Computersimulation & Mehrkörperproblem

Transkript

1 Fleischmann/Gattringer/Hösch/Lukic WAP 00/03 Computersimulation & Mehrkörperproblem Eine Einführung in die Lösung des Mehrkörperproblems mittels Computersimulation Gerwin Fleischmann Daniel Gattringer Sabine Hösch Simo Lukic

2 Fleischmann/Gattringer/Hösch/Lukic WAP 00/03 Was ist Computersimulation? Nachbildung eines (möglicherweise) in der Realität orkommenden Szenarios mit Hilfe des Computers unter Anwendung eines Mathematischen Formelwerks und/oder Algorithmen die den zu simulierenden Vorgängen so genau wie möglich entsprechen Wozu wird eine Computersimulation erwendet? Die reale Welt am Computer nachbilden Verhalten on Objekten orhersagen Tests mit realen Objekten ermeiden um Kosten zu sparen Erkenntnisse über Naturwissenschaftliche Vorgänge gewinnen, die mit anderen Methoden nicht problemlos untersuchbar sind. (Astronomie, Thermodynamik, Vorgänge in molekularen und atomaren Bereichen) Im Falle des Mehrkörperproblems: Es ist keine allgemeine Lösung zur Berechnung der Bahnen on mehr als 3 Körpern bekannt.

3 Fleischmann/Gattringer/Hösch/Lukic WAP 00/03 3 Das Graitationsgesetz Die Graitationskraft zwischen zwei Körpern ist definiert als: = d m m G F Aus dieser Gleichung läßt sich die Beschleunigung eines Körpers berechnen: * = = d m m G a m F Nimmt man die Position der Bezugsmasse m mit 0 an, kann man schreiben: 3 / * * r m x G a =,wobei x die Position des Körpers ist.

4 Fleischmann/Gattringer/Hösch/Lukic WAP 00/03 4 Einfacher Algorithmus zum Berechnen der Positionsänderungen Es wird orrausgesetzt, dass für einen Zeitpunkt t 0 folgendes bekannt ist : Initiale Geschwindigkeit und Position, die Masse, und der Abstand zum Referenzkörper Durch die erwähnte Formel erhält man den aktuellen Beschleunigungsektor: a = G * x * m r / 3 Wählt man einen endlich kleinen Zeitraum t läßt sich die Geschwindigkeit berechnen: = + t * a Wodurch es uns möglich wird, die neue Position des Körpers zu ermitteln: p = p + t * Wiederholt man diese Schritte, erhält man eine relati genaue Simulation der Körperbewegungen.

5 Fleischmann/Gattringer/Hösch/Lukic WAP 00/03 5 Integrationserfahren, Einzelschritt und Mehrschritterfahren, Schrittweitenregulierung Integrationserfahren Problem: Bewegung im Zeitraum t ist geradlinig, es entsteht ein Fehler t kann nicht unendlich klein werden, Rechenleistung ist beschränkt Bsp.: Mill. Jahre, Simulation schafft 4hr/sec Benötigt:,57 Jahre! fi Verwendung on Verfahren die den Fehler erringern Schrittweitenregulierung Problem: Bewegt sich ein schneller Körper an einem sehr massereichen orbei, steigt seine Geschwindigkeit enorm, was zur Folge hat, dass sich durch den größeren Weg, den der Körper zurücklegt auch der Fehler ergrößert wird! Deshalb: t bei hoher Beschleunigung erringern

6 Fleischmann/Gattringer/Hösch/Lukic WAP 00/03 6 Einzelschritterfahren Es wird immer nur die aktuelle Position für die Berechnung herangezogen Euler Methode Taylor Reihen Runge Kutta Methode Mehrschritterfahren Es werden orangegangene Positionen zur Berechnung herangezogen Modifizierte Taylor Reihen Adam Bashford s Methode Predictor Corrector und andere Verfahren Adam Moulton s Methode Gragg Bulirsch Stoer Methode

7 Fleischmann/Gattringer/Hösch/Lukic WAP 00/03 7 Beispiele () ) Umlaufbahn eines Planeten bei zu großer Schrittweite

8 Fleischmann/Gattringer/Hösch/Lukic WAP 00/03 8 Beispiele ().) Umlaufbahn eines Planeten im Doppelsternsystem.) Planet wird aus Doppelsternsystem geschleudert

9 Fleischmann/Gattringer/Hösch/Lukic WAP 00/03 9 Algorithmen zur Kräfteberechnung zwischen n-körpern Eine Masse wird on allen anderen Massen im System beeinflusst Die Beschleunigung, bzw. Graitationskraft relati zu allen anderen Körpern summiert sich: a j = n i= i j G * x j * m i /( x j x i 3 ) (i, j Ι, Ι...Indexmenge der Körper) Es folgt daraus: Jeder Körper muss die Graitation zu jedem anderen, ausser sich selbst berechnen. Es ergibt sich ein Rechenaufwand on (n*(n-))/ = O(n ) Für die Berechnung mit extrem ielen Körpern (Sternenhaufen, Galaxien,...) hat dieser Aufwand enorme Auswirkungen. Es ist nötig bessere Methoden zur Lösung des Mehrkörperproblems zu finden

10 Fleischmann/Gattringer/Hösch/Lukic WAP 00/03 0 Bekannte Algorithmen zur Minimierung des Rechenaufwands Particle Particle Particle Mesh Particle - Particle / Particle Mesh Tree - Code Top Down Tree - Code Bottom Up Fast - Multipole Method Tree - Code Particle Mesh Self - Consistent Field Sympletic Method

11 Fleischmann/Gattringer/Hösch/Lukic WAP 00/03 Zentrale Masse Weit entfernte Sterne können in einem Massenzentrum zusammengefasst werden Stern Massenzentrum Gleichzeitige Bewegung on nahen Körpern Doppelsternsysteme die einen elliptischen Orbit besitzen, können in einem Schritt bewegt werden

12 Fleischmann/Gattringer/Hösch/Lukic WAP 00/03 Quellerzeichnis / Literaturhinweise Montenbruck, O. Sterne und Weltraum - Grundlagen der Ephemeridenrechnung (München, Verlag Sterne und Weltraum, 987) (Joshua Edward Barnes, Hawaii) (Los Alamos National Laboratory, Theoretical Astrophysics (T-6)) (Wayne Schlitt, Unix) Februar 3, 000 Programme Simulationen (Andreas Kollmer, DOS) DeepSail (Gerhard Holtkamp, 00, Freeware, Win3) ParticleViewer ( Peter Teuben, Stuart Le, 00, Unix) StarLab ( Piet Hut (IAS, Princeton) et. al, Unix)