Möglichkeiten der numerischen Lösung der Navier-Stokes- Gleichungen am Beispiel einer inkompressiblen Strömung über eine rückspringende Stufe

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1 Möglichkeiten der numerischen Lösung der Navier-Stokes- Gleichungen am Beispiel einer inkompressiblen Strömung über eine rückspringende Stufe Dr. rer. nat. Frank Morherr Bingen,

2 Die Navier-Stokes-Gleichungen Claude Louis Marie Henri Navier Geboren 1785 in Dijon Ingenieurstudium an der École Polytechnique, Freundschaft mit seinem Lehrer Fourier Betont die Bedeutung der Mathematik und Physik für das Ingenieurstudium Arbeiten u.a. über Flüssigkeiten, Eisenbahn, Konstruktion von Hängebrücken Gestorben 1836 in Paris George Gabriel Stokes Geboren 1819 in Skreen, Irland in ärmlichen Verhältnissen. Vater und alle Brüder Pfarrer, Mutter Pfarrerstochter mit 18 J. Studium an der Universität Cambridge mit 23 J. On the steady motion of incompressible fluids mit 30 J. Lucasian Professor in Cambridge. Übt großen Einfluss auf Maxwell aus. Gestorben 1903 in Cambridge

3 Die Navier-Stokes-Gleichungen

4 Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

5 Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

6 Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

7 Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

8 Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

9 Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

10 Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

11 Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

12 Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

13 Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

14 Anfangsbedingungen

15 Anfangsbedingungen

16 Computational Fluid Dynamics (CFD) numerische Strömungsmechanik (computational fluid dynamics, CFD) ist Methode der Strömungsmechanik Ziel: strömungsmechanische Probleme approximativ mit numerischen Methoden zu lösen Benutzte Modellgleichung: Navier-Stokes-Gleichungen, Euler-Gleichungen oder Potentialgleichungen wichtige Probleme wie zum Beispiel die Berechnung des Widerstandsbeiwerts und andere Simulationen führen sehr schnell zu nichtlinearen Problemen, die nur in Spezialfällen exakt lösbar sind Die numerische Strömungsmechanik ist kostengünstige Alternative zu Versuchen im Windkanal oder Wasserkanal Experimentelle Untersuchungen sind nicht bei allen Strömungen möglich zu heiß, chemisch aggressiv Strömungssensoren können Messergebnisse verfälschen Berührungslose Strömungstechniken nicht immer einsetzbar

17 Numerische Methoden Navier-Stokes Gleichungen sind nur in Spezialfällen analytisch lösbar numerische Approximation der Lösung Benutzung von Diskretisierungsmethoden, mit denen die Differentialgleichungen durch ein System von algebraischen Gleichung approximiert werden können, welches auf einem Computer gelöst werden kann Finite Differenzen (FD) Finite Volumen Methoden (FVM) Finite Elemente Methoden (FEM)

18 Numerische Methoden, Eigenschaften Konvergenz: Diskrete Lösung konvergiert gegen die exakte Lösung, wenn die Gitterabstände gegen Null gehen Lax Äquivalenzsatz (for lineare Probleme): Der Satz bedeutet, dass die erwünschte Konvergenz der Lösung der Finite-Differenzen-Methode für die Lösung der partiellen Differentialgleichung nur sehr schwer feststellbar ist, da die numerische Lösung rekursiv definiert ist. Jedoch ist die Konsistenz der Methode, d.h. dass die numerische Methode die Differentialgleichung approximiert, einfach zu überprüfen und Stabilität ist üblicherweise viel einfacher zu zeigen als die Konvergenz (dies würde ohnehin nachzuweisen sein, um zu zeigen, dass Rundungsfehler die Lösung nicht verfälschen). Daher wird Konvergenz üblicherweise über den Äquivalenzsatz gezeigt. Konsistenz + Stabilität = Konvergenz Für nichtlineare Probleme: Wiederholung der Rechnungen in sukzessive verfeinerten Gittern um sicherzustellen, dass die Lösung nicht von der Art des Gitters abhängt

19 Numerische Methoden, Gitter Gitter Strukturierte Gitter An alle Knoten stößt dieselbe Anzahl von Elementen Nur für einfache Gebiete Unstrukturierte Gitter Für alle Geometrien irreguläre Datenstruktur Block-strukturierte Gitter

20 Navier-Stokes-Gleichungen differentielle Form Zur Berechnung Umwandlung in integrale Form sinnvoller

21 Finite Volumen Methode Allgemeine Form der Navier-Stokes Gleichung t x i Ui xi Lokale zeitliche Änderung Fluss Quelle Finite Volumen I q 1,U j,t Integration über das Kontroll-Volumen(CV) V x i dv S n ds i Integrale Form der Navier-Stokes Gleichung V t dv Lokale Änderung In der Zeit im CV S U i nids xi Fluss durch die Oberfläche des Kontrollvolumens V q dv Quelle CV

22 Finite Volumen II Massenerhaltung in der Finite Volume Methode V S i i i V dv q n ds x U dv t A B A B

23 Finite Volumen III U P U E Approximation der Volumen-Integrale V i m dv V; V i P dv S i p P ds k mu u dv u Approximation der Oberflächen-Integrale ( Mittelpunkts-Regel) P k S k V i i i P P k n, s, e, w V U e Interpolation Upwind U e U U P E if if ( U n) ( U n) e e 0 0 Central U e U E U (1 ) e P e e x x e E x x P P

24 Finite Volumen Methode Startpunkt: Integral-Form der stationären Transport-Gleichung Kontroll-Volumen CV

25 Approximation der Volumen-Integrale Einfachste Approximation: exakt falls q konstant oder linear ist Interpolation benutzt Werte von q an mehreren Punkten

26 Approximation der Oberflächen-Integrale Nettofluss durch den Rand des Kontrollvolumens CV ist die Summe der Integrale über die Seitenflächen Geschwindigkeitsfeld und Dichte werden als bekannt angenommen ist die einzige unbekannte Größe Wir betrachten z.b. die Seitenfläche nach Osten

27 Möglichkeiten der Approximation Werte von f an der Oberfläche die nicht bekannt sind Interpolation

28 Möglichkeiten der Interpolation Central Differencing Scheme (CDS) Lineare Interpolation zwischen nächsten Knoten zweite Ordnung kann oszillierende Lösungen produzieren Quadratic Upwind Interpolation (QUICK) Interpolation durch eine Parabel: drei Punkte sind notwendig P, E und Punkt in der vorhergehenden Seite g sind die Koeffizienten in den Termen der Knotenkoordinaten dritte Ordnung

29 Fluid-Element Infinitesimales Fluid-Element 6 Seitenflächen: Nord, Süd, Ost, West, Oben, Unten Fluidelement transportiert bei seiner Bewegung Erhaltungsgrößen wie Masse, Impuls, Energie von der ursprünglichen Lage in die neue Lage Systematisches Erfassen der Änderungen in der Masse, des Impulses und der Energie des Fluid-Elements durch den Fluss durch die Oberfläche und die Quellen im Innern des Elements Fluss-Gleichungen des Fluids Vorteil der FVM zur FDM und FEM: konvektive und diffusive Flüsse auf den Seitenflächen jeder Zelle werden im Rechengitter explizit ausgewertet

30 Integraldarstellung Transport-Gleichung Integration der Transport-Gleichung über ein Kontroll-Volumen Unter Benutzung des Gaußschen Satzes:

31 Diskretisierung der Kontinuitätsgleichung Ein Kontroll-Volumen apup anun asus aw uw aeue Gesamtes Gebiet a11 a12 a1 l u1 0 a21 a22 a23 a 2, l 1 u ak1... a l 1, n 1.. ak 1,2... al, n an 1, nk 1 an 1, n2 an 1, n1 a n1, n u n1 0 an, nk an, n1 ann un 0 0 Lineares Gleichungssystem zu lösen

32 Lösung des Linearen Gleichungssystems Direkte Methoden (nur sinnvoll bei dünner Besetzung) Gauß-Elimination LU-Zerlegung Tridiagonal-Matrix-Algorithmus (TDMA) Iterative Methoden (sinnvoll, da bei Strömungsproblemen oft keine dünne Besetzung) Jacobi-Methode Gauss-Seidel-Methode Sukzessive Over-Relaxation (SOR) Konjugierte-Gradienten-Method (CG) Mehrgitter-Methoden - wiederholte Anwendung eines einfachen Algorithmus - keine Garantie, dass das Verfahren konvergiert - nur Koeffizienten, die nicht Null sind, müssen gespeichert werden

33 Finite Volumen Diskretisierung der inkompressiblen Navier-Stokes Gleichung Mu h 0 duh C( uh) uh Duh Mqh 0 dt Zeitabhängigkeit Konvektion Diffusion Quelle (Zeit-Diskretisierung) Zeit-Diskretisierung du dt n1 h f f ( u ( u n h n h ), u n1 h ) Explizit Implizit

34 Diskretisierung der Zeit Für nichtstationäre Flüsse: Anfangswertproblem f diskretisieren und Finite-Volume-Methode verwenden Zeitintegration wie in einer gewöhnlichen Differentialgleichung Das Integral auf der rechten Seite wird numerisch ausgewertet.

35 Diskretisierung der Zeit Explizites Eulerverfahren: Ordnung Implizites Eulerverfahren: Ordnung Mittelpunktsmethode: explizit, Ordnung Crank-Nicolson-Methode (Trapezregel): implizit, Ordnung:

36 Randbedingugen Wand : kein Fluid dringt durch die Wände No-slip, Fluid ist an der Wand in Ruhe Free-slip, keine Haftung an der Wand Inflow (inlet): Konvektiver vorgeschriebender Fluss Outflow (outlet): Konvektiver Fluss unabhängig von den Koordinaten und senkrecht zum Rand Symmetrie (Rotationssymmetrie,Achsensymmetrie)

37 Typische Randbedingungen No-slip(Wand), axialsymmetrisch, Inlet, Outlet, periodisch Inlet,u=c,v=0 o r x No-slip walls: u=0,v=0 v=0, dp/dr=0,du/dr=0 Outlet, du/dx=0 dv/dy=0,dp/dx=0 Axialsymmetrisch Periodische Randbedingung in Spannweiten-Richtung eines Flügels

38 Zusammenfassung Finite Volumen Methode Die Finite-Volumen-Methode benutzt die Integralform der Transportgleichung Das Gebiet wird in Kontrollvolumina unterteilt (CV) Oberflächen- and Volumenintegrale werden durch ein numerisches Quadraturverfahren ausgewertet Interpolation wird benutzt, um die Werte von Variablen auf CV Seiten mit den Werten an den Knoten auszudrücken Das Resultat ist eine algebraische Gleichung in Kontrollvolumina Anwendbar für jede Art von Gitter Erhaltend durch Konstruktion Kommerzielle Programme: CFX, Fluent, Phoenics, Flow3D You Tube Video: Finite Volume Method (Control Volume Approach)

39 Beispiel einer rückspringenden Stufe mit ANSYS-FLUENT Konstruktion der Geometrie mit FLUENT oder anderen kompatiblen Programmen

40 Konstruktion der Geometrie und des Gitters Gittererzeugung mit FLUENT oder anderen kompatiblen Programmen

41 Simulationen mit Fluent

42 Diskussion und Probleme einer Simulation Die sich abgelöste Scherschicht stromab der Stufe weitet sich allmählich auf und legt sich wieder an die Kanalwand an Innerhalb des Rezirkulationsgebiets sind weitere sekundäre Strukturen zu erkennen, die physikalisch nicht zu begründen sind Unzureichende Beschreibung der Turbulenz im Rezirkulationsgebiet durch das gewählte Turbulenzmodell Der Wiederanlegepunkt A ergibt sich aus dem Nulldurchgang des Geschwindigkeitsprofils und kann sofort abgelesen werden

43 Simulation mit OpenFOAM In der Nähe der Stufe ergibt sich das dargestellte Geschwindigkeitsfeld. Abgelöste Scherschichtstromabwärts der Stufe legt sich wieder an die untere Kanalwand an Auch hier sind weitere Strömungsmuster im Rezirkulationsgebiet zu sehen Fazit Das mit DFD-Simulation ermittelte Strömungsfeld zeigt den erwarteten Verlauf mit der abgelösten, sich aufweitenden, freien Scherschicht Quantitativ weicht der numerisch ermittelte Wiederanlegepunkt um etwa 15% vom experimentell ermittelten Wert ab typischer Fehler für CFD-Simulationen mit Turbulenzmodellen ohne geeignete Anpassung der Modellkonstanten

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