Astrophysikalsiches Numerikum: Gewöhnliche Differentialgleichungen am Beispiel Weißer Zwerge

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1 Astrophysikalsiches Numerikum: Gewöhnliche Differentialgleichungen am Beispiel Weißer Zwerge A. Schweitzer Wintersemester 2005/06 Links, Literatur und weitere Informationen Die Numerical Recepies sind online auf Ein Compiler zum Nachvollziehen ist auf erhältlich. Webseiten zur Veranstaltung sind G.E. Forsythe, M.A. Malcolm, C.B. Moler Computer Methods for Mathematical Computations, 1977, Prentice Hall (älter aber neben Numerical Recepies empfehlenswert) 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen Differentialgleichungen geben einen Zusammenhang zwischen einer oder mehreren unabhängigen Variablen (x) und einer oder mehreren abhängigen Variablen (y) an. Bei einer unabhängigen Variablen spricht man von gewöhnlichen Differentialgleichungen (engl. Ordinary Differential Equation). Einfachste Form: y = f(y, x) Mit einer Lösungsschar y(x, C) C = Integrationskonstante Aus der Lösungsschar wird durch ein Anfangs- oder Randwert eine eindeutige Lösung: y(x 0 ) = y 0 Bem.: Als Gegensatz dazu: Partielle Differentialgleichungen: ( y f, y,..., y ), y, x 1, x 2,..., x n = 0 x 1 x 2 x n 1

2 Allgemeinere Form: y = f( y, x) Mit dementsprechend vielen Anfangs- oder Randwerten: Dies schließt höhere Ordnungen ein: y(x 0 ) = y 0 u = g(u, u, t) z = g(u, z, t) u = z d.h. höhere Ordnungen brauchen mehr Anfangs- oder Randwerte. 1.1 Numerisches Lösen Zur numerischen Findung einer konkreten Lösung für einen konkreten Anfangswert wird die unabhängige Variable diskretisiert. Diskretisierung: x 0, x 1,..., x n, x n+1,... mit y 0, y 1,..., y n, y n+1... Variable Schrittweite wird auch oft genutzt: Allgemeine Anforderungen: h n = x n+1 x n Kleine Fehler d.h. Numerische Fehler müssen niedrig sein (Oder zumindest abschätzbar) Geringe Kosten d.h. die Methode sollte effizient sein (Oder zumindest die Rechenzeit abschätzbar) Eine direkte naive Implementation ist eine einfache Integration ausgehend von y 0 und x 0, die sich entlang des Gitters x n mit Schrittweite h n entlanghangelt: bzw. = Euler Methode Aber: i.a. instabil! y(x 1 ) y 0 + h 0 f(y 0 ), x 0 ) y n+1 y n + h n f(y n ), x n ) Bei numerischen Berechnungen treten Fehler auf. Diese sind Diskretisierungsfehler, d.h. durch die Wahl der x n hervorgerufen. 2

3 Abbildung 1: Das Prinzip der Euler Methode und wie sie durch die Lösungsschar durchwandern kann. Aus Forsythe, Malcolm, Moler. Rundungsfehler d.h. dadurch das fast keine rationale Zahl korrekt in einem Computer gespeichert werden kann. Fehlerabschätzung: bei manchen Methoden analytisch berechenbar erlaubt i.a. die Anpassung von h um den Fehler zu minimieren Weitere Verfahren: Taylor-Reihen basiert Euler = 1. Term der Taylor Reihe. Auch höhere Ordnungen möglich. Die Genauigkeit verbessert sich aber nur in Spezialfällen. Multistep Methoden Die Euler Methode nutzt nur einen Schritt aus der Vergangenheit. Durch Hinzunahme mehrerer Schritte y n 1, y n 2... kann die Genauigkeit erhöht werden. Der Rechenaufwand erhöht sich aber auch. Je nachdem, ob Werte y n 1 oder y n+1 verwendet werden spricht man von Corrector oder Predictor Methoden. In letzte Kategorie fallen auch Extrapolationsmethoden. 1.2 Die Runge Kutta Methode Wird für die Integration y n+1 = y n + x+h x f (y(ξ), ξ) dξ

4 das Integral über die Simpson Regel ausgedrückt erhält man die Klassische Runge-Kutta Methode 4ter Ordnung: wobei: y n+1 = y n (k 0 + 2k 1 + 2k 2 + k ) k 0 = hf(y n, x n ) ( k 1 = hf y n k 0, x n + h ) 2 ( k 2 = hf y n k 1, x n + h ) 2 k = hf(y n + k 2, x n + h) Zum einen kann man diesen Ausdruck als Näherung für eine Taylor-Reihe interpretieren. Zum anderen lassen sich auch andere Näherungen für das Integral nutzen, und Runge-Kutta Methoden anderer Ordnungen herleiten. Vorteile: Aber: für sehr viele Probleme sehr stabil nur y n, d.h. y 0 muss bekannt sein h kann jederzeit neu gesetzt werden Fehlerabschätzung nicht direkt möglich keine Kontrolle über h n möglich Verbesserungen. z.b. von Fehlberg: es werden RK 4ter und 5ter Ordnung verglichen Fehlerabschätzung mind. 4 Funktionsauswertungen pro Schritt (bei Verbesserungen noch mehr) 2 Weiße Zwerge Weiße Zwerge Endstadium massearmer Sterne M = 0.58M g R = 0.012R cm ρ g cm T c K d.h. e -Gas ist entartet, (Ionengas nicht!) 4

5 2.1 Der Aufbau Weißer Zwerge Weiße Zwerge lassen sich genau wie Sterne als Gaskugeln beschreiben, die u.a. der Hydrostatik genügen müssen. Für Sterne gilt allgemein: i.a. ist aber noch dm dr = 4πr2 ρ wenn aber T bekannt, konstant, oder z.b. Massengleichung dp dr = Gm r 2 ρ Druckgleichung ρ = ρ(p, T ) P = Kρ γ hat man 2 Gleichungen für 2 Funktionen (P, m) Polytrop Für entartete Gase gilt, je nachdem ob relativistisch oder nicht: P e = 1 20 P e = 1 8 ( ) 2 ( ) h 2 5 ρ = (ρ) 5 π m e m 5/ [cgs] u µ e ( ) 1 ( ) 4 hc ρ = (ρ) 4 π mu 4/ [cgs] µ e d.h. Weiße Zwerge sind Polytrope mit Exponenten 5 oder Polytrope Lösungsverfahren: i.a. für skalierte Polytrope erhält Lösungsfunktionen und deren Eigenschaften (v.a. Nullstellen) erhält daraus Randwerte (R, ρ c, M,...) des Objekts Durch skalieren in dimensionslose Größen: r = r/r d m = m/m d ρ = ρ/ρ(0)) und Ausnutzung der Zustandsgleichung wird das Gleichungssystem: dρ dr dm dr = A m ρ(2 γ) r 2 (1) = Br 2 ρ (2) 5

6 mit A = Gρ(0)M d p(0)γr d und B = 4π R d ρ(0) M d Für das DGL können o.b.d.a. die Skalierungskonstanten so gewählt werden, dass A = B = 1 Außerdem sind in diesem Fall die Anfangsbedingungen: m(0) = 0, ρ(0) = 1 Der Radius ist jetzt als erste Nullstelle von ρ definiert ρ(r 0 ) = 0: R s = r 0 R d () m an dieser Nullstelle ist dann M 0 = m(r 0 ) und somit die Sternmasse Für die Skalierungen galt und für die Zustandsgleichung: M s = M 0 M d (4) Gρ(0)M d p(0)γr d = 1 (5) 4π R d ρ(0) M d = 1 (6) p(0) = const (7) ρ(0) γ d.h. 5 Gleichungen (-7) für 6 Unbekannte, d.h. 1 Parameter (z.b. Sternmasse) Aufgabe Bem.: Die solver sind auf der Homepage zur Veranstaltung zu finden. 1. Lösen Sie mit dem einfachsten solver (rka.f) das Differential-Gleichungs-System für polytrope Sterne (1,2) für γ = 2. Integrieren Sie bis ρ(r) 0. Das Ergebnis sollte ρ = sin(r)/r sein. 2. Lösen Sie die DGL für γ = 5/. Ersetzen Sie den einfachen solver (rka.f) durch einen der verbesserten solver (rkf45.f oder drkf.f). 4. Aus der numerisch bestimmten Nullstelle r 0 und M 0 lässt sich jetzt entweder mit einem M s und R s überprüfen, ob p(0) = const wie in der entarteten Zustandsgleichung ρ(0) γ gilt (einfach) oder mit M s und p(0) = const lässt sich der Radius des Weißen Zwergs ρ(0) γ berechnen (etwas Algebra). 5. Lösen Sie die DGL für γ = 4/. Vergleichen Sie das Ergebnis mit (b) 6