14 Numerik hyperbolischer Differentialgleichungen

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1 Numerik II Numerik hyperbolischer Differentialgleichungen Während parabolische PDG Diffusionsvorgänge modellieren stellen hyperbolische PDG Modelle für Wellenphänomene dar. Wichtigste Anwendungsgebiete sind hier Akustik Elektromagnetik Seismik Optik Strömungsmechanik. Handelt es sich um die Ausbreitung kleiner Störungen, so sind die Gleichungen meist linear. 14 Numerik hyperbolischer Differentialgleichungen TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

2 Numerik II Die lineare Advektionsgleichung Wir betrachten hier das einfachste Modell einer hyperbolischen Gleichung, die lineare Wellengleichung erster Ordnung, und zwar zunächst das Cauchy-Problem mit einer Konstanten c. u t + cu x = 0, x R, t > 0, (14.1a) u(x, 0) = u 0 (x), (14.1b) Auch wenn die Lösung dieser Gleichung sicherlich keine Schwierigkeit darstellt, zumal die exakte Lösung u(x, t) = u 0 (x ct) bekannt ist, so lassen sich an dieser Gleichung einige typische Schwierigkeiten bei der numerischen Approximation hyperbolischer Gleichungen verdeutlichen Die lineare Advektionsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

3 Numerik II 258 Wir legen wieder ein Raum-Zeit-Gitter zugrunde. {(x j, t n ) : x j = j x, j Z; t n = n t, n N 0 } Naheliegendes explizites Schema: zentrale Differenz in x kombiniert mit explizitem Euler-Verfahren in t führt auf bzw. U n+1 j t U n j + c U n j+1 U n j 1 2 x = 0 U n+1 j = U n j c t 2 x (U n j+1 U n j 1). (14.2) Dieses Verfahren wird sich als unbrauchbar erweisen. Ersetzen von Uj n durch den Mittelwert 1 2 (U j 1 n + U j+1 n ) führt auf das Lax-Friedrichs-Verfahren U n+1 j = 1 2 (U n j 1 + U n j+1) c t 2 x (U n j+1 U n j 1). (14.3) 14.1 Die lineare Advektionsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

4 Numerik II 259 Wir werden sehen, dass (14.3) Lax-Richtmyer-stabil ist, sofern c t x 1. Dies gestattet insbesondere die Verwendung einer Zeitschrittweite t = O( x) Die lineare Advektionsgleichung TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

5 Numerik II Diskretisierung durch die Linienmethode Zur Formulierung einer ARWA für (14.1a) auf dem Intervall x (0, 1) ist eine Randbedingung an einem der beiden Randpunkte erforderlich. Im Fall c > 0 ist diese bei x = 0 erforderlich, etwa u(0, t) = g 0 (t), t 0. Der linke Rand heißt in diesem Fall Einströmrand (inflow boundary), der rechte Ausströmrand (outflow boundary). Ist c < 0 vertauschen sich die Rollen. Bei den bisher genannten Schemata ist am Ausströmrand eine numerische Randbedingung erforderlich, was die Stabilitätsuntersuchung erschwert. Wir weichen daher zunächst auf periodische Randbedingungen aus, und gelangen zur ARWA u(0, t) = u(1, t) 14.2 Diskretisierung durch die Linienmethode TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

6 Numerik II 261 u t + cu x = 0, x (0, 1), t > 0, (14.4a) u(0, t) = u(1, t), t 0, (14.4b) u(x, 0) = u 0 (x). Für den Vektor aus Approximationen U 1 (t) u(t) =., U j(t) u(x j, t) U J+1 (t) ergeben sich die GDG U j(t) = c ( Uj+1 (t) U j 1 (t) ), 2 j J, 2 x U 1(t) = c ( U2 (t) U J+1 (t) ), 2 x U J+1(t) = c ( U1 (t) U J (t) ). 2 x (14.4c) 14.2 Diskretisierung durch die Linienmethode TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

7 Numerik II 262 In Matrixschreibweise: mit A = c t 2 x u (t) = Au(t) R (J+1) (J+1). (14.5) Diese Matrix ist schiefsymmetrisch (A T = A) mit Eigenwerten λ j = ic x und zugehörigen Eigenvektoren sin(2πj x), j = 1, 2,..., J + 1 [v j ] k = e 2πikj x, j = 1, 2,..., J Diskretisierung durch die Linienmethode TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

8 Numerik II 263 Die Eigenwerte von A liegen somit in dem Intervall [ ic x, ic x] auf der imaginären Achse. Für absolute Stabilität ist bei der Linienmethode ein Verfahren für GDG erforderlich, dessen absolutes Stabilitätsgebiet ein solches Intervall umfasst. Dies ist beim expliziten Euler-Verfahren (14.2) für keinen Wert von t/ x der Fall, dieses Verfahren ist daher für keinen Wert dieses konstanten Gitterverhältnisses absolut stabil. Eine andere Wahl erfüllt jedoch die schwächere Variante (13.11) der Lax-Richtmyer- Stabilität: Für die Eigenwerte von B( t) = I + ta gilt dann nämlich 1 + tλ j 2 = 1 + ( c t x ) 2 sin 2 (2πj x) 1 + ( c t x ) 2, sodass die Wahl t = x 2 auf 1 + tλ j c 2 t führt und damit auf die Abschätzung B n = (I + ta) n (1 + c 2 t) n/2 e c2 T /2, n t T Diskretisierung durch die Linienmethode TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

9 Numerik II Das Leapfrog-Verfahren Verwendet man in (14.1a) bzw. (14.4a) mit derselben zentralen Differenzenformel für x die Mittelpunktsregel y n+1 = y n tf(t n, y n ) anstelle des expliziten Euler-Verfahrens, so ergibt sich das sogenannte Leapfrog-Schema U n+1 j = U n 1 j c t x (U n j+1 U n j 1). (14.6) Da das absolute Stabilitätsgebiet der Mittelpunktsregel das Intervall {iy : 1 < y < 1} auf der imaginären Achse ist, ist das Leapfrog-Schema absolut stabil sofern c t/ x < Das Leapfrog-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

10 Numerik II Das Lax-Friedrichs-Verfahren Durch die Ersetzung 1 2 (U n j 1 + U n j+1) = U n j (U n j 1 2U n j + U n j+1) geht das Lax-Friedrichs-Verfahren (14.3) über in U n+1 j = U n j c t 2 x (U n j+1 U n j 1) (U n j 1 2U n j und nach Umstellung der Terme in U n+1 j t U n j + c U n j+1 U n j 1 2 x = x2 2 t + U n j+1), U n j 1 2U n j + U n j+1 x 2. (14.7) Konsistenzanalyse zeigt, dass dieses Differenzenschema konsistent ist mit der PDG u t + cu x = 0, sieht aber eher aus wie eine Diskretisierung der Advektions- Diffusionsgleichung u t + cu x = ɛu xx, ɛ = x2 2 t Das Lax-Friedrichs-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

11 Numerik II 266 Das Schema (14.7) entspricht somit dem expliziten Euler-Verfahren angewandt auf A ɛ = c 2 x u (t) = A ɛ u(t), mit der Matrix (14.8) ɛ x Die Matrix in (14.8) unterscheidet sich von der Matrix (14.5) durch die Addition eines kleinen Vielfaches eines symmetrisch negativ-definiten Differenzenoperators. Die Eigenwerte werden dadurch von der imaginären Achse weg in die linke Halbebene verschoben. Aufgrund der periodischen Randbedingung sind beide Matrizen zirkulant und haben daher dieselben (orthogonalen) Eigenvektoren. Die Eigenwerte lauten λ ɛ j = ic x sin(2πj x) 2ɛ (1 cos(2πj x), j = 1, 2,..., J. (14.9) x Das Lax-Friedrichs-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

12 Numerik II Eigenwerte der Matrix ta ɛ für c = 1, x = 1/50 t = 0.8 x für verschieden Werte von ɛ. 1.5 expl. Euler (ɛ = 0) 1.5 ɛ = ɛ = Lax-Friedrichs (ɛ = ) 14.4 Das Lax-Friedrichs-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

13 Numerik II Das Lax-Wendroff-Verfahren Möglichkeiten, die Konsistenzordnung bez. t zu erhöhen: Verfahren 2. Ordnung für Zeitdiskretisierung, z.b. Mittelpunktsregel/Leapfrog. Nachteile: beinhaltet drei aufeinanderfolgende Zeitschichten (Speicheraufwand, vor allem in 3D), RB schwieriger zu handhaben. Leapfrog nichtdissipativ (neutrale Stabilität), Probleme bei variablen Koeffizienten/nichtlinearen Termen. Trapezregel, diese ist aber implizit. Zweistufige Runge-Kutta-Verfahren Taylor-Ansatz angewandt auf u (t) = Au(t) unter Beachtung von u (t) = Au (t) = A 2 u(t): u n+1 = u n + tau n + t2 2 A2 u n Das Lax-Wendroff-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

14 Numerik II 269 Ist A ist dabei die Matrix aus (14.5), so lautet dies ausgeschrieben U n+1 j = U n j c t 2 x (U n j+1 U n j 1) + c2 t 2 8 x 2 (U n j 2 2U n j Nachteil: 5-Punktestern in x, umständlich in Randnähe. + U n j+2). Ausweg: beachte, dass letzter Term Approximation darstellt an 1 2 c2 t 2 u xx. Ersetzen dieses Terms durch übliche 3-Punkteformel für u xx führt auf das Lax-Wendroff-Verfahren U n+1 j = U n j c t 2 x (U n j+1 U n j 1) + c2 t 2 2 x 2 (U n j 1 2U n j + U n j+1). (14.10) 14.5 Das Lax-Wendroff-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

15 Numerik II Asymptotische Stabilität Beachte: Lax-Wendroff entspricht dem explizitem Euler-Verfahren angewandt auf u (t) = A ɛ u(t) mit A ɛ wie in (14.8) jedoch mit ɛ = c 2 t/2 anstelle von ɛ = x 2 /(2 t) wie im Lax-Friedrichs-Verfahren. Wie in (14.9) erhalten wir für die mit t durchmultiplizierten Eigenwerte von A ɛ tλ ɛ j = i c t x sin(jπ x) + ( ) 2 c t (cos(jπ x 1), j = 1, 2,..., J. x Diese liegen auf dem Rand einer Ellipse mit Mittelpunkt (c t/ x) 2 und Halbachsen der Länge (c c/ x) 2 und c t/ x. Diese Ellipse liegt im absoluten Stabilitätsgebiet des expliziten Euler- Verfahrens sofern c t/ x Das Lax-Wendroff-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

16 Numerik II 271 Mit denselben Daten wie im vorigen Abschnitt zeigt das Bild die Eigenwerte des Lax-Wendroff-Verfahrens Lax-Wendroff (ɛ = 0.005) 14.5 Das Lax-Wendroff-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

17 Numerik II Upwind-Verfahren Neben den bisher verwendeten zentralen Differenzenapproximationen an u x in der Advektionsgleichung (14.1a) sind auch die einseitigen Approximationen u x (x j, t) U j U j 1 x bzw. u x (x j, t) U j+1 U j x denkbar. Zusammen mit einer Vorwärtsdifferenz in der Zeit ergeben sich die Schemeta U n+1 j = U n j c t x (U j U j 1 ), U n+1 j = U n j c t x (U j+1 U j ). Beide besitzen Konsistenzordnung eins bezüglich x und t. (14.11a) (14.11b) 14.6 Upwind-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

18 Numerik II 273 Niedrigere Approximationsordnung, aber Berücksichtigung einer qualitativen Eigenschaft der Lösung von (14.1a), nämlich der Ausbreitung von Information mit Geschwindigkeit c nach rechts (c > 0) bzw. links (c < 0). Für exakte Lösung: u(x j, t + t) = u(x j c t.t), d.h. Lösung im nächsten Zeitschritt gegeben durch Daten links von x j (c > 0) bzw. rechts von x j (c < 0) im aktuellen Zeitschritt. Naheliegend: Verwendung von (14.11a) falls c > 0 und von (14.11b), falls c < Upwind-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

19 Numerik II 274 Zur Stabilitätsanalyse beachte man, dass (14.11a) umgeschrieben werden kann als U n+1 j = U n j c t 2 x (U n j+1 U n j 1) + c t 2 x (U n j+1 2U n j + U n j 1) (14.12) ein Schema von der Form (14.8) mit ɛ = c x/2. Bereits festgestellt: solche Schemata sind stabil, falls c t t x 1 und 2 < 2ɛ x 2 < Upwind-Verfahren TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

20 Numerik II Numerisches Beispiel Wir betrachten die AWA (14.11a) mit c = 1 und Anfangsdaten u 0 (x) = e 20(x 2)2 + e (x 5)2 im Zeitraum t [0, 17] und vergleichen die exakte Lösung mit den durch das Upwind-, Lax-Wendroff- und Leapfrog-Schema gewonnenen Approximationen am Ende des Zeitintervalls. Die Anfangsfunktion besteht aus zwei Gaußsche Spitzen, einer etwas schlechter durch das gegebene räumliche Gitter aufgelöst als der andere. Dir räumliche Schrittweite beträgt x = 0.05, die Zeitschrittweite t = 0.8 x, als Randbedingung (echte und numerische) werden homogene Dirichlet-Bedingungen gestellt. Die schwarze durchgezogene Linie zeigt die exakte Lösung, die roten Punkte deren numerische Approximation an den Gitterpunkten an Numerisches Beispiel TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

21 Numerik II Exakte Lösung t=0 1.5 Upwind, t= Numerisches Beispiel TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

22 Numerik II Lax Wendroff, t= Leapfrog, t= Numerisches Beispiel TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

23 Numerik II 278 Beobachtungen: Das Upwind-Verfahren ist stark diffusiv, approximiert aber die beiden Spitzen schlechter als die übrigen Schemata. Dies liegt an der niedrigeren Konsistenzordnung und kann durch Gitterverefeinerung verbessert werden. Bei Lax-Wendroff und Leapfrog ist die starke Dispersion, d.h., dass verschiedene Wellenanteile sich in der numerischen Approximation unterschiedlich schnell ausbreiten, deutlich zu erkennen Numerisches Beispiel TU Bergakademie Freiberg, SS 2010

24 Numerik II 279 Ziele von Kapitel 14. Sie sollten die Lösung der linearen Wellengleichung erster Ordnung hinschreiben und interpretieren können. Sie sollten die Konstruktionsprinzipien der Differenzenverfahren Leapfrog, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff und Upwind-Schema beschreiben können. Sie sollten den Unterschied zwischen asymptotischer und Lax-Richtmyer- Stabilität kennen. Sie sollten eine von-neumann-stabilitätsanalyse für Differenzenschemata für die lineare Wellengleichung erster Ordnung durchführen können. Sie sollten in der Lage sein, einfache Differenzenschema für die lineare Wellengleichung zu implementieren Numerisches Beispiel TU Bergakademie Freiberg, SS 2010