v(t) r(t) Die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn vom Radius r kann beschrieben werden durch

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1 Die Keisbeweun ================================================================== 1. Bescheibun de Keisbeweun y v(t) ϕ(t) (t) ϕ(t) x Die Beweun eines Köpes auf eine Keisbahn vom Radius kann beschieben weden duch a) seinen Otvekto (t) = x(t) y(t) b) duch den Winkel ϕ(t) den de Otvekto (t) mit de positiven x-achse bildet. De Winkel ϕ(t) wid im Boenmaß emessen d. h. ist s de Boen den de Winkel aus dem Keis ausschneidet, dann ist ϕ = s Eine Keisbeweun heißt leichfömi, wenn vom Otsvekto in de Zeit t übestichene Winkel ϕ popotional zu t ist. De konstante Quotient ω = ϕ t ibt dann an, welche Winkel po Sekunde übestichen wid und heißt deshalb Winkeleschwindikeit ω de Keisbeweun. Ist T die Umlaufsdaue d.h die Zeit die de Köpe fü eine Umdehun benötit, dann ilt ω = 2π T

2 Befindet sich de Köpe zu Zeit t = 0 auf de positiven x-achse des Koodinatensystems d. h., ϕ(0s) = 0, dann schließt de Otsvekto zu Zeit t den Winkel Ist, dann ist ϕ(0s) = ϕ 0 ϕ(t) = ω t Beachte : ω = 1(ad) s = s 1 mit 1 ad = 1 π 180 ϕ(t) = ω t + ϕ0 Technisch bescheibt man leichfömie Keisbeweunen duch Anabe de equenz f. Sie ibt an, wie viele Umdehunen de Köpe po Sekunde ausfüht. Es ist dahe f = 1 und ω = 2π f T oleunen : a) ü den Otsvekto eine leichfömien Keisbeweun mit ϕ(0s) = 0 ilt (t) = cosϕ(t) sinϕ(t) = (t) = cos(ωt) sin(ωt) b) In de Zeit T let de Köpe den Umfan U des Keises zuück. Also ilt fü die Bahne schwindikeit v v = 2π T = ω = const. d.h., die leichfömie Keisbeweun ist eine Beweun bei de sich Richtun de eschwindikeit, nicht jedoch ih Beta ändet. ü den eschwindikeitsvekto ilt dann v(t) = ω sinϕ(t) ω cos(t) ω sin(ωt) = ω cos(ωt)

3 2. Die Zentipetalkaft Damit sich ein Köpe auf eine Keisbahn bewet, muss in jedem Punkt de Bahn eine konstante Kaft zum Keismittelpunkt hin wiken. Diese Kaft heißt Zentipetalkaft und die von ih hevoeufene Beschleuniun Zentipetalbeschleuniun a. Eebnis : Bewet sich ein Köpe mit de Bahneschwindikeit v bzw. de Winkeleschwindikeit ω auf eine Keisbahn vom Radius, dann muss e zum Mittelpunkt de Keisbahn hin beschleunit weden. ü den Beta de Zentipetalbeschleuniun ilt a = v2 = ω2 Die diese Beschleuniun notwendie Zentipetalkaft ist ebenfalls zum Mittelpunkt hin eichtet und hat den Beta = m v2 = mω2 Anwendunen ================================================================== 1. Loopin B B Ein 300 k schwee Waen Waen fäht mit v = 90 km h vom Radius = 10 m. in einen keisfömien Loopin a) Mit welche Kaft dückt de Waen im Punkt A een den Boden? a) Beechne die eschwindikeit des Waens im höchsten Punkt A de Bahn.

4 b) Wie oß ist die Kaft, mit de de Waen in A een die Schienen edückt wid? a) A = A = + A = m + m v2 = m ( + v2 ) A = 300 k (9,81 m 625 s 2 + s 2 10 m m 2 ) = 21,7 kn b) 1 2 m v A 2 = 1 2 m v B 2 + m 2 v B = v A 2 4 v A = 625 m2 s 2 4 9,81 m s 2 10 m = 15,3 m s c) B + = b = B = m v2 v2 m = m ( ) b = 300 k (15,3 m s )2 10 m 9,81 m s 2 = 4,1 kn d) B = 0 m v B 2 = m v B = v B = 9,81 m s 2 10 m = 9,9 m s v A = v B v A = (9,9 m s ) ,81 m s 2 10 m = 22,1 m s = 80 km h 2. Kuel in de otieenden Halbkeisinne M m Die auf die Kuel wikende ewichtskaft eeben die Zentipetalkaft. und die von de Bahn stammende Kaft

5 Es ilt dann tan = = m ω2 m = ω2 R sin cos = R ω 2 = R 4π 2 f 2 R = 1 m f (Hz) ,9 3. Das konische Pendel - Kettenkaussel Die auf die Kuel wikende ewichtskaft und die vom aden stammende Zukaft eeben die Zentipetalkaft. tan = = m ω2 m = ω2 L sin cos = L ω 2 = R 4π 2 f 2 L m 4. Rotieende üssikeitsobefläche ü ein Teilchen im Abstand von de Dehachse eibt sich aus dem Käftedeieck tan = = m ω2 m = ω2 Ist die Obeflächenkuve de aph de unktion f : f() eeben duch dann ist tan = ω2 = f '() Damit ilt f() = m ω2 d.h. die lüssikeitsobefläche ist ein Paaboloid. m C 5. Kuvenfaht eines Pkw ohne Staßenübehöhun Damit die Kuve siche duchfahen eeden kann muss elten R = µ H m

6 mit dem Hafteibunskoeffizienten µ H 5. Neiun eines Zweiads in de Kuve Um ein Kippen zu vemeiden muss sich ein Zweiadfahe in Kuve neien. Die e- wichtskaft und die vom Boden stammende Kaft eeben die Zentipetalkaft. Die Zentipetalkaft daf wiede nicht öße als die Hafteibunskaft sein. Es ist tan = m v 2 = m v2 6. Kuvenfaht eines PKW mit Staßenübehöhun B Es ilt tan = = m v 2 m = v2

7 4. Rotieende üssikeitsobefläche ü ein Teilchen im Abstand von de Dehachse eibt sich aus dem Käftedeieck tan = = m ω2 m = ω2 Ist die Obeflächenkuve de aph de unktion f : f() eeben duch dann ist tan = ω2 = f '() Damit ilt f() = m ω2 d.h. die lüssikeitsobefläche ist ein Paaboloid. m C