Regelungstechnik I (WS 17/18) Übung 1

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1 Regelungstechnik I (WS 17/18 Übung 1 Pof. D. Ing. habil. Thomas Meue, Lehstuhl fü Regelungstechnik Aufgabe 1 (Mathematische Modellieung eines elektisch aktuieten Seilzuges. Abbildung 1.1 zeigt den Ankekeis eine femdeegten Gleichstommaschine mit vaiable Ankespannung u A. De Eegefluss de Maschine Φ e wid als konstant angenommen. Fü die an de Maschine induziete Spannung und das induziete Moment gilt: u M = k 1 Φ e ω, M M = k 2 Φ e i a. Dabei stellen k 1 und k 2 maschinenspezifische Konstanten da, i a ist de Ankestom und ω = ϕ stellt die Winkelgeschwindigkeit da. i a R a ϕ, ω, M M s ω, M M u a u M m Abb. 1.1: Esatzschaltbild des Gleichstommotos. Abb. 1.2: Seilzug. Die Gleichstommaschine teibt den in Abbildung 1.2 dagestellten Seilzug an, de eine angehängte Masse m heben soll. Die Position de Masse (s = s + ϕ des Hubvogangs kann im Weiteen als Messgöße angesehen weden. Fü das an de Winde heschende Moment, mit Beücksichtigung des Tägheitsmoments des gesamten Systems, gilt nach Dehimplusehaltungsatz: dω dt = i M i. Neben de auf die Masse m wikenden Gewichtskaft wike de otatoischen Bewegung das nichtlineae Reibmoment M R entgegen, das veeinfacht duch M R = µ R ω 3 beschieben wid. Es wid angenommen, dass das Seil dehnungsfei ist und seine Dynamik venachlässigt weden kann. Hinweis: Fü den skalaen Fall gilt, dass das Dehmoment das Podukt aus Kaft und Hebelam ist. (i Wählen Sie geeignete Eingangs-, Zustands- und Augangsgößen und stellen Sie das mathematische Modell des gesamt Systems in de Fom auf. ẋ = f(, u y = h(, u 1

2 (ii Welche stationäe Eingangsgöße u = u R egibt sich in de Ruhelage des Systems? (iii Lineaisieen Sie das System um den Abeitspunkt aus (ii und stellen Sie es wie folgt da: ẋ = A + b u y = c T + d u. Aufgabe 2 (Mathematische Modellieung eine Veladebücke. Gegeben ist die in Abbildung 1.3 gezeigte Veladebücke, fü die ein mathematisches Modell estellt weden soll. Die Last m L ist im Schwepunkt de Laufkatze mit de Masse m K an einem als masselos anzusehenden Seil de Länge aufgehängt. De Laufkatzantieb ezeugt eine Antiebskaft F. Die Duchbiegung des Seils kann venachlässigt weden, da nu kleine Seilwinkel ϕ betachtet weden. F m K ϕ m L y F g Abb. 1.3: Veladebücke. (i Bestimmen Sie die Bewegungsgleichungen de Veladebücke mit Hilfe de Newtonschen Gesetze. (ii Lineaisieen Sie die Bewegungsgleichungen um die stabile Gleichgewichtslage fü kleine Winkelgeschwindigkeiten ϕ, und geben Sie das lineaisiete System in Zustandsdastellung ẋ = A + b u y = C an. Wählen Sie dabei den Zustandsvekto = [ ẋ ϕ ϕ] T. Aufgabe 3 (Mathematische Modellieung eine Opeationsvestäkeschaltung. Gegeben ist das elektische System nach Abbildung 1.4. Die dain vewendete Induktivität ist eine Funktion des Stoms L = L (i L und die Kapazität ist von de Spannung u C abhängig, d.h. C = C (u C. De Opeationsvestäke kann bei de Modellieung als ideal angesehen weden. Weitehin ist de Ausgang de Schaltung u C unbelastet, d.h. es fließt kein Stom aus den Klemmen. (i Beechnen Sie das mathematische Modell des elektischen Netzwekes nach Abbildung 1.4 in de Fom 2

3 R 1 i L + - R 3 u 1 L( i L R 2 C( uc u C R 2 u s Abb. 1.4: Elektisches System. ẋ = f (, u 1, u s y = g (, u 1, u s, mit dem Eingang u 1, de Stöung u s und dem Ausgang y = u C. Wählen Sie dazu geeignete Zustandsgößen und beücksichtigen Sie die Abhängigkeiten de Induktivität L (i L bzw. Kapazität C (u C in allgemeine Fom. (ii Im Folgenden gilt L (i L = L + L 1 i 2 L ( C (u C = C + C 1 1 e u C u C, mit den konstanten, positiven Paameten L, L 1, C, C 1 und u C. Beechnen Sie alle Ruhelagen des Systems fü u s = und u 1 = konst. 3

4 Regelungstechnik I (WS 17/18 Lösung zu Übung 1 Pof. D. Ing. habil. Thomas Meue, Lehstuhl fü Regelungstechnik Lösung 1 (Mathematische Modellieung eines elektisch aktuieten Seilzuges. Lösungen zu Aufgabe 1: (i Eingangsgöße: u = u a (t Ausgangsgöße: y = s(t = s + ϕ(t [ ] T Zustände: = i a (t ϕ(t ω(t Die Regelstecke besteht aus einem elektischen Teilsystem (Gleichstommaschine und einem mechanischen Teilsystem (Seilwinde. Fü das elektische System gilt nach dem Esatzschaltbild (Abbildung 1.1 u a (t = d dt i a(t + R a i a (t + u M (t (1.1 d dt i a(t = R a i a (t k 1Φ e ω + 1 u a (t. (1.2 Die Bewegungsgleichung fü das mechanische System kann aus dem Dehimpulsehaltungssatz hegeleitet weden: d dt ω(t = i M i = M M M g M R. (1.3 d dt ω(t = k 2Φ e i a (t mg µ R ω(t 3 (1.4 d d2 ω(t = dt dt 2 ϕ(t = k 2Φ e i a(t mg µ R ω(t3. (1.5 Die ehaltene Bewegungsgleichung ist eine Diffeentialgleichung 2. Odnung. Diese muss umgewandelt weden in ein Diffeentialgleichungssystem 1. Odnung. d ϕ(t = ω(t, dt d dt ω(t = k 2Φ e i a(t mg µ R ω(t3. (1.6 Übefühung in Zustandsdastellung egibt: ẋ = f(, u = Ra 1 k 1Φ e u, t >, ( =. (1.7 k 2 Φ e 1 mg µ R 3 3 y = h(, u = s + 2, t. (1.8 4

5 (ii In de Ruhelage gilt ẋ = f( R, u R =, woaus folgt: = R a 1,R k 1Φ e 3,R + 1 u R, (1.9 = 3,R, (1.1 = k 2Φ e 1,R mg µ R 3,R 3. (1.11 Duch lösen des Gleichungssystems kann de Abeitspunkt wie folgt angegeben weden mg k 2 Φ e R = 2,R, u R = mgr a k 2 Φ e, (1.12 wobei mathematisch 2,R R gilt. Physikalisch gilt alledings s + 2,R s ma, da das Seil eine begenzte Länge s ma hat. (iii Die Lineaisieung füht auf: Ra L a k 1Φ e 1 L a ẋ = 1 + u, t >, ( = (1.13 k 2 Φ e µ R 3 2 3,R [ ] y =, t (1.14 Lösung 2 (Mathematische Modellieung eine Veladebücke. Lösungen zu Aufgabe 2: (i Die Veladebücke besteht aus zwei mechanischen Teilsystemen, miteinande gekoppelt sind. die duch ein Seil Eingangsgöße: u = F (t Ausgangsgöße (nicht definiet nach Aufgabenstellung, eine sinnvolle Wahl wäe: [ ] T y = (t ϕ(t [ ] T Zustände: = (t ẋ(t ϕ(t ϕ(t F cos(ϕ m K ϕ F s Fs Newton: Zelegung de auf die Laufkatze und Last wikende Käfte in Käftekomponenten, die in - und y-richtung wiken. Fü die sogenannte Schnittkaft F s, die das Teilsystem Laufkatze mit dem Teilsystem Last vebindet, folgt daaus sin(ϕ m L F s, = sin(ϕf s, F s,y = cos(ϕf s. y V L = F g Anschließend können die Kaftbilanzen fü die beiden Teilsysteme aufgestellt weden: Laufkatze: Fk = F + m k g + sin(ϕf s + cos(ϕf s = m k a k, + m k a k,y (1.15 5

6 Die Beschleunigung des Schwepunktes de Laufkatze egibt sich zu [ ] [ẍ ] s k =, a k = (1.16 Last: FL = m L g sin(ϕf s cos(ϕf s = m L, + m L,y (1.17 Die Beschleunigung des Schwepunktes de Last zu: s L = [ ] + sin(ϕ cos(ϕ, a L = [ẍ ] + ϕ cos(ϕ ϕ 2 sin(ϕ ϕ sin(ϕ ϕ 2 cos(ϕ (1.18 Nach dem Supepositonspinzip können wi beide Gleichungen aufteilen in ihe - und y-komponenten. Fü die Laufkatze gilt somit: m k ẍ =F + sin ϕf s (-Richtung (1.19 Fü die Last gilt: =m k g + cos(ϕf s (y-richtung (1.2 m L (ẍ + ϕ cos(ϕ ϕ 2 sin(ϕ = sin(ϕf s (-Richtung (1.21 m L ( ϕ sin(ϕ ϕ 2 cos(ϕ =m L g cos(ϕf s (y-richtung (1.22 Aus dem Gleichungssystem ehält man die vekoppelten Bewegungsgleichungen ẍ = F m L( ϕ cos(ϕ ϕ 2 sin(ϕ m k + m L, (1.23 g sin(ϕ + cos(ϕẍ ϕ =. (1.24 Weden die Bewegungsgleichungen entkoppelt und das entstehende DGL-System 2. Odnung in ein DGL-System 1. Odnung übefüht, egibt sich 2 ẋ ẍ ( ẋ = ϕ = m k +m L 1 cos( ϕ ( g sin( 3 F +m L F +m L (g sin( 3 cos( sin( 3 g sin( 3 cos( sin( 3 m k +m L (1 cos( 3 2 cos( 3, u = F (ii Lineaisieung um eine stabile Ruhelage fü kleine Winkelgeschwindigkeiten ϕ stabile Ruhelage R ẋ R ϕ R = 2πk ϕ R, mit R, k Z. 6

7 Wi fühen folgende Substitution ein: N = m k + m L ( 1 cos(3 2, N 3 = 2m L cos( 3 sin( 3 Damit gilt: ẋ ẍ ẋ = ϕ = ϕ g sin( 3 F cos( 3 2 F N + m Lg sin( 3 cos( 3 N + m L 2 4 sin( 3 N 4 N m Lg sin( 3 cos( 3 cos( 3 N m L 2 4 sin( 3 N cos( 3 Insgesamt egibt sich die folgende lineaisiete Zustandsdastellung, duch bilden de Jakobi-Matizen und einsetzen de Ruhelage zu 1 gm L m ẋ = k 1 + gm L m k 1 m k 1 m k u, y = [ ] 1. 1 Lösung 3 (Mathematische Modellieung eine Opeationsvestäkeschaltung. Lösungen zu Aufgabe 3: (i Elektisches System mit zwei Enegiespeichen. Eingangsgöße: u = u 1 (t Ausgangsgöße: y = u C (t [ Zustände (folgen aus den Enegiespeichen: = i L (t ] u C (t De Opeationsvestäke wid als ideal angenommen somit gelten folgende Annahmen: i + A u V i A + de Eingangswidestand ist Ω de Stom an den Eingängen des Opeationsvestäke ist A de Ausgangswidestand ist Ω Beücksichtigt man diese Annahmen dann kann die Schaltung wie folgt dagestellt weden: u1 R1 I il A il V + R2 R3 i C C(u C i C A uc L(i L II R2 us III 7

8 Daaus können folgende Maschengleichungen aufgestellt weden: u 1 = R 1 i L + u L (1.25 u L = R 2 i 2 + u s (1.26 2R 2 i 2 + u s = R 3 i c + u c (1.27 Weithehin gelten die Bauteilgleichungen: u L = d dt i C = d dt ( L ( i L (t i L (t = L(i L d i L dt i L(ti L (t + L ( i L (t d dt i L(t (1.28 ( C ( u C (t u C (t = C(u C u C d dt u C(tu C (t + C(u C (t d dt u C(t (1.29 Aus diesen Gleichungen egibt sich die Zustandsdastellung zu ẋ = u R 1 1 L( L( 1 2u 2R ( 1 1 +u s 2 C( R C( 2 2, t >, ( = y = h(, u = 2, t. (ii Beechnung de Ruhelage des Systems fü u s = und u 1 = u R = konst. Bestimmung de Ruhelage f( R, u R = füht nach Einsetzen de angegebenen Zusammenhänge de stomabhängigen Induktivität und de spannungsabhängigen Kapazität auf: = u R R 1 1,R (1.3 = 2u R 2R 1 1,R 2,R (1.31 Daaus folgt diekt 1,R = u R R 1 2,R = (1.32 (1.33 8