Angewandte Strömungssimulation

Transkript

1 Angewandte Strömungssimulation 6. Vorlesung Stefan Hickel

2 Finite - Volumen - Methode

3 Finite - Volumen - Methode! Das Rechengebiet wird in nicht überlappende Bereiche (= finite Volumina) unterteilt.! Jedem Kontrollvolumen ( KV ) wird ein Knoten zugeordnet, an welchem die diskreten Werte gespeichert werden. Zellknoten Finites Volumen Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 3

4 Finite - Volumen - Methode! Das Rechengebiet wird in nicht überlappende Bereiche (= finite Volumina) unterteilt.! Jedem Kontrollvolumen ( KV ) wird ein Knoten zugeordnet, an welchem die diskreten Werte gespeichert werden.! Die Erhaltungsgleichungen werden über die KV integriert t ϕ = Ψ t ϕ dv = Ψ dv! Volumenintegrale können mit dem Satz von Gauss in Oberflächenintegrale umgewandelt werden. Ψ dv = n Ψ ds = Ψ ds rechts Ψ ds links + Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 4

5 Finite - Volumen - Methode Impulserhaltungsgleichung in integraler Form:! Es werden Flüsse über die KV-Oberfläche S bilanziert! Zellknoten Finites Volumen Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 5

6 Finite - Volumen - Methode! Approximationsvorschriften werden zur numerischen Auswertung der Flüsse durch die Grenzflächen der Kontrollvolumina benötigt.! Zur Approximation der Feldgrößen Ψ an anderen Punkten als den Knotenpunkten (wo ja die Werte gespeichert sind) werden Interpolationsvorschriften verwendet.! Die diskretisierten Erhaltungsgleichungen werden für jedes KV ausgewertet.! Zusammen mit geeigneten Randbedingungen entsteht ein algebraisches Gleichungssystem, welches numerisch gelöst wird. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 6

7 Finite - Volumen - Methode Schwerpunkt dieser Vorlesung ist die notwendige zweifache Näherung:! Der Wert der Integrale über die KV-Oberflächen wird angenähert durch die diskreten Werte der Variablen an einer oder mehreren Zellwänden.! Die Werte an den Zellwänden werden angenähert als Funktion der Werte an den Zellknoten (KV Mitte). Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 7

8 Kompass Notation NW N NE W nw w n P ne e E EE sw s se SW S SE Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 8

9 Oberflächenintegrale! Mittelpunktsregel (2 ter Ordnung): Tafel: Taylorreihe das Integral wird angenähert durch das Produkt des Integranden am Mittelpunkt der Zellfläche mit der Größe der Zellfläche : Mittelwert Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 9

10 Oberflächenintegrale! Trapezregel (2 ter Ordnung)! Simpson Regel (4 ter Ordnung) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 10

11 Volumenintegrale! Integration 2 ter Ordnung: Exakt wenn q konstant oder linear in V ist. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 11

12 Interpolation der Werte an den Zellwänden Für die Auswertung der im Impulssatz auftretenden Integrale wird Ψ an den Zellwänden benötigt. diese werden bestimmt durch: räumliche INTERPOLATION Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 12

13 Interpolation der Werte an den Zellwänden! Upwind Interpolation (Upwind Differencing Scheme - UDS): W P e E Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 13

14 Interpolation der Werte an den Zellwänden! Lineare Interpolation (Central Differencing Scheme - CDS): Interpolationsfaktor : W P e E Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 14

15 Interpolation der Werte an den Zellwänden! Taylorreihenentwicklung:! Abbruchfehler E des UDS-Verfahrens : E UDS ist proportional zur Gitterweite (x e -x p ), d.h. es handelt sich um ein Verfahren 1. Ordnung. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 15

16 Abbruchfehler Numerische Diffusion! Beispielbetrachtung des Abbruchfehlers für UDS anhand der Advektionsgleichung (Transportgleichung):! Welchen Einfluss hat der Diskretisierungsfehler auf die ursprünglich zu lösende Differentialgleichung? Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 16

17 Abbruchfehler Numerische Diffusion! Entwicklung von u in eine Taylorreihe: n u +1 i = u n i + Δt u t + Δt 2 2 n u i 1 = u n i Δx u x + Δx u t u x 2 + n Zeitpunkt i - Gitterpunkt Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 17

18 Abbruchfehler Numerische Diffusion! Entwicklung von u in eine Taylorreihe.! Mit der Upwind-Vorschrift bei u>0 erhalten wir für die Ableitungen: n Zeitpunkt i - Gitterpunkt Fehler numerische Vorschrift was wir eigentlich berechnen wollten Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 18

19 Abbruchfehler Numerische Diffusion! Einsetzen in die Differentialgleichung liefert: u t + u u x = 0 n u +1 n i u i + u u n n i u i 1 Δt 2 u Δt Δx 2 t + u Δx 2 u = x 2 Abbruchfehler! Die Vernachlässigung des Abbruchfehlers im Lösungsprozess liefert die diskretisierte Gleichung: Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 19

20 Abbruchfehler Numerische Diffusion! Modifizierte Differentialgleichung! Weitere Umformung ergibt:! Der Abbruchfehler der hier verwendeten numerischen Vorschrift hat den selben Charakter wie ein Diffusionsterm und wird daher auch numerische Diffusion genannt. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 20

21 Abbruchfehler Numerische Diffusion Abbruchfehler = numerische Diffusion! Der Abbruchfehler kommt allein durch das numerische Diskretisierungsschema zustande und hat im allgemeinen nichts mit der Gleichung zu tun. Daher ist es wichtig, die Diskretisierung passend zur zu lösenden Differentialgleichung zu wählen.! Ein numerisches Verfahren ist instabil, wenn die numerische Viskosität negativ ist. -> Stabilitätskriterium für maximal erlaubten Zeitschritt Δt Δx / u -> Maximale Genauigkeit bei maximalem Zeitschritt, Stabilität vorausgesetzt. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 21

22 Abbruchfehler Numerische Diffusion! für eine Diffusionsgleichung, die bereits einen Term 2. Ableitung im Raum besitzt, wird bei entsprechender Vorgehensweise ebenfalls zur Grundgleichung eine numerische Dissipation hinzukommen, die zu einer effektiven Verringerung der Reynoldszahl im numerischen Verfahren führt.! Die effektiv berechnete Lösung kann als die einer geringeren Reynoldszahl entsprechende Strömung interpretiert werden. Re = ul ν Re effektiv = ul ν + ν N Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 22

23 Abbruchfehler Numerische Diffusion CFX mit UDS CFX mit CDS Unterexpandierter Überschall-Freistrahl. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 23

24 Abbruchfehler für lineare Interpolation Lineare Interpolation (Central Differencing Scheme - CDS): Interpolationsfaktor :! Taylorreihenentwicklung: Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 24

25 Abbruchfehler für lineare Interpolation Umformung und Einsetzen ergibt: Verfahren 2 ter Ordnung (für gleichförmige sowie nicht-gleichförmige Gitter) Abbruchfehler: E CDS ist proportional zur (Δx) 2 Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 25

26 Numerische Diffusion vs. Dispersion UDS CDS Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 26

27 Anmerkung zum Diskretisierungsfehler Schemata höherer Ordnung: - versprechen genauere Lösungen bei gleichem Gitter - führen zu sehr großen Differenzensternen P - einfach für explizite Methoden - aufwändig/teuer für implizite Methoden Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 27

28 Anmerkung zum Diskretisierungsfehler! Ein Verfahren mit hoher Fehlerordnung bedeutet nicht automatisch auch kleiner Fehler.! Die Angabe bezieht sich auf die Konvergenzrate bei Gitterverfeinerung: log E 1. Ordnung UDS 2. Ordnung Zentrale Differenz geringe Auflösung große Gitterweite hohe Auflösung kleine Gitterweite Anzahl Gitterpunkte Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 28

29 Interpolation in ANSYS-CFX! 1 st order Upwind Differencing Scheme (UDS)! 2 nd order Central Differencing Scheme (CDS)! 1 st -2 nd order blend factor (UDS <-> CDS, 0 β 1)! High-Resolution Scheme (automatische lokale Anpassung von β) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 29

30 Gradient an den Zellwänden! Für die Auswertung der diffusiven Terme der zellgemittelten Erhaltungsgleichungen werden auch die Gradienten von Ψ an den Grenzen des KV benötigt.! Ansatz entsprechend zentraler Differenzen (CDS) da dies dem Charakter der Diffusion am besten entspricht.! Aus der Taylor-Reihenentwicklung folgt:! Bei Vernachlässigung des Abbruchfehlers ergibt sich eine Approximation für die 1. Ableitung von Ψ Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 30

31 Gradient an den Zellwänden! Abbruchfehler: ~ Δx ~ Δx 2! Für nicht gleichförmige Gitter ist das Verfahren von 1. Ordnung, der dominante Fehlerterm ist proportional zu Δx! Für gleichförmige Gitter wird die Fehlerordnung um eine Stufe erhöht, wir erhalten ein Verfahren 2. Ordnung! Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 31

32 Gradient an den Zellwänden Was passiert bei der Verfeinerung eines nicht gleichförmigen Gitters? 1. Abstände zwischen den Zellen in gleich große Anschnitte teilen: -> Der erste Fehlerterm ist nur an den alten, aber nicht an den neuen Gitterpunkten vorhanden. -> Der globale Abbruchfehler wird nur geringfügig weniger reduziert, als in einem Verfahren 2. Ordnung. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 32

33 Gradient an den Zellwänden Was passiert bei der Verfeinerung eines nicht gleichförmigen Gitters? 2. Abstände zwischen den Zellen mit gleicher Streckung teilen : -> Die Streckung nimmt ab. -> Der erste Abbruchfehlerterm verringert sich schneller als der zweite Abbruchfehlerterm, wir erhalten somit ein Verfahren 2. Ordnung. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 33

34 Gradient an den Zellwänden Was passiert bei der Verfeinerung eines nicht gleichförmigen Gitters? -> Systematische Gitterverfeinerung auf nicht gleichförmigen Gittern kann die selbe Rate der Reduzierung des Abbruchfehlers ergeben wie die Verfeinerung auf gleichförmigen Gittern! Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 34

35 Instationäre Probleme

36 Instationäre Probleme! bei instationären Problemen muss eine 4. Dimension diskretisiert werden -> ZEIT! instationäre Probleme sind parabolisch in der Zeit (kein Rückwärts-Einfluss )! instationäre Probleme sind Anfangsrandwertprobleme (Anfangswertproblem AWP und Randwertproblem RWP)! für die Zeitdiskretisierung können analoge Techniken wie für die Ortsdiskretisierung verwendet werden Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 36

37 Instationäre Probleme Gewöhnliche DGL: Ziel: Finden der Lösung φ einen kurzen Zeitpunkt Δt nach t 0 Um die Lösung bei t n =t 0 +nδt zu berechnen, wird iterativ die Lösung bei t n-1 =t n -Δt als Startwert verwendet. Lösung: Integration umstellen Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 37

38 Instationäre Probleme Numerische Lösung des Integrals: Euler vorwärts (explizit): f (1. Ordnung) Euler rückwärts (implizit) : f t 0 t 0 +dt t (1. Ordnung) t 0 t 0 +dt t Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 38

39 Instationäre Probleme Mittelpunktsregel (implizit): f (2. Ordnung) Trapezregel (implizit): t 0 t 0 +dt t f (2. Ordnung) alle Verfahren geben gute Lösungen bei kleinen Δt t 0 t 0 +dt t Ordnung des Verfahrens besagt, wie schnell der Abbruchfehler gegen null geht, wenn Δt klein genug ist klein genug ist vom Verfahren und dem Problem abhängig Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 39

40 Eigenschaften expliziter Verfahren! keine weitere Iteration erforderlich! einfach zu implementieren! geringer Speicherbedarf! instabil bei größeren Zeitschritten! Zeitschrittbegrenzung abschätzten mittels Stabilitätsanalyse Courant-Friedrichs-Levy (CFL), siehe GNSM Vorlesung -> Zeitschritt muss der Strömung und der räumlichen Gitterweite angepasst werden! Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 40

41 Eigenschaften impliziter Verfahren! implizite Methoden: Werte von φ zur Zeit t>t 0 werden benötigt -> Integrale können nur iterativ gelöst werden! schwieriger zu programmieren! größerer Speicheraufwand! i.d.r. unbedingt stabil bei größeren Zeitschrittweiten als explizite Verfahren.! der höhere numerische Aufwand pro Zeitschritt (Iterationen) wird oftmals durch die Möglichkeit größerer Zeitschritte ausgeglichen. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 41

42 Prädiktor-Korrektor-Methoden! Kombination aus expliziten und impliziten Verfahren! die Lösung zum neuen Zeitpunkt wird mit einem Eulerzeitschritt vorhergesagt (Prädiktor):! Lösung wird korrigiert durch Anwendung des Prädiktors in der impliziten Trapezregel (Korrektor):! Limit: Fehlerordnung 2! Vielzahl an verschiedenen Varianten Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 42

43 Verfahren höherer Ordnung! zum Erzielen einer höheren Genauigkeitsordnung sind weitere Stützstellen erforderlich! diese können entweder Punkte sein, an denen die Lösung bereits zu früheren Zeitpunkten bestimmt wurde Mehrschritt-Verfahren! oder zusätzliche Punkte zwischen t n und t n+1, welche nur für numerische Zwecke verwendet werden Runge-Kutta-Verfahren! beliebige Genauigkeitsordnung ist erzielbar Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 43

44 Mehrschrittverfahren! Interpolationspolynom durch f(t,φ) zu verschiedenen Zeitpunkten! Adams-Bashforth-Verfahren (explizit) ϕ n +1 = ϕ n + Δt [ f (t,ϕ n n ) 16 f (t n 1,ϕ n 1 ) + 5 f (t n 2,ϕ n 2 )] (3. Ordnung)! Adams-Moulton-Verfahren (implizit) ϕ n +1 = ϕ n + Δt [ 12 5 f (t,ϕ n +1 n +1 ) + 8 f (t n,ϕ n ) f (t n 1,ϕ n 1 ) (3. Ordnung) ]! Oder z.b. Adams-Bashforth-Verfahren als Prädiktor und Adams- Moulton-Verfahren als Korrektor! Problem: andere Methoden sind erforderlich, um die Simulation zu starten Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 44

45 Runge-Kutta-Verfahren! Hilfspunkte zwischen t n und t n+1 werden verwendet! z.b. Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung: Prädiktorschritt für n+1/2 (Euler explizit) Korrektorschritt (Mittelpunktsregel)! leicht zu implementieren! selbst startend! große Ähnlichkeit zu den Prädiktor-Korrektor-Methoden Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 45

46 Lokaler vs. physikalischer Zeitschritt! Die maximal erlaubte Zeitschrittweite ist Δt physikalisch und numerisch limitiert.! Die Lösung darf sich physikalisch nicht schneller ausbreiten als dies durch den Einflussbereich der numerischen Diskretisierung abgebildet werden kann, sonst Instabilität bei expliziten Zeitschrittverfahren:» Einflussbereich: h ( Gitterweite)» Signalgeschwindigkeit: S = u + c (kompressibel) S = u (inkompressibel)» Max. Zeitschritt: Δt min( h / S )! Der erlaubte (physikalische) Zeitschritt wird oft durch die kleinste Zelle bestimmt und kann daher sehr klein sein.! Konvergenz zu stationärer Lösung kann durch lokalen Zeitschritt enorm beschleunigt werden: Δt = Δt(x) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 46

47 Lokaler vs. physikalischer Zeitschritt Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 47

48 Lokaler vs. physikalischer Zeitschritt! Auskonvergiertes stationäres Ergebnis ist identisch, wird aber mit lokalem Zeitschritt viel schneller erreicht.! Transiente ist bei lokalem Zeitschritt unphysikalisch. Animation daher Vorsicht: Unzureichend konvergiertes Ergebnis ist ebenfalls unphysikalisch!! Lokaler Zeitschritt wird oft als Beschleuniger für sogenannte Duale Zeitschrittverfahren eingesetzt. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 48

49 Duales Zeitschrittverfahren! Zeitableitung wird aufgeteilt in» einen impliziten Teil mit (großer) physikalischer Zeitschrittweite Δt» einen Pseudozeit-Anteil mit lokaler Zeitschrittweite Δτ ϕ t ϕ = f (ϕ (t)) lim τ τ = ϕ + f (ϕ (τ )) t! Diskretisierung mit Euler implizit für die physikalische Zeit und Euler explizit für die Pseudozeit: ϕ (τ + Δτ ) ϕ (τ ) lim Δτ τ Und Iteration bis Konvergenz zu stationärer Lösung in τ. Für die gesuchte Lösung gilt ϕ (t + Δt) ϕ (t) = Δt + f (ϕ (τ )) ϕ (t + Δt) ϕ (τ + Δτ ) ϕ (τ ) f (ϕ (τ )) f (ϕ (t + Δt)) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 49

50 Instationäre Probleme mit CFX Zeitdiskretisierung in ANSYS CFX:! Euler implizit 1. Ordnung! Euler implizit 2. Ordnung Es gibt (fast) immer ein Resultat! Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 50

51 Linearisierung

52 Linearisierung! Die Navier Stokes Gleichungen sind ein System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen! Viele wichtige Phänomene, wie beispielsweise die Interaktion von Wirbeln und die Entstehung von Turbulenz, beruhen auf der quadratischen Nichtlinearität. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 52

53 Linearisierung! Bei impliziten Zeitintegrationsschemata wird meist eine linearisierte Form der Navier-Stokes-Gleichungen gelöst.! Möglichkeiten der Linearisierung der quadratischen Nichtlinearität: (1) u n+1 u n+1 u n u n+1 -> Fehler (u n+1 - u n ) u n+1 = O(Δt) (2) u n+1 u n+1 2 u n u n+1 - u n u n -> Fehler (u n+1 - u n ) 2 = O(Δt 2 ) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 53

54 Beispiel

55 Beispiel 1D Diffusions-Konvektionsgleichung Euler implizit Zentrale-Differenzen Approximation + äquidistantes Gitter diskretisierte Gleichung: Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 55

56 Beispiel diskretisierte Gleichung Lösung ϕ n +1 ist implizit gegeben durch n +1 Δt u 2Δx Δt Γ n Δx 2 +ϕ +1 i 1+ 2Δt Γ Δx 2 +ϕ i+1 ϕ i 1 n +1 Δt u 2Δx Δt Γ n Δx 2 = ϕ i Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 56

57 Algebraische Gleichung! Aufsummieren der konvektiven und diffusiven Flüsse liefert ein algebraisches Gleichungssystem: Matrix Struktur für 5 x 5 Netz» für jede Transportgleichung folgt in jedem Gitterpunkt eine algebraische Gleichung» Index P Punkt an dem die DGL approximiert wurde» Index I läuft über alle Knoten die in die Formulierung eingebunden sind» Koeffizienten A i abhängig von der Geometrie und den Fluideigenschaften» Koeffizient Q P enthält alle bekannten Terme Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 57

58 Randbedingungen

59 Randbedingungen Einströmrand Ausströmrand P Wand! NSG -> System von DGL > Anfangsproblem + Randwertproblem! nur bei Vorgabe der erforderlichen AB und RB kann die Lösung eindeutig sein Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 59

60 Randbedingungen Möglichkeiten: 1.) Dirichlet Randbedingung: abhängige Variable (Ψ) auf dem Rand vorgeben ; z.b. Randtemperatur 2.) Neumann Randbedingung: Gradient (dψ/dn) der abhängigen Variable vorgeben ; z.b. Wärmestromdichte 3.) Robbin Randbedingung (gemischte RB): Wärmestromdichte mittels Wärmeübergangskoeffizienten α und Umgebungstemperatur T angeben 4.) Berandung so wählen, dass die abhängige Variable an den Rechenfeldgrenzen periodisch wiederkehrt ( periodische Randbedingungen ) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 60

61 Randbedingungen (Wand)! Haftbedingung (Dirichlet RB): konvektive Flüsse durch die Wand sind NULL! Viskose Spannungen: Haftbedingung plus Inkompressibilitätsbedingung Viskose Normalspannungen werden NULL: Übrig bleiben nur Tangentialspannungen. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 61

62 Randbedingungen (Wand)! Schubspannung durch einseitige Differenz annähern:! Alternative: Diffusive Flussterme werden mit Wandmodell als Quellterm vorgegeben. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 62

63 Randbedingungen (Symmetrie)! Schubspannung wird NULL! Normalspannung NULL Diffusiver Fluss in x 1 -Bilanz ist NULL Diffusiver Fluss in x 2 -Bilanz wird approximiert durch: Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 63

64 Randbedingungen Beispiel:! Einlass: Dirichlet Randbedingung -> Ψ ist gegeben! Auslass: Neumann Randbedingung -> dψ/dn=0! Wand: Konvektive Flussterme werden zu NULL Diffusive Flussterme werden durch Wandmodell als Quellterm vorgegeben. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 64

65 Algebraische Gleichung! Aufsummieren der konvektiven und diffusiven Flüsse liefert ein algebraisches Gleichungssystem: Matrix Struktur für 5 x 5 Netz» für jede Transportgleichung folgt in jedem Gitterpunkt eine algebraische Gleichung» Index P Punkt an dem die DGL approximiert wurde» Index I läuft über alle Knoten die in die Formulierung eingebunden sind» Koeffizienten A i abhängig von der Geometrie und den Fluideigenschaften» Koeffizient Q P enthält alle bekannten Terme Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 65