enegie E kin = 1 2 mv2 kinetische Enegie E ot = 1 2 J ω2

34 Gleichgewichtsbedingungen 3.7 Gleichgewichtsbedingungen Ein Köpe ist genau dann im Gleichgewicht wenn die zwei Bedingungen efüllt sind: F 1 + F F n = und n i=1 M 1 + M M n = F i = 0 n i=1 M i = 0 Falls die este Bedingung nicht efüllt ist, wid de Köpe beschleunigt. Falls (nu) die zweite Bedingung nicht efüllt ist, wid de Köpe in eine Rotationsbewegung vesetzt. Die Dehmomente de Käfte F i können bezüglich eine beliebigen Dehachse beechnet weden. F 2 Beispiel: Gegeben: F 1,d 1,d 2, F 2 und F 3 sind paallel zu F 1 Wie goss müssen F 2 und F 3 sein, damit de Balken im Gleichgewicht ist? F 1 + F 2 + F 3 = 0 F 2 + F 3 = F 1 ϕ F 1 =50N π ϕ ϕ d 1 = 1 m F 1 d 2 = 1 m D M 3 F 3 π ϕ wählen Dehpunkt D: M 1 + M 2 + M 3 = 0 0 Betäge: d 1 d 2 F 3 d 1 F 1 sinϕ d 2 F 3 sinϕ (π ϕ) = 0 = 0 F 3 = d 1 d 2 F 1 F 1 M 1 F 2 = (1 + d 1 d 2 ) F 1 = 2 F 1 = 100N, F 3 = F 1 = 50N

35 Dynamik 3 Aten von Gleichgewicht 1. Stabiles Gleichgewicht Modell 0 g df x Gleichgewichtslage x = 0 Auslenkung um dx bewikt eine ückteibende Kaft df = - α dx 2. indiffeentes Gleichgewicht F 0 df = 0 x es existieen unendlich viele Gleichgewichtslagen. Eine Auslenkung um x bewikt keine Kaftwikung. 3. labiles Gleichgewicht 0 df x Gleichgewichtslage x = 0 Auslenkung um dx bewikt eine Kaft in Richtung dx: df = α dx Neben diesen dei Gleichgewichtsaten existiet noch das metastabile Gleichgewicht.

36 De Schwepunkt 3.8 De Schwepunkt Definition des Schwepunkts: De Schwepunkt s von einem System von n Massenpunkten (m i, i ) ist gegeben duch : S = n m i i i=1 n m i i=1 = 1 m tot m i i analog fü eine homogene Massenveteilung : S = 1 ρ( )dv ρ( )dv Beispiel: x S = 1 m tot (m 1 x 1 + m 2 x 2 ) 0 x S = 1 (2 1) = 0.66 m 3 x 1 = 0m x 2 = 1m x x s m 2 = 2kg S m 2 m s 3 m 3 m 1 = 1kg Eigenschaften des Schwepunktes a) Ein Köpe, de im Schwepunkt S untestützt wid, ist im Gleichgewicht. Beweis: Schwepunktsdefinition S m tot = m m 2 2 S (m 1 + m 2 ) = 1 m m 2 S (m 1 + m 2 ) g = 1 m 1g m 2g = 0 M 1 0 m 1 m 2 1 S 2 System ist bezüglich Rotation im Gleichgewicht. Käftebedingung fü Gleichgewicht wid efüllt duch Gegenkaft F A des Auflagepunktes. F A + F 1 + F 2 = 0 M 2 F 1 g F A F 2

37 Dynamik b) Gesamtimpuls p tot des Systems von n Massenpunkten: m tot s = i=1 m i i De Gesamtimpuls des Systems ( p tot ) ist gleich dem Schwepunktsimpuls m totvs. c) Schwepunktssatz n m tot d s dt = m tot v s = p s = n p i i=1 n m i i=1 n i=1 m i v i = p tot d i dt d dt (*) benützen obige Gleichung (*) und leiten nach de Zeit ab m tot d v s dt = n m i i=1 d v i dt n n m totas = m iai = F i = i=1 i=1 F { total Summe de von aussen einwikenden Käfte Falls F tot = 0 a s = 0 de Schwepunkt bewegt sich mit konstante Geschwindigkeit. Die Bewegungsgleichung fü den Schwepunkt (Schwepunktssatz) m tot as = F tot besagt, dass de Schwepunkt sich so bewegt, als ob in ihm die gesamte Masse konzentiet wäe. Beispiel: schiefe Wuf eines Köpes mit gleichzeitige Rotation. S bewegt sich auf eine Paabel

38 Reibung 3.9 Reibung Bei de Reibung handelt es sich um Käfte, die de Veschiebungsichtung entgegengesetzt geichtet sind. Die Reibungskaft F R entsteht an de F R m F Genzfläche zwischen Köpe und Untelage. F R F R, max (maximale Hafteibungskaft) Gleiteibungskaft Köpe bewegt sich nicht 'Hafteibung' Köpe wid beschleunigt F F : Kaft, die in Veschiebungsichtung wikt Auflagefläche A F R : Reibungskaft F R F F N : Nomalkaft (wikt senkecht zu Untelage) A: Auflagefläche des Köpes F N Das Expeiment zeigt, von welchen Gössen die Reibung abhängt

39 Dynamik Im Falle de Gleiteibung hängt F R ab von: (1) Mateialien (Köpe, Untelage) (2) Obeflächenbeschaffeheit } beschieben duch Gleiteibungskoeffizienten µ g (3) Nomalkaft F N (z. B. Gewicht bei hoizontale Untelage) im Falle de Hafteibung hängt F R zusätzlich ab von de (4) angeifenden Kaft F Dagegen hängt F R nicht ab von de Gösse de Auflagefläche A! Es gilt fü die Gleiteibung: F R =µ g F N Es gilt fü die Hafteibung: die maximale Hafteibung betägt F R,max =µ h F N und fü F < F R,max : F R = F Im Allgemeinen gilt: µ g < µ h

40 Reibung Gleichgewicht auf de schiefen Ebene m : Masse des Köpes F G : Gewicht F N : Nomalkaft (auf Untelage) F : Kaft in Veschiebungsichtung F m α F R g α F G F N Köpe ist im Gleichgewicht solange : F R = F F R Köpe beginnt zu utschen wenn : F F R, max m g sinα µ h F N = µ h m g cosα Daaus egibt sich die Genzbedingung fü Hafteibung : 123 in diesem Beeich F µ h = sinα cosα =tgα

41 Dynamik Analog lässt sich die Bedingung fü gleichfömiges Rutschen ( v = konst.) angeben : F = F R m g sinβ = µ g m g cosβ m F R Bedingung fü gleichfömiges Rutschen : µ g = sinβ cosβ =tgβ F β β F G F N Reibungskoeffizienten Obeflächen Hafteibung Gleiteibung tocken tocken geölt Stahl / Stahl Stahl / Eis Holz / Stein Stahl / Bemsbeläge Stahl / Glas Teflon / Teflon Gummi / Asphalt Duch eine Schmieung wid die Reibung in ein andees Medium velaget (z.b. in Oel ode einen Feststoff) Reibung zwischen Feststoffen Reibung in Flüssigkeitsfilm F F F R F R F N F N

42 Reibung Rolleibung Um die Rollbewegung aufecht zu ehalten ist ein Dehmoment M notwendig, welches das Reibungsdehmoment M R kompensiet : M = M R M R hängt von meheen Faktoen ab : R ω v Nomalkaft F N Rolleibungszahl µ R [m] Schlupf ( bedeutet ω R v) M R =µ R F N Die Rolleibung ist um mindestens um eine Gössenodnung kleine als die Gleiteibung (diesen Voteil nutzen die Kugellage) Beispiel : ollendes Stahlad (R = 1 m) auf Stahl ( µ R = m) F R,ollen = M R R Gleiten ( µ g = 0.57) F R =µ g F N = µ R F N R F R,ollen F R = µ R R µ g =

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44 Täge und schwee Masse 3. Die Dynamik Masse und Kaft 3.1 Täge und schwee Masse Täge Masse ist eine Eigenschaft de Mateie. Täge Masse hat die Eigenschaft eine Ändeung des Bewegungszustandes entgegenzuwiken. Schwee Masse äusset sich in de Anziehungskaft zweie Massen, de Gavitationskaft. Gundsätzlich könnten täge Masse und schwee Masse zwei veschiedene Eigenschaften de Mateie sein. Expeimentell ist jedoch mit eine Genauigkeit von ewiesen, dass sich täge und schwee Massen nicht untescheiden. Das Kilogamm ist definiet duch die Masse des Eichnomals (Ukilogamm, Pt - I Block, de in Sèves bei Pais aufbewaht wid) Einheit de Masse: 1 Kilogamm = 1kg Die Relativitätstheoie von A. Einstein zeigt, dass die Masse eine Gösse ist, die vom Bewegungszustand abhängig ist. Es gilt : m = m v2 c 2 wobei m die Masse ist, die ein nicht mitbewegte Beobachte sieht, m 0 ist die Ruhemasse (Masse, die ein mitbewegte Beobachte feststellt), v die Geschwindigkeit des Köpes und c die Lichtgeschwindigkeit (c = 2.997' m/s m/s) bedeuten. Beachte, dass fü v c die Masse m.

45 Dynamik 3.2 Newtonsche Axiome Käfte, die auf Köpe einwiken, können veschiedene Auswikungen haben : Defomation des Köpes Beschleunigung des Köpes Die Wikung von Käften, die an einem Köpe angeifen weden duch die 3 Axiome von Newton (Isaac Newton, ) beschieben: 1. Tägheitspinzip Jede Köpe vehat im Zustand de Ruhe ode de geadlinig gleichfömigen Bewegung, falls e nicht duch einwikende Käfte gezwungen wid diesen Bewegungszustand zu änden. 2. Aktionspinzip Einwikende Käfte sind die Usache fü die Ändeung des Bewegungszustandes. F = d (m v) dt = dp dt 3. Reaktionspinzip Jede Kafteinwikung bewikt eine gleichgosse, entgegengesetzt wikende Gegenkaft ('Actio = Reactio').

46 Abgeschlossene Systeme, Impuls und Impulssatz De Impuls Definition: De Impuls p eine Masse m mit de Geschwindigkeit v betägt p =m v Einheit: 1 kg m/s Das Aktionspinzip d (m v) F = d t lässt sich unte de Annahme m = konst. auch scheiben als F = m dv dt = ma Aus dem 2. Newtonschen Axiom folgt auch die Einheit de Kaft : 1 kg m/s 2 = 1 Newton = 1 N 3.3 Abgeschlossene Systeme, Impuls und Impulssatz Ein abgeschlossenes System efäht keine Kafteinwikung von aussen. Da nach dem 3. Newtonschen Axiom alle Käfte paaweise aufteten, muss gelten : F 1 +F F n = n i=1 F i =0 F 4 nach dem Aktionspinzip muss dann gelten : F 3 n Σ F i i=1 n Σ p i=1 i n = Σ p i =0 i=1 =p tot =0 und somit p tot = konstant F 1 F 2

47 Dynamik Das bedeutet, dass de Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems konstant ist. Impulssatz In einem abgeschlossenen System gilt : n p i =p tot = konstant i=1 3.4 Die Gavitationskaft Expeimentelle Beobachtung: Massen üben aufeinande anziehende Käfte aus Beispiele : Ede - Sonne, Gavitationswaage von Cavendish F 12 = - F 21 (Reaktionspinzip) Gavitationsgesetz von Newton m 1 m 2 F12 F F = γ m 1 m Nm2 γ = kg 2 γ : Gavitationskonstante ode vektoiell geschieben F 12 = γ m 1 m m 1, m 2 bedeuten hie 'schwee' Massen. Wie beeits oben ewähnt sind jedoch 'schwee' und 'täge' Massen (expeimentell) identisch.

48 Die Gavitationskaft Das Gavitationsfeld De Begiff 'Feld' bedeutet, dass jedem Punkt im Raum ein Wet eine physikalischen Gösse (Skala ode Vekto) zugeodnet wid. Beispiele von Felden : Kaft, Geschwindigkeit, Tempeatu, Duck, elektische Feldstäke Definition des Gavitationsfelds G eine Masse M: G = Gavitationskaftauf Pobemasse m Pobemasse m G = F m = γ M m 2 m = γ M 2 M F m Richtung von G: Richtung - Die Masse M veändet den sie umgebenden Raum duch das Gavitationsfeld. Dieses kann mit eine Pobemasse (m) nachgewiesen weden. Gavitationsfeld de Ede Gavitationskaft auf m: F G = γ mm E E 2 Gavitationsfeld von M E auf Edobefläche: G( E ) = γ M E E 2 = ( ) 2 G( E ) = 9.8 N m kg 2 s N kg Das Gewicht eine Masse m = 1 kg betägt somit 9.8 N. M E F G m E

49 Dynamik Andeeseits wissen wi, dass alle Köpe (ohne Reibung) gleich schnell fallen. Die 'Edbeschleunigung' betägt g = 9.81 m/s 2 F Gavitation = F Newton II γ M E m s 2 =m t g g = 9.8 m s E m t { m s 2 Expeiment:( m s m t 1)< Tägheitskäfte Eine Masse m wid beschleunigt. Ein uhende Beobachte stellt fest: F = d(m v) = ma (m = konst.) dt (F besitzt gleiche Richtung wie a ) Ein mitbewegte Beobachte stellt fest: Auf ihn wikt eine (Tägheits-) Kaft, die de Beschleunigungsichtung entgegengesetzt ist. Nach dem ditten Newtonschen Axiom (Actio = Reactio) ist die Summe von äussee Kaft und Tägheitskaft gleich null. F - ma = 0 Die Tägheitskaft -ma vespüt nu de mitbewegte Beobachte. Käfte bei de Keisbewegung F m aus de Kinematik wissen wi: a = ω 2 ode vektoiell a = ω 2 m a v = konstant v

50 Tägheitskäfte Um die Masse m auf de Keisbahn zu halten ist die Kaft notwendig: F = m a = m ω 2 Zentipetalkaft Fü einen mitbewegten Beobachte ist wähend de Keisbewegung die Zentipetalkaft im Gleichgewicht mit de Tägheitskaft + mω 2. Diese Kaft (welche ein mitbewegte Beobachte eal vespüt) nennen wi Zentifugalkaft. F Zentipetal F Zentifugal 3.6 Dynamik de Rotationsbewegung Fagestellung: an einem Köpe mit eine Dehachse geift die Kaft F an. Welche Wikung hat F? F Dehachse Definition des Dehmoments: Das Dehmoment M eine Kaft F im Abstand von eine Dehachse M F ist gegeben Einheit ( M): duch das Vektopodukt : 1Nm M Dehachse M Dehachse ϕ F

51 Dynamik Rotationsbewegung eines Massenpunktes mit konstante Richtung de Dehachse: Betäge Vektoen M = F sinϕ M = F = F = m dv = m d v dt dt = m d(ω) = m d( ω ) dt dt M = m 2 dω M = m 2 d ω dt dt ϕ F F F = m d v Analogie zu Tanslationsbewegung dt M = m123 2 d ω { dt Tägheitsmoment 'Winkelbeschleunigung' Definition des Tägheitsmoments: Das Tägheitsmoment de Masse m im Abstand von eine Dehachse betägt: J = m 2 analog definiet man das Tägheitsmoment eines ausgedehnten Köpes: dj = 2 dm J= dj= 2 ρ dv Definition des Tägheitsmoments eines beliebigen Köpes: J= dj Köpe = 2 ρ()dv dm = ρ dv ρ : Dichte des Köpes ( Masse / Volumen)

52 Dynamik de Rotationsbewegung Beispiele (ohne Heleitung): R dünnwandige Hohlzylinde Hohlkugel h ρ J HZ = mr 2 J HK = 2/3 mr 2 m Vollzylinde Vollkugel R J Z = 1/2 mr 2 J K = 2/5 mr 2 De Satz von Steine Die hie beechneten Tägheitsmomente beziehen sich übewiegend auf Achsen, die duch den Schwepunkt gehen. Es ist indessen häufig notwendig, das Tägheitsmoment eines Köpes auch in Bezug auf eine nicht duch den Schwepunkt gehende Achse zu kennen. Bezeichnet J S das Tägheitsmoment um eine duch den Schwepunkt gehende Achse und J A das Tägheitsmoment desselben Köpes um eine zu diese Schwepunktsachse paallele Achse, so gilt de Steinesche Satz: J A =J S +m 2 wenn m die Gesamtmasse und de Abstand de beiden Achsen bedeutet. Impuls und Kaftstoss De Impuls p wude beeits fühe definiet (s. zweites Newtonsches Axiom) Impuls p = m v Einheit: 1 kgms -1 = 1 Ns Eine andee Intepetation des Impuls egibt sich aus dem 2. Newtonschen Axiom: d F (t) p p = p 2 p t 2 dt = F 1 = Fdt t 2 t 1 dp t 2 = F Fdt = p dt t 1 t 1 wid als Kaftstoss bezeichnet t t 1 t 2

53 Dynamik Definition des Dehimpulses: L De Dehimpuls (ode Dall) L = p daaus egibt sich L = mv = m ω [ ] = m 2 ω L = J ω entspicht p = m v m p und andeeseits F = d p dt F = d p dt M = d L dt de Tanslationsbewegung F = d p entspicht dt de Tanslationsbewegung Analogie zwischen Tanslations- und Rotationsbewegung Tanslation Rotation Weg s Winkel ϕ Geschwindigkeit v =s Winkelgeschwindigkeit Beschleunigung a =v=s Winkelbeschleunigung ω = ϕ ω = ϕ Masse m Tägheitsmoment J Impuls p =m v Dehimpuls L = p =J ω Kaft F = p Dehmoment M = L kinetische Enegie E kin = 1 2 mv2 kinetische Enegie E ot = 1 2 J ω2

54 Gleichgewichtsbedingungen 3.7 Gleichgewichtsbedingungen Ein Köpe ist genau dann im Gleichgewicht wenn die zwei Bedingungen efüllt sind: F 1 + F F n = und n i=1 M 1 + M M n = F i = 0 n i=1 M i = 0 Falls die este Bedingung nicht efüllt ist, wid de Köpe beschleunigt. Falls (nu) die zweite Bedingung nicht efüllt ist, wid de Köpe in eine Rotationsbewegung vesetzt. Die Dehmomente de Käfte F i können bezüglich eine beliebigen Dehachse beechnet weden. F 2 Beispiel: Gegeben: F 1,d 1,d 2, F 2 und F 3 sind paallel zu F 1 Wie goss müssen F 2 und F 3 sein, damit de Balken im Gleichgewicht ist? F 1 + F 2 + F 3 = 0 F 2 + F 3 = F 1 ϕ F 1 =50N π ϕ ϕ d 1 = 1 m F 1 d 2 = 1 m D M 3 F 3 π ϕ wählen Dehpunkt D: M 1 + M 2 + M 3 = 0 0 Betäge: d 1 d 2 F 3 d 1 F 1 sinϕ d 2 F 3 sinϕ (π ϕ) = 0 = 0 F 3 = d 1 d 2 F 1 F 1 M 1 F 2 = (1 + d 1 d 2 ) F 1 = 2 F 1 = 100N, F 3 = F 1 = 50N

55 Dynamik 3 Aten von Gleichgewicht 1. Stabiles Gleichgewicht Modell 0 g df x Gleichgewichtslage x = 0 Auslenkung um dx bewikt eine ückteibende Kaft df = - α dx 2. indiffeentes Gleichgewicht F 0 df = 0 x es existieen unendlich viele Gleichgewichtslagen. Eine Auslenkung um x bewikt keine Kaftwikung. 3. labiles Gleichgewicht 0 df x Gleichgewichtslage x = 0 Auslenkung um dx bewikt eine Kaft in Richtung dx: df = α dx Neben diesen dei Gleichgewichtsaten existiet noch das metastabile Gleichgewicht.

56 De Schwepunkt 3.8 De Schwepunkt Definition des Schwepunkts: De Schwepunkt s von einem System von n Massenpunkten (m i, i ) ist gegeben duch : S = n m i i i=1 n m i i=1 = 1 m tot m i i analog fü eine homogene Massenveteilung : S = 1 ρ( )dv ρ( )dv Beispiel: x S = 1 m tot (m 1 x 1 + m 2 x 2 ) 0 x S = 1 (2 1) = 0.66 m 3 x 1 = 0m x 2 = 1m x x s m 2 = 2kg S m 2 m s 3 m 3 m 1 = 1kg Eigenschaften des Schwepunktes a) Ein Köpe, de im Schwepunkt S untestützt wid, ist im Gleichgewicht. Beweis: Schwepunktsdefinition S m tot = m m 2 2 S (m 1 + m 2 ) = 1 m m 2 S (m 1 + m 2 ) g = 1 m 1g m 2g = 0 M 1 0 m 1 m 2 1 S 2 System ist bezüglich Rotation im Gleichgewicht. Käftebedingung fü Gleichgewicht wid efüllt duch Gegenkaft F A des Auflagepunktes. F A + F 1 + F 2 = 0 M 2 F 1 g F A F 2

57 Dynamik b) Gesamtimpuls p tot des Systems von n Massenpunkten: m tot s = i=1 m i i De Gesamtimpuls des Systems ( p tot ) ist gleich dem Schwepunktsimpuls m totvs. c) Schwepunktssatz n m tot d s dt = m tot v s = p s = n p i i=1 n m i i=1 n i=1 m i v i = p tot d i dt d dt (*) benützen obige Gleichung (*) und leiten nach de Zeit ab m tot d v s dt = n m i i=1 d v i dt n n m totas = m iai = F i = i=1 i=1 F { total Summe de von aussen einwikenden Käfte Falls F tot = 0 a s = 0 de Schwepunkt bewegt sich mit konstante Geschwindigkeit. Die Bewegungsgleichung fü den Schwepunkt (Schwepunktssatz) m tot as = F tot besagt, dass de Schwepunkt sich so bewegt, als ob in ihm die gesamte Masse konzentiet wäe. Beispiel: schiefe Wuf eines Köpes mit gleichzeitige Rotation. S bewegt sich auf eine Paabel

58 Reibung 3.9 Reibung Bei de Reibung handelt es sich um Käfte, die de Veschiebungsichtung entgegengesetzt geichtet sind. Die Reibungskaft F R entsteht an de F R m F Genzfläche zwischen Köpe und Untelage. F R F R, max (maximale Hafteibungskaft) Gleiteibungskaft Köpe bewegt sich nicht 'Hafteibung' Köpe wid beschleunigt F F : Kaft, die in Veschiebungsichtung wikt Auflagefläche A F R : Reibungskaft F R F F N : Nomalkaft (wikt senkecht zu Untelage) A: Auflagefläche des Köpes F N Das Expeiment zeigt, von welchen Gössen die Reibung abhängt

59 Dynamik Im Falle de Gleiteibung hängt F R ab von: (1) Mateialien (Köpe, Untelage) (2) Obeflächenbeschaffeheit } beschieben duch Gleiteibungskoeffizienten µ g (3) Nomalkaft F N (z. B. Gewicht bei hoizontale Untelage) im Falle de Hafteibung hängt F R zusätzlich ab von de (4) angeifenden Kaft F Dagegen hängt F R nicht ab von de Gösse de Auflagefläche A! Es gilt fü die Gleiteibung: F R =µ g F N Es gilt fü die Hafteibung: die maximale Hafteibung betägt F R,max =µ h F N und fü F < F R,max : F R = F Im Allgemeinen gilt: µ g < µ h

60 Reibung Gleichgewicht auf de schiefen Ebene m : Masse des Köpes F G : Gewicht F N : Nomalkaft (auf Untelage) F : Kaft in Veschiebungsichtung F m α F R g α F G F N Köpe ist im Gleichgewicht solange : F R = F F R Köpe beginnt zu utschen wenn : F F R, max m g sinα µ h F N = µ h m g cosα Daaus egibt sich die Genzbedingung fü Hafteibung : 123 in diesem Beeich F µ h = sinα cosα =tgα

61 Dynamik Analog lässt sich die Bedingung fü gleichfömiges Rutschen ( v = konst.) angeben : F = F R m g sinβ = µ g m g cosβ m F R Bedingung fü gleichfömiges Rutschen : µ g = sinβ cosβ =tgβ F β β F G F N Reibungskoeffizienten Obeflächen Hafteibung Gleiteibung tocken tocken geölt Stahl / Stahl Stahl / Eis Holz / Stein Stahl / Bemsbeläge Stahl / Glas Teflon / Teflon Gummi / Asphalt Duch eine Schmieung wid die Reibung in ein andees Medium velaget (z.b. in Oel ode einen Feststoff) Reibung zwischen Feststoffen Reibung in Flüssigkeitsfilm F F F R F R F N F N

62 Reibung Rolleibung Um die Rollbewegung aufecht zu ehalten ist ein Dehmoment M notwendig, welches das Reibungsdehmoment M R kompensiet : M = M R M R hängt von meheen Faktoen ab : R ω v Nomalkaft F N Rolleibungszahl µ R [m] Schlupf ( bedeutet ω R v) M R =µ R F N Die Rolleibung ist um mindestens um eine Gössenodnung kleine als die Gleiteibung (diesen Voteil nutzen die Kugellage) Beispiel : ollendes Stahlad (R = 1 m) auf Stahl ( µ R = m) F R,ollen = M R R Gleiten ( µ g = 0.57) F R =µ g F N = µ R F N R F R,ollen F R = µ R R µ g =

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64 Abeit 4. Abeit, Enegie und Leistung 4.1 Abeit Eine Kaft F veschiebt einen Köpe längs eines Weges s. Dabei veichtet die Kaft eine Abeit W. Definition de Abeit: Abeit dw = F ds = F ds cosα F B Einheit: 1Nm = 1 Joule (nach J. P. Joule ) α s (alte Einheit: 1 cal = J) A ds W ist eine skalae Gösse. Längs des ganzen Weges A B wid die Abeit veichtet: B W = dw = F d s A B A Beispiele: 1. Veschiebung eines Köpes Masse m auf eine Untelage gegen die Reibung µ g : F R m F W = F d s = µ g F N ds = µ g m g s { Weg Kaft gilt wenn F = konst., F s A s B

65 Abeit, Enegie und Leistung 2. Hubabeit F = m g = konst. F Weg B h W = m g h z.b. heben eine Masse m = 100 kg um die Höhe h = 100 m g W = = J = 98 kj = 23.4 kcal m Hubabeit längs eine schiefen Ebene (ohne Reibung) A F = m g sinα F = F W = F s W = m g s sinα = mgh h s m F Die Hubabeit hängt nu von de übewundenen Höhe h und nicht vom Weg ab. F ll α α m g h g Die Wegunabhängigkeit de Abeit bedeutet auch, dass in diesem Fall die Abeit längs eines geschlossenen Weges null ist. B W ABA = W AB + W BA = W AB W AB = 0 W AB W BA =-W AB A

66 Abeit Diese Eigenschaft besitzen konsevative Kaftfelde. Definition: Ein konsevatives Kaftfeld F( ) lässt sich dastellen als: F = gad E pot = de pot dx, de pot dy, de pot dz E pot ist die Potentielle Enegie (skalaes Feld) Im eindimensionalen Fall gilt: F x = de pot dx E pot (x) F x x 3. Beschleunigungsabeit Ein Köpe mit Masse m wid aus de Ruhe auf eine Geschwindigkeit v beschleunigt. Welche Abeit ist dazu nötig? W = Fds, ds = vdt, F = m dv dt W= m dv v vdt = m vdv dt W = 1 2 mv 2 Beschleunigungsabeit falls v 0 0: W = 1 2 mv mv 2 0 = 1 2 m(v2 v 2 0 ) 0 (m = konst.) v 0 =0 m v s s

67 Abeit, Enegie und Leistung 4. Beschleunigungsabeit bei Rotationsbewegung Ein Köpe mit dem Tägheitsmoment J wid auf die Winkelgeschwindigkeit ω beschleunigt F W = F ds ds = Rdϕ ; dϕ = ωdt ds = Rωdt M R F = = J R R = J R dω dt dω dt ω R ωdt = J ωdω 0 ω 0 = 0 W = 1 2 Jω 2 Beschleunigungsabeit bei Rotationsbewegung 5. Defomationsabeit Spannen eine Fede F F F Das Fedegesetz bescheibt das Vehalten de Fede: Fedekaft: x x 0 F F = -D x D: ist die Fedekonstante mit de Einheit N/m Abeit zum Spannen eine Fede: x W= Fdx 0 x = F F dx 0 x =D xdx 0 W= 1 2 Dx2 Defomationsabeit de Fede

68 Enegie falls Defomation bei x 0 0 statet: W = 1 2 Dx Dx 2 0 = 1 2 D(x 2 x 2 0 ) 4.2 Enegie Wid an einem Köpe die Abeit W veichtet, so ehöht sich die Enegie E des Köpes um die Gösse W. E = W W : am Köpe veichtete Abeit Die Enegie befähigt den Köpe selbst wiede Abeit zu veichten. 'Enegie ist gespeichete Abeit'. Die kinetische und potentielle Enegie sind zwei Hauptfomen de Enegie: Kinetische Enegie ('Enegie de Bewegung') Tanslationsbewegung: E kin = 1 2 mv2 Rotationsbewegung: E kin = 1 2 J ω2 Potentielle Enegie ('Enegie de Lage') potentielle Enegie im Schweefeld de Ede E pot = m g h potentielle Enegie de gespannten Fede E pot = 1 2 Dx2

69 Abeit, Enegie und Leistung Welche At ist E bei de Reibungsabeit? Fü die Veschiebung eines Köpes mit Reibung ist die Abeit W =µ g m g s notwendig. W wid in Wämeenegie umgewandelt. E Wäme = W andee Fomen potentielle Enegie: Chemische Enegie elektomagnetische Enegie de Lage von Atomen und Molekülen Vebennung, galvanische Elemente (Batteien) Kenenegie Enegie de Lage in den Felden zwischen den Bausteinen de Atomkene (Nukleonen) Kenfusion (Sonne), Kenspaltung in Kenkaftweken Wämeenegie Schwingungsenegie von Atomen und Molekülen Elektische Enegie Elektomagnetische Enegie de Lage von Ladungen und magnetischen Dipolen. Enegie in elektomagnetischen Felden. elektisch geladene Kondensato, Enegie elektomagnetische Wellen

70 Aequivalenz von Masse und Enegie 4.3 Äquivalenz von Masse und Enegie Aus de Relativitätstheoie von Albet Einstein folgt die Äquivalenz von Masse und Enegie. E = mc 2 c = m/s ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Beispiel: Bei de Vebennung von 2 Mol H 2 ( = 4 g) und 1 Mol O 2 ( = 32 g) wid die Enegie E = J fei. Nach de Äquivalenz von Masse und Enegie ist also mit de Enegieabgabe eine Massenabgabe m vebunden. m = E c 2 = Js 2 ( ) 2 m 2 m = kg (entspicht eine Masse von kg kg = Elektonen) 4.4 Leistung Definition de Leistung: Die Leistung ist die Ableitung de Abeit nach de Zeit. P = dw dt Einheit: 1 J s = 1Watt Watt: nach James Watt ( ) alte Leistungseinheit: Pfedestäke 1PS = W Aus de Leistungseinheit W wid oft die Enegieeinheit Wh (Wattstunden) ode kwh abgeleitet: 1kWh = J

71 Abeit, Enegie und Leistung Beispiel: Ein Lift (Gesamtmasse 1200 kg) fäht mit eine Geschwindigkeit von 5 m/s nach oben. Welche Leistung entspicht das? g = 9.81 m/s 2 P = dw = Fds = m g v dt dt P = = W P = 58.9kW ( 80 PS) Gössenodnung von Leistungen Nevenzelle 10-9 W Kenkaftwek 9 x 10 8 W Mensch 10 2 W Sonne 3.6 x W Lokomotive W Supenova W Satunakete 10 8 W

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74 Ehaltungssätze 5. Ehaltungssätze Fü viele physikalische Gössen gelten Ehaltungssätze. Ein Ehaltungssatz fü eine Gösse X bezieht sich imme auf ein definietes System, das nach aussen abgeschlossen ist. Y System aus einzelnen Objekten, abgeschlossen bezüglich X nach aussen. Kein Austausch von X mit Umgebung. Bezüglich eine andeen Gösse ( z. B. Y ) kann das System offen sein. Beispiele von ehaltenen Gössen: Gesamtimpuls eines Systems (siehe 3.3) p tot = p 1 + p p n = konst. Gesamtenegie E tot = E kin + E pot + E chem + E elektisch +... Dehimpuls L tot = L 1 + L L n elektische Ladung X Q tot = Q 1 + Q 2 + Q Q n Zahl de Bayonen (Bayonen: elativ schwee Elementateilchen mit den Bayonenzahlen +1 ode -1. Sie zefallen übe andee Bayonen letztlich in Potonen und Neutonen. Bayonen gehöen zu den Hadonen, die Bestandteil de staken Wechselwikung sind.) Zahl de Leptonen (Leptonen: vemitteln die schwache Wechselwikung. Zu den Leptonen gehöen unte andeem: Neutino, Elekton, Positon, Myon)

75 Ehaltungssätze 5.1 Enegiesatz In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe alle Enegien konstant. Enegie kann wede ezeugt noch venichtet weden. Enegie kann nu von eine Fom in eine andee umgewandelt weden. Anwendungen des Enegiesatzes Wi betachten die kinetische und potentielle Enegie eine Masse m im Schweefeld de Ede. Das Gewicht ist gegeben duch: F =mg x aus Definition de potentiellen Enegie: de pot = F x dx F x m g (gilt allgemein: de pot dx = F x ) F x dx = de pot 0 F { dx x { dt m vx vx = de pot dt = m v x v x = de kin dt de kin + de pot = 0 dt dt d dt (E + E ) = 0 kin pot E kin + E pot = konst. Enegiesatz fü kinetische und potentielle Enegie fü konsevative Kaftfelde (ohne Reibungseffekte)

76 Enegiesatz Beispiele: 1. feie Fall aus Höhe h 0 Gesucht: Geschwindigkeit v E vo dem Aufpall. h Bei de Anwendung von Ehaltungssätzen betachtet man imme zwei Zustände 1 und 2. Hie gilt: h 0 m E 1 g E 1 =E 2 E kin 1 +E pot 1 =E kin 2 +E pot 2 0 E 2 0+mgh 0 = 1 2 mv E 2 +0 v E = 2gh 0 v E 2. Fadenpendel Pendel wid auf α 0 ausgelenkt und dann losgelassen. Wie goss ist die Geschwindigkeit v im tiefsten Punkt? h E 1 =E 2 α 0 l E kin 1 +E pot 1 =E kin 2 +E pot 2 0+mgh 0 = 1 2 mv2 +0 m h 0 = l l cosα 0 = l (1 cosα 0 ) h 0 v= 2gl (1 cosα 0 ) h = 0 v

77 Ehaltungssätze 5.2 Impulssatz Aus Abschnitt 3.3 kennen wi den Impulssatz: In einem p tot = p abgeschlossenen 1 + p p System ist de Gesamtimpuls ehalten. n = konst. Beispiele: 1. Elastische Reflexion eines Teilchens an eine Wand 1 2 m v 1 x v 2 x Welche Impuls wid bei de elastischen Reflexion von m (d.h. Reflexion ohne Enegievelust) auf die Wand übetagen? Wi wenden den Enegie- und Impulssatz an: Enegiesatz : E 1 =E mv 1 2 = 1 2 mv 2 2 v 1 = v 2 Impulssatz : p 1 =p 2 mv 1 +p Wand 1 = mv 2 1 +p Wand 2 p Wand 2 p Wand 1 = p Wand =2mv 1

78 Impulssatz 2. Fadenpendel Fü das System Faden/Pendelmasse gilt de Impulssatz offenba nicht: p 1 =0 p 2 =m 2gl (1 cosα 0 ) α 0 l g p 1 p 2 m Gund: Das Fadenpendel ist bezüglich de Enegie ein abgeschlossenes System, nicht abe bezüglich des Impulses. Vom Pendel findet eine Impulsübetagung auf die Aufhängung statt. v 2 1 α 0 l α 0 l m v 0 = 0 v m p Pendel = 0 p = m 2 g l (1 cosα 0 )

79 Ehaltungssätze Um bezüglich des Impulses ein abgeschlossenes System zu ehalten, müssen wi die Aufhängung einbeziehen. Im folgenden Fall ehalten wi ein Pendel, das bezüglich des Impulses in hoizontale Richtung ein abgeschlossenes System dastellt: Aus Abschnitt 3.3 wissen wi, dass de Gesamtimpuls ehalten bleiben muss. 1 2 p tot 1 =p tot 2 α 0 m v Pendel v Wagen 0 v Wagen =0 v Pendel =0 m Wagen

80 Impulssatz Wie goss ist die Geschwindigkeit de Pendelmasse im tiefsten Punkt? Enegie- und Impulssatz müssen fü Zustand 1 und 2 efüllt sein: Enegiesatz: mgl (1 cosα 0 )= 1 2 mv m Wagen v2 Wagen Impulssatz: 0=mv+m Wagen v Wagen v Wagen = m m v Wagen mgl (1 cosα 0 )= 1 2 mv m Wagen mgl (1 cosα 0 )= 1 2 (m + v 2 = 2mgl (1 cosα 0 ) m+ m2 m Wagen m2 m Wagen )v 2 m 2 m2 v 2 Wagen v= 2gl (1 cosα 0 ) 1+ m m Wagen 3. Rakete Rakete zu Zeit t M v Rakete zu Zeit t + dt u M + - dm v +dv

81 Ehaltungssätze Impulsehaltung (skalae Scheibweise) dp dt M dv dt pt ( + dt) pt ( ) = = 0 dt ( M + dm)( v + dv) dm u M v = = 0 dt dm[ v + dv u] = + M dv dt dt = v dm el dt v el : Relativgeschwindigkeit de ausgestossenen Gase zu Rakete M : Masse zu Zeit t (Raketenhülle + Teibstoff) dm : Massenausstoss po Zeit dt Beechnung de Endgeschwindigkeit v E: [ ] = u ( v + dv) v el 1 dv = v dm M el v E 0 v v dv = v E E = v el = v M E el M 0 M log M el 1 M dm E 0 M log M 0 E v0 = v( 0) = 0 M 0 : Gesamtmasse M E : Masse de ausgebannten Rakete Raketengleichung

82 Impulssatz 4. Stösse Zentale Stoss Bewegung efolgt auf eine Geaden (eindimensionale Fall) Gegeben : m 1, m 2, v 1, v 2 Gesucht : v 1, v2 Vo dem Stoss m 1 v 1 v 2 m2 Enegie- und Impulssatz müssen efüllt sein (abgeschlossenes System) Stoss Enegiesatz: 1 2 m 1v m 2v 2 2 = 1 2 m 1v m 2v Q v 1 Nach dem Stoss m 1 m 2 v 2 Impulssatz: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 3 Unbekannte ( v 1, v2, Q ), 2 Gleichungen falls Stoss elastisch (ohne Velust an kinetische Enegie efolgt) Q = 0 falls Stoss inelastisch Q > 0 Stoss vollständig inelastisch v 1 = v 2 (Massen m 1 und m 2 bewegen sich gemeinsam weite)

83 Ehaltungssätze Spezialfälle 1. elastische Stoss (eindimensional) m 1 v m 2 v 2 2 = m 1 v m2 v 2 2 m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m2 v 2 v 1 v 2 (1) m 1 (v v1 2 ) = m2 (v v2 2 ) v 1 v 2 (2) m 1 (v 1 - v 1 ) = m2 (v 2 - v 2 ) / (1) : (2) (v 1 v 1 und v 2 v 2 ) v 1 + v 1 = v 2 + v 2 v 1 - v 2 = v 2 - v 1 Die Relativgeschwindigkeiten ( v 1 - v 2 ) und ( v 2 - v 1 ) sind vo und nach dem Stoss sind gleich. speziell : 2. m 1 = m 2 aus Impulssatz (a) v 1 + v 2 = v 1 + v 2 (b) v 1 - v 2 = -v 1 + v 2 / (a) ± (b) (Gleichung (b) von oben übenommen) v 1 = v 2 v 2 = v 1 'Austausch' de Geschwindigkeiten 3. vollständig inelastische Stoss v 1 = v 2 ( v ) 1 2 m 1v m 2v 2 2 = 1 2 (m 1 +m 2 )v 2 + Q m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 )v v = m 1v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 Q kann beechnet weden